1、 专题专题 16 16 圆圆 一、单选题一、单选题 1如图，在矩形中， = 10， = 12，为矩形内一点， = 90，连接，则的最小值为（ ） A8 B221 C10 D726161 2如图，点 A、B、C 在 上， = 54，则的度数是（ ） A54 B27 C36 D108 3如图， 是 的直径， = 10 ， 是半径 上的一动点， 交 于点 ，在半径 上取点 ，使得 = ， 交 于点 ，点 ， 位于 两侧，连结 交 于点 .点 从点 出发沿 向终点 运动，在整个运动过程中， 与 的面积和的变化情况是（ ） A一直减小 B一直不变 C先变大后变小 D先变小后变大 4 （2022 赣州模拟
2、）已知锐角AOB，如图， 在射线 OA 上取一点 C，以点 O 为圆心，OC 长为半径作 ， 交射线 OB 于点 D，连接 CD；（2）分别以点 C，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交 于点 M，N； （3）连接 OM，MN根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） AMCDN BCOMCOD C若 OMMN则AOB20 DMN3CD 5 （2022 江西模拟）斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，它可以通过分别以 1，1，2，3，5，为半径，依次作圆心角为 90 的扇形弧线画出来(如图)第 1 步中扇形的半径是 1 cm，按如图所示的方法依次画，则第 6 步所画扇形的弧长为( ) A
3、72 B4 C92 D132 6 （2022 八下 泰和期末）一个正多边形，它的每一个外角都等于 40 ，则该正多边形是（ ） A正六边形 B正七边形 C正八边形 D正九边形 7 （2022 九下 乐平期中）如图，为直径， = 35 ，则的度数为（ ） A35 B45 C55 D65 8 （2021 九上 南昌期末）如图，AD 为 的直径， = 8， = ，则 AC 的长度为（ ） A42 B22 C4 D33 9（2021九上 宜春期末）如图， AE是四边形ABCD外接圆 的直径， = ， = 50， 则的度 数为（ ） A50 B55 C60 D65 10 （2021 九上 南昌期末）如图
4、，半径为 10 的扇形中， = 90，为弧上一点， ， ，垂足分别为，若 = 40，则图中阴影部分的面积为（ ） A403 B1109 C1009 D10 二、填空题二、填空题 11 （2021 九上 南昌期末）如图，在O 中，OCAB，ADC=32 ，则OBA 的度数是 12 （2022 瑞金模拟）如图，直线 AB，AD 与O 分别相切于点 B、D 两点，C 为O 上一点，且BCD140 ，则A 的度数是 13 （2021 九上 章贡期末）如图， 在 中， AD 为直径， 弦 于点 H， 连接 OB 已知 = 2， = 30动点 E 从点 O 出发，在直径 AD 上沿路线 以 1cm/s 的
5、速度做匀速往返运动，运动时间为当 = 30时，的值为 14 （2021 九上 南昌期末）如图，等边 的边长为 1，以为圆心，为半径画弧，交的延长线于，再以为圆心，为半径画弧，交的延长线于，再以为圆心，为半径画强，交的延长线于，则由弧，弧，优弧及线段围成的图形（）的周长为 15 （2022 九下 乐平期中）如图，在ABC 中，ABAC，AD 是 BC 边上的中线，分别以点 A、C 为圆心，以大于12AC 长为半径画弧，两弧相交于点 EF，直线 EF 与 AD 交于点 P，若 PA2，则ABC 外接圆的面积为 16 （2021 九上 上高月考）九章算术中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小，以
6、锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深 1寸，锯道 = 1尺（1 尺=10 寸） ，则该圆材的直径为 寸. 17 （2022 寻乌模拟）如图，是 的直径，= ，若 = 50，则圆心角的度数是 18 （2021 九上 上高月考）如图，P 是抛物线 yx24x+3 上的一点，以点 P 为圆心、1 个单位长度为半径作P，当P 与直线 y0 相切时，点 P 的坐标为 19 （2021 九上 宜春期末）圆锥的母线长为4，底面半径为3，那么它的侧面展开图的圆心角是 度. 20 （2021 九上 宜春期末）如图， 半圆 O 的直径 = 12， 在中
