1、 2022-2023 学年福建省泉州市泉港区九年级学年福建省泉州市泉港区九年级上上期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。分。 1若式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 2已知 3x5y（y0），则下列比例式成立的是（ ） A B C D 3下列各式中，能与合并的二次根式是（ ） A B C D 4下列事件中，属于必然事件的是（ ） A任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 Ba 为实数，|a|0 C打开电视，正在播放动画片 D任选三角形的两边，其差小于第三边 5用配方法解下列
2、方程，其中应在方程左右两边同时加上 4 的是（ ） Ax22x5 B2x24x5 Cx2+4x5 Dx2+2x5 6如图，P 是 的边 OA 上一点，且点 P 的横坐标为 3，sin，则 tan（ ） A B C D 7如图，l1l2l3，两条直线与这三条平行线分别交于点 A、B、C 和 D、E、F，若，则的值为（ ） A B C D 8中国古代数学家杨辉的田亩比类乘除捷法有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为 864 平方步，只知道它的长与宽共 60 步，问它的长比宽多多少步？经过计算，你的结论是：长比宽多（ ） A12 步 B24
3、 步 C36 步 D48 步 9如图，正方形 OEFG 和正方形 ABCD 是位似图形，且点 D 与点 G 是一对对应点，点 D（2，2），点 G（0，1），则它们位似中心的坐标是（ ） A（2，0） B（1，0） C（0，0） D（3，0） 10已知 xy1，且 3x2+2022x+60，6y2+2022y+30，则（ ） A9 B3 C2 D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分。分。 11化简： 12一元二次方程（x2）（x+7）0 的根是 13如图，某水库堤坝横断面迎水坡 AB 的斜面坡度是 i1：，堤高 BC 是 50 米，则
4、迎水坡面 AB 的长是 米 14目前以 5G 等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展某市 2020 年底有 5G 用户 2 万户，计划到 2022 年底全市 5G 用户数累积到达到 9.5 万户设全市 5G 用户数年平均增长率为 x，则 x 的值为 15如图，在ABC 中，AE 是 BC 边上的中线，点 G 是ABC 的重心，过点 G 作 GFAB 交 BC 于点 F，那么 16如图，已知正方形 ABCD，E 为边 BC 上一个动点（E 点不与 B、C 重合），F 为 BC 延长线上的一个动点，且有 BECF，AE 交 BD 于 H，连接 DF，过 F 作 FGBD 于 G，连接 AG、EG，则下列
5、结论： 四边形 AEFD 为菱形； AGEG； 当 E 为 BC 中点时，tanBGE； 当时， 其中正确的有 （写出正确结论的序号） 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 9 小题，共小题，共 86 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17计算：（）1+|3|（2sin603）0+4cos45 18解方程：x26x+10 19国家的“双减”政策要求教师注重作业的设计与布置，为了更好落实国家的“双减”政策，某学校七年级为学生设计了丰富多彩的寒假实践作业，作业由两类 7 项组成，供学生自主选择完成 A 类：创作微视频，内容可从以下四方面选择：
6、a1：一道（类）题的解法研究，a2：读数学类书籍的心得分享；a3：魔术与数学；a4：某个数学知识的探究B 类：创作手抄报，内容可以从以下 3 个方面选择：b1：绘制七年级上章节思维导图：b2：数学家的故事；b3：数学知识发展史 同学们可以从以上 7 项作业中任选一项或两项来完成，请回答下列问题： （1）小明准备随机选择一项去完成，则他选择 a3：魔术与数学的概率为 ； （2）小丽准备从 A、B 两类中分别随机选择一项完成，求小丽最终选择完成 a2和 b3两项作业的概率 20如图，两座建筑物 AB 和 DC 的水平距离 BC 为 24 米，从点 A 测得点 D 的俯角 30，测得点 C 的俯角
7、60，求这两座建筑物的高（答案保留根号） 21关于 x 的一元二次方程 x2+（k5）x+1k0，其中 k 为常数 （1）求证：无论 k 为何值，方程总有两个不相等实数根； （2）若原方程的一根大于 3，另一根小于 3，求 k 的最大整数值 22如图，在ABC 中，ACB 为钝角 （1）尺规作图：在边 AB 上确定一点 D，使ADC2B（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）； （2）在（1）的条件下，若B15，ACB105，CD3，AC，求ABC 的面积 23某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本 3 元试销期间发现每天的销售量 y（袋）与销售单价 x
