1、第第 8 8 讲讲 平面直角坐标系和函数的认识平面直角坐标系和函数的认识 一、单选题一、单选题 1某城市市区人口万人，市区绿地面积 50 万平方米，平均每人拥有绿地平方米，则与之间的函数表达式为（ ） A = + 50 B = 50 C =50 D =50 2某汽车评测机构对市面上多款新能源汽车的0100/的加速时间和满电续航里程进行了性能评测，评测结果绘制如下，每个点都对应一款新能源汽车的评测数据.已知0100/的加速时间的中位数是，满电续航里程的中位数是，相应的直线将平面分成了、四个区域（直线不属于任何区域）.欲将最新上市的两款新能源汽车的评测数据对应的点绘制到平面内，若以上两组数据的中位
2、数均保持不变，则这两个点可能分别落在（ ） A区域、 B区域、 C区域、 D区域、 3 （2022 扬州）在平面直角坐标系中，点 P(3，a2+1)所在的象限是（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 4 （2022 七下 通州期末）平面直角坐标系中， 已知 A （2， 4） ， B （-3 -2） ， C （x， -2） 三点， 其中 x-3 当线段 AC 最短时，ABC 的面积是（ ） A30 B15 C10 D152 5 （2022 七下 如皋期中）已知过(，2)，(4， 3)两点的直线平行于轴，则的值为（ ） A2 B-3 C4 D-4 6 （2021 八上 句容期末）已
3、知点 P（1+m，2）在第二象限，则 m 的取值范围是（ ） Am-1 Bm9 时，x 的取值范围是 . 24 （2021 八上 无锡月考）甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发相向而行， 并以各自的速度匀速行驶，甲车与乙车相遇后休息半小时，再按原速度继续前进到达 B 地；乙车从 B 地直接到达 A 地；两车到达各自目的地后即停止如图是甲、乙两车之间的距离 y（千米）与两车出发时间 x（小时）的函数图象 （1）由图像知，甲车的速度为 km/h，乙车的速度为 km/h； （2）请在图中补全函数图象 （3）求当 x 为多少时，两车之间的距离为 180km 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】C
4、【解析】【解答】解：依题意，得：平均每人拥有绿地 =50. 故答案为：C. 【分析】根据总面积除以人数可得平均每人拥有的绿地面积，据此解答. 2 【答案】B 【解析】【解答】解：在添加了两款新能源汽车的测评数据之后，0100km/h 的加速时间的中位数 ms，满电续航里程的中位数 nkm，这两组中位数的值不变，即可知这两款新能源汽车的 0100km/h 的加速时间的数值分别处于直线 m 的上方和下方，满电续航里程的数值分别位于直线 n 的左侧和右侧，据此逐项判断即可： A 项，两款车的 0100km/h 的加速时间均在直线 m 下方，不符合要求，故 A 项错误； B 项，可知这两款新能源汽车的
5、 0100km/h 的加速时间的数值分别处于直线 m 的上方和下方，满电续航里程的数值分别位于直线 n 的左侧和右侧，符合要求； C 项，两款车的满电续航里程的数值均在直线 n 的左侧，不符合要求，故 C 项错误； D 项，两款车的 0100km/h 的加速时间均在直线 m 上方，不符合要求，故 D 项错误. 故答案为：B. 【分析】由题意可得：两款新能源汽车的 0100km/h 的加速时间的数值分别处于直线 m 的上方和下方，满电续航里程的数值分别位于直线 n 的左侧和右侧，据此判断. 3 【答案】B 【解析】【解答】解：a20， a2+11， 点 P(3，a2+1)所在的象限是第二象限.
