1、 1 第二十四章圆第二十四章圆 一、单选题一、单选题 1下列说法： （1）长度相等的弧是等弧； （2）相等的圆周角所对的弧相等； （3）劣弧一定比优弧短； （4）直径是圆中最长的弦其中正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB于点 E，若 BE=5，AE=1，则弦 CD的长是（ ） A5 B5 C2 5 D6 3如图，点 A、B、C 是O 上的三点，若BOC80 ，则A的度数是（ ） A40 B60 C80 D100 4如果O的半径为6cm，圆心 O 到直线l的距离为d，且7cmd ，那么O 和直线l的位置关系是（ ） A相离 B相切 C相
2、交 D不确定 5已知O的半径为 3，点 P在O内，点 P到圆心的距离为 d，则 d 需要满足的条件（ ） A3d B3d C03d D无法确定 6如图，AB是O的直径，点 P 是O外一点，PO交O于点 C，连接 BC，PA.若P=36 ，且 PA与O相切，则此时B等于（ ） A27 B32 C36 D54 7如图，正六边形 ABCDEF 内接于O，则ADB的度数是（ ） 2 A15 B30 C45 D60 8如图，在 4 4 的方格中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，OA B、 、分别是小正方形的顶点，则AB的长度为（ ） A B2 C2 D4 9已知圆锥的底面半径为 3cm，母线长为 5
3、cm，则此圆锥的侧面积为 ( ) A15cm2 B20cm2 C25cm2 D30cm2 二、填空题二、填空题 10如图，在O中，AB是弦，OCAB于 C若 OA5，OC4，则 AB的长为_ 11筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理， 如图 1 筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O为圆心的圆， 如图 2 已知圆心 O 在水面上方， 且O被水面截得的弦 AB长为 6 米，O半径长为 4 米若点 C为运行轨道的最低点，则点 C 到弦 AB 所在直线的距离是_米 3 12 如图， 正方形ABCD的边长为4， 点E是正方形外一动点， 且点E在CD的右
4、侧，45AED，P为AB的中点，当E运动时，线段PE的最大值为_ 13如图，PA，PB 分别与O 相切于 A、B 两点，点 C 为劣弧 AB 上任意一点，过点 C 的切线分别交 AP，BP 于 D，E两点若 AP=8，则 PDE的周长为_ 14有一条弧的长为 2 cm，半径为 2 cm，则这条弧所对的圆心角的度数是_ 三、解答题三、解答题 15已知：ABC中，90ACB，E在AB上，以AE为直径的O与BC相切于D，与AC相交于F，连接AD求证：AD平分BAC 16如图，AB 是O的直径，点 D 是 AB 延长线上的一点，点 C 在O 上，且 AC=CD，ACD=120 (1)求证：CD是O的切
5、线； (2)若 AC=12，求 AD 的长； (3)若O的半径为 3，求图中阴影部分的面积 17如图，AB 是O的直径，CD 是O的一条弦，且 CDAB于 E，连接 AC，OC，BC 4 （1）求证：1=2； （2）若2,6BECD，求O的半径的长 18如图，点 E是三角形 ABC的内心，AE 的延长线和三角形 ABC的外接圆相交于点 D求证：DE=DB 19如图，AB 是O的直径，C是O上一点，ODBC于点 D，过点 C作O 的切线，交 OD的延长线于点 E，连结 BE （1）求证：BE是O的切线； （2）设 OE 交O 于点 F，若24 3DFBC，求线段 EF 的长； （3）在（2）的条
6、件下，求阴影部分的面积 20如图，直线 AB经过O上的一点 C，并且 OAOB，CACB，求证：直线 AB是O的切线 5 21如图， ABC 内接于O，B60 ，CD 是O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点，且 APAC, （1）求证：PA 是O 的切线； （2）若 AB4+3，BC23，求O 的半径 参考答案参考答案 1A 【解析】利用等弧的定义、圆周角定理、弧的定义及弦的定义分别判断后即可确定正确的选项 解： （1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误； （2）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故错误； （3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误； （4）直径是圆