8、（元）之间满足一次函数关系 y80 x+560，其中 3.5x5.5，另外每天还需支付其他各项费用 80 元 （1）如果每天获得 160 元的利润，销售单价为多少元？ （2）设每天的利润为 w 元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 24如图 1，直线 AB 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，点 C 在 x 轴负半轴上，这三个点的坐标分别为 A（4，0），B（0，4），C（1，0） （1）请求出直线 AB 的解析式； （2）连接 BC，若点 E 是线段 AC 上的一个动点（不与 A，C 重合），过点 E 作 EFBC 交 AB 于点 F，当BEF 的面积是，求点
9、 E 的坐标； （3）如图 2，将点 B 向右平移 1 个单位长度得到点 D，在 x 轴上存在动点 P，若DCO+DPO，当 tan4 时，请直接写出点 P 的坐标 25已知，四边形 ABCD 是矩形，ADAB，E、F、G 分别是 AB、BC、AD 上的点， （1）当 n1，DEEF 如图 1，求证：； 如图 2，连接 DF，若 CF2AG，求； （2）如图 3，AD2AB10，GEF45，直接写出EFG 面积的最小值 参考答案参考答案 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。分。 1若式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）
10、 Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数，即可确定二次根式被开方数中字母的取值范围 解：在实数范围内有意义， 2x40， 解得：x2， x 的取值范围是：x2 故选：B 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数正确把握二次根式的定义是解题关键 2已知 3x5y（y0），则下列比例式成立的是（ ） A B C D 【分析】直接利用比例的性质得出 x，y 之间关系进而得出答案 解：A、，可以化成：xy15，故此选项错误； B、，可以化成：3x5y，故此选项正确； C、，可以化成：5x3y，故此选项错误； D、，可以化成：5x3y，
11、故此选项错误 故选：B 【点评】此题主要考查了比例的性质，正确掌握比例的基本性质是解题关键 3下列各式中，能与合并的二次根式是（ ） A B C D 【分析】先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可 解：A.与不是同类二次根式，不能合并，故选项 A 不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，故选项 B 不符合题意； C、与不是同类二次根式，不能合并，故选项 C 不符合题意； D、是同类二次根式，能合并，故选项 D 符合题意； 故选：D 【点评】 本题考查的是同类二次根式， 把几个二次根式化为最简二次根式后， 如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式 4下列事
12、件中，属于必然事件的是（ ） A任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 Ba 为实数，|a|0 C打开电视，正在播放动画片 D任选三角形的两边，其差小于第三边 【分析】根据绝对值的非负性，随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答 解：A、任意抛掷一只纸杯，杯口朝下，是随机事件，故 A 不符合题意； B、a 为实数，|a|0，是随机事件，故 B 不符合题意； C、打开电视，正在播放动画片，是随机事件，故 C 不符合题意； D、任选三角形的两边，其差小于第三边，是必然事件，故 D 符合题意； 故选：D 【点评】本题考查了绝对值，绝对值的非负性，随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特
13、点是解题的关键 5用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上 4 的是（ ） Ax22x5 B2x24x5 Cx2+4x5 Dx2+2x5 【分析】根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方分别进行解答，即可得出答案 解：A、因为本方程的一次项系数是2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方 1；故本选项错误； B、先在等式的两边同时除以 2，得到 x22x，因为此方程的一次项系数是2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方 1；故本选项错误； C、因为本方程的一次项系数是 4，所以等式两边同时加上一次
