1、 专题专题 17 17 圆圆 一、单选题一、单选题 1下列命题是真命题的是（ ） A对顶角相等 B平行四边形的对角线互相垂直 C三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点 D三角分别相等的两个三角形是全等三角形 2如图，PA，PB 是 的切线，A、B 为切点，若 = 128，则的度数为（ ） A32 B52 C64 D72 3 （2022 怀化）下列说法正确的是（ ） A相等的角是对顶角 B对角线相等的四边形是矩形 C三角形的外心是它的三条角平分线的交点 D线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 4 （2022 娄底）如图，等边 内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和
2、白色部分关于等边 的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与 的面积之比是（ ） A318 B318 C39 D39 5 （2022 邵阳）如图，O 是等边ABC 的外接圆，若 AB=3，则O 的半径是（ ） A32 B32 C3 D52 6 （2022 株洲）如图所示，等边 的顶点在上，边、与分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为（ ） A115 B118 C120 D125 7 （2022 湘西）一个正六边形的内角和的度数为（ ） A1080 B720 C540 D360 8 （2022 益阳）如图， 在ABC 中， BD 平分ABC， 以点 A 为圆心， 以任意长
3、为半径画弧交射线 AB，AC 于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点 E，作射线 AE，交 BD 于点 I，连接 CI，以下说法错误的是（ ） AI 到 AB，AC 边的距离相等 BCI 平分ACB CI 是ABC 的内心 DI 到 A，B，C 三点的距离相等 9 （2021 湘西）如图，面积为 18 的正方形 内接于O，则 的长度为（ ） A9 B92 C32 D94 10 （2021 娄底）如图，直角坐标系中，以 5 为半径的动圆的圆心 A 沿 x 轴移动，当 与直线 ： =512 只有一个公共点时，点 A 的坐标为（ ） A(12，0) B(13，0) C(12，
4、0) D(13，0) 二、填空题二、填空题 11（2022 长沙）如图， A、 B、 C 是 上的点， ， 垂足为点 D， 且 D 为 OC 的中点， 若 = 7， 则 BC的长为 . 12（2022 岳阳）如图， 在 中， 为直径， = 8， 为弦， 过点的切线与的延长线交于点， 为线段上一点（不与点重合） ，且 = . （1）若 = 35，则的长为 （结果保留） ； （2）若 = 6，则= . 13 （2022 郴州）如图，点 A，B，C 在 上， = 62 ，则 = 度. 14 （2022 衡阳）如图，用一个半径为 6cm 的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了 120 ，假设绳索粗细不计，且
5、与轮滑之间没有滑动，则重物上升了 cm .（结果保留 ） 15 （2022 株洲）中国元代数学家朱世杰所著四元玉鉴记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”.“方田一段，一角圆池占之.”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”，如图所示.问题：此图中，正方形一条对角线与相交于点、（点在点的右上方） ，若的长度为 10 丈，的半径为 2 丈，则的长度为 丈. 16 （2022 衡阳模拟）圆锥体的高为 4cm，圆锥的底面半径为 3cm，则该圆锥的表面积为 . 17 （2022 永州）如图，是 的直径，点、在 上， = 30，则 = 度. 18 （202
