1、浙江省宁波市鄞州区二校联考九年级上第一次月考数学试卷浙江省宁波市鄞州区二校联考九年级上第一次月考数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1 （4 分）若（ab） ：a1：15，则 a：b（ ） A1：15 B4：5 C15：14 D14：15 2 （4 分）下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（ ） A B C D 3 （4 分）如图，ADBECF，点 B，E 分别在 AC，DF 上，DE2，EFAB3，则 BC 长为（ ） A B2 C D4 4 （4 分）在正方形网格中，BAC 如图放置，点 A，B，C 都在格点上，则 sinBAC 的值
2、为（ ） A B C D 5 （4 分）两个相似三角形的一组对应边分别为 6cm 和 8cm，如果较小三角形的周长为 27cm，那么较大三角形的周长为（ ） A30cm B36cm C45cm D54cm 6 （4 分）菱形 ABCD 的对角线 AC6，BD8，ABD，则下列结论正确的是（ ） A B Ctan Dsin 7 （4 分）如图，取一张长为 a、宽为 b 的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边 a、b 应满足的条件是（ ） A Ba2b C D 8 （4 分）如图，AC 是O 的直径，弦 BDAO 于 E，连接 BC，过点
3、 O 作 OFBC 于 F，若 BD8cm，AE2cm，则 OF 的长度是（ ） A3cm Bcm C2.5cm Dcm 9 （4 分）如图，正方形 ABCD 中，内部有 6 个全等的正方形，小正方形的顶点 E、F、G、H 分别在边 AD、AB、BC、CD 上，则 tanDEH（ ） A B C D 10 （4 分）如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别为 AD，CD 的中点，BF 与 CE 相交于点 H，直线 EN 交CB 的延长线于点 N，作 CMEN 于点 M，交 BF 于点 G，且 CMCD，有以下结论：BFCE；EDEN；tanENC；S四边形DEHF4SCHF，其中正确结论的个
4、数为（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）如图，在 RtABC 中，C90，若 sinA，则 cosB 12 （5 分）已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 APBP，AB4，那么 AP 13 （5 分）在ABC 中，如果A、B 满足|tanA1|+（cosB）20，那么C 14 （5 分）已知ABC 中，AB4，AC6，D 是 AB 的中点，E 为 AC 边上的点，ADE 与ABC 相似，则 AE 15 （5 分）晚上，小亮（GH）走在大街上，他发现：当他站在大街两边的两盏路灯（AB 和
5、CD）之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时， 自己右边的影子长为 3 米， 左边的影子长为 1.5 米 又知自己身高 1.80 米，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为 12 米，则路灯的高为 米 16 （5 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABC90，AB3，BC4，CD10，DA5，则 BD 的长为 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 8 小题，第小题，第 17、18、19、20 题每题题每题 8 分，第分，第 21 题题 10 分，第分，第 22、23 题每题题每题 12 分，第分，第24 题题 14 分，共分，共 80 分）分） 17 （8 分）计算： （1）+t
6、an60 （2）2cos45sin452sin30tan45+tan60 18 （8 分）在ABC 中，C90，BC3，A30，求B 和 AC，AB 的长 19 （8 分）如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是 1，ABC 是格点三角形（顶点在方格顶点处） （1）在图 1 中画出一个格点A1B1C1，使得A1B1C1与ABC 相似，周长之比为 2：1； （2）在图 2 中画出一个格点A2B2C2，使得A2B2C2与ABC 相似，面积之比为 2：1 20 （8 分）如图，已知斜坡 AB 长 60 米，坡角（即BAC）为 30，BCAC，现计划在斜坡中点 D 处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平