7、， = 90， = 30， = 12半圆 O 以 2cm/s 的速度从左向右运动，当圆心 O 运动到点 B 时停止，点 D、E 始终在直线 BC 上 设运动时间为 （s） ， 运动开始时， 半圆 O 在 的左侧， = 8 当 = 时， 的一边所在直线与半圆 O 所在的圆相切 三、综合题三、综合题 21（2022 石城模拟）如图， 在 中， = = 8 ， 以 为直径的 分别与 ， 交于点 ， ，过点 作 ，垂足为点 （1）求证：直线 是 的切线； （2）求证： 2= 4 ； （3）若点 是半圆 的一个三等分点，求出阴影部分的面积 22 （2022 赣州模拟）已知，AB 是O 的直径，C 是O
8、上半圆弧上一动点，D 是 的中点，弦 AC与弦 BD 交于点 E过点 C 作O 的切线 CF 交射线 AB 于点 F 图 1 图 2 图 3 （1）如图 1当AFC50 时，求ABD 的度数 （2）如图 2，CF/DB，求AFC 的度数 （3）如图 3，连接 BC，E 是 BD 的中点，已知 AB6，求 BC 的长和CBF 的面积 23 （2022 江西模拟）如图 1 是一扇门打开后的情景示意图，图 2 为底面 BEB的平面示意图，其中门的宽度 AB1 m，EAEB，A 到墙角 E 的距离 AE0.5 m设点 E，A，B 在一条直线上，门打开后被与门所在墙面垂直的墙阻挡，边 BC 靠在墙 BC
9、的位置 （1）求EAB的度数； （2）打开门后，门边上的点 B 在地面扫过的痕迹为，求与墙角 EB，EB围成区域的面积 (结果精确到 0.1 m2；参考数据：3.14，31.73) 24（2021九上 章贡期末）如图， 内接于圆O， AB为直径， 与点D， E为圆外一点， ，与 BC 交于点 G，与圆 O 交于点 F，连接 EC，且 = （1）求证：EC 是圆 O 的切线； （2）当 = 22.5时，连接 CF， 求证： = ； 若 = 1，求线段 FG 的长 25 （2022 九下 乐平期中）一抽纸纸筒被安装在竖直墙面上，图 1 是其侧面示意图，其中 于点D， 于点 A， 于点 B， = =
10、 20， = 5，是以点 E 为圆心，长为半径的圆上的一段弧，/ （1）求所在圆的半径； （2）如图 2当一卷底面直径为10的圆柱形纸巾恰好能放入纸筒内时，求纸筒盖要打开的最小角的大小 （参考数据：sin11.54 15，cos78.46 15，tan11.31 15） 26 （2022 寻乌模拟）如图，的点，在 上， 与相交于点，连接， = 30， = 45， = 2 （1）求圆心到弦的距离； （2）若 + = 180 求证：是 的切线； 求的长 27 （2021 九上 南昌期末）如图，在梯形中， ， = 90，以为直径作 ，恰与另一腰相切于点，连结、. （1）求证： ； （2）若梯形的面积
11、是 48，设 = ， = ，且 + = 14，求的长. 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】A 【解析】【解答】解： = 90 点 P 在以 AB 为直径的圆上，设圆心为点 E 如图：在圆 E 上任取一点 F，连接 EF、DF、EP、PD 当点 E、P、D 在一条直线上时，PD 最小 理由如下： + = + ，EP=EF (当且仅当点 F 与点 P 重合时取等号) 此时 PD 最小 = 10，点 E 是 AB 的中点，EP 是圆的半径 = =12 = 5 在 中， = 2+ 2= 52+ 122= 13 = = 13 5 = 8 故 PD 的最小值为 8 故答案为：A 【分析】先求出 ，再利