6、故答案为：B. 【分析】根据偶次幂的非负性可得 a2+11，然后根据：若 A（m，n） ，当 m0，n0 时，点 A 在第一象限；当 m0 时，点 A 在第二象限；当 m0，n0，n0 时，点A 在第四象限，据此解答. 4 【答案】B 【解析】【解答】解：C 点坐标（x，-2） ， C 点在直线 y=-2 上， B 点坐标（-3，-2） ， B 点在直线 y=-2 上， 根据垂线段最短可知，当 ACBC 时，线段 AC 最短， A 点坐标（2，4） ，ACBC， C 点横坐标与 A 点横坐标相等，即为 2， C 点坐标（2，-2） ， AC=4-（-2）=6，BC=2-（-3）=5， ACBC
7、， ABC 的面积为：6 5 2=15， 故答案为：B 【分析】根据 C 点坐标可知 C 点在直线 y=-2 上，结合 B 点在直线 y=-2 上，则可求出 BC 长，当 ACBC 时，线段 AC 最短，可知此时 C 点坐标为(2，-2)，则可求出 AC 的长， 从而求出ABC 的面积. 5 【答案】C 【解析】【解答】解：过 A（a，2） ，B（4，3）两点的直线平行于 y 轴， A、B 两点的横坐标相等，即：a=4. 故答案为：C. 【分析】根据平行于 y 轴的直线上的点的横坐标相同可得 a 的值. 6 【答案】B 【解析】【解答】解：点 P（1+m，2）在第二象限， 1+m0， 解得：
8、m-1. 故答案为：B. 【分析】根据第二象限内的点，横坐标为负，纵坐标为正可得 1+m0，求解即可. 7 【答案】C 【解析】【解答】解：点 A 的坐标为(1，3)，点 A1是点 A 关于 x 轴的对称点， 点 A1的坐标为(1，-3). 点 A2是将点 A1向左平移 2 个单位长度得到的点， 点 A2的坐标为(-1，-3)， 点 A2所在的象限是第三象限. 故答案为：C. 【分析】利用关于 x 轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得到点 A1的坐标；再利用点的坐标平移规律：纵坐标上加下减，横坐标左减右加，可得到平移后的点 A2的坐标，由此可得到点 A2所在的象限. 8 【
9、答案】D 【解析】【解答】解：根据一个 x 值只能对应一个 y 值可知 D 不是 y 不是 x 的函数. 故答案为：D. 【分析】一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x、y，并且对于 x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们称 y 是 x 的函数，据此判断即可. 9 【答案】A 【解析】【解答】解：由题意得：当 1t6 时， 1 =2t+3， 当 6t25 时， 1 =15， 当 25t30 时， 1 =-2t+65， 当 1t6 时， 2 = (5+2+3)2 = + 4 ， 当 6t25 时， 2 = (5+15)62+ 15( 6) = 15 30 ， 当 25t30
10、 时， 2 = (5+15)62+ 15 (25 6) +13+(2+65)(25)2 = 630+ 64 ， 当 t=30 时， 2 =13，符合条件的选项只有 A. 故答案为：A. 【分析】由题意得：当 1t6 时， y1=2t+3，当 6t25 时， y1 =15，当 25t30 时，y1=-2t+65，然后表示出平均价格，求出第 30 天的价格，据此判断. 10 【答案】B 【解析】【解答】解：设矩形的长为 am，宽为 bm， 根据题意，得 a+b20 210（m） ， 菜园的对角线长为 xm， a2+b2x2， x + = 10 ， ( )2 0 ， x2=a2+b2 2 ，仅当 =
11、 取等号， x2255， x 52 ， 52 10 ， （a+b）2a2+2ab+b2， 102x2+2ab， = =10222= 122+ 50 ， 0y25，且 x 52 时，y25， y 与 x 函数图象是二次函数的图象，即开口方向向下的抛物线. 故答案为：B. 【分析】设矩形的长为 am，宽为 bm，根据周长为 20，求出 a+b 的长，由勾股定理得 a2+b2x2，由于x + = 10 ，利用偶次幂的非负性求出 x 的取值范围，再利用（a+b）2a2+2ab+b2，结合 a+b=10和 a2+b2x2，推出 y 和 x 的函数关系式，再结合 x 的范围，分别判断即可. 11 【答案】