7、行于水平线 CA 的平台 DE 和一条新的斜坡 BE （请将下面 2 小题的结果都精确到 0.1 米，参考数据：1.732） （1）若修建的斜坡 BE 的坡角（即BEF）不大于 45，则平台 DE 的长最多为 米； （2）一座建筑物 GH 距离坡角 A 点 27 米远（即 AG27 米） ，小明在 D 点测得建筑物顶部 H 的仰角（即HDM）为 30点 B、C、A、G、H 在同一个平面内，点 C、A、G 在同一条直线上，且 HGCG，问建筑物 GH 高为多少米？ 21 （10 分）如图，在 RtABC 中，C90，AC4cm，BC3cm动点 M，N 从点 C 同时出发，均以每秒 1cm 的速度
8、分别沿 CA、CB 向终点 A，B 移动，同时动点 P 从点 B 出发，以每秒 2cm 的速度沿 BA向终点 A 移动，连接 PM，PN，设移动时间为 t（单位：秒，0t2.5） （1）当 t 为何值时，以 A，P，M 为顶点的三角形与ABC 相似？ （2）是否存在某一时刻 t，使四边形 APNC 的面积 S 有最小值？若存在，求 S 的最小值；若不存在，请说明理由 22 （12 分）已知一个直角三角形纸片 ACB，其中ACB90，AC4，BC3，点 E、F 分别是 AC、AB边上的一动点，连接 EF，将纸片的一角 AEF 沿 EF 折叠 （1）若折叠后点 A 落在 AB 边上的点 D 处（如
9、图 1） ，且 S四边形ECBD3SEDF，求 AE 的长； （2）若 AEAF，折叠后点 A 的对应点为点 M（如图 2） ，连结 BM 若点 M 恰好在 BC 边上（如图 3） ，求 EF 的长 求 BM 的最小值 23 （12 分）如图，四边形 ABCD 中，ABAD，边 BC、CD 的垂直平分线交于四边形内部一点 O，连接BO、DO，已知 BOAD （1）判断四边形 ABOD 的形状？并证明你的结论； （2）连接 AO 并延长，交 BC 于点 E，若 CE2，BE6，ODC45 求 AB 的长 若BAD135，求 AOAE 的值 24 （14 分）类比转化、从特殊到一般等思想方法，在数
10、学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整， （1）尝试探究 如图 （1） ， 在正方形 ABCD 中， 对角线 AC、 BD 相交于点 O， 点 E 是 BC 边上一点， AE 与 BD 交于点 G，过点 E 作 EFAE 交 AC 于点 F，若，则的值是 ； （2）拓展迁移 如图（2） ，在矩形 ABCD 中，过点 B 作 BHAC 于点 O，交 AD 于点 H，点 E 是 BC 边上一点，AE 与BH 相交于点 G，过点 E 作 EFAE 交 AC 于点 F 若BAEACB，sinEAF，求 tanACB； 若，b（a0，b0） ，求的值（用含 a，b 的代数式表示） 参考答案解
11、析参考答案解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1 （4 分）若（ab） ：a1：15，则 a：b（ ） A1：15 B4：5 C15：14 D14：15 【分析】根据比例式的分比性质，可得：，通过整理可知：，即可推出 a：b15：14 【解答】解：（ab） ：a1：15， ， ， a：b15：14 故选：C 【点评】本题主要考查比例式的性质，关键在于熟练运用比例式的分比性质，认真的进行计算 2 （4 分）下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（ ） A B C D 【分析】由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为
12、1，所以每一个三角形的边长都是可以表示出，然后根据三角形的对应边成比例即可判定选择项 【解答】解：设小正方形的边长为 1，那么已知三角形的三边长分别为 ，2，所以三边之比为 1：2： A、三角形的三边分别为 2，3，三边之比为 ：3，故本选项错误； B、三角形的三边分别为 2，4，2，三边之比为 1：2：，故本选项正确； C、三角形的三边分别为 2，3，三边之比为 2：3：，故本选项错误； D、三角形的三边分别为，4，三边之比为：4，故本选项错误 故选：B 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，属于基础题，掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答本题的关键，难度一般 3 （4 分）如图，AD
13、BECF，点 B，E 分别在 AC，DF 上，DE2，EFAB3，则 BC 长为（ ） A B2 C D4 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得出答案 【解答】解：ADBECF， ， DE2，EFAB3， ， BC， 故选：A 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容是解题的关键 4 （4 分）在正方形网格中，BAC 如图放置，点 A，B，C 都在格点上，则 sinBAC 的值为（ ） A B C D 【分析】连接 BC，则利用勾股定理可得 AC，BC，AB，从而可得ACB90，在RTABC 中求解 sinBAC 的值即可 【解答】解：连接 BC， 则可得 AC，BC，AB