12、用勾股定理求出 ED=13，最后求出 PD 的值即可。 2 【答案】C 【解析】【解答】解： = 54， = 2 = 108， OA=OB， BAO=ABO=12 (180 ) = 36. 故答案为：C. 【分析】先求出 = 2 = 108，再根据 OA=OB，计算求解即可。 3 【答案】B 【解析】【解答】连接 OC，OD，PD，CQ设 PC=x，OP=y PCAB，QDAB， CPO=OQD=90 ， PC=OQ，OC=OD， RtOPCRtDQO， OP=DQ=y， 设 PEa，则 EQxya， CPEDQE， = 即 += 解得：ax， PEx，EQy， S 面积和=SPEC+SDEQ
13、= 122+122 在CPO 中，由勾股定理得：CP2+OP2=OC2， 即 x2+y2=25， S 面积和=SPEC+SDEQ= 122+122 = 12(2+ 2) = 252 与 的面积和始终不变 故答案为：B 【分析】连接 OC、OD，由三角形全等的判定及性质可得 OPDQ，再利用相似三角形的判定与性质定理可得 PEPC、DQEQOP，则两三角形的面积和转化为半径平方的一半。 4 【答案】D 【解析】【解答】解：由作法得 MCCDDN，所以 A 选项的结论不符合题意； 当 OMMN， 而 OMON， 此时MON 为等边三角形， MON60 ， AOB 13 MON20 ，所以 C 选项
14、的结论不符合题意； 由题意得：OMOCOD， 在COM 和COD 中， = = = ， COMCOD（SSS） ，所以 B 选项不符合题意； MC+CD+DNMN， 3CDMN，所以 D 选项符合题意 故答案为：D 【分析】在同一个圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等。 5 【答案】B 【解析】【解答】解：斐波那契数列为 1，1，2，3，5， 第 6 步半径为 3+5=8（cm） ； 由题意得：第 6 步所画扇形的半径 8cm， 第 6 步所画扇形的弧长908180= 4（cm） ， 故答案为：B 【分析】先求出第 6 步所画扇形的半径 8cm，再利用弧长公式求解即可。 6 【答案】
15、D 【解析】【解答】解：360 40=9. 故答案为 D. 【分析】利用正多边多边形的边数=外角和 一个外角的计算方法求解即可。 7 【答案】C 【解析】【解答】解：CB 是直径， BAC=90 ， ABC=35 ， ACB=90 -35 =55 ， D=C=55 ， 故答案为：C 【分析】 先利用圆周角的性质和三角形的内角和求出ACB=90 -35 =55 ， 再利用圆周角的性质可得D=C=55 。 8 【答案】A 【解析】【解答】解：连接 CD = AC=DC 又AD 为 的直径 ACD=90 2+ 2= 2 22= 2 =22 =22 8 = 42 故答案为：A 【分析】先求出 AC=D
16、C，再求出ACD=90 ，最后利用勾股定理计算求解即可。 9 【答案】D 【解析】【解答】解：连接 OC、OD， B=50 ， AOC=2B=100 ， AD=CD， = ， AOD=COD= 12AOC=50 ， OA=OD， OAD=ODA， DAE=（180 50 ） 2=65 ， 故答案为：D 【分析】先求出= ，再求出OAD=ODA，最后计算求解即可。 10 【答案】C 【解析】【解答】解：如图，连接 OC， AOB90 ，CDOA，CEOB， 四边形 CDOE 是矩形， ODCE，DEOC，CDOE， CDE40 ， DEOCDE40 ， 在DOE 和CEO 中， DOECEO（S
17、SS） ， COBDEO40 ， 图中阴影部分的面积扇形 OBC 的面积， S扇形OBC401023601009， 图中阴影部分的面积为1009， 故答案为：C 【分析】先求出DEOCDE40 ，再利用 SSS 证明DOECEO，最后利用扇形面积公式求解即可。 11 【答案】26 【解析】【解答】解：在O 中，OCAB， = ，BOC+OBA=90 ， BOC=2ADC=64 ， OBA=90 BOC=90 64 =26 ， 故答案为：26 【分析】先求出 = ，BOC+OBA=90 ，再求出BOC=64 ，最后求OBA 的度数即可。 12 【答案】100 【解析】【解答】过点 B 作直径 B