6、2 郴州）如图，圆锥的母线长 = 12 ，底面圆的直径 = 10 ，则该圆锥的侧面积 等于 2 .（结果用含 的式子表示） 19 （2022 怀化）如图，AB 与O 相切于点 C，AO=3，O 的半径为 2，则 AC 的长为 . 20 （2021 娄底）如图所示的扇形中，已知 = 20， = 30，= 40 ，则 = . 三、综合题三、综合题 21 （2022 湘西）如图，在 RtABC 中，B90 ，AE 平分BAC 交 BC 于点 E，O 为 AC 上一点，经过点 A、E 的O 分别交 AB、AC 于点 D、F，连接 OD 交 AE 于点 M （1）求证：BC 是O 的切线 （2）若 CF
7、2，sinC35，求 AE 的长 22 （2022 常德）如图，已知是 的直径， 于，是上的一点， 交 于， ，连接交于. （1）求证：CD 是 的切线； （2）若 = 8， = 1，求、的长. 23 （2022 长沙）如图，四边形 ABCD 内接于 ，对角线 AC，BD 相交于点 E，点 F 在边 AD 上，连接 EF. （1）求证： ； （2）当= ， = 2时，则= ；+= ；1+11= .（直接将结果填写在相应的横线上） （3）记四边形 ABCD， ， 的面积依次为，1，2，若满足 =1+2，试判断， ， 的形状，并说明理由. 当= ， = ， = ， = 时，试用含 m，n，p 的式
8、子表示 . 24 （2022 郴州）如图，在 中， = .以 AB 为直径的 与线段 BC 交于点 D，过点D 作 ，垂足为 E，ED 的延长线与 AB 的延长线交于点 P. （1）求证：直线 PE 是 的切线； （2）若 的半径为 6， = 30 ，求 CE 的长. 25 （2022 湘潭）已知 A（3，0） 、B（0，4）是平面直角坐标系中两点，连接 AB. （1）如图，点 P 在线段 AB 上，以点 P 为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点 P 的反比例函数表达； （2）如图，点 N 是线段 OB 上一点，连接 AN，将AON 沿 AN 翻折，使得点 O 与线段 AB 上的点 M 重合，
9、求经过 A、N 两点的一次函数表达式. 26 （2022 衡阳）如图， 为 的直径，过圆上一点 作 的切线 交 的延长线与点 ，过点 作 交 于点 ，连接 . （1）直线 与 相切吗？并说明理由； （2）若 = 2 ， = 4 ，求 的长. 27（2022 永州）如图， 已知， 是 的直径， 是 的切线， 点在的延长线上， ， 交于点， = （1）求证： = ； （2）求证： = ； （3）若 的面积1= 4，求四边形的面积. 28 （2022 益阳）如图，C 是圆 O 被直径 AB 分成的半圆上一点，过点 C 的圆 O 的切线交 AB 的延长线于点 P，连接 CA，CO，CB （1）求证：A
10、COBCP； （2）若ABC2BCP，求P 的度数； （3）在（2）的条件下，若 AB4，求图中阴影部分的面积（结果保留 和根号） 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】A 【解析】【解答】解：A、对顶角相等是一个正确的命题，是真命题，故 A 选项符合题意； B、菱形的对角线互相垂直，非菱形的平行四边形的对角线不垂直，所以平行四边形的对角线互相垂直是一个假命题，故 B 选项不符合题意； C、三角形的内心是三角形内角平分线的交点，不一定是三边的垂直平分线的交点，则三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点是一个假命题，故 C 选项不符合题意； D、三角分别相等的两个三角形不一定全等，故 D 选项
11、不符合题意. 故答案为：A. 【分析】根据对顶角的性质可判断 A；根据平行四边形的性质可判断 B；根据内心的概念可判断 C；根据全等三角形的判定定理可判断 D. 2 【答案】B 【解析】【解答】解：PA，PB 是 的切线， ， ， = = 90， = 128， 则 = 360 90 90 128 = 52. 故答案为：B. 【分析】根据切线的性质可得 OAPA，OBPB，根据垂直的概念可得PAO=PBO=90 ，然后结合四边形内角和为 360 进行计算. 3 【答案】D 【解析】【解答】解：A、根据对顶角的概念可知，相等的角不一定是对顶角，故该选项不符合题意； B、根据矩形的判定“对角线相等的