14、项系数一半的平方 4；故本选项正确； D、因为本方程的一次项系数是 2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方 1；故本选项错误； 故选：C 【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数 6如图，P 是 的边 OA 上一点，且点 P 的横坐标为 3，sin，则 tan（ ） A B C D 【分析】先由 sin求得 PQ4，OP5，再根据正切函数的定义求解可得 解：如图， 由 sin可设 PQ4a，OP5a， OQ3， 由 OQ2+PQ2OP2可得 32+（4a）2（5a）2，
15、解得：a1（负值舍去）， PQ4，OP5， 则 tan， 故选：C 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，能求出 PQ、OP 的长是解此题的关键 7如图，l1l2l3，两条直线与这三条平行线分别交于点 A、B、C 和 D、E、F，若，则的值为（ ） A B C D 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理进而得出，再将已知数据代入求出即可 解：l1l2l3， ， ， ； 故选：A 【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，得出是解题的关键 8中国古代数学家杨辉的田亩比类乘除捷法有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为
16、864 平方步，只知道它的长与宽共 60 步，问它的长比宽多多少步？经过计算，你的结论是：长比宽多（ ） A12 步 B24 步 C36 步 D48 步 【分析】设矩形田地的长为 x 步（x30），则宽为（60 x）步，由矩形的面积长宽，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之即可得出 x 的值，将其代入 x（60 x）中，即可求出结论 解：设矩形田地的长为 x 步（x30），则宽为（60 x）步， 根据题意得：x（60 x）864， 整理得：x260 x+8640， 解得：x36 或 x24（舍去）， x（60 x）12 故选：A 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及矩形的面积，根据矩形的
17、面积公式，列出关于 x 的一元二次方程是解题的关键 9如图，正方形 OEFG 和正方形 ABCD 是位似图形，且点 D 与点 G 是一对对应点，点 D（2，2），点 G（0，1），则它们位似中心的坐标是（ ） A（2，0） B（1，0） C（0，0） D（3，0） 【分析】两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行则位似中心就是两对对应点的延长线的交点 解： 点 F 与点 C 是一对对应点， 可知两个位似图形在位似中心同旁， 位似中心就是 CF 与 x 轴的交点， 设直线 GD 解析式为 ykx+b， 将 D（2，2），G（0，1），代入， 得， 解得
18、 ， 即 yx+1， 令 y0 得 x2， O坐标是（2，0）； 故选：A 【点评】本题主要考查位似图形的性质，难度适中，每对位似对应点与位似中心共线注意若题干中不指明“点 G 与点 D 是一对对应点”，则应有两种情况 10已知 xy1，且 3x2+2022x+60，6y2+2022y+30，则（ ） A9 B3 C2 D 【分析】 把方程 6y2+2022y+30 两边除以 y2得到 3 （）2+2022+60， 则 x、 可看作方程 3t2+2022t+60 的两根，然后利用根与系数的关系解决问题 解：6y2+2022y+30，y0， 6+2022+3（）20， 即 3（）2+2022+6
19、0， x、可看作方程 3t2+2022t+60 的两根， x2， 故选：D 【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2，x1x2 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分。分。 11化简： 8 【分析】根据算术平方根的定义求出即可 解：8， 故答案为：8 【点评】本题考查了对算术平方根的定义的应用，主要考查学生的计算能力 12一元二次方程（x2）（x+7）0 的根是 x12，x27 【分析】利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答 解：（x2）（x+7）0， x20
20、或 x+70， x12，x27， 故答案为：x12，x27 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键 13如图，某水库堤坝横断面迎水坡 AB 的斜面坡度是 i1：，堤高 BC 是 50 米，则迎水坡面 AB 的长是 100 米 【分析】由坡度的定义求出坡角为 30，即可解决问题 解：迎水坡 AB 的坡度 i1：， tanBAC， BAC30， AB2BC100（米）， 故答案为：100 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念是解题的关键 14目前以 5G 等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展某市 2020 年底有 5G