18、E，连接 OD、DE B、C、D、E 共圆，BCD=140 ， E=180 -140 =40 BOD=80 AB、AD 与O 相切于点 B、D， OBA=ODA=90 A=360 -90 -90 -80 =100 【分析】过点 B 作直径 BE，连接 OD、DE，利用圆内接四边形的性质可得E=180 -140 =40 ，再利用圆周角的性质可得BOD=80 ，然后根据切线的性质可得OBA=ODA=90 ，最后利用四边形的内角和可得A=360 -90 -90 -80 =100 。 13 【答案】1s 或 3s 或 6s 【解析】【解答】解：OB=2，OBC=30 ， ， OH=12 = 1， 当点
19、 E 从 O 运动到 D 的过程中， 点 E 运动到点 H 时，OBE=30 ， 1t=1，t=1s， 点 E 从点 O 运动到点 D，则 t=2 1=2s， 当点 E 从 D 运动到 O 的过程中， 点 E 运动到点 H 时，OBE=30 ， 1（t-2）=1，t=3s， BOH=90 -OBH=90 -30 =60 ， OBE=30 ， BEO=BOH-EBO=30 ， OE=OB=2=OA， 点 E 运动到点 A 时，EBO=30 ， AD=2AO=4， 1（t-2）=4，t=6s， 当 = 30时，的值为 1s 或 3s 或 6s 【分析】分类讨论，结合图形，列方程计算求解即可。 14
20、 【答案】6+3 【解析】【解答】 为等边三角形 = = = 60 = 180 60 = 120 =1201180=23 = 180 = 120， = + = 2 =1202180=43 = 180 = 120 优弧 EF 对应的角度 = 360 = 240 = + = + = 3 =2403180= 4 = = 3 周长为 23+43+ 4 + 3 = 6 + 3 故答案为：6+3 【分析】先求出 =1201180=23，再利用弧长公式计算求解即可。 15 【答案】4 【解析】【解答】ABAC，AD 是 BC 边上的中线， AD 垂直平分 BC， 又分别以点 A、C 为圆心，以大于12AC
21、长为半径画弧，两弧相交于点 EF， EF 垂直平分 AC， 直线 EF 与 AD 相交于点 P， 点 P 即为ABC 外接圆圆心， PA 为ABC 外接圆的半径， ABC 外接圆的面积=4， 故答案为：4 【分析】先求出点 P 即为ABC 外接圆圆心，再求出圆的半径为 PA 的长，最后利用圆的面积公式求解即可。 16 【答案】26 【解析】【解答】如图，设 的半径为，过 O 作 ODAB 于 D，延长 OD 与 交于 E，连接 AO， 在 RtAOD 中， =12 = 5寸， = = 1 ， = ， 由勾股定理可得2+ 2= 2，即52+ ( 1)2= 2， 解得 = 13， 该圆材的直径为
22、26 寸， 故答案为 26. 【分析】设 的半径为，过 O 作 ODAB 于 D，延长 OD 与 交于 E，连接 AO，再利用勾股定理列出方程52+ ( 1)2= 2求解即可。 17 【答案】40 【解析】【解答】解：= ， = ， = 50， = 2 = 100， AD 是直径， + + = 180 ， = =12（180 100）= 40， 故答案为：40 【分析】先利用圆周角的性质可得 = 2 = 100，再利用 = 和平角的性质可得 = =12（180 100）= 40。 18 【答案】（2+2，1）或（22，1）或（2，1） 【解析】【解答】如图所示： 当 y=1 时，x2-4x+3
23、=1， 解得：x=22， P（2+2，1）或（2-2，1） ， 当 y=-1 时，x2-4x+3=-1， 解得：x1=x2=2， P（2，-1） ， 则点 P 的坐标为： （2+2，1）或（2-2，1）或（2，-1） 故答案是： （2+2，1）或（22，1）或（2，1）. 【分析】将 y=-1 和 y=1 分别代入方程求解出 x 的值，即可得到答案。 19 【答案】270 【解析】【解答】圆锥底面半径是 3， 圆锥的底面周长为 6， 设圆锥的侧面展开的扇形圆心角为 n ， 4180= 6， 解得 n=270 故答案为 270 【分析】先求出圆锥的底面周长为 6，再求出4180= 6，最后计算求
