1、 专题专题 15 15 二次函数二次函数 一、单选题一、单选题 1已知二次函数 = 2+ + 的图象交 x 轴于 A(x1，0)，B(x2，0)两点，交 y 轴于点 C(0，3)，若 1+ 2= 4 ，且ABC 的面积为 3，则 a+b（ ） A3 B-5 C-3 D5 2已知二次函数 yax2+bx+c 的图象过点 A（2，n） ，当 x0 时，yn，当 x0 时，yn+1，则 a 的值是（ ） A1 B14 C14 D1 3 （2022 九下 尤溪开学考）把抛物线 y=2x2向下平移 1 个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） Ay=2x2 + 1 By=2x2-1 Cy= 2( + 1)
2、2 Dy= 2( 1)2 4 （2022 九下 厦门月考）关于抛物线 y=3（x1）22，下列说法错误的是（ ） A开口方向向上 B对称轴是直线 x=l C顶点坐标为（1，2） D当 x1 时，y 随 x 的增大而减小 5 （2022 福州模拟）已知点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3）均在抛物线 y = 62+ +c 上，其中 y2= 32 a + c.下列说法正确的是（ ） A若|x1 - x2|x3 - x2|，则 y2 y3 y1 B若|x1 - x2|x3 - x2|，则 y2 y3 y1 C若 y1 y3 y2，则|x1 - x2|x2 - x3| D若 y1
3、 y3 y2，则|x1 - x2|x2 - x3| 6 （2022 九下 福州期中）小明在研究抛物线 = ( )2 + 1（h 为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（ ） A无论 x 取何实数，y 的值都小于 0 B该抛物线的顶点始终在直线 = 1上 C当1 2时，y 随 x 的增大而增大，则 2 D该抛物线上有两点(1，1)，(2，2)，若1 2，1+ 2 2 7 （2022 福州模拟）下列 y 关于 x 的函数中，是二次函数的是（ ） Ay = 5x2 By = 22 - 2x Cy = 2x2 - 3x3 + 1 Dy = 12 8 （2022 九下 南平期中）如图， 抛物线 yax2
4、+bx+c 的对称轴是直线 x1， 下列结论：abc0； b24ac0；a-b+c0； 8a+c0，正确的有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 9 （2022 九下 厦门开学考）二次函数 yx（x+2）图象的对称轴是（ ） Ax1 Bx2 Cx2 Dy 轴 10 （2022 九下 尤溪开学考）点 A(m，n)在二次函数 y= 2 -4 的图象上，则 2M-n 的最大值是（ ） A-5 B-4 C4 D5 二、填空题二、填空题 11 （2022 七下 诏安期中）长方形的周长为 24 厘米，其中一边为 x（其中 0） ，面积为 y 平方厘米，则这样的长方形中 y 与 x 的关系可以写为
5、 12 （2022 八下 福州期末）如图，抛物线 = 2与直线 = + 的两个交点坐标分别为 A(3，6)，(1，23)，则方程2 = 0的解是 . 13 （2022 九下 尤溪开学考）已知抛物线 y= 2 + bx + 4 经过(-2， n)和(4， n)两点， 则 b 的值为 . 14 （2022 福建）已知抛物线 = 2+ 2 与 x 轴交于 A，B 两点，抛物线 = 2 2 与 x 轴交于 C，D 两点，其中 n0，若 AD2BC，则 n 的值为 . 15 （2022 福州模拟）如图，在四边形 ABCD 中，AB = 5，A = B = 90 ，O 为 AB 中点，过点 O 作OMCD
6、 于点 M.E 是 AB 上的一个动点（不与点 A，B 重合） ，连接 CE，DE，若CED = 90 且 = 43 .现给出以下结论： （1）ADE 与BEC 一定相似； （2）以点 O 为圆心，OA 长为半径作O，则O 与 CD 可能相离； （3）OM 的最大值是 52 ； （4）当 OM 最大时，CD = 12524 .其中正确的是 .（写出所有正确结论的序号） 16 （2022 九上 福州开学考）若点 A（x1，m）和点 B（x2，m） （x1x2）都在二次函数 y22x21 的图象上，则当 xx1+x2时，函数 y 的值是 17 （2022 九下 福州期中）如图， 在矩形 ABCD
7、中， = 3， = 6， 点 P 为边 AD 上一个动点，连接 CP，点 P 绕点 C 顺时针旋转90得到点，连接并延长到点 E，使 = 2，以 CP、CE 为邻边作矩形 PCEF，连接 DE、DF，则 和 面积之和的最小值为 . 18 （2022 九上 长汀月考）已知方程 ax2+bx+c=0（a0）的解是 x1=5，x2=3，那么抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴的两个交点的坐标分别是 19 （2022 九上 长汀月考）定义：mina，b( )，( ).若函数 yminx1，2+ 2 + 3 ，则该函数的最大值为 . 20 （2022 九上 福州开学考）抛物线 y（x+2）2上
