1、第二十七章相似一、单选题1如图，在中，则的长为（）ABCD2如果，那么下列各式中不成立的是（ ）A；B；C；D3如图，点G、F分别是的边、上的点，的延长线与的延长线相交于点A，交于点E，则下列结论错误的是（）ABCD4如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是（ ）A3秒或48秒B3秒C45秒D45秒或48秒5如图，在ABC中，CD，BE是ABC的两条中线，则的值为（ ）ABCD6在小孔成像问题中
2、，如图（三）所示，若点O到的距离是，O到的距离是，则物体的长是像长的（）A2倍B3倍C倍D倍7如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AEEF，则下列结论正确的有（）BAE=30；CE2=ABCF；CF=CD；ABEAEFA1个B2个C3个D4个8如图，若P为ABC的边AB上一点（ABAC），则下列条件不一定能保证ACPABC的有（）AACP=BBAPC=ACBCD9在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，以点为位似中心，相似比为，把缩小，得到，则点的对应点的坐标为（）A或B或C或D或10下列命题不正确的是（）A两个位似图形一定相似B位似图形的对应边若不在同一直线上，那么一定平
3、行C两个位似图形的位似比就是相似比D两个相似图形一定是位似图形二、填空题11已知，则_12已知P、Q是线段的两个黄金分割点，且，则的长为_13若，则_14如图，ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（-1，0）以点C为位似中心，在x轴的下方作ABC的位似图形ABC，并把ABC放大到原来的2倍设点B的对应点B的横坐标是a，则点B的横坐标是_.15如图，在ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：ACPB；APCACB；AC2APAB；ABCPAPCB，添加其中一个条件能满足APC和ACB相似的条件有 _种情况16如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，则_ 三、解答题17如
4、图，抛物线（a为常数，）与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OBOC(1)求a的值；(2)点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第三象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、CD、BP，当PBACBD时，求m的值；(3)点K为坐标平面内一点，DK2，点M为线段BK的中点，连接AM，当AM最大时，求点K的坐标18如图，矩形ABCD中，AB20，BC10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.(1)求证：APQCDQ；(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒当t为何值时，DPAC?19从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射
5、线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线（1）如图，在中，为角平分线，求证：是的完美分割线；（2）如图，在中，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，求完美分割线的长20如图，ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，BACEDF90，DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合，将DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q（1）当点Q在线段CA上时，如图1，求证：BPECEQ；（2）当点Q在线段CA的延长线上时，如图2
6、，BPE和CEQ是否相似？说明理由；（3）在（2）的条件下，若BP1，CQ，求PQ的长21（2022湖南岳阳九年级期末）已知正方形ABCD中，点E是边CD上一点（不与C、D重合），将ADE绕点A顺时针旋转90得到ABF，如图1，连接EF分别交AC、AB于点P、G(1)请判断AEF的形状；(2)求证：(3)如图2，当点E是边CD的中点时，PE=1，求AG的长22锐角ABC中，点D，E分别在AC、AB上，AGBC与点G，AFDE于F，EAF=GAC（1）求证：AEFACG（2）求证：ADE=B（3）若AD=3，AB=5，求23如图，在ABC中， 点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，(1)求证：
7、；(2)若，EFC的面积为20， 求ABC的面积24如图，在中，为内部一点，且(1)求证：；(2)求证：；(3)若，求的面积25如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AEBC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且AFD=C(1)求证：；(2)若AB=8，求AE的长26如图，O是ABC的重心，AN，CM相交于点O，MON的面积是1，求ABC的面积参考答案1B【解析】由，得，进而即可求解解：在中，即：，AE=4，故选B本题主要考查平行线分线段成比例定理，列出比例式，是解题的关键2D试题分析：由题意分析可知：A中，故不选A；B中，故不选;C中，；D中，故选D考点：代数式的运算点评：本题属于对代
8、数式的基本运算规律和代数式的代入分析的求解3C【解析】根据平行线分线段成比例定理对各选项进行判断即可解：，交GA于点E，A，B，D正确，不符合题意；故选C本题考查了平行线分线段成比例定理找准对应关系是解题的关键4A试题分析：设运动的时间为x秒，则AD=xcm，AE=（122x）cm，根据ADE和ABC相似可得：或，则或，解得：x=3或x=48考点：动点问题、三角形相似5D【解析】根据点F是ABC的两条中线CD和BE的交点，推得DEBC，判断出DEFBCF，即可求出的值为多少解：点F是ABC的两条中线CD和BE的交点，DEBC，而且，DEFBCF，故选：D此题主要考查了三角形相似的判定和性质的应
9、用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似6B【解析】由相似三角形的性质：对应高的比等于相似比，即可解决设点O到AB的距离为h1，点O到CD的距离为h2，则h1=18cm，h2=6cm由题意知，OABOCD AB=3CD即物体的长是像长的3倍故选：B本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键7B图形中含有一线三等角模型，得 得 因为BE=CE,得CE2=ABCF；由得 得ABEAEF，故CE2=ABCF ABEAEF正确.故选B.