12、平行四边形是矩形”可知该选项不符合题意； C、根据三角形外心的定义，外心是三角形外接圆圆心，是三角形三条边中垂线的交点，故该选项不符合题意； D、根据线段垂直平分线的性质可知该选项符合题意. 故答案为：D. 【分析】有公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线的两个角互为对顶角，据此可判断 A；根据矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”可判断 B；根据“外心是三角形外接圆圆心，是三角形三条边中垂线的交点”可判断 C；根据线段垂直平分线的性质“ 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ”可判断 D. 4 【答案】A 【解析】【解答】解：令内切圆与 BC 交于点 D，内切圆
13、的圆心为 O，连接 AD，OB， 由题可知，圆中黑色部分的面积是圆面积的一半， 令 BC=2a，则 BD=a， 在等边三角形 ABC 中 ADBC，OB 平分ABC， OBD=12ABC=30 ， 由勾股定理，得 AD=3， 在 RtBOD 中，OD=tan30 BD=33， 圆中的黑色部分的面积与 的面积之比为(33)2121223=318. 故答案为：A. 【分析】令内切圆与 BC 交于点 D，内切圆的圆心为 O，连接 AD，OB，由题可知：圆中黑色部分的面积是圆面积的一半，令 BC=2a，则 BD=a，根据等边三角形的性质可得 ADBC，OBD=30 ，利用勾股定理可得 AD，根据三角函
14、数的概念可得 OD，然后结合圆的面积公式进行计算. 5 【答案】C 【解析】【解答】解：作直径 AD，连接 CD，如图， ABC 为等边三角形， B=60 ， AD 为直径， ACD=90 ， D=B=60 ， DAC=30 ， CD=12AD， AD2=CD2+AC2，即 AD2=(12AD)2+32， AD=23， OA=OB=12AD=3. 故答案为：C. 【分析】作直径 AD，连接 CD，根据等边三角形的三个角都等于 60 ，可得B=60 ，根据圆周角定理可得ACD=90 ，D=B=60 ，则DAC=30 ，根据含 30 角的直角三角形的性质可得 CD=12AD，结合勾股定理求出 AD
15、，据此可得O 的半径. 6 【答案】C 【解析】【解答】解：ABC 是等边三角形， = 60， = 180 = 120， 故答案为：C. 【分析】根据等边三角形的性质可得A=60 ，由圆内接四边形的对角互补可得A+DFE=180 ，据此计算. 7 【答案】B 【解析】【解答】解：一个正六边形的内角和的度数为（6-2） 180 =4 180 =720 . 故答案为：B. 【分析】利用 n 边形的内角和为（n-2） 180 ，代入计算求出结果. 8 【答案】D 【解析】【解答】解：A、BD 平分ABC，I 是 BD 上的一点 I 到 AB，AC 边的距离相等，故 A 不符合题意； B、由作图可知，
16、AE 是BAC 的平分线， BD 平分ABC，三角形三条角平分线交于一点 I， CI 平分ACB，故 B 不符合题意； C，I 是ABC 的三个角的平分线的交点， I 是ABC 的内心，故 C 不符合题意； D、I 到 AB，AC，BC 的距离相等， I 不是到 A，B，C 三点的距离相等，故 D 符合题意 故答案为：D. 【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可对 A 作出判断；由作图可知，AE 是BAC 的平分线，根据三角形三条角平分线交于一点 I，可对 B 作出判断；再根据三角形的三个角的平分线的交点是三角形的内心，可对 C 作出判断；利用角平分线的性质，可对 D 作出判断. 9