8、有三点 A（4，y1）B（1，y2）C（1，y3） ，则y1，y2，y3的大小关系为 三、综合题三、综合题 21 （2022 九上 福建竞赛）已知开口向上的抛物线 = 2+ + 与直线：y=ax+c，y=cx+a 中的每一条都至多有一个公共点. （1）求 的最大值； （2）当 取最大值时，设直线 =314 交抛物线 = 2+ + 于 A，B 两点，C 为抛物线的顶点，若ABC 内切圆的半径为 1，求 a 的值. 22 （2022 九下 泉州开学考）如图 1，在 中 = ， = 24 ， tan =512 . （1）求 的长； （2）如图 2，点 P 沿线段 从 B 点向 C 点以每秒 2 的速
9、度运动，同时点 Q 沿线段 向 A点以每秒 1 的速度运动，且当 P 点停止运动时，另一点 Q 也随之停止运动，若 P 点运动时间为 t秒. 若 = 时，求证： ；并求此时 t 的值. 点 P 沿线段 从 B 点向 C 点运动过程中， 是否存在 t 的值， 使 的面积最大； 若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由. 23 （2022 八下 福州期末）如图，学校要用一段长为 36 米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长为 16 米. （1）若矩形 ABCD 的面积为 144 平方米，求矩形的边 AB 的长. （2）要想使花圃的面积最大、AB 边的长应为多少米？最大面积为多少平方米？ 2
10、4 （2022 九下 厦门月考）安顺市某商贸公司以每千克 40 元的价格购进一种干果，计划以每千克 60 元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量 y（千克）与每千克降价 x（元） （0 x20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）若商贸公司要想获得最大利润，则这种干果每千克应降价多少元？ 25 （2022 八下 福州期末）如图，抛物线顶点 P(1，4)，与 y 轴交于点 C(0，3)，与 x 轴交于点 A，B. （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线与直线 = + 只有一个交点，求 m 的值； （3）Q
11、是抛物线上除点 P 外一点，BCQ 与BCP 的面积相等，求点 Q 的坐标； （4）若 M，N 为抛物线上两个动点，分别过点 M，N 作直线 BC 的垂线段，垂足分别为 D，E.是否存在点 M、N 使四边形 MNED 为正方形？如果存在，求正方形 MNED 的边长；如果不存在，请说明理由. 26 （2022 福建）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 = 2+ 经过 A（4，0） ，B（1，4）两点.P是抛物线上一点，且在直线 AB 的上方. （1）求抛物线的解析式； （2）若OAB 面积是PAB 面积的 2 倍，求点 P 的坐标； （3） 如图， OP交AB于点C， 交AB于点D.记CD
12、P， CPB， CBO的面积分别为1， 2， 3.判断12+23是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由. 27 （2022 九下 厦门开学考）已知直线 y1kx+1（k0）与抛物线 y214x2. （1）当4x3 时，函数 y1与 y2的最大值相等，求 k 的值； （2）如图，直线 y1kx+1 与抛物线 y214x2交于 A，B 两点，与 y 轴交于 F 点，点 C 与点 F 关于原点对称，求证：SACF：SBCFAC：BC； （3）将抛物线 y214x2先向上平移 1 个单位，再沿直线 y1kx+1 的方向移动，使向右平行移动的距离为 t 个单位，如图所示，直线 y1kx
13、+1 分别交 x 轴，y 轴于 E，F 两点，交新抛物线于 M，N 两点，D 是新抛物线与 y 轴的交点，当OEFDNF 时，试探究 t 与 k 的关系. 28 （2022 九下 厦门开学考）为预防新冠病毒，口罩成了生活必需品，某药店销售一种口罩，每包进价为 6 元，日均销售量 y（包）与每包售价 x（元）满足 y5x+80，且 10 x16. （1）每包售价定为多少元时，药店的日均利润最大？最大为多少元？ （2）当进价提高了 a 元，且每包售价为 13 元时，日均利润达到最大，求 a 的值. 29 （2022 九下 尤溪开学考）平面直角坐标系中，抛物线 y = - 2+2ax + 1 - a
14、(a 为常数)的顶点为 A. （1）当抛物线经过点(1，2)，求抛物线的函数表达式； （2）求顶点 A 的坐标(用含字母 的代数式表示)，判断顶点 A 在 x 轴的上方还是下方，并说明理由； （3）当 x 0 时，抛物线 y = - 2 + 2x + 1 - ( 为常数)的最高点到直线 y = 3 的距离为 5，求 的值. 30 （2022 九下 福州期中）抛物线 = 2+ + 与 x 轴交于不重合的两点(1，0)， (2，0).1 2. （1）若1= 3，当 + = 2时，求抛物线解析式； （2）若1= 32，比较 c 与34 2的大小，并说明理由； （3）若 AB 的中点坐标为(32 3