12、（2，1） 【解析】【解答】解：作 BNx 轴，AMx 轴， OA=OB=5，AB=10， AO2+OB2=AB2， BOA=90 ， BON+AOM=90 ， BON+NBO=90 ， AOM=NBO， AOM=NBO，BNO=AMO，BO=OA， BNOOMA， NB=OM，NO=AM， 点 A 的坐标为（1，2） ， 点 B 的坐标为（-2，1）. 故答案为： （-2，1）. 【分析】作 BNx 轴，AMx 轴，先利用勾股定理逆定理得出BOA 为直角三角形，然后根据余角的性质得出AOM=NBO，则可利用 AAS 证明BNOOMA，得出 NB=OM，NO=AM，结合点A 的坐标，即可求出
13、B 点的坐标. 12 【答案】（8，4） 【解析】【解答】解：点 A 的坐标为（3，0） ， OA=3， 在 RtADO 中，AD5， AO=3，90， OD=5232=4， D(0，4)， 平行四边形 ABCD， AB=CD=8，ABCD， AB 在 x 轴上， CDx 轴， C、D 两点的纵坐标相同， C(8，4) . 故答案为： （8，4）. 【分析】利用点 A 的坐标，可得到 OA 的长，根据勾股定理求出 OD 的长，可得到点 D 的坐标；利用平行四边形的性质可证得 AB=CD=8，ABCD，可推出 CDx 轴，可得到点 C，D 的纵坐标相等，由此可得到点 C 的坐标. 13 【答案】
14、（1，2） ， （1，6） 【解析】【解答】解：由题意设点 N（-1，y） ， 已知线段 MN=4，M 坐标为（-1，2） ， y-2=4，或 y-2=-4， 解得 y=6 或 y=-2， 即点 N 坐标（-1，-2） ， （-1，6）. 故答案为： （-1，-2） ， （-1，6）. 【分析】根据线段 MN4，MNy 轴，点 M 的坐标为（1，2） ，可知点 N 的横坐标为1，纵坐标与2 的差的绝对值等于 4，从而可以得到点 N 的坐标 14 【答案】4 【解析】【解答】解：因为一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相等， 故有 2m-5=m-1； 解得，m=4. 故答案为：4. 【分析】点 P
15、 在第一、三象限的角平分线上可得横纵坐标相等，即 2m-5=m-1，求解即可. 15 【答案】4 【解析】【解答】解：小红妈妈每天的上下班的费用分别为 5 元，即每天 10 元，10 天后花费 100 元，第 22 次乘坐地铁时，价格给予 8 折优惠，此时花费 5 0.8=4 元. 故答案为：4. 【分析】由题意可得：10 天后花费 100 元，则第 22 次乘坐地铁时，价格给予 8 折优惠，据此不难求出刷卡支出的费用. 16 【答案】（1，0） 【解析】【解答】解：作 关于 轴对称的点 ，连接 与 轴的交点即为所求点 . 轴垂直平分 ， = + = + = 即当动点在点 的位置时， + 的值
16、最小 = 2， = 1， = 90 ， = 2 2= 22 12= 3 ， (0， 3) ， (2，3) ， 直线 的函数解析式为： = 3 3 ， 点 的坐标为（1，0）. 故答案为（1，0）. 【分析】 作 关于 轴对称的点 ， 连接 与 轴的交点即为所求点 ， 此时 + 的值最小.先求出 F、C坐标，利用待定系数法求出直线 的函数解析式，再求出它与 x 轴交点坐标，即得结论. 17 【答案】6 【解析】【解答】设点 A 的横坐标为 a，点 B 的横坐标是 b； 点的横坐标是 0，C 的横坐标是 1 ，C，D 是 , 的中点 12( + 0) = 1 得 = 2 12(2 + ) = 4
17、得 = 6 点 B 的横坐标是 6. 故答案为 6. 【分析】设点 A 的横坐标为 a，点 B 的横坐标是 b；利用线段的中点坐标，可求出点 a，b 的值；或利用已知条件可得到 CD 是AOB 的中位线，由此可证得 OB=2CD；再利用点 C，D 的横坐标可得到 CD的长，由此可求出 OB 的长，即可得到点 B 的横坐标. 18 【答案】（3，-2） 【解析】【解答】解：因为滩涂印象的坐标为 (2,1) ，丛林野趣的坐标为 (3,2) ， 所以建立平面坐标坐标系如下： 则中国馆的坐标为（3，-2） ， 故答案为： （3，-2）. 【分析】先根据滩涂印象的坐标、丛林野趣的坐标确定坐标原点，再建立
18、平面直角坐标系，由此即可得出答案. 19 【答案】10 【解析】【解答】解：点 P 坐标为 (1，3) ， 点 (1，3) 到 y 轴的距离为 1，到 x 轴的距离为 3， A 到原点的距离为 12+ 32=10 ， 故答案为： 10 . 【分析】利用点 P 的坐标，可得到点 P 到 x 轴和 y 轴的距离，再利用勾股定理求出点 P 到原点的距离. 20 【答案】（-4,5） 【解析】【解答】解：设点 M 的坐标是（x，y）. 点 M 到 x 轴的距离为 5，到 y 轴的距离为 4， |y|5，|x|4. 又点 M 在第二象限内， x4，y5， 点 M 的坐标为（4，5） ， 故答案为： （4