24、解即可。 20 【答案】1 或 4 或 7 【解析】【解答】如图，当点 C 与点 E 重合时，AC 与半圆 O 所在的圆相切， = 12， = 6， = 8 6 = 2()，即点 O 运动了 2cm， =22= 1()， 当 AB 与半圆 O 所在的圆相切时， 过点 C 作 交于点 F， = 2， = 30， =12 = 6， = = ，即点 O 与点 C 重合， 点 O 运动了 8cm， =82= 4()， 当点 C 与点 D 重合时，AC 与半圆 O 所在的圆相切， = 6 + 8 = 14()，即点 O 运动了 14cm， =142= 7()， 故答案为：1 或 4 或 7 【分析】分类
25、讨论，结合图形，根据 半圆 O 的直径 = 12，在中， = 90， = 30， = 12 计算求解即可。 21 【答案】（1）证明：如图，连接 OD， = ， = ， = ， = ， = ， ， ， ， 直线 是 的切线； （2）证明：如图，连接 ， 为 直径， = = 90 ， ， = 90 = ， 而 = ， ， = ，即 2= ， = ， = = 90 ， =12 ， (12)2= ， 2= 4 ； （3）解：连接 ，作 于点 ， 点 是半圆 的一个三等分点， = 60 或 = 120 ， 当 = 60 时， = = 60 ， = = 4 ， =12 =12 60 =12 4 4 32
26、= 43 ， 阴影= 扇形 =6042360 43 =83 43 当 = 120 时，则 = 30 ， = 2 ， = cos30 = 23 ， = 43 ， =12 =12 43 2 = 43 阴影= 扇形 =1204236043 =163 43 综上所述，阴影部分的面积是 83 43 或 163 43 【解析】【分析】（1） 连接 OD， 先证明 OD/AC， 再结合 可得 ， 从而得到直线 DF 是 的切线； （2）连接 AD，先证明 可得 = ，即 2= ，再证明 =12可得(12)2= ，再化简可得2= 4 ； （3）连接 ，作 于点 ，分两种情况：当 = 60 时，当 = 120
27、时，则 = 30 ，再利用割补法分别求出阴影部分的面积即可。 22 【答案】（1）解：如图 1，连接 OC，OD， CF 是O 的切线， OCF90 ， AFC50 ， COF40 ， AOC140 ， D 是 的中点， AOD 12 AOC 12 140 70 ； ABD 12 AOD 12 70 35 （2）解：如图 2，连接 OC， CF 是O 的切线， OCCF， CF/DB， OCBD， = ， D 是 的中点， = = ， BOC 13 180 60 ， AFC90 60 30 （3）解：如图 3，连接 OC、BC，连接 OD 交 AC 于点 M， D 是 的中点， ODAC， A
28、MMC， AOBO， OM 是ABC 的中位线， OM 12 BC， AB 为直径， ACB90 ， OD/BC， MDECBE， E 是 BD 的中点， DEBE， DEMBEC， DMEBCE（ASA） ， DMBC， OM 12 DM， OM+DMOD 12 AB 12 63， 3OM3， OM1， BC2， AC 2 2 62 22 4 2 ， ACO+OCB=BCF+OCB=90 ， ACO=BCF， OA=OC， ACO=A， A=BCF， F=F， ACFCBF， SACF：SCBF=(4 2 ：2)2=8 ：1， SABC=4 2 ， SBCF= 427 【解析】【分析】 （1
29、）连接 OC、OD，由切线的定义可求出 COF ，结合已知条件可求出 AOD ，而 ABD 恰好是AOD 的一半； （2） 连接 OC， 由垂径定理可推导出点 C、 D 是半圆 AB 的三等分点， 则 COF 可求， 则 F 可求； （3）先由垂径定理和三角形全等的判定，结合三角形中位线的性质，可得出 BC 与直径的数量关系，再应用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可。 23 【答案】（1）解：EAEB， AEB90 ， ABAB1 m，AE0.5 m， cosEAB12， EAB60 （2）解：在 RtAEB中，BEABsin 6032， EAB60 ， BAB180 60 120 ， S