15、32，0)，且3 12，设此抛物线顶点为 P，交 y 轴于点 D，延长 PD 交 x 轴于点 E，点 O 为坐标原点，令 面积为 S，求 S 的取值范围. 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】C 【解析】【解答】解：依题意 1，2 为方程 2+ + = 0 的两根，且 = 3 . 所以 1+ 2= = 4 ， 12=3 . 所以 = |1 2| = (1+ 2)2 412= 16 4 3= 24 3 ， 所以 面积 =12 3 =12 24 3 3 = 3 . 解得 = 1 ，经检验符合题意， = 4 = 4 . 因为函数 = 2 4 + 3 的图象与 x 轴有两个不同交点，因此 = 1 ，
16、 = 4 ， = 3 符合要求. 所以 + = 3 . 故答案为：C. 【分析】易得 x1+x2=4，x1x2=3，则 AB=|x1-x2|=(1+ 2)2 412= 243 ，根据三角形的面积公式可得 a 的值，然后求出 b 的值，据此计算. 2 【答案】C 【解析】【解答】解：当 x0 时，yn，当 x0 时，yn+1， 二次函数图象开口向上， 由 0时， 可知抛物线对称轴在 y 右侧，为直线 x=2，如图， 点（2，n）在抛物线 yax2+bx+c 的图象上， 4 + 2 + = 当 = 0时， 有最小值为 n+1，即 = + 1 = 2= 2 = 4 4 8 + + 1 = =14 故
17、答案为：C. 【分析】由题意可知二次函数图象开口向上，由 0时， 可知抛物线对称轴在 y 右侧，为直线 x=2=2， 可得 b=-4a， 将点 （2， n） 代入 yax2+bx+c 中， 可得4 + 2 + = ， 当 = 0时， 有最小值 = + 1， 联立即可求出 a 值. 3 【答案】B 【解析】【解答】解： 抛物线 y=2x2向下平移 1 个单位， y=2x2-1. 故答案为：B. 【分析】对于二次函数 y=a(x+h)2+k， 根据抛物线的平移规律：即左右平移在 h 后左加右减，上下平移在 k 后上加下减即可求出结果. 4 【答案】D 【解析】【解答】解：关于抛物线 y=3（x1）
18、22， a=30，抛物线开口向上，A 选项正确； x=1 是对称轴，B 选项正确； 抛物线的顶点坐标是（1，2） ，C 选项正确； 由于抛物线开口向上，x1 时，y 随 x 的增大而增大，D 选项不正确. 故答案为：D. 【分析】抛物线的顶点式为：y=a(x-h)2+k，当 a0 时，图象开口向上，对称轴为直线 x=h，顶点坐标为（h，k） ；当 xh 时，y 随 x 的增大而增大；当 x0 时， 6 0 ，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大；抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小；当 a 0 ，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小；抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大； A、当 a0 时，
19、6 0 ，顶点 B 为最高点，则 2 最大 当|x1 - x2|x3 - x2|时，表明 A 点离对称轴的距离不超过 C 点离对称轴的距离，则 1 3 2 1 3 当 a 0 ，顶点 B 为最低点，则 2 最小 当|x1 - x2|x3 - x2|时，表明 A 点离对称轴的距离不超过 C 点离对称轴的距离，则 1 3 2 1 3 故 A 选项错误 B、当 a0 时， 6 0 ，顶点 B 为最高点，则 2 最大 当|x1 - x2|x3 - x2|时，表明 A 点离对称轴的距离不小于 C 点离对称轴的距离，则 1 3 2 3 1 当 a 0 ，顶点 B 为最低点，则 2 最小 当|x1 - x2
20、|x3 - x2|时，表明 A 点离对称轴的距离不小于 C 点离对称轴的距离，则 1 3 2 3 1 故 B 选项错误 C、y1 y3 y2 2 最小 B 点为抛物线上的最低点 6 0 ，即 a0 时，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大；当 a0 时 ，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小，据此进行判断. 6 【答案】C 【解析】【解答】解：A. = ( )2 + 1，当 = 时，max= + 1，当 0，故错误； B.抛物线 = ( )2 + 1的顶点坐标为(， + 1)，当 = 时， = 1 + 1，故错误； C.抛物线开口向下，当1 2时，y 随 x 的增大而增大， 2，故正确； D.