7、中最长的弦，正确， 综上所述，四个说法中正确的只有 1 个， 故选：A 本题考查圆中有关定义，能够熟练掌握圆的有关知识是解答本题的关键 2C 【解析】连接 OC，由垂径定理得 CD=2CE，再由勾股定理求出 CE，即可得出答案 解：连接 OC， AB 是O的直径，弦 CDAB，BE=5，AE=1， CD=2CE，OEC=90 ，AB=AE+BE=6， OC=OA=3， OE=OA-AE=3-1=2， 6 在 RtCOE 中，由勾股定理得：2222325CEOCOE， CD=2CE=2 5， 故选：C 本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键 3A 【解析】直接根
8、据圆周角定理即可得出结论 解：BOC与A是同弧所对的圆心角与圆周角，80BOC， 1402ABOC， 故选：A 本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键 4A 【解析】根据直线和圆的位置关系的进行判断即可 解：O的半径为6cm，圆心 O 到直线l的距离为d，且7cmd ， dr， 直线和圆相离 故选：A 本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意：已知O 的半径为 r，如果圆心 O 到直线 l的距离是 d，当dr时，直线和圆相离，当 d=r 时，直线和圆相切，当 dr时，直线和圆相交 5C 【解析】由题意直接根据点与圆的
9、位置关系的判断方法进行分析即可得出答案 解：O的半径为 3，点 P在O内， 又d 为点 P 到圆心的距离， 03d. 故选：C 本题考查点与圆的位置关系，注意掌握点与圆的位置关系有 3 种设O的半径为 r，点 P 到圆心的距离OP=d，则有：点 P 在圆外 dr；点 P 在圆上 d=r；点 P在圆内 dr 6A 【解析】 根据切线的性质可得90PAO， 则可得54AOP 再根据圆周角定理可得1272BAOC，则可求出B的度数 AB 是O的直径，且 PA 与O相切 90PAO 又P=36 7 54AOP 1272BAOC 故选:A 本题考查了切线的性质及圆周角定理，熟练掌握这两个定理是解题的关键
10、 7B 【解析】连接 OB，由多边形是正六边形可求出AOB 的度数，再根据圆周角定理即可求出ADB 的度数 解：连接 OB， 六边形 ABCDEF是正六边形， AOB=3606=60 ， ADB=12AOB=12 60 =30 故选：B 本题考查了正多边形和圆及圆周角定理，根据题意作出辅助线构造出圆心角是解题的关键 8B 【解析】根据正方形的性质得，90 ,AOBOAOB，所以弧 AB 的长度等于以点 O 为圆心、OA 为半径的圆的周长的14，求解即可得. 由正方形的性质得，90 ,2 2AOBOAOB 以点 O 为圆心、OA 为半径的圆的周长为24 2LOA 由90AOB得，弧 AB 的长度
11、等于124L. 故答案为：B. 本题考查了圆的周长和弧长的计算、以及正方形的性质.构建一个圆，并得出弧 AB 的长度与圆的周长的关系是解题关键. 9A 解：圆锥的侧面积=底面周长 母线长 2， 所以圆锥的侧面积=2352=15 故选 A. 106 8 【解析】先根据垂径定理得到 ACBC，然后利用勾股定理计算出 AC，从而得到 AB 的长 解：OCAB， ACBC， 在 Rt OAC 中，2222543ACAOOC， 22 36ABAC 故答案为：6 本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键 1147 【解析】连接OC交AB于D，连接O