30、SEABS扇形BAB121232120123603830.221.051.3 m2； 答：与墙角 EB，EB围成区域的面积约为 1.3 m2 【解析】【分析】 （1）利用 cosEAB12，再利用特殊角的三角函数值可得EAB60 ； （2）先求出BAB180 60 120 ，再利用扇形面积公式可得 S扇形BAB=12012360，最后利用割补法可得 SSEABS扇形BAB121232120123603830.221.051.3。 24 【答案】（1）证明：如图，连接 OC， = ， = ， ， + = 90， = ， = ， = ， + = + = 90， ， 是圆的切线； （2）解：证明：
31、= 22.5， = ， = 45， ， = 45， = ， = ； 作 于， 为直径， = 90， = 22.5， = 90， = = 67.5， = 67.5， = 45， = ， = = 67.5， = ， = ， = ， = ， ， ， = ， 在 和 中， = = ， ()， = = 1， = 2 = 2 【解析】【分析】 （1）先求出 + = 90， 再求出 ， 最后证明即可； （2）先求出 = 45， 再求出 = ， 最后证明即可； 根据题意求出 = 67.5， 再利用全等三角形的判定与性质求解即可。 25 【答案】（1）解：如图 1，过点作 于点， ， 四边形是矩形 = = 20
32、， = = 5 = = 15 中， = 2+ 2= 25 ，/ / = = = = = 25 15=2525 解得 =758 即所在圆的半径为758cm （2）解：连接，如图 2， 由旋转可得 = = ， = sin =525=15 sin11.54 15 = 11.54 = 2 = 23.08 【解析】【分析】 （1）过点作 于点，证出四边形是矩形，在 中，利用勾股定理得出 CD 的值，再证出 ，得出=，由 = ，得出 DE 的值，代入求解即可； （2）连接，由旋转可得 = ，得出 ，由sin11.54 15，得出 = 11.54，代入求解即可。 26 【答案】（1）解：连接，过点作 于点，
33、 内接于 ， = 30， = 60， = ， = 2， 为等边三角形， = = = 2， ， = 90， = 30， =22， = 3 =62，即圆心到的距离为62； （2）解：由（1）得为等边三角形， = 60， + = 180， + = 180， = ， = ， ， = = 30， = 90， 是 的切线； ， =，即2= ， 过点作 于点， = = 90， = 30， = 45， = 2， =22 = 1， = 2 = 2， = = 30， = 45， = = 75， = = 2， 设为，则(2)2= (2 + )， 解得： = 3 1， = 3 1（ 0） ， = 3 1 【解析】【分
34、析】 （1）连接 OD，OC，过点 O 作 OEDC 于点 E，再证明ODC 为等边三角形，可得DOE=30 ，再利用含 30 角的直角三角形的性质可得 = 3 =62，从而得到圆心 O 到 DC 的距离为62； （2）先证明 可得 = = 30，再求出 = 90，即可得到 BC 是 的切线； 过点 D 作 DFAC 于点 F，先求出 = 2 = 2， = = 2，再利用勾股定理列出方程求解即可。 27 【答案】（1）证明：如图，连接 OE， CD 是O 的切线， OECD， 在 RtOAD 和 RtOED， = = RtOADRtOED（HL） AOD=EOD= 12AOE， 在O 中，AB
35、E=12AOE， AOD=ABE， ODBE（同位角相等，两直线平行） （2）解：与（1）同理可证：RtCOERtCOB， COE=COB=12BOE， DOE+COE=90 ， COD 是直角三角形， SDEO=SDAO，SOCE=SCOB， S梯形ABCD=2（SDOE+SCOE）=2SCOD=OCOD=48， 即 xy=48， 又x+y=14， x2+y2=（x+y）2-2xy=142-2 48=100， 在 RtCOD 中， CD=2+ 2=2+ 2=100=10， CD=10 【解析】【分析】 （1）先求出 OECD， 再利用全等三角形的判定与性质求解即可； （2）先求出 COD 是直角三角形， 再利用勾股定理计算求解即可