21、抛物线上有两点(1，1)，(2，2)，若1 2，1+ 2 2，1+22 ，点 A 到对称轴的距离大于点 B 到对称轴的距离， 1 2，故错误. 故答案为：C. 【分析】利用二次函数的性质及函数解析式，可得到抛物线的顶点坐标，可对 A 作出判断；将抛物线的顶点的横坐标代入直线 y=x-1，可对 B 作出判断；利用已知可得到1+22 0， + 0，故正确； 抛物线对称轴是直线 x=1， 2= 1， b=-2a， 当 x=-2 时，4a-2b+c0， 4a+4a+c0， 即 8a+c0，故正确； 综上分析可知，正确的有 3 个，故 B 正确. 故答案为：B. 【分析】由图象可得：抛物线开口方向向下，
22、对称轴在 y 轴右侧，与 y 轴交于正半轴，据此可得 a、b、c 的正负，进而判断；根据抛物线与 x 轴有两个交点可判断；由图象可知，当 x=-1 时，y0，据此判断；根据对称轴是直线 x=1 可得 b=-2a，根据 x=-2 时，y=4a-2b+c0 可得 4a+4a+c0，据此判断. 9 【答案】A 【解析】【解答】解： = ( + 2) = 2+ 2 = ( + 1)2 1 该二次函数图象的对称轴为直线 = 1 故答案为：A. 【分析】将解析式后化为顶点式，即可求解. 10 【答案】D 【解析】【解答】解：由题意得：n=m2-4， 2m-n=2m-m2+4=-(m-2)2+5， 当 m=
23、2 时，2m-n 有最大值 5. 故答案为：D. 【分析】把 A 点坐标代入函数式得出 n=m2-4，将此代入原式，再化成顶点式，根据二次函数的性质求 最大值即可. 11 【答案】y=2+ 12 【解析】【解答】解：长方形的一边是 xcm，则另一边长是（12-x）cm. 则 y=（12-x）x=-x2+12x. 故答案是：y=2+ 12 【分析】根据长方形的面积=长 宽即可求解. 12 【答案】1= 3，2= 1 【解析】【解答】解：由图象可知，关于 x 的方程2 = 0的解，就是抛物线 = 2（a0）与直线 = + （b0）的两个交点坐标的横坐标， 1= 3，2= 1. 故答案为：1= 3，
24、2= 1. 【分析】方程 ax2-bx-c=0 的解即为抛物线与直线的交点的横坐标，据此解答. 13 【答案】-2 【解析】【解答】解：由题意得：对称轴 x= 2+42=1， - 2=1， 解得 b=-2. 故答案为：-2. 【分析】由于已知两点的纵坐标相等，根据中点坐标公式求出对称轴方程，然后根据抛物线对称轴公式列方程求解即可. 14 【答案】8 【解析】【解答】解： 把 y=0 代入 = 2+ 2 得：2+ 2 = 0， 解得：1=24+42= 11 + ，2=2+4+42= 1+1 + ， 把 y=0 代入 = 2 2 得：2 2 = 0， 解得：3=24+42= 1 1 + ，4=2+
25、4+42= 1 +1+ ， = 2， 2= 42， (1 4)2= 4(2 3)2， 即(11 + 1 1 + )2= 4(1+1 + 1 +1 + )2， (1 1+ )2= 4(1+1 + )2， 令1+ = ，则(1 )2= 4(1 )2， 解得：1=13，2= 3， 当1=13时，1 + =13，解得： = 89， 0， = 89不符合题意舍去； 当2= 3时，1 + = 3，解得： = 8， 80， = 8符合题意； 综上分析可知，n 的值为 8. 故答案为：8. 【分析】把 y=0 代入 y=x2+2x-n 中可得 x2+2x-n=0，利用公式法表示出 x1、x2，同理表示出 x3
26、、x4，根据 AD=2BC 可得 AD2=4BC2，即(x1-x4)2=4(x2-x3)2，代入化简可得(11 + )2= 4(1 +1 + )2，然后利用换元法进行求解即可. 15 【答案】（1） （3） （4） 【解析】【解答】解：A=B=90 ，CED = 90 ， AED=BCE， ADE BEC. 故（1）正确； OMC= 90 ， ADM+AOM=180 ，ADM+MCB=180 ， AOM=MCB， 四边形 ADMO 与四边形 MOBC 相似， =， OM2=AD BC ADEBEC =34， AD BC=AE BE， OM2=AE BE， 即 OM2=AE (5-AE) ， O
