1、2022-2023 学年天津市河西区九年级学年天津市河西区九年级上期中数学试卷上期中数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，共 36 分。 ） 1. 在抛物线 = 2上的点为( ) A. (1,0) B. (2,2) C. (1,1) D. (0,1) 2. 在艺术字中，有些字母是中心对称图形，下面的5个字母中，是中心对称图形的有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 方程2 9 = 0的根是( ) A. = 3 B. = 3 C. 1= 3 2= 3 D. 1= 2= 3 4. 正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为，表面积为，则是的函数，它们的关系式为(
2、) A. = 2 B. = 6 C. = 22 D. = 62 5. 如图，在方格纸中，将 绕点按顺时针方向旋转90后得到 ，则下列四个图形中正确的是( ) A. B. C. D. 6. 下列二次函数的图象中，开口最小的是( ) A. = 102 B. = 22 C. = 32 D. =1202 7. 已知二次函数 = 2+ 2，当自变量 = 3时，函数值为( ) A. = 10 B. = 12 C. = 15 D. = 18 8. 已知关于的一元二次方程2+ 2 = 0有两个相等的实数根，则的值是( ) A. 4 B. 4 C. 1 D. 1 9. 要组织一次排球邀请赛， 参赛的每两个队之间
3、比赛一场， 根据场地和时间等条件， 赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为( ) A. 12( + 1) = 28 B. ( 1) = 28 C. ( + 1) = 28 D. 12( 1) = 28 10. 将抛物线 = 2 2向右平移1个单位，新的函数解析式为( ) A. = ( 1)2 2 B. = ( + 1)2 2 C. = ( + 2)2+ 1 D. = ( 2)2+ 1 11. 如图，在 中， = 90，将 绕点顺时针旋转得到 ，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，延长交于点，则下列结论一定正确的是( ) A. = B. = C. =
4、 D. 12. 已知抛物线 = 2+ + (,是常数， 0， 1)经过点(3,0)，其对称轴是直线 = 1.有下列结论： 0； 关于的方程2+ + = 有两个不等的实数根； 13 其中，正确结论的个数是( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分） 13. 点(2,5)关于原点对称的点为_ 14. 时钟上的时针匀速旋转一周是12小时，从5时到6时，时针转动的度数为_ 15. 若关于的一元二次方程2 2 + = 0有两个不相等的实数根，则的值可以是_ .(写出一个即可) 16. 在平面直角坐标系中，为原点，点(4,0)，点(0,3)把 绕点逆时
5、针旋转90，得 ，点、旋转后的对应点为、，那么的长为_ 17. 如图，将 绕着点顺时针方向旋转50后得到 .若 = 40， = 110，则的度数是_ 18. 如图是一个三角点阵， 从上向下有无数多行， 其中第一行有1个点， 第二行有2个点第行有个点，它们的前行点数和为_ 三、解答题（本大题共 7 小题，共 66.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. (本小题8.0分) 解方程 ()22= 6； ()2+ 4 2 = 10 20. (本小题8.0分) 如图，若将线段绕点旋转180，得到点的对应点，点的对应点为 ()画出旋转后的图形，并连接，； ()四边形的形状一定为_.(填写
6、序号即可) 矩形； 菱形； 平行四边形； 不能确定形状的任意四边形 21. (本小题10.0分) 已知抛物线 = 2 2 3 ()画出这条抛物线的草图； ()抛物线有最_点(填“高”或“低”)，该点是_； ()利用图象直接回答：当取什么值时，函数值大于0？ 22. (本小题10.0分) 如图，已知在 中， = 120，将 绕点顺时针旋转60得到 ，和交于点，连接， () 和 都是等边三角形吗？说明理由； ()求的度数 23. (本小题10.0分) 如图，利用一面墙(墙长20米)，用总长度43米的篱笆(图中实线部分)围成一个矩形鸡舍，且中间共留两个1米的小门，设篱笆长为米 () =_米(用含的代
7、数式表示)； ()若矩形鸡舍面积为150平方米，求篱笆的长？ ()矩形鸡舍面积的最大值是多少？说明理由 24. (本小题10.0分) 在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点(1,0)，(0,2).以点为旋转中心，把 顺时针旋转，得 ()如图，当旋转后满足/轴时，求点的坐标； ()如图，当旋转后点恰好落在轴正半轴上时，求点的坐标； ()在()的条件下，边上的一点旋转后的对应点为，当 + ，取得最小值时，求点的坐标(直接写出结果即可) 25. (本小题10.0分) 已知抛物线 = 2+ ；过点(1,4)，且与轴交于点(3,0) ()求该抛物线的顶点坐标； ()若有点在直线上，过点作 轴于点，以为斜