14、， AC2+BC2AB2， ACB90， 在 RTABC 中，sinBAC 故选：C 【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是求出 AB、AC、BC 的长度，判断出ABC 是直角三角形 5 （4 分）两个相似三角形的一组对应边分别为 6cm 和 8cm，如果较小三角形的周长为 27cm，那么较大三角形的周长为（ ） A30cm B36cm C45cm D54cm 【分析】由两个相似三角形的一组对应边分别为 6cm 和 8cm，可求得相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，较小三角形的周长为 27cm，即可求得答案 【解答】解：两个相似三角形的一组对应边分别为 6c
15、m 和 8cm， 相似比为：6：83：4， 周长比为：3：4， 较小三角形的周长为 27cm， 较大三角形的周长为：2736（cm） 故选：B 【点评】此题考查了相似三角形的性质此题比较简单，注意掌握相似三角形的周长比等于相似比定理的应用是解此题的关键 6 （4 分）菱形 ABCD 的对角线 AC6，BD8，ABD，则下列结论正确的是（ ） A B Ctan Dsin 【分析】首先根据菱形的性质可得 ACDB，AOCOAC，BODOBD，再利用勾股定理计算出 AB 长，然后根据锐角三角函数定义分别进行计算可得答案 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， ACDB，AOCOAC，BODOBD，
16、AC6，BD8， AO3BO4， AB5， sin，cos，tan， 故选：D 【点评】此题主要考查了菱形的性质，以及锐角三角函数，关键是掌握菱形的对角线互相垂直、平分 7 （4 分）如图，取一张长为 a、宽为 b 的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边 a、b 应满足的条件是（ ） A Ba2b C D 【分析】根据题意可得：对折两次后得到的小长方形纸片的长为 b，宽为a，然后利用相似多边形的性质可得，进行计算即可解答 【解答】解：由题意得： 对折两次后得到的小长方形纸片的长为 b，宽为a， 小长方形与原长方形相似， ， b2a2，
17、 a24b2， a2b， 故选：B 【点评】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，翻折变换（折叠问题） ，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键 8 （4 分）如图，AC 是O 的直径，弦 BDAO 于 E，连接 BC，过点 O 作 OFBC 于 F，若 BD8cm，AE2cm，则 OF 的长度是（ ） A3cm Bcm C2.5cm Dcm 【分析】根据垂径定理得出 AB 的长，进而利用中位线定理得出 OF 即可 【解答】解：连接 AB，OB， AC 是O 的直径，弦 BDAO 于 E，BD8cm，AE2cm， 在 RtABE 中，AE2+BE2AB2， 即 AB， OAOC，OBOC，OF
18、BC， BFFC， OF 故选：D 【点评】此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出 OE 的长 9 （4 分）如图，正方形 ABCD 中，内部有 6 个全等的正方形，小正方形的顶点 E、F、G、H 分别在边 AD、AB、BC、CD 上，则 tanDEH（ ） A B C D 【分析】设大正方形的边长为 25，如图，过点 G 作 GPAD，垂足为 P，可以得到BGFPGE，再根据相似三角形对应边成比例的性质列式求解即可得到 DE 和 BG，根据勾股定理可求 EG 的长，进而求出每个小正方形的边长进而求出 tanDEH 的值 【解答】解：如图所示： 设正方形 ABCD 边长为 25， AB90，
19、AB25， 过点 G 作 GPAD，垂足为 P，则4590， 四边形 APGB 是矩形， 2+390，PGAB25， 六个大小完全一样的小正方形如图放置在大正方形中， 1+290， 1FGB， BGFPGE， ， ， GB5 AP5 同理 DE5 PEADDEAP255515，PG25， tanDEHtan1PE：PG3：5 故选：A 【点评】本题主要考查了利用相似三角形的判定和相似三角形对应边成比例的性质和勾股定理，综合性较强，正确的作出辅助线是解题的关键 10 （4 分）如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别为 AD，CD 的中点，BF 与 CE 相交于点 H，直线 EN 交CB 的延