27、M2=-AE2+5AE. 当 AE=BE= 52时，OM 值最大，最大值为52 . 以点 O 为圆心，OA 长为半径作O，则O 与 CD 不可能相离， 故（2）错误， （3）正确， 当 OM 最大时，点 O 与点 E 重合（如图所示） ，AE=BE=OM=52 ， AEDMED，BCEMCE ， AD=MD，BC=MC， CD=AD+BC， =34，=34 ， 解得： =158 ， =103 ， CD=AD+BC= 12524 . 故答案为： （1） （3） （4） 【分析】 （1）根据同角的余角相等得出AED=BCE，再根据A=B=90 ，得出 ADE BEC，即可判断（1）正确； （2）证
28、出四边形 ADMO 与四边形 MOBC 相似，得出 OM2=AD BC，根据ADEBEC，得出 AD BC=AE BE，从而得出 OM2=AE BE=-AE2+5AE，得出当 AE=BE=52时，OM 值最大，最大值为52，即可判断（2）错误， （3）正确； （4）证出AEDMED，BCEMCE ，得出 AD=MD，BC=MC，从而得出 CD=AD+BC，再求出 AD，BC 的长，得出 CD 的长，即可判断（4）正确. 16 【答案】-1 【解析】【解答】解：二次函数 y22x21 的图象的对称轴为 y 轴， 而点 A（x1，m）和点 B（x2，m）的纵坐标相同， 点 A 与点 B 关于 y
29、轴对称， x1x2， xx1+x20， 当 x0 时，y22x211. 故答案为：-1. 【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为 y 轴，由 A、B 的坐标可得点 A 与点 B 关于 y 轴对称，则 xx1+x20，然后令 x=0，求出 y 的值即可. 17 【答案】714 【解析】【解答】解：如图，过点 D 作 DHPC 于 H，设 PD=x， 四边形 ABCD 是矩形， AB=CD=3cm，PDC=90 ， = 2+ 2= 2+ 9， DHPC， 12 =12 =29+2， = 2 2=99+2， 四边形 PCEF 是矩形， = = 9 + 2， = 2 = 29 + 2， + =129
30、 + 2(29+ 229+2)+12 29 + 299+2 = 2 + 18 = ( 12)2+714 当 =12时，+ 有最小值714， 故答案为：714. 【分析】过点 D 作 DHPC 于 H，设 PD=x，利用矩形的性质可证得 AB=CD=3cm，PDC=90 ，利用 勾股定理表示出 PC，利用三角形的面积公式可表示出 CH 的长；同时表示出 EF，EC 的长；然后利用三角形的面积公式可得到 SDEF+SDCE与 x 之间的函数解析式，然后利用二次函数的性质可求出其最小值. 18 【答案】（5、0） （-3、0） 【解析】【解答】解：当 y=0 时，ax2+bx+c=0（a0） 方程
31、ax2+bx+c=0（a0）的解是 x1=5，x2=-3， 抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴的两个交点的横坐标分别是 5、-3， 抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴的两个交点的坐标分别是（5、0） （-3、0） ， 故答案是： （5、0） （-3、0） 【分析】 方程 ax2+bx+c=0 （a0）的两个根即为抛物线 y=ax2+bx+c （a0）与 x 轴的两个交点的横坐标，据此即得结论. 19 【答案】3 【解析】【解答】解：依题意，设直线 y=x+1，抛物线 = 2+ 2 + 3， 联立直线与抛物线方程得 = + 1 = 2+2 + 3， 解得 = 2 = 3或
32、 = 1 = 0， 直线与抛物线交点坐标为（-1，0） ， （2，3） ， 如图， x-1 时，y=2+ 2 + 3，函数最大值为 y=0， -1x2 时，y=x+1，函数最大值为 y=3， 当 x2 时，y=2+ 2 + 3，y3， x=2 时，函数取最大值为 3， 故答案为：3 【分析】 先求出直线与抛物线交点坐标为 （-1， 0） ，（2， 3） ， 画出草图， 分三种情况： x-1 时， y=2+2 + 3当-1x2 时，y=x+1，当 x2 时，y=2+ 2 + 3，根据二次函数及一次函数的性质分别求出最大值，再比较即可. 20 【答案】y2y1y3 【解析】【解答】解：当 x4 时