8、边，在左侧作等腰直角三角形 当点与点重合时，求点到抛物线对称轴的距离； 若点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标 答案和解析答案和解析 1.【答案】 【解析】解：当 = 1时， = 2= 1； 当 = 2时， = 2= 4； 当 = 1时， = 2= 1； 当 = 0时， = 2= 0； 点(1,1)在抛物线 = 2上 故选： 分别计算自变量为1、0、2和1时的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式 2.【答案】 【解析】解：、是中心对称图形，所以是中心对称图形的有3个故选： 根据中心对称图形的定义，抓住所给图案
9、的特征，可找出图中成中心对称图形的字母 本题比较容易，考查识别图形的对称性要注意正确区分轴对称图形和中心对称图形，中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后重合 3.【答案】 【解析】解： 2 9 = 0， 2= 9， 1= 3，2= 3， 故选： 根据直接开平方法可以解答此方程 本题考查解一元二次方程直接开平方法，解答本题的关键是明确解方程的方法 4.【答案】 【解析】解：根据题意，得 = 62， 故选： 根据正方体的表面积公式计算即可 本题考查了函数关系式，掌握正方体表面积的求法是解题的关键 5.【答案】 【解析】解：选项是原图形的对称图形故不正确； 选项是 绕点按顺时针方向旋转90后得到
10、，故 B 正确； 选项 不是将 绕点按顺时针方向旋转90后得到的，故 C不正确； 选项是按逆时针方向旋转90，故 D不正确； 故选： 根据旋转性质判断即可 本题主要考查旋转的性质，熟练掌握并应用旋转的性质是解题的关键，重点注意旋转的方向和角度 6.【答案】 【解析】解：120 2 3 0，方程有两个不相等的实数根；当= 0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根 9.【答案】 【解析】解：设比赛组织者应邀请个队参赛， 根据题意得：12( 1) = 4 7， 即12( 1) = 28 故选 D 根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场，即可得出关于的一元二次方程，此题得解 本题考
11、查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于的一元二次方程是解题的关键 10.【答案】 【解析】解：将抛物线 = 2 2向右平移1个单位，则函数解析式变为 = ( 1)2 2， 故选： 由平移的规律即可求得答案 本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减” 11.【答案】 【解析】 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，解题时注意：旋转前、后的图形全等 依据旋转可得， ，再根据全等三角形的性质，即可得出结论 【解答】 解：由旋转可得， ， = ，故 A选项错误， = ，故 B选项错误， = = ，故 C选项错误， = ， 又 = 90， + =
12、90， + = 90， = 90，即 ，故 D选项正确， 故选： 12.【答案】 【解析】解：抛物线对称轴为直线 = 2= 1， = 2，即 1， 1， 13，抛物线开口向下， 抛物线与直线 = 有2个交点， 关于的方程2+ + = 有两个不等的实数根，正确 故选： 由抛物线对称轴为直线 = 1可得 1可判断，将(3,0)代入解析式可得0 = 9 + 3 + ，将 = 2代入0 = 9 + 3 + 可得与的关系，可判断，由 0， 解得： 0， 可得出关于的一元一次不等式， 解之即可得出的取值范围， 在的范围内选一个即可 本题考查了根的判别式，熟记“当 0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关
13、键 16.【答案】52 【解析】解： (4,0)，(0,3)， = 5， 把 绕点逆时针旋转90，得 ， = = 5，且 = 90， = 2+ 2= 52， 故答案为：52 由、的坐标可求得，由旋转的性质可知 = ，在 中利用勾股定理可求得的长 本题主要考查旋转的性质，掌握旋转前后对应线段、对应角相等是解题的关键 17.【答案】80 【解析】解：将 绕着点顺时针方向旋转50后得到 ， = 50， = = 40， = 110， = 180 = 30， = + = 50 + 30 = 80， 故答案为：80 根据将 绕着点顺时针方向旋转50后得到 ，得 = 50， = = 40，即得 = 180
14、= 30，从而 = + = 80 本题考查三角形中的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质 18.【答案】12( + 1) 【解析】解：第一行有1个点，第二行有2个点第行有个点， 前行的点数和是1 + 2 + 3 + + ( 2) + ( 1) + =12( + 1) 即三角点阵中前项的点数的和是12( + 1) 故答案为：12( + 1) 由于第一行有1个点，第二行有2个点第行有个点，则前行共有(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + )个点，然后求它们的和即可得出答案 此题主要考查了规律型：图形的变化，解答本题的关键是明确题意，发现题目中点的个数的变化规律，利用数形结合的思想解答 19.