17、 【答案】C 【解析】【解答】解：连接 BD、AC， 四边形 是正方形，且面积为 18， = 90，2= 36 ， = 6 ， =12 = 3 ， 的长度为 180=903180=32 ； 故答案为：C. 【分析】 连接 BD、 AC， 由正方形 ABCD 的面积为 18， 可求出 BD=6， 根据正方形的性质 = 90， =12 = 3，利用弧长公式计算即得结论. 10 【答案】D 【解析】【解答】如下图所示，连接 ，过 点作 / ， 此时 点坐标可表示为 (，512) ， =512| ， = | ， 在 中， = 2+ 2=2+ (512)2=1312| ， 又 半径为 5， = 5 ，
18、/ ， ， 则 = ， 1312|=5512| ， = 13 ， 左右两侧都有相切的可能， A 点坐标为 (13，0) ， 故答案为：D. 【分析】连接 ，过 点作 / ，此时 点坐标可表示为 (，512) ，从而求出 OC、BC、OB，证明 ，可得=，代入相应数据可求出 OA，由于左右两侧都有 相切的可能，据此求出点 A 坐标. 11 【答案】7 【解析】【解答】解：如图，连接 OB、AC， A、B、C 是 上的点， ， = ， D 为 OC 的中点， = ， 四边形 AOBC 是菱形， = = 7. 故答案为：7. 【分析】连接 OB、CA，根据垂径定理可得 AD=DB，由中点的概念可得
19、OD=DC，推出四边形 AOBC为菱形，然后结合 OA 的值可得 BC 的值. 12 【答案】（1）149 （2）2539 【解析】【解答】解： （1） = 2 = 70， 的长=704180=149； 故答案为：149； （2）连接 AD， AC 是切线，AB 是直径， ， = 2+ 2= 82+ 62= 10， AB 是直径， = 90， ， 12 =12 ， =245， = 2 2= 82 (245)2=325， = ， = ， = = ， ， =， 4325=4， =52， = =32552=3910， =523910=2539. 故答案为：2539. 【分析】 （1）根据圆周角定理可
20、得AOD=2ABD=70 ，然后结合弧长公式进行计算； （2） 连接 AD， 根据切线的性质可得 ABAC， 由勾股定理可得 AC， 根据圆周角定理可得ADB=90 ，然后根据ABC 的面积公式可求出 AD，由勾股定理可得 BD，根据等腰三角形的性质可得EDO=EOD=OBD，证明DOEDBO，根据相似三角形的性质可得 DE，由 BE=BD-DE 可得 BE，据此求解. 13 【答案】31 【解析】【解答】解：由圆周角定理可知： =12 =12 62 = 31 故答案为：31. 【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出答案. 14 【答案】4 【解析】【解答】解：由题意可知物体上升
21、的距离就是半径为 6cm，圆心角为 120 的弧长， 1206180= 4 故答案为：4. 【分析】由题意可知物体上升的距离就是半径为 6cm，圆心角为 120 的弧长，再利用弧长公式进行计算. 15 【答案】（8 22） 【解析】【解答】解：如图， 设与 AD 边的切点为点 C，连接 OC， 则 = 2（丈） ， ， 由正方形的性质知 = 90，对角线 AB 平分， =12 = 45， =sin=2sin45= 2 22= 22（丈） ， = + = 2 + 22（丈） ， = = 10 (2 + 22) = 8 22（丈）. 故答案为： （8 22）. 【分析】设O 与 AD 边的切点为点
22、 C，连接 OC，则 OC=2 丈，OCAD，根据正方形的性质可得EAD=90 ，对角线 AB 平分EAD，则OAC=45 ，根据三角函数的概念可得 AO，由 AN=ON+AO 可得 AN，然后根据 BN=AB-AN 进行计算. 16 【答案】242 【解析】【解答】解：圆锥体的高为 4cm，圆锥的底面半径为 3cm， = 2+ 2= 32+ 42= 5， 该圆锥的表面积= + 2= 15 + 9 = 242， 故答案为：242. 【分析】根据圆锥的高、底面圆的半径与母线长构成直角三角形，结合勾股定理可得 SA 的值，然后根 据 S表=S侧+S底=rl+r2进行计算. 17 【答案】120 【