33、，y1（x+2）24；当 x1 时，y2（x+2）21；当 x1 时，y3（x+2）29， 所以 y2y1y3 故答案为：y2y1y3 【分析】分别将 x=-4、-1、1 代入函数解析式中求出 y1、y2、y3的值，然后进行比较即可. 21 【答案】（1）解：由 2+ + = + ，得 1= 0 ， 2= ， 由抛物线 = 2+ + 与直线 = + 至多有一个公共点，得 = . 由 2+ + = + ，及 = ， 得 2+ ( ) + = 0 . 因为抛物线 = 2+ + 与直线 = + 至多有一个公共点， 所以 = ( )2 4( ) 0 ， 即 52 6 + 2 0 . 结合 0 ，得 (
34、)2 6() + 5 0 ， 解得 1 5 . 又抛物线 = 2+ + 5 与直线 = + 5 ， = 5 + 中的每一条都至多一个公共点. 所以 的最大值为 5. （2）解：当 取最大值时，抛物线为 = 2+ + 5 ，其顶点 (12，194) . 由 2+ + 5 =314 ， 得 1= 123 ， 2= 12+3 ， 于是 = 23 ， = . 设 为 的内心， 为线段 中点，则 ， ， 且 = 1 ， = 3 . = 30 ， = 60 ， 为等边三角形. = 3 = 3 .因此 314 194 = 3 = 3 ， = 1 . 所以 = 1 . 或：由 = =(3)2+ (314 19
35、4)2= 3 + 92 ， 得 的周长 = 23 + 23 + 92 ， 面积 =12 23 3 = 33 . 利用 =2 ，得 33 =23+23+922 1 ， 解得 = 1 . 【解析】【分析】 （1）令 ax2+bx+c=ax+c 求出 x，根据抛物线与直线 y=ax+c 至多有一个公共点，得 a=b，由 ax2+bx+c=cx+a 结合 a=b 以及0 可得的范围，进而可得的最大值； （2）当取最大值时，得顶点 C 的坐标，联立抛物线与直线解析式求出 x，得 AB=23，CA=CB，设I 为ABC 的内心，D 为线段 AB 中点，则DBI=30 ，ABC=60 ，ABC 为等边三角形
36、，CD=3，据此可得 a 的值. 22 【答案】（1）解：过 A 点作 BC 的垂线，垂足为 D 在 中， = tan =512 = ， = 24 BD= 12 = 12 AD= 12 512= 5 由勾股定理有 = 2+ 2 = 122+ 52= 144 + 25 = 169 = 13 （2）解：APC=APQ+QPC=BAP+ABC QPC=BAP 又 = ABC=ACB = 设运动了 t 秒，则 BP=2t，PC=24-2t，AQ=13-t，QC=t 则 132=242 解得 t= 354 . 过 A 点作 BC 的垂线，垂足为 D，过 Q 点作 BC 垂线，垂足为 H，设运动了 t 秒
37、， 则 BP=2t，PC=24-2t，AQ=13-t，QC=t， ABC=ACB cos = cos 在 中 AB=13，AD=5 cos = cos =513 QH= 513 当 2t=24 时运动停止，即 0t12s =12 =12 513 =12 (24 2) 513 = 5132+6013 对称轴为 = 2= 60132513= 6 = 5132+6013 开口朝下，612， 当 t=6 时面积最大. 【解析】【分析】（1） 过 A 点作 BC 的垂线， 垂足为 D ， 利用等腰三角形的性质可得 BD= 12 = 12， 由 = tan =512，可求出 AD=5，利用勾股定理求出 A
38、B 即可； （2）设运动了 t 秒，则 BP=2t，PC=24-2t，AQ=13-t，QC=t，证明 ，可得 =，代入相应数据求出 t 值即可； 过 A 点作 BC的垂线， 垂足为 D， 过 Q 点作 BC垂线， 垂足为 H， 设运动了t 秒 ， 则 BP=2t， PC=24-2t，AQ=13-t， QC=t， 利用 cos = cos =513 求出 QH= 513 .当 2t=24时运动停止， 即 0t12s ，从而求出 =12 = 5132+6013，利用二次函数的性质求解即可. 23 【答案】（1）解：设矩形的边 AB 的长为 x 米，则有 = (36 2)，由题意得： (36 2)