12、A，根据垂径定理得到12ADAB，根据勾股定理求出OD，结合图形计算，得到答案 解：连接OC交AB于D，连接OA， 点C为运行轨道的最低点， OCAB， 132ADAB（米)， 在Rt OAD中，2222437ODOAAD（米)， 点C到弦AB所在直线的距离(47)CDOCOD米， 故答案为：47 本题考查的是垂径定理的应用， 掌握垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧是解题的关键 1222 2 【解析】 连接AC，BD交于点O， 连接PO，EO， 根据A，C，E，D四点共圆， 可得12 22OEODBD，再根据22 2PEOP OE，可得当点O在线段PE上时，22 2PEOP O
13、E，即线段PE的最大值为22 2 解：如图，连接AC，BD交于点O，连接PO，EO， 9 45AED，45ACD， A，C，E，D四点共圆， 正方形ABCD的边长为4， 12 22OEODBD， P为AB的中点，O是BD的中点， 122OPAD， 22 2PEOPOE， 当点O在线段PE上时，22 2PEOP OE， 即线段PE的最大值为22 2， 故答案为：22 2 本题主要考查了正方形的性质、四点共圆、圆周角定理等知识的综合应用；熟练掌握正方形的性质，证明四点共圆是解决问题的关键 1316 解：DA、DC、EB、EC分别是O的切线， DA=DC，EB=EC， DE=DA+EB， PD+PE
14、+DE=PD+DA+PE+BE=PA+PB PA、PB 分别是O的切线， PA=PB=8， PDE的周长=16 故答案为 16 14180 【解析】根据弧长公式：180n Rl（弧长为 l，圆心角度数为 n，圆的半径为 R） ，代入即可求出圆心角的度数 10 由题意得，22180n， 解得：180n 即这条弧所对的圆心角的度数是 180 故答案为：180 本题考查了弧长的计算，解答本题关键是熟练掌握弧长的计算公式，及公式字母表示的含义 15见解析 【解析】 连接 OD， 根据切线的性质得 ODBC， 再证明 ODAC， 则ODA=DAC， 易得OAD =DAC 证明：连接 OD O切 BC于点
15、 D ODBC ACB =90 ODAC ODA=DAC OA=OD， ODA =OAD OAD =DAC，即 AD平分BAC 本题主要考查了切线的性质及平行线的性质和判定，连接圆心和切点作辅助线是解题的关键 16(1)见解析 (2)12 3AD (3)9 332S阴影 【解析】 （1）连接 OC，AC=CD，ACD=120 得A=D=30 ，根据圆周角定理求得COD=2A=60 ，则OCD=90 ，可证得 CD是O的切线； （2）设O的半径为 r，则 OC=OA=r，由OCD=90 ，D=30 得 OD=2OC=2r，在 RtDOC 中根据勾股定理列方程求出 r 的值，即可求出 AD 的长；
16、 （3）在 RtDOC中根据勾股定理列方程求出 CD 的长，而COB=60 ，由 S阴影=SCOD-S扇形COB 求出图中阴影部分的面积即可 (1) 11 证明：连接 OC AC=CD，ACD=120 ， A=D=30 OA=OC， ACO=A=30 OCD=ACD-ACO=90 即 OCCD， CD是O的切线 (2) 解：如图，设O的半径为 r，则 OC=OA=r， OCD=90 ，D=30 ， OD=2OC=2r， 222OCCDOD，且 CD=AC=12， 22212(2 )rr，解得4 3r 或4 3r （不符合题意，舍去） ， 2 4 38 3OD ，4 3OA， 8 34 312
17、3ADODOA (3) 如图，O的半径为 3， OC=3， OCD=90 ，D=30 ， OD=2OC=6， 2222633 3CDODOC， COB=60 ， 21609 333 33323602CODCOBSSS 阴影扇形 本题考查切线的判定、圆周角定理、含 30 角的直角三角形、勾股定理、扇形面积的计算等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键 17 （1）见解析； （2）134R 【解析】 （1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为AOC是等腰三角形，即可求证 （2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径 （1）证明： 12 AB 是O的直径，CDAB， BC=B