21、 用户 2 万户，计划到 2022 年底全市 5G 用户数累积到达到 9.5 万户设全市 5G 用户数年平均增长率为 x，则 x 的值为 50% 【分析】 设全市 5G 用户数年平均增长率为 x， 根据该市 2020 年底及计划到 2022 年底全市 5G 用户数量，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论 解：设全市 5G 用户数年平均增长率为 x， 依题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）29.5， 整理，得 4x2+12x70， 解得：x10.550%，x23.5（不合题意，舍去） 故答案为：50% 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次
22、方程是解题的关键 15如图，在ABC 中，AE 是 BC 边上的中线，点 G 是ABC 的重心，过点 G 作 GFAB 交 BC 于点 F，那么 【分析】根据三角形的重心的概念得到，根据平行线分线段成比例定理得到，根据三角形的中线的概念计算即可 解：点 G 是ABC 的重心， ， GFAB， ， AE 是 BC 边上的中线， EBEC， ， 故答案为： 【点评】本题考查的是三角形的重心的概念、平行线分线段成比例定理，掌握重心到顶点的距离是重心到对边中点的距离的 2 倍是解题的关键 16如图，已知正方形 ABCD，E 为边 BC 上一个动点（E 点不与 B、C 重合），F 为 BC 延长线上的一
23、个动点，且有 BECF，AE 交 BD 于 H，连接 DF，过 F 作 FGBD 于 G，连接 AG、EG，则下列结论： 四边形 AEFD 为菱形； AGEG； 当 E 为 BC 中点时，tanBGE； 当时， 其中正确的有 （写出正确结论的序号） 【分析】可证得四边形 AEFD 为平行四边形，而 ADAE，可判断AEFD 不是菱形； 如图 1，连接 CG，分别证得ADGCDG（SAS），BEGFCG（SAS），即可判断； 如图 2，过点 E 作 EKBD 于点 K，设正方形 ABCD 的边长为 a，利用正方形和等腰直角三角形性质可求得 EK、GK，再根据三角函数定义即可判断； 设正方形 AB
24、CD 的边长为 a， 可证得ADHEBH， 得出， 进而可得，；即可判断 解：四边形 ABCD 是正方形， ADABBC，ADBC， BECF， BE+ECEC+CF， 即 BCEF， ADEF， ADEF， 四边形 AEFD 为平行四边形， 在 RtABE 中，ABAE， ADAE， AEFD 不是菱形；故错误； 如图 1，连接 CG， 四边形 ABCD 是正方形， ADCD，ADBCDBEBG45， 在ADG 和CDG 中， ， ADGCDG（SAS）， AGCG， FGBD， BGF90， FBG45， BFG 是等腰直角三角形， BGFG，CFGEBG45， 在BEG 和FCG 中，
25、， BEGFCG（SAS）， EGCG， AGEG；故正确； 如图 2，过点 E 作 EKBD 于点 K， 设正方形 ABCD 的边长为 a，则 ABBCa， E 是 BC 的中点， BECFa， BFBC+CFa+aa， BFG 是等腰直角三角形， BGFGcosFBGacos45a， EKBD， BKEEKG90， EKBKBEcosFBGacos45a， GKBGBKaaa， tanBGE；故正确； 设正方形 ABCD 的边长为 a，则 BDa， ， BECFa， BFBC+CFa+aa， BFG 是等腰直角三角形， BGBFaa， ADBC， ADHEBH， ， BHBDaa， HGB
26、GBHaaa， ， ；故正确； 故答案为： 【点评】本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角函数定义，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形面积等，熟练掌握全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定和性质是解题关键 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 9 小题，共小题，共 86 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17计算：（）1+|3|（2sin603）0+4cos45 【分析】先计算负整数指数幂、绝对值、零次幂、特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减 解：（）1+|3|（2sin603）0