15、【答案】解：()22= 6， 2= 3， 1= 3，2= 3； ()2+ 4 2 = 10， 2+ 4 12 = 0， ( + 6)( 2) = 0， + 6 = 0或 2 = 0， 1= 6，2= 2 【解析】()利用直接开平方法求解即可； ()利用因式分解法求解即可 本题考查了解一元二次方程直接开平方法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键 20.【答案】 【解析】解：()图形如图所示： ()结论：四边形是平行四边形 理由： = ， = ， 四边形是平行四边形 故答案为： ()根据要求作出图形即可 ()利用平行四边形的判定证明即可 本题考查作图旋转变换，解题的关键是掌握旋转
16、变换的性质，属于中考常考题型 21.【答案】低 (1,4) 【解析】解：()列表 . 1 0 1 2 3 . . 0 3 4 3 0 . 描点、连线， ()由函数图象知，抛物线有最低点，该点是(1,4)， 故答案为：低；(1,4)； ()由函数图象知，当抛物线在轴上方时， 3， 当 3时，函数值大于0 ()利用列表、描点、连线即可解决； ()在解析式中令 = 0即可求得与轴的交点的坐标； ()直接根据函数图象可得出结论 本题考查的是抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，能根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键 22.【答案】()解： 和 都是等边三角形，理由如下： 将 绕点顺时针旋转
17、60得到 ， = ， = ， = = 60， 和 都是等边三角形； () 是等边三角形， = = = 60， 将 绕点顺时针旋转60得到 ， = ， + + + = 180， + + + = 180， = = 60 【解析】(1)由旋转的性质可得 = ， = ， = = 60，可得结论； (2)由旋转的性质可得 = ，由三角形内角和定理可求解 本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键 23.【答案】(45 3) 【解析】解：(1)设篱笆长为米， 篱笆的全长为43米，且中间共留两个1米的小门， = 43 + 2 3 = 45 3(米) 故答案为：(45 3)； (
18、2)依题意，得(45 3) = 150， 整理，得2 15 + 50 = 0， 解得1= 5，2= 10 当 = 5时， = 45 3 = 30 20，不合题意，舍去； 当 = 10时， = 45 3 = 15，符合题意 答：篱笆的长为10米； (3)矩形鸡舍面积的最大值是6754平方米理由如下： 设矩形的面积为， 则 = (45 3) = 32+ 45 = 3(2 15) = 3( 7.5)2+6754， 根据题意得 0 43345 3 045 3 20， 解得813 1413， 当813 1413时，随的增大而减小， 当 = 813时，最大值= 3 (813)2+ 45 813=5003
19、矩形鸡舍面积的最大值是5003平方米 (1)设篱笆长为米，根据篱笆的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含的代数式表示出的长； (2)根据矩形鸡舍面积为150平方米， 即可得出关于的一元二次方程， 解之取其较大值即可得出结论； (3)把二次函数表达式化成顶点式，再根据二次函数的性质求得结果 本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出的长；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(3)牢记“当 0时，方程无实数根” 24.【答案】解：()如图1中，作 轴于 /， = = 90， = 90， 四边形是矩形， = = = 1
20、， = = = 2， = 3， (3,1)； ()如图2中，作 于 在 中， = 1， = 2， = 5， 12 =12 ， =255， = 2 2=12 (255) =55， = 1 +55， (1 +55,255)； ()如图3中，连接、，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接 由题意 = ， + = + ， 根据两点之间线段最短，可知当点与点重合时， + 的值最小 (1,0)，(1 +55,255)， 直线的解析式为 =45219 +45219， 点坐标(0,45219). 【解析】()如图1中，作 轴于.只要证明四边形是矩形，利用矩形的性质即可解决问题； ()如图2中，作 于.在 中，求
21、出、即可解决问题； ()如图3中，连接、，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接.由题意 = ，推出 + = + ，根据两点之间线段最短，可知当点与点重合时， + 的值最小只要求出直线的解析式即可解决问题 本题考查了轴对称最短路线问题、解直角三角形，两点之间线段最短等知识，解题的关键是会利用两点之间线段最短解决最短路径问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题 25.【答案】解：()将(3,0)，(1,4)代入 = 2+ ， 9 + = 0 + = 4， 解得 = 12 =92， = 122+92， 则顶点坐标为(0,92)； () 与重合， (1,4)， 轴， = 4， 是为斜边的等腰直
22、角三角形， 点到的距离为2， 抛物线的对称轴为轴， 点到抛物线对称轴的距离为1； 点能落在抛物线上，理由如下； 设直线的解析式为 = + ， 3 + = 0 + = 4， 解得 = 2 = 6， = 2 + 6， 设(,2 + 6)(0 3)， = 2 + 6， 点到的距离为12(2 + 6) = + 3， (2 3, + 3)， 将点代入 = 122+92， 可得12(2 3)2+92= + 3， 解得 = 3(舍)或 =12， (2,52). 【解析】()用待定系数法求函数的解析式进而求解； ()由题意可知(1,4)，则 = 4，再由等腰直角三角形的性质可得点到的距离为2，由此可求解； 先求出直线的解析式，设(,2 + 6)(0 3)，则点到的距离为 + 3，根据等腰直角三角形的性质求出(2 3, + 3)，将点代入抛物线表达式即可求解 本题考查二次函数的图象及性质， 熟练掌握二次函数的图象及性质， 等腰直角三角形的性质是解题的关键