20、长线于点 N，作 CMEN 于点 M，交 BF 于点 G，且 CMCD，有以下结论：BFCE；EDEN；tanENC；S四边形DEHF4SCHF，其中正确结论的个数为（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】正确由CDEBCF，推出CBFECD，由ECD+ECB90，推出CBF+BCE90，推出BHC90，推出 BFCE； 错误利用 HL 证明 RtCEMRtCED，根据全等三角形的性质得出 EDEM； 正确首先证明 NENC，设 NECNx，EMDEAEa，则 CMCD2a，在 RtCNM 中，可得（xa）2+（2a）2x2，推出 xa，由 tanENC计算即可； 正确易知CH
21、FCDE，可得（）2 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， BCCDAD，BCFCDE90， E，F 分别为 AD，CD 的中点， DEAD，CFCD， DECF， CDEBCF（SAS） ， CBFECD， ECD+ECB90， CBF+BCE90， BHC90， BFCE，故正确， CMCD，CMED90，CECE， RtCEMRtCED（HL） ， EDEM，故错误， CEDCEMECN， NENC，设 NECNx，EMDEAEa，则 CMCD2a， 在 RtCNM 中， （xa）2+（2a）2x2， 解得 xa， tanENC，故正确， 在 RtCDE 中，CEa， CHFD90，
22、HCFDCE， CHFCDE， （）2， S四边形DEHF4SCHF，故正确， 故选：C 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）如图，在 RtABC 中，C90，若 sinA，则 cosB 【分析】根据三角函数的定义即可得到 cosBsinA 【解答】解：在 RtABC 中，C90， sinA， cosB 故答案为： 【点评】本题考查了三角函数的定义，由定义可推出互余两角的三角函数的关系：
23、若A+B90，则 sinAcosB，cosAsinB熟知相关定义是解题关键 12 （5 分）已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 APBP，AB4，那么 AP 22 【分析】根据黄金分割点的定义，知 AP 是较长线段；则 APAB，代入数据即可得出 AP 的长 【解答】解：由于 P 为线段 AB4 的黄金分割点， 且 AP 是较长线段； 则 APAB422 故答案为 22 【点评】本题考查了黄金分割的概念应该识记黄金分割的公式：较短的线段原线段的，较长的线段原线段的 13 （5 分）在ABC 中，如果A、B 满足|tanA1|+（cosB）20，那么C 75 【分析】先根据ABC 中，t
24、anA1，cosB，求出A 及B 的度数，进而可得出结论 【解答】解：ABC 中，|tanA1|+（cosB）20 tanA1，cosB A45，B60， C75 故答案为：75 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键 14 （5 分）已知ABC 中，AB4，AC6，D 是 AB 的中点，E 为 AC 边上的点，ADE 与ABC 相似，则 AE 3 或 【分析】分类讨论：当ADEABC 时，即；当ADEACB 时，即，然后根据比例性质分别计算出对应的 AE 的值 【解答】解：当ADEABC 时，即，则 AE3； 当ADEACB 时，即，则 AE， 所
25、以 AE 的长为 3 或 故答案为：3 或 【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方 15 （5 分）晚上，小亮（GH）走在大街上，他发现：当他站在大街两边的两盏路灯（AB 和 CD）之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时， 自己右边的影子长为 3 米， 左边的影子长为 1.5 米 又知自己身高 1.80 米，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为 12 米，则路灯的高为 6.6 米 【分析
26、】利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出路灯的高即可 【解答】解：设路灯的高为 x 米， GHBD，ABBD， GHAB EGHEAB 同理FGHFCD， 解得：EB11，代入得， 解得 x6.6 答：路灯的高 6.6 米 故答案为：6.6 【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出路灯的高，体现了转化的思想 16 （5 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABC90，AB3，BC4，CD10，DA5，则 BD 的长为 2 【分析】 作 DMBC， 交 BC 延长线于 M， 连接 AC， 由勾股定理得出 AC2AB2+BC225， 求出 A