19、，5）. 【分析】根据点到 x 轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到 y 轴的距离为点的横坐标的绝对值，得到点M 的横纵坐标可能的值，进而根据所在象限可得点 M 的具体坐标. 21 【答案】（1）2；1 （2）解：函数图象如下图： 性质： 1时，y 随 x 的增大而减小， 当 = 1时，函数有最小值2 （3）解：函数 y|x|的图象，如下图： 由题意可得：|是由函数 = | + 1| 2向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位平移得到的. 【解析】【解答】解： （1） = 1时， = | 1 + 1| 2 = 2， = 2时， = |2 + 1| 2 = 1， 故答案为：2，1； ： 【分析】
20、 （1）把 x=-1 和 2 分别代入函数式计算，即可解答； （2）根据表中的数据，描点、连线，即可画出函数图象，然后观察函数图象，根据图象的增减趋势和最值分别写函数性质即可； （3）先用描点法画出函数 y= |x|的图象，根据两个图象的最低点坐标变化即可解答. 22 【答案】（1）解：点到轴的距离是 1，且(3 15，2 )， |2 | = 1，即2 = 1或2 = 1， 解得 = 1或 = 3； （2）解：当 = 1时，点的坐标为(12，1)， 则点的坐标为(12，1 + 3)，即(12，4)， 当 = 3时，点的坐标为(6， 1)， 则点的坐标为(6， 1 + 3)，即(6，2)， 综上
21、，点的坐标为(12，4)或(6，2)； （3）解：点(3 15，2 )位于第三象限， 3 15 02 0，解得2 5， 点的横、纵坐标都是整数， = 3或 = 4， 当 = 3时，3 15 = 6，2 = 1，则点的坐标为(6， 1)， 当 = 4时，3 15 = 3，2 = 2，则点的坐标为(3， 2)， 综上，点的坐标为(6， 1)或(3， 2) 【解析】【分析】 （1）根据点 P 到 x 轴的距离为纵坐标的绝对值可得|2-a|=1，求解可得 a 的值； （2）根据 a 的值可得点 P 的坐标，然后结合点的坐标的平移规律：左减右加，上加下减进行解答； （3）根据第三象限的点：横纵坐标均小于
22、 0 可得关于 a 的不等式组，求解可得 a 的范围，然后结合横纵坐标均为整数可得 a 的值，据此可得点 P 的坐标. 23 【答案】（1）5 （2）解：由题意得，当 1时， = 1 + 4 = 5 2( 4时， = 1 + 4 = 2 5( 4)， = 5 2( 4)； 画图如下， ； x7 或 x-2 【解析】【解答】解： （数学理解） （1）当点 A、P 重合时，d=0 最小，此时 x=5， 故答案为：5； （类比迁移） （2）由图象得，当 y9 时，有两种情况：2 5 9或5 2 9 解得 7或 7或 4的 y 关于 x 的函数关系式即可； 利用两点法画出图象即可；由图象得当 7或 9
23、，据此即得结论. 24 【答案】（1）120；80 （2）解：乙车到 A 地所用时间为：300 80=3.75（h） ， 甲车到 B 地所用时间为：300 120+0.5=3（h） ， 所以甲车到 B 地比乙车到 A 地早 0.75 h， 甲车到达 B 地，乙车离 A 地 80 0.75=60(km)， 补全函数图象如图： （3）解：出发 x h 后，甲乙两车相距 180 km， 则相遇前（80+120）x=300-180 或相遇后 80 x+120（x-0.5）=300+180， 解得 x=0.6 或 x=2.7， 答：当 x 为 0.6 h 或 x=2.7 h 时，两车之间的距离为 180
24、km 【解析】【解答】解： （1）根据图象可知，同时出发 1.5 h 后两车距离为 0，甲车休息了(2-1.5) h，此时两车距离为 40km， 所以乙车速度是 40 (2-1.5)=80（km/h） ， 甲车的速度为（300-80 1.5） 1.5=120（km/h） ， 故答案为：120； 80； 【分析】 （1）根据图象可知：同时出发 1.5 h 后两车距离为 0，甲车休息了(2-1.5) h，此时两车距离为40km，根据路程 时间可求出乙车的速度，然后求出乙车 1.5 小时的路程，利用 300 减去乙车 1.5 小时的路程为甲车 1.5 小时的路程，据此可得甲车的速度； （2） 首先求出乙车到 A 地所用时间，甲车到 B 地所用时间，甲车到达 B 地，乙车离 A 地的距离，据此补全函数图象； （3）相遇前有：(80+120)x=300-180，相遇后有 80 x+120(x-0.5)=300+180，求解即可