10、8D本题中隐含着一个条件，即A=A，选项A和B可以利用有两个角相等的两个三角形相似得到判定，符合题意；C选项可以利用两组对应边分别成比例，且夹角相等来判定两个三角形相似，符合题意；D选项无法进行判定，不符合题意故选D9B【解析】根据位似变换的性质，解析求解计算即可得到答案.解：以点为位似中心，相似比为，把缩小，A（4，2）则A点的对应点A1可以在第一象限，也可以在第三象限当A1在第一象限时，其坐标为（，）即（2，1）同理当A1在第三象限时，其坐标为（-2，-1）故选B.本题主要考查了位似变换的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.10D【解析】位似图形的对应边若不在同一条直线上，那
11、么一定平行；两个位似图形的位似比就是相似比；两个相似图形不一定是位似图形解：根据位似图形变换性质知：位似是相似的特殊形式；A、两个位似图形一定相似，正确，故不符合题意；B、两个位似图形一定相似位似图形的对应边若不在同一条直线上，那么一定平行，正确，故不符合题意；C、两个位似图形的位似比就是相似比，正确，故不符合题意；D、两个相似图形不一定是位似图形，错误，故符合题意故选：D本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，两个位似图形一定相似11#-0.5【解析】根据可设（k0），则，再代入化简即可求得答案解：，设（k0），则，故答案为：本题考查了比例的性质，正确表示出两数是解决本题的关键12【
12、解析】根据黄金分割点的概念求出BP、AQ，再根据线段之间的和差关系计算即可解：如图所示，P、Q是线段AB的两个黄金分割点，故答案为：本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义，熟记黄金比是解题的关键13【解析】根据等式性质，在两边都加上1，则问题可解解：根据等式的性质，两边都加上1，即可得，通分得故答案为：本题考查了等式的性质和分式的加减法，解答关键是根据相关法则进行计算14-（a+3）【解析】设点B的横坐标为x，然后表示出BC、BC的横坐标的距离，再根据位似比列式计算即可得解设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为-1-x，B、C间的横坐标的长度为a+1，ABC放大到原来的2倍得到AB
13、C，2（-1-x）=a+1，解得x=-（a+3）故答案为-（a+3）此题考查位似变换，坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键153【解析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对进行判断当ACP=B，A=A，符合题意；当APC=ACB，A=A，符合题意；当，即，A=A，符合题意；当，即，而PAC=CAB，以上条件不能判断APC和ACB相似，不符合题意；即有这三种情况可得出，故答案为：3本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应
14、相等的两个三角形相似16# 0.5【解析】根据位似图形的概念解答即可解：以点O为位似中心，把ABC放大为原图形的2倍得到ABC，ABCABC，且相似比为1：2， ，故答案为：本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键17(1)(2)(3)【解析】（1）先求得,点的坐标，进而根据即可求得的值；（2）过点作轴于点，证明是直角三角形，进而，根据相似的性质列出比例式进而代入点的坐标解方程即可；（3）接，取的中点，连接,根据题意，点在以为圆心，2为半径的圆上，则在以为圆心，为半径的圆上运动，根据点与圆的距离求最值，进而求得的解析式为，根据,设直线的解析式为，将点代
15、入求得，进而设，根据，进而根据勾股定理列出方程解方程求解即可（1）令，解得令，抛物线（a为常数，）与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线与轴的交点为解得（2）如图，过点作轴于点，是直角三角形，且又在抛物线上，整理得解得（舍）在第三象限，（3）如图，连接，取的中点，连接,是的中位线根据题意点在以为圆心，2为半径的圆上，则在以为圆心，为半径的圆上运动，当三点共线，且在的延长线上时，最大，如图，即设直线的解析式为，代入点，即解得直线的解析式为设直线的解析式为解得则的解析式为设点，解得（舍去）本题考查了二次函数综合运用，点与圆的距离求最值问题，相似三角形的性质与判定，正确
16、的添加辅助线并熟练掌握以上知识是解题的关键18（1）见解析；（2）当t5时，DPAC，理由见解析【解析】（1）根据矩形的性质可得CDAB，根据平行线的性质可得DCQ=QAP，PDC=QPA，进而可得判定APQCDQ；（2）首先证明ADQACD，根据相似三角形的性质可得，然后计算出AC长，进而可得AQ长，再证明AQPABC，可得，则，再解即可得到t的值（1）证明：四边形ABCD是矩形，CDAB，DCQ=QAP，PDC=QPA，APQCDQ；（2）解：当t=5时，DPAC；ADC=90，DPAC，AQD=AQP=ADC=90，DAQ=CAD，ADQACD，AC=，则AQ=，AQP=ABC=90，Q
17、AP=BAC，AQPABC，则，解得：t=5，即当t=5时，DPAC此题主要考查了相似三角形的判定和性质，关键是掌握有两个角对应相等的三角形相似，相似三角形对应边成比例19（1）见解析；（2）【解析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，证明，证明结论；（2）根据，得到，设，解方程求出，根据相似三角形的性质定理列式计算即可解：（1），不是等腰三角形，平分，是等腰三角形，是的完美分割线；（2），设，则，解得，本题考查的是相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键20（1）见解析；（2）BPECEQ；见解析；（3）【解析】（1）由BE