27、C2+CD2AD2，由勾股定理的逆定理得出ACD 是直角三角形，ACD90，证出ACBCDM，得出ABCCMD，由相似三角形的对应边成比例求出 CM2AB6，DM2BC8，得出 BMBC+CM10，再由勾股定理求出 BD 即可 【解答】解：作 DMBC，交 BC 延长线于 M，连接 AC，如图所示： 则M90， DCM+CDM90， ABC90，AB3，BC4， AC2AB2+BC225， CD10，AD5， AC2+CD2AD2， ACD 是直角三角形，ACD90， ACB+DCM90， ACBCDM， ABCM90， ABCCMD， ， CM2AB6，DM2BC8， BMBC+CM10，
28、BD2， 故答案为：2 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明由勾股定理的逆定理证出ACD 是直角三角形是解决问题的关键 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 8 小题，第小题，第 17、18、19、20 题每题题每题 8 分，第分，第 21 题题 10 分，第分，第 22、23 题每题题每题 12 分，第分，第24 题题 14 分，共分，共 80 分）分） 17 （8 分）计算： （1）+tan60 （2）2cos45sin452sin30tan45+tan60 【分析】 （1）将特殊角的三角函数值代入后进行化简求值即可；
29、（2）将特殊角的三角函数值代入，然后化简二次根式，最后合并同类项即可 【解答】解： （1）原式+； （2）原式221+11+33 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记 18 （8 分）在ABC 中，C90，BC3，A30，求B 和 AC，AB 的长 【分析】在 RtABC 中，利用直角三角形的两个锐角互余求出B60，然后利用含 30 度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答 【解答】解：C90，BC3，A30， B90A60，AB2BC6， ACBC3， B
30、60，AB6，AC3 【点评】本题考查了解直角三角形，含 30 度角的直角三角形，熟练掌握含 30 度角的直角三角形的性质是解题的关键 19 （8 分）如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是 1，ABC 是格点三角形（顶点在方格顶点处） （1）在图 1 中画出一个格点A1B1C1，使得A1B1C1与ABC 相似，周长之比为 2：1； （2）在图 2 中画出一个格点A2B2C2，使得A2B2C2与ABC 相似，面积之比为 2：1 【分析】 （1）根据相似三角形的性质，把ABC 的边长扩大 2 倍即可 （2）根据相似三角形的性质，把ABC 的边长扩大倍即可 【解答】解： （1）如图，A1B1C1即
31、为所求作 （2）如图，A2B2C2即为所求作 【点评】本题考查作图相似变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题 20 （8 分）如图，已知斜坡 AB 长 60 米，坡角（即BAC）为 30，BCAC，现计划在斜坡中点 D 处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线 CA 的平台 DE 和一条新的斜坡 BE （请将下面 2 小题的结果都精确到 0.1 米，参考数据：1.732） （1）若修建的斜坡 BE 的坡角（即BEF）不大于 45，则平台 DE 的长最多为 10.9 米； （2）一座建筑物 GH 距离坡角 A 点 27 米远（即 AG27 米） ，小明在
32、 D 点测得建筑物顶部 H 的仰角（即HDM）为 30点 B、C、A、G、H 在同一个平面内，点 C、A、G 在同一条直线上，且 HGCG，问建筑物 GH 高为多少米？ 【分析】 （1）根据题意得出，BEF 最大为 45，当BEF45时，EF 最短，此时 ED 最长，进而得出 EF 的长，即可得出答案； （2） 利用在 RtDPA 中， DPAD， 以及 PAADcos30进而得出 DM 的长， 利用 HMDMtan30得出即可 【解答】解： （1）修建的斜坡 BE 的坡角（即BEF）不大于 45， BEF 最大为 45， 当BEF45时，EF 最短，此时 ED 最长， DACBDF30，AD
33、BD30， BFEFBD15， DF15， 故：DEDFEF15（1）10.9（米） ； 若修建的斜坡 BE 的坡角（即BEF）不大于 45，则平台 DE 的长最多为 10.9m； （2）过点 D 作 DPAC，垂足为 P 在 RtDPA 中，DPAD3015， PAADcos303015 在矩形 DPGM 中，MGDP15，DMPG15+27， 在 RtDMH 中， HMDMtan30（15+27）15+9 GHHM+MG15+15+945.6 答：建筑物 GH 高约为 45.6 米 【点评】此题主要考查了解直角三角形中坡角问题，根据图象构建直角三角形，进而利用锐角三角函数得出是解题关键 2