23、解析】【解答】解：弧 AC=弧 AC AOC=2ADC=2 30 =60 ， BOC=180 -AOC=180 -60 =120 . 故答案为：120. 【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求出AOC 的度数，再利用邻补角的定义求出BOC 的度数. 18 【答案】60 【解析】【解答】解：根据题意， 圆锥的母线长 = 12 ，底面圆的直径 = 10 ， 圆锥的侧面积为： =10122= 60 ； 故答案为：60. 【分析】根据圆锥的侧面积 S=rl（l 为母线长，r 为底面圆的半径）进行计算即可. 19 【答案】5 【解析】【解答】解：连接 OC， AB 与O 相切于点
24、C， OCAB，即OCA=90 ， 在 RtOCA 中，AO=3 ，OC=2， AC=32 22=5. 故答案为：5. 【分析】连接 OC，根据切线的性质可得 OCAB，即OCA=90 ，然后利用勾股定理进行计算. 20 【答案】100 【解析】【解答】解：设扇形圆心角度数为 n ， = 20，= 40 ， 在扇形 中， = 2 360 ， 解得： =360 ， 在扇形 中， = + = 20 + 30 = 50 ， = 2 360= 2 50 360360= 100 故答案为：100. 【分析】先求出扇形圆心角度数360，再求出 OC=OA+AC=50，利用弧长公式计算即可. 21 【答案】
25、（1）证明：连接 OE， 方法一： AE 平分BAC 交 BC 于点 E， BAC2OAE， FOE2OAE， FOEBAC， OEAB， B90 ， OEBC， 又OE 是O 的半径， BC 是O 的切线； 方法二： AE 平分BAC 交 BC 于点 E， OAEBAE， OAOE， OAEOEA， BAEOEA， OEAB， B90 ， OEBC， 又OE 是O 的半径， BC 是O 的切线； （2）解：连接 EF， CF2，sinC35， +=35， OEOF， OEOF3， OAOF3， ACOA+OF+CF8， ABACsinC835245， OAEBAE， cosOAEcosBAE
26、，即=，245=3+3， 解得 AE1255（舍去负数） ， AE 的长为1255 【解析】【分析】 （1）方法一：连接 OE，利用角平分线的定义可证得BAC2OAE，利用圆周角定理可证得FOE2OAE，由此可推出FOEBAC，利用平行线的性质可证得 OEBC，然后利用切线的判定定理可证得结论；方法二：利用角平分线的定义可证得OAEBAE，利用等边对等角可知OAEOEA，由此可推出BAEOEA，利用平行线的判定定理可证得 OEAB，再利用平行线的性质可证得 OEBC；然后根据切线的判定定理可证得结论. （2）连接 EF，利用解直角三角形可求出 OF，OE 的长，即可求出 AC 的长；再利用解直
27、角三角形求出 AB 的长；由OAE=BAE，可得到 cosOAEcosBAE，利用锐角三角函数的定义，可得到关于 AE 的方程，解方程求出 AE 的长. 22 【答案】（1）证明：连接 OD，如图所示： = ， = = = = = ， = = = = 90 OD 为经过圆心的半径 CD 是 的切线. （2）解：如图所示：作 交 BC 于点 M = 8， = 1， = = =12 = 4， = = 3 = = 2 2= 7 令 = ， = = + 7， = = 7 在 ，2+ 2= 2 ( + 7)2= 72+ 2，解得： = 37 = 47 AEFABC =18=47 =72 【解析】【分析】
28、 （1）连接 OD，根据平行线的性质可得ADO=DOC，DAO=BOC，根据等腰三角形的性质可得ADO=DAO，则DOC=BOC，利用 SAS 证明ODCOBC，得到OBC=ODC=90 ，据此证明； （2） 作 DMBC 交 BC 于点 M， 由题意可得 OA=OB=OD=4， OE=OA-AE=3， 利用勾股定理可得 DE，令 CM=x，则 CB=CD=7x，根据勾股定理可得 x，据此可得 BC，易证AEFABC，然后根据相似三角形的性质进行计算. 23 【答案】（1）证明： = ， = ， 即 = ， 又 = ， （2）0；1；0 （3）解：记 ， 的面积为3，4， 则 = 1+ 2+