18、QBEPDEFEQCC及BCDEF45，所以BEPEQC，所以BPECEQ，结论得证；（2）同（1）方法；（3）根据BPECEQ，所以，因为 ,将BP1，CQ问题即可求解解：（1）证明：ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，BCDEF45，BEQBEPDEFEQCC，BEP45EQC45，BEPEQC，BC，BPECEQ；（2）BPECEQ；理由如下：BEQEQCC，即BEPDEFEQCC，BEP45EQC45，BEPEQC，又BC，BPECEQ；（3） BPECEQ，BECE，解得：BECE，BC，ABAC，AQCQAC，APABBP312，在RtAPQ中，PQ本题考查了等腰直角三角形的
19、性质，三角形外角的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，根据两角对应相等的两个三角形相似是解本题的关键.21(1)AEF是等腰直角三角形；(2)见解析；(3)【解析】（1）由旋转的性质得到，AF=AE，再证得FAE=90，即可判断AEF的形状；（2）利用正方形的性质只要证明APGFPA即可证得；（3）设正方形的边长为2a，根据点E时边CD的中点，结合旋转的性质得到，再证得AGPEGA，利用相似三角形的性质即可求得结论（1）由旋转的性质可知，AF=AE，四边形是正方形，FAE=90，AEF是等腰直角三角形。（2）证明：四边形ABCD是正方形，CAB=45，即PAG=45由（1）可得AFE
20、=45，PAG=AFP=45，又APG=FPA，APGFPA，；（3）解：设正方形的边长为2aADE绕点A顺时针旋转90得到ABF，ABF=D=90，DE=BF，ABC=90，FBC=180，F，B，C共线，DE=EC=BF=a，BC=2a，CF=3a，GAP=AEG=45，AGP=EGA，AGPEGA，本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理及相似三角形的判定和性质，熟练掌握已经学过的知识是解题的关键22（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】（1）根据条件，可得，又，证明即可；（2）由（1）知，证明得到AEF=D，再利用公共角相等即可证明ADE=B；（3）由（2）知，再证明，
21、运用相似三角形对应边的比相等即可求解出结果明：（1）如图AGBC与点G，AFDE于FAFE=AGC=90在AEF与ACG中AFE=AGC=90EAF=GACAEFACG（2）由（1）知，AEF=C在ADE与ABC中AEF=D，DAE=BAC（公共角）ADE=B（3）由（2）知在ADE与ABC中AEF=CDAE=BAC（公共角）ADEABC由（1）知又已知AD=3，AB=5，本题考查相似三角形判定和性质综合运用，需要有一定的推理论证能力，熟练掌握相似三角形判定和性质是解决本题的关键23(1)见解析(2)【解析】(1)由平行线的性质得出，即可证得结论；(2)由平行线的性质得出，易证EFCBAC，再
22、由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出结果（1）证明：， （2）解： 本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键24(1)见解析(2)见解析(3)【解析】（1）利用等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及等式的性质判断出PBC=PAB，进而得出结论；（2）由（1）的结论得出，进而得出，即可得出结论；（3）根据相似三角形的性质，可知，而由，可求出PC=1，PA=2，进而根据可求（1）证明：，又，又，；（2）证明：， 在中，（3）解：由（2）知，AC=，即，PC=1，PA=2， ， ， ， .本题主要考查相似三角形的判定与性质，还涉及等腰
23、三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，勾股定理，三角形的内角和等知识，综合性较强，熟练相似三角形的判定与性质是解题的关键25(1)见解析(2)【解析】（1）利用平行四边形的性质可得ADBC，从而得ADE=DEC，然后根据两角相等的两个三角形相似证明即可解答；（2）利用（1）的结论即可求出DE=12，然后在RtAED中，利用勾股定理进行计算即可解答（1）四边形ABCD是平行四边形，又（2）四边形ABCD是平行四边形，AB=CD=8，ADFDEC，DE=12，AEBC，AEB=90，ADBC，DAE=AEB=90，在RtAED中，由勾股定理得：本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的
24、性质和平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键2612【解析】由三角形的重心定理得出AO=2ON，CO=2MO，BN=CN，得出CON的面积=2MON的面积=2，得出AOC的面积=2CON的面积=4，求出ACN的面积=OCN的面积+AOC的面积=2+4=6，即可得出答案解：O是ABC的重心，AO=2ON，CO=2MO，BN=CNMON的面积是1，CON的面积=2MON的面积=2AOC的面积=2CON的面积=4.ACN的面积=OCN的面积+AOC的面积=2+4=6，ABC的面积=2ACN的面积=26=12本题考查了三角形的重心定理以及三角形面积，熟练掌握三角形的重心定理是解题的关键23