34、1 （10 分）如图，在 RtABC 中，C90，AC4cm，BC3cm动点 M，N 从点 C 同时出发，均以每秒 1cm 的速度分别沿 CA、CB 向终点 A，B 移动，同时动点 P 从点 B 出发，以每秒 2cm 的速度沿 BA向终点 A 移动，连接 PM，PN，设移动时间为 t（单位：秒，0t2.5） （1）当 t 为何值时，以 A，P，M 为顶点的三角形与ABC 相似？ （2）是否存在某一时刻 t，使四边形 APNC 的面积 S 有最小值？若存在，求 S 的最小值；若不存在，请说明理由 【分析】根据勾股定理求得 AB5cm （1）分类讨论：AMPABC 和APMABC 两种情况利用相似
35、三角形的对应边成比例来求 t的值； （2）如图，过点 P 作 PHBC 于点 H，构造平行线 PHAC，由平行线分线段成比例求得以 t 表示的PH 的值；然后根据“SSABCSBPH”列出 S 与 t 的关系式 S（t）2+（0t2.5） ，则由二次函数最值的求法即可得到 S 的最小值 【解答】解：如图，在 RtABC 中，C90，AC4cm，BC3cm 根据勾股定理，得5cm （1）以 A，P，M 为顶点的三角形与ABC 相似，分两种情况： 当AMPABC 时，即， 解得 t； 当APMABC 时，即， 解得 t0（不合题意，舍去） ； 综上所述，当 t时，以 A、P、M 为顶点的三角形与A
36、BC 相似； （2）存在某一时刻 t，使四边形 APNC 的面积 S 有最小值理由如下： 假设存在某一时刻 t，使四边形 APNC 的面积 S 有最小值 如图，过点 P 作 PHBC 于点 H则 PHAC， ，即， PHt， SSABCSBPN， 34（3t） t， （t）2+（0t2.5） 0， S 有最小值 当 t时，S最小值 答：当 t时，四边形 APNC 的面积 S 有最小值，其最小值是 【点评】本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例，二次函数最值的求法以及三角形面积公式解答（1）题时，一定要分类讨论，以防漏解另外，利用相似三角形的对应边成比例解题时，务必找准对应边
37、22 （12 分）已知一个直角三角形纸片 ACB，其中ACB90，AC4，BC3，点 E、F 分别是 AC、AB边上的一动点，连接 EF，将纸片的一角 AEF 沿 EF 折叠 （1）若折叠后点 A 落在 AB 边上的点 D 处（如图 1） ，且 S四边形ECBD3SEDF，求 AE 的长； （2）若 AEAF，折叠后点 A 的对应点为点 M（如图 2） ，连结 BM 若点 M 恰好在 BC 边上（如图 3） ，求 EF 的长 求 BM 的最小值 【分析】 （1）由折叠的性质得出 EFAB，AEFDEF，得出 SAEFSDEF，由已知得出 SABC4SAEF，证明AEFABC，得出（）2，即可求
38、出 AE 的长； （2）如图 3 中，漏解 AM 交 EF 于点 O证明四边形 AEMF 是菱形，求出菱形的边长，再利用相似三角形的性质求解即可； 由可知， 四边形 AEMF 是菱形， 推出CAMBAM， 推出点 M 的运动轨迹是CAB 的角平分线，推出当 BMAM 时，BM 的值最小 【解答】解： （1）如图 1 中， ACB 的一角沿 EF 折叠，折叠后点 A 落在 AB 边上的点 D 处， EFAB，AEFDEF， SAEFSDEF， S四边形ECBF3SEDF， SABC4SAEF， 在 RtABC 中，ACB90，AC4，BC3， AB5， EAFBAC， AEFABC， （）2，即
39、（）2， AE； （2）如图 3 中，连接 AM 交 EF 于点 O AEAF，AEEM，FAFM， AEEMFAF， 四边形 AEMF 是菱形， FMAC，EFAM，OEOF， FMBC90， 设 AFFMAEEMx，则 BFx，BMx， AB5， x+x5， x， AE，BM，CM， AM， EAOCAM，AOEC90， AOEACM， ， ， OE， EF2OE； 由可知，四边形 AEMF 是菱形， CAMBAM， 点 M 的运动轨迹是CAB 的角平分线， 当 BMAM 时，BM 的值最小，此时 BMABsinMAN5 【点评】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质、相似三角形的判定和性质
40、、勾股定理、菱形的判定和性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似和运用勾股定理得出方程是解决问题的关键，属于中考常考题型 23 （12 分）如图，四边形 ABCD 中，ABAD，边 BC、CD 的垂直平分线交于四边形内部一点 O，连接BO、DO，已知 BOAD （1）判断四边形 ABOD 的形状？并证明你的结论； （2）连接 AO 并延长，交 BC 于点 E，若 CE2，BE6，ODC45 求 AB 的长 若BAD135，求 AOAE 的值 【分析】 （1）连接 AO、CO，根据中垂线知 OBOCOD，证ABOADO 得BAODAO，由BOAD 知BOADAO，从而得BAOBOA，