29、3+ 4， 13=42=， 12= 34 = 1+ 2， 即 = 1+ 2+ 212， 3+ 4= 212 由可得3+ 4= 234， 即(34)2= 0， 3= 4， + = + ， 即= ， ， = ， = ， = ， = ， = = = ， ， 都为等腰三角形； = ， = ， = ， ， =， = ， = ， = ， = = ， = = ， = ， 又 = ， ， =， = 2= 2， + = 2= + 2， 则 = + 2， =2=2+2， = =+2， =2+2 【解析】【解答】解： （2） ， =， = ， = 0， + = 180 = = 2， = 2， = ， ， = ， =
30、 ， = = ， = ， ， ， =， +=+=+= 1， +=+= 1， += 1， 1+11= 0 故答案为：0，1，0； 【分析】 （1）根据同弧所对的圆周角相等得ACD=ABD，即ABE=DCE，由对顶角的性质可得DEC=AEB，然后根据相似三角形的判定定理进行证明； （2）根据相似三角形的性质可得 AE CE=BE DE，对进行通分可得可得第一空的答案；根据内角和定理、圆内接四边形的性质可得CDB+CBD=180 -BCD=DAB=2CDB，结合已知条件可得DFE=DAB， 推出 EFAB， 由平行线的性质可得FEA=EAB， 根据圆周角定理可得DAC=BAC，进而得到 FA=FE，
31、证明DFEDAB，根据相似三角形的性质可得+=+=+=，据此可得第二空的答案；根据+=+= 1可得+= 1，据此可得第三空的答案； （3）记ADE、EBC 的面积为 S3、S4，则 S=S1+S2+S3+S4，易得 S1S2=S3S4，根据已知条件可得S3+S4=212，则可推出 S3=S4，结合面积间的和差关系可得 SABD=SADC，推出 CDAB，结合平行线的性质以及圆周角定理可得EDC=ECD=EBA=EAB，据此证明； 根据圆周角定理可得DAC=EAB，DCA=EBA，证明DACEAB，DCEACD，根据相似三角形的性质可得 EA AC=DA AB=mn，CE CA=CD2=p2，然
32、后表示出 AC、EC，由 AE=AC-CE可得 AE，据此求解. 24 【答案】（1）证明：连接 AD、OD，记 = 1 ， = 2 ， ， = 90 . = ， 1 = . = ， 1 = 2 ， = 2 ， ， = = 90 ， ， 又OD 是O 的半径， 直线 PE 是O 的切线. （2）解：连接 AD， AB 是直径， = 90 ， . 又 = ， =12 ， = 30 ， = 90 ， = 60 ， 又 = ， 为等边三角形， = 60 ， = = 12 ， =12 = 6 ， 在 中，cos = ， = cos60 = 6 12= 3 【解析】【分析】 （1）连 AD、OD，记AB
33、D=1，ODB=2，由等腰三角形性质得1=C，1=2，则C=2，推出 ODAC，由平行线的性质可得ODE=CED=90 ，据此证明； （2）连接 AD，由圆周角定理可得ADB=90 ，结合等腰三角形的性质得 CD=12BC，易得ABC 为等边三角形，得到C=60 ，BC=AB=12，CD=12BC=6，然后根据三角函数的概念就可求出 CE. 25 【答案】（1）解：设直线 AB 的解析式为：y=kx+b（k0） ， 则0 = 3 + = 4， 解得 = 43 = 4， y=-43x+4， P 分别与 x 轴和 y 轴相切， 设 P（a，a） ， a=-43a+4， 解得：a=127， P（12