39、= 144， 解得：1= 6，2= 12， 墙长为 16 米， 036 2 16， 解得：10 18， = 12； 即矩形的边 AB 的长为 12 米； （2）解：设花园的面积为 y 平方米，由（1）可得： = (36 2) = 22+ 36 = 2( 9)2+ 162， -20，开口向下，对称轴为直线 x=9，且10 18， 当 x=10 时，y 有最大值，即为 = 10 (36 20) = 160， 答：当花圃的面积最大时，边 AB 的长为 10 米，最大面积为 160 平方米. 【解析】【分析】 （1）设矩形的边 AB 的长为 x 米，则 BC=(36-2x)m，根据矩形的面积公式可得关
40、于 x 的方程，求解即可； （2）设花园的面积为 y 平方米，由（1）可得：y=x(36-2x)，将其化为顶点式，然后结合二次函数的性质进行解答. 24 【答案】（1）解：设 y 与 x 之间的函数关系式为：ykxb， 把（2，120）和（4，140）代入得， 2 + = 1204 + = 140， 解得： = 10 = 100， y 与 x 之间的函数关系式为：y10 x100； （2）解：该干果每千克降价 x 元时，商贸公司利润是 w 元， 根据题意得，w（6040 x） （10 x100）10 x2100 x2000， w10（x5）22250， 该干果每千克降价 5 元时，商贸公司获利
41、最大，最大利润是 2250 元. 【解析】【分析】 （1）设 y 与 x 之间的函数关系式为：ykxb，把（2，120）和（4，140）代入求出k、b 的值，进而可得 y 与 x 的函数关系式； （2）该干果每千克降价 x 元时，商贸公司利润是 w 元，根据利润=(标价-成本-降价) 销售量可得 w 与x 的关系式，然后结合二次函数的性质进行解答. 25 【答案】（1）解：设 = ( 1)2+ 4( 0)， 把(0，3)代入抛物线解析式得： + 4 = 3，即 = 1， 则抛物线解析式为 = ( 1)2+ 4 = 2+ 2 + 3； （2）解：抛物线与直线 = + 只有一个交点， 2+ 2 +
42、 3 = + ，即2 + 3 = 0， = 1 4( 3) = 0， 解得： =134； （3）解：由抛物线解析式 = 2+ 2 + 3可令 = 0，解得1= 1，2= 3， 点(1，0)，(3，0)， 设直线 BC 的解析式为 = + ，则有： 3 + = 0 = 3，解得： = 1 = 3， 直线 BC 的解析式为 = + 3， 过作1/，交抛物线于点1，如图 1 所示， 设直线 PQ1的解析式为 = + ， (1，4)， 直线1解析式为 = + 5， 联立得： = + 5 = 2+ 2 + 3， 解得： = 1 = 4或 = 2 = 3，即(1，4)与重合，1(2，3)； 过点 P 作
43、x 轴的垂线交 BC 于 G，在直线 PG 上取 = ， 直线的解析式为 = + 3，(1，4)， (1，2)， = = 2， (1，0)， 过作直线23/，交抛物线于点 Q2，Q3， 同理可得直线23解析式为 y=-x+1， 联立得： = + 1 = 2+ 2 + 3， 解得： =3+172 =1172或 =3172 =1+172， 2(3172，1+172)，3(3+172，1172)； （4）解：存在点，使四边形为正方形， 如图 2 所示， 四边形为正方形， 过作/轴， 过作/轴， 过作/轴， 则有与都为等腰直角三角形， 设(1，1)，(2，2)，直线解析式为 = + ， 联立得： =
44、+ = 2+ 2 + 3， 消去得：2 3 + 3 = 0， 2= |1 2|2= (1+ 2)2 412= 21 4， 为等腰直角三角形， 2= 22= 42 8， (2，2+ 3)， 2= 2 (2+ 3)2= (2+ + 2 3)2= ( 3)2， 2=12( 3)2， 若四边形为正方形，则有2= 2， 42 8 =12(2 6 + 9)， 整理得：2+ 10 75 = 0， 解得： = 15或 = 5， 正方形边长为 = 42 8， = 92或2. 【解析】【分析】 （1）由题意可设抛物线解析式为 y=a(x-1)2+4，将 C（0，3）代入求出 a 的值，据此可得抛物线的解析式； （