41、据此知 ABBO，继而得证； （2）连接 CO、DE，设 DE 交 OC 于点 P，先证BOEDOE 得 BEDE、OBEODE，结合OBCOCB 知OCEODE，由EPCOPD 知CEPDOP90，根据 CE2+DE2DC2知 CE2+BE22AB2，代入计算可得； （3）由BOEDOE，DEB90知OEBOED45，结合四边形 ABOD 是菱形，BAD135知ABO45，从而得ABOAEB，证ABOAEB 得 AOAEAB2，代入计算可得 【解答】解： （1）四边形 ABOD 是菱形，理由如下： 如图 1，连接 AO、CO， 边 BC、CD 的垂直平分线交于点 O， OBOCOD， 又 A
42、BAD，AOAO， ABOADO（SSS） ， BAODAO， BOAD， BOADAO， BAOBOA， ABBO， ABBOODAD， 四边形 ABOD 是菱形； （2）如图 2，连接 CO、DE，设 DE 交 OC 于点 P， ODC45，OCOD， COD90，OCD 是等腰直角三角形， CDODAB， 四边形 ABOD 是菱形， DOABOA， BOEDOE， 在BOE 和DOE 中， ， BOEDOE（SAS） ， BEDE、OBEODE， OBCOCB， OCEODE， 又EPCOPD， CEPDOP90， 在 RtDCE 中，CE2+DE2DC2，即 CE2+BE22AB2，
43、CE2，BE6， 2AB2（2）2+（6）2200， AB10； （3）由（2）知BOEDOE，DEB90， OEBOED45， 四边形 ABOD 是菱形，BAD135， ABO45， ABOAEB， 又BAOEAB， ABOAEB， ， AOAEAB2， AB10， AOAE100 【点评】本题是相似形的综合问题，解题的关键是掌握菱形的判定与性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质等知识点 24 （14 分）类比转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整， （1）尝试探究 如图 （1） ， 在正方形 ABCD 中， 对角线 AC
44、、 BD 相交于点 O， 点 E 是 BC 边上一点， AE 与 BD 交于点 G，过点 E 作 EFAE 交 AC 于点 F，若，则的值是 ； （2）拓展迁移 如图（2） ，在矩形 ABCD 中，过点 B 作 BHAC 于点 O，交 AD 于点 H，点 E 是 BC 边上一点，AE 与BH 相交于点 G，过点 E 作 EFAE 交 AC 于点 F 若BAEACB，sinEAF，求 tanACB； 若，b（a0，b0） ，求的值（用含 a，b 的代数式表示） 【分析】 （1）过 E 作 ENAC 于 N，EMBD 于 M，由四边形 ABCD 是正方形，得到 ACBD，ACBDBC45，于是得到
45、四边形 OMEN 是矩形，BEM 与CEN 是等腰直角三角形，求得2，然后根据EMGENF，即可得到结论； （2）证出 GAGB，设 GO2a，则 GA3a，由勾股定理求出 OAa，由锐角三角函数的定义可得出答案； 过 E 作 ENAC 于 N， EMBH 于 M， 得到四边形 OMEN 是矩形， 由MEGNEF， 得到，由于ABCCNE，求出 EN，由于BEMBCO，得到，求出 EMaCN，即可得到结论 【解答】解： （1）过 E 作 ENAC 于 N，EMBD 于 M， 四边形 ABCD 是正方形， ACBD，ACBDBC45， 四边形 OMEN 是矩形，BEM 与CEN 是等腰直角三角形
46、， MEN90，EMBE，ENCE， 2， 2， EFAE， MEGNEF， EMGENF， ， 故答案为： （2）BHAC， BOCAOB90， ACB+OBC90， 四边形 ABCD 是矩形， ABE90， ABO+OBC90， ACBABO， BAEACB， BAEABO， GAGB， 设 GO2a， sinEAF， GA3a， OAa， OBGB+OG3a+2a5a， tanABO， tanACB； 如图 3 中，过 E 作 ENAC 于 N，EMBH 于 M， BHAC， 四边形 OMEN 是矩形， MEN90， AEEF， MEGNEF， MEGNEF， ， ABCCNE90，ACBECN， ABCENC， b， EN， EMBH，ACBH， EMAC， BEMBCO， ， a， ， ， ONEM， a， EMaCN， 【点评】本题是四边形综合题，考查了相似形的判定与性质、矩形的性质、正方形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题