34、7，127） ， 设反比例函数解析式为：y=， m=xy=127127=14449， y=14449； （2）解：AM=OA=3，AB=2+ 2=5， BM=AB-AM=2， BMN=AOB=90 ，ABO=MBN， BMNBOA， =， 即3=24， 解得 MN=32， ON=NM=1.5， N(0，32)， 设经过 A、N 两点的一次函数表达式为 y=kx+32， 0=3k+32， 解得 k=-32， y=-12x+32. 【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出直线 AB 的解析式，设 P（a，a） ，将其代入解析式求出 P 点坐标，然后利用待定系数法求反比例函数解析式即可； (2)利用
35、勾股定理求出 AB 长， 证明BMNBOA， 根据相似比的性质求出 MN 长， 则可得出 ON 长，从而得出 N 点坐标，再根据待定系数法求直线 AN 的解析式即可. 26 【答案】（1）解：证明：连接 . 为 切线， = = 90 ， 又 ， = ， = ， 且 = ， = ， 在 与 中； = = = ， ， = = 90 ， 直线 与 相切. （2）解：设半径为 ； 则： 2+ 42= (2 + )2 ，得 = 3 ； 在直角三角形 中， 2+ 2= 2 ， (2 + 3 + 3)2+ 2= (4 + )2 ，解得 = 6 . 【解析】【分析】 （1）连接 OD，利用切线的性质可证得OD
36、C=ODE=90 ，可得到 OEAD，利用平行线的性质及等边对等角可证得DAO=EOB，ADO=EOD，ADO=DAO，可推出EOD=EOB；再利用 SAS 证明ODEOBE，利用全等三角形的性质可得到OBE=90 ，然后利用切线的判定定理可证得结论. （2）设圆的半径为 r，利用勾股定理建立关于 r 的方程，解方程求出 r 的值；在 RtCBE 中，利用勾股定理可得到关于 DE 的方程，解方程求出 DE 的长. 27 【答案】（1）证明：是 的直径，是 的切线， + = 90， = 90 + = 90 = （2）证明： = ， = = ， = = 是直径， = = 90 = ， () = （
37、3）解： = =12 =12 = 4 = 2，= = 4，= 8 四边形= + + + = 2 +4 + 4 + 8 = 18 【解析】【分析】（1） 利用直径所对的圆周角是直角， 可证得ACB=90 ， 利用切线的性质可证得ABC+MBC=90 ，然后利用三角形的内角和定理和余角的性质可证得结论. （2）利用等边对等角可证得BAC=ACE，可推出ACD=ACE；利用直径所对的圆周角是直角，可得到EAC=DAC=90 ；然后利用 ASA 证明AECADC，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论. （3）易证 ABCD，可推出AEODEC，利用相似三角形的对应边成比例，可得比例式；利用相似三角形
38、的性质可求出AOF，COF，CDF 的面积，然后求出四边形 AOCD 的面积. 28 【答案】（1）证明：AB 是半圆 O 的直径，ACB90 ，CP 是半圆 O 的切线，OCP 90 ，ACBOCP，ACOBCP； （2）解：由（1）知ACOBCP，ABC2BCP，ABC2ACO，OAOC，ACOA，ABC2A，ABC+A90 ，A30 ，ABC60 ，ACOBCP30 ，PABCBCP60 30 30 ，答：P 的度数是 30 ； （3） 解： 由 （2） 知A30 ， ACB90 ， BC12AB2， AC3BC23， SABC12BCAC12 2 2323， 阴影部分的面积是12 (2)223223， 答： 阴影部分的面积是 223 【解析】【分析】 （1）利用直径所对的圆周角是直角，可知ACB=90 ，利用圆的切线垂直于过切点的半径，可证得OCP=90 ，利用余角的性质可证得结论. （2）由（1）知ACOBCP，结合已知条件可证得ABC2ACO，利用等腰三角形的性质可得到ACOA，由此可推出ABC2A，利用三角形的内角和定理求出A 和ABC 的度数；再求出BCP 的度数，然后利用三角形的外角的性质，可求出P 的度数. （3）利用解直角三角形求出 AC，BC 的长；再利用三角形的面积公式求出 ABC 的面积；然后利用半圆的面积减去 ABC 的面积，可求出阴影部分的面积.