18、D A=2 又OA=OC， 1=A 12 （2）AB为O的直径，弦 CDAB，CD=6 CEO90 ，CEED3 设O的半径是 R，EB=2，则 OE=R-2 在 Rt OEC中，222(2)3RR 解得：134R O的半径是134R 本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的性质，关键是熟练运用垂径定理和圆周角的性质进行推理证明和计算 18见解析 【解析】由三角形的内心得出BADCAD，ABECBE，再由三角形的外角性质和圆周角定理得出DEBDBE，即可得出结论 解：点 E是三角形 ABC的内心， BADCAD， ABECBE， 又CBDCAD， BEDBADABECADCBE， DBECBDCBE
19、CADCBE， BEDDBE， BDE是等腰三角形， DEDB 13 本题考查了三角形的外心与内心、等腰三角形的判定等知识；本题综合性强，根据圆周角定理得出角的数量关系是解题的关键 19 （1）见解析； （2）EF=4； （3）1616 33 【解析】 （1）连接 OC，如图，根据垂径定理由 ODBC 得到 CD=BD，则 OE 为 BC 的垂直平分线，所以EB=EC，根据等腰三角形的性质得EBC=ECB，加上OBC=OCB，则OBE=OCE；再根据切线的性质得OCE=90 ，所以OBE=90 ，然后根据切线的判定定理得 BE 与O 相切； （2）设O 的半径为 R，则 OD=R-DF=R-2
20、，OB=R，在 Rt OBD，利用勾股定理解得 R=4，再利用含 30角的直角三角形边角关系可求得 OE，利用 EF=OE-OF 即可解答； （3）利用（2）中可求得BOC=120 ,然后利用=SOBECSS阴影四边形扇形OBC代入数值即可求解 （1）证明：连接 OC，如图， ODBC， CD=BD， OE 为 BC 的垂直平分线， EB=EC， EBC=ECB， OB=OC， OBC=OCB， OBC+EBC=OCB+ECB，即OBE=OCE， CE 为O 的切线， OCCE， OCE=90 ， OBE=90 ， OBBE， BE 与O 相切 （2）设O 的半径为 R，则 OD=R-DF=R
21、-2，OB=R， 在 Rt OBD 中，BD=12BC=2 3 OD2+BD2=OB2， 222(2)(2 3)RR，解得 R=4， OD=2，OB=4， OBD=30 ， BOD=60 ， 在 Rt OBE 中，BEO=30 ，OE=2OB=8， EF=OE-OF=8-4=4， 14 即 EF=4； （3）由OCD=OBD=30 和 ODBC 知：COD=BOD=60 ， BOC=120 ，又 BC=4 3，OE=8， =SOBECSS阴影四边形扇形OBC =2112048 4 32360 1616 33, 本题考查了切线的判定与性质、垂径定理、扇形面积的计算、含 30 角的直角三角形边角关
22、系、勾股定理等知识，熟练掌握每个知识点是解答的关键 20见解析 【解析】连接 OC，如图，由于 OA=OB，CA=CB，根据等腰三角形的性质得到 OCAB，然后根据切线的判定定理即可得到直线 AB是O的切线 证明：连接 OC， OA=OB，CA=CB， OAB是等腰三角形， 又 OC是底边 AB 上的中线， OCAB， AB 是O的切线 15 考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径） ，再证垂直 21(1)详见解析； （2）O 的半径为5 53 试题分析：（1） 连接 OA， 根据圆周角定理求出AOC，
23、再由 OA=OC 得出ACO=OAC=30 ， 再由 AP=AC得出P=30 ，继而由OAP=AOCP，可得出 OAPA，从而得出结论； （2）过点 C 作 CEAB 于点 E在 Rt BCE 中，B=60 ，BC=23，于是得到 BE=12BC=3，CE=3，根据勾股定理得到 AC=22AECE =5，于是得到 AP=AC=5解直角三角形即可得到结论 试题解析： （1）证明：连接 OA， B=60 ， AOC=2B=120 ， 又OA=OC， OAC=OCA=30 ， 又AP=AC， P=ACP=30 ， OAP=AOCP=90 ， OAPA， PA 是O 的切线； （2）解：过点 C 作 CEAB 于点 E 在 Rt BCE 中，B=60 ，BC=23， BE=12BC=3，CE=3， AB=4+3， AE=ABBE=4， 在 Rt ACE 中，AC=22AECE=5， AP=AC=5 在 Rt PAO 中，OA=5 33， O 的半径为5 33 16 考点：切线的判定