45、2）联立抛物线解析式与直线解析式，结合=0 就可求出 m 的值； （3）令抛物线解析式中的 y=0，求出 x 的值，可得点 A、B 的坐标，利用待定系数法求出直线 BC 的解析式，过 P 作 PQ1BC，交抛物线于点 Q1，求出直线 PQ1的解析式，联立抛物线解析式求出 x、y，据此可得点 Q 的坐标；过点 P 作 x 轴的垂线交 BC 于 G，在直线 PG 上取 PG=GH，易得 H（1，0） ，过 H 作直线 Q2Q1BC，交抛物线于点 Q2，Q3，同理可得直线 Q2Q3的解析式，联立抛物线解析式求出x、y，据此可得点 Q 的坐标； （4）过 M 作 MFy 轴，过 N 作 NFx 轴，过
46、 N 作 NHy 轴，则MNF 与NEH 都为等腰直角三角形，设出带你 M、N 的坐标，直线 MN 的解析式为 y=-x+b，联立抛物线解析式可得 x2-3x+b-3=0，根据NF2=|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2可得 NF2， 根据等腰直角三角形的性质可得 MN2=2NF2=42-8b， 表示出 NH2， NE2，若四边形 MNED 为正方形，则有 NE2=MN2，代入求解可得 b 的值，然后求出 MN 即可. 26 【答案】（1）解：将 A（4，0） ，B（1，4）代入 = 2+ ， 得16 + 4 = 0 + = 4， 解得 = 43 =163. 所以抛物线的解析式为 =
47、 432+163 （2）解：设直线 AB 的解析式为 = + ( 0)， 将 A（4，0） ，B（1，4）代入 = + ， 得4 + = 0 + = 4， 解得 = 43 =163. 所以直线 AB 的解析式为 = 43 +163. 过点 P 作 PMx 轴，垂足为 M，PM 交 AB 于点 N. 过点 B 作 BEPM，垂足为 E. 所以= + =12 +12 =12 ( + ) =32. 因为 A（4，0） ，B（1，4） ，所以=12 4 4 = 8. 因为OAB 的面积是PAB 面积的 2 倍， 所以2 32 = 8， =83. 设(， 432+163)(1 4)，则(， 43 +16
48、3). 所以 = (432+163) (43 +163) =83， 即432+203 163=83， 解得1= 2，2= 3. 所以点 P 的坐标为(2，163)或（3，4）. （3）解： = 记CDP，CPB，CBO 的面积分别为1，2，3.则12+23=+=2 如图，过点，分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点 (1，4)， (1，0) = 1 ， =， 设(， 432+163)(1 34 2， 理由如下：抛物线 = 2+ + 与 x 轴交于不重合的两点(1，0)，(2，0)， 1和2是方程2+ + = 0的两个根， 1+ 2= ，1 2= ， 又1= 32， = 42，
49、= 322， 34 2 =34 (42) 2 = 32 2， (34 2) = 322 (32 2) = 322+ 32+ 2 = 3(2+12)2+54 0 34 2 （3）解：抛物线 = 2+ + 顶点 P 的坐标为(2，424)，抛物线交 x 轴交于不重合的两点(1，0)，(2，0)，AB 的中点坐标为(32 3 32，0)， 2= 32 3 32， = 62+ 6 + 3 = 6( +12)2+32 0 ， 3 12， 2 1 13， 设直线 PD 的解析式为 = + ， 把 = 0代入 = 2+ + 可得点 D 坐标为(0，)， 将点 P (2，424) ，D(0，)代入直线 PD
50、的解析式 = + ，得： = 424= 2 + ， 解得： =2， 直线 PD 的解析式为： =2 + ， 点 E 是直线 PD 与 x 轴的交点 将 = 0代入直线 PD 的解析式 =2 + ，得：2 + = 0， 解得： = 2， 点 E 坐标为(2，0)，即 = | 2|， =12 =12| 2| | =2=262+6+3， 1=62+6+32= 3(1+ 1)2+ 3， 则抛物线1= 3(1+ 1)2+ 3的对称轴为直线：1= 1，开口向上， 当2 1 13时，1= 1时，1取最小值 3，1= 2时 ，1取最大值 6， 3 1 6， 16 13. 【解析】【分析】 （1）利用已知条件可