27、+4cos45 2+321+4 2+321+2 0 【点评】此题考查了负整数指数幂、绝对值、零次幂、特殊角的三角函数值的混合运算能力，关键是能确定正确的运算顺序，并能进行正确运算 18解方程：x26x+10 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得 解：x26x1， x26x+91+9，即（x3）28， 则 x3， x3 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键 19国家的“双减”政策要求教师注重作业的设计与布置，为
28、了更好落实国家的“双减”政策，某学校七年级为学生设计了丰富多彩的寒假实践作业，作业由两类 7 项组成，供学生自主选择完成 A 类：创作微视频，内容可从以下四方面选择：a1：一道（类）题的解法研究，a2：读数学类书籍的心得分享；a3：魔术与数学；a4：某个数学知识的探究B 类：创作手抄报，内容可以从以下 3 个方面选择：b1：绘制七年级上章节思维导图：b2：数学家的故事；b3：数学知识发展史 同学们可以从以上 7 项作业中任选一项或两项来完成，请回答下列问题： （1）小明准备随机选择一项去完成，则他选择 a3：魔术与数学的概率为 ； （2）小丽准备从 A、B 两类中分别随机选择一项完成，求小丽最
29、终选择完成 a2和 b3两项作业的概率 【分析】（1）直接利用概率公式求解； （2）画树状图展示所有 12 种等可能的结果，再找出小丽最终选择完成 a2和 b3两项作业的结果数，然后根据概率公式求解 解：（1）小明准备随机选择一项去完成，则他选择 a3：魔术与数学的概率； 故答案为：； （2）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果，其中小丽最终选择完成 a2和 b3两项作业的结果数为 1， 所以小丽最终选择完成 a2和 b3两项作业的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目，然后利用概率公式求事件 A 或 B
30、 的概率 20如图，两座建筑物 AB 和 DC 的水平距离 BC 为 24 米，从点 A 测得点 D 的俯角 30，测得点 C 的俯角 60，求这两座建筑物的高（答案保留根号） 【分析】在直角ABC 和直角ADE 中，根据 BC 可以求得 AB、DE 的长，根据 AB、DE 可以求得 CD的长，即可解题 解：延长 CD 至 E，作 AECE，则四边形 ABCE 是矩形， AEBC，AEBC，ABCE，ACBCAE60， 在 RtABC 中，ACB60， tan60ABBC24 （米）， 在 RtAED 中，DEAEtan8 （米）， CDCEDEABDE16 （米） 【点评】本题考查了解直角三
31、角形中仰角俯角的问题，特殊角的三角函数值，本题中求 DE 的长是解题的关键 21关于 x 的一元二次方程 x2+（k5）x+1k0，其中 k 为常数 （1）求证：无论 k 为何值，方程总有两个不相等实数根； （2）若原方程的一根大于 3，另一根小于 3，求 k 的最大整数值 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出（k3）2+120，由此可证出：无论 k为何值，方程总有两个不相等实数根； （2）由方程两根的范围可得出抛物线 yx2+（k5）x+1k 与 x 轴的两交点位于（3，0）的两侧，结合抛物线的开口方程可得出当 x3 时 y0， 进而可得出关于 k 的一元一次不等式， 解之取
32、其中的最大整数值即可得出结论 解：（1）a1，bk5，c1k， b24ac（k5）241（1k）k26k+21（k3）2+12 （k3）20， （k3）2+120，即0， 无论 k 为何值，方程总有两个不相等实数根； （2）方程 x2+（k5）x+1k0 的一根大于 3，另一根小于 3， 抛物线 yx2+（k5）x+1k 与 x 轴的两交点位于（3，0）的两侧 a10， 当 x3 时，y0，即 9+3（k5）+1k0， 2k50， 解得：k， k 的最大整数值为 2 【点评】本题考查了根的判别式、抛物线与 x 轴的交点以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）牢记“当0 时，方程有两
33、个不相等的实数根”；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征找出关于 k 的一元一次不等式 22如图，在ABC 中，ACB 为钝角 （1）尺规作图：在边 AB 上确定一点 D，使ADC2B（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）； （2）在（1）的条件下，若B15，ACB105，CD3，AC，求ABC 的面积 【分析】（1）作线段 BC 的垂直平分线交 AB 于点 D，连接 CD，点 D 即为所求； （2）根点 C 作 CHAB 于点 H，求出 AB，CH 可得结论 解：（1）如图，点 D 即为所求； （2）过点 C 作 CHAB 于点 H 点 D 在 BC 的垂直平分线上， DCDB， BDCB1
34、5， ADCB+DCB30， ACB105， ACD90， CD， ACCDtan301， AD2AC2，CHCD， ABAD+BD2+， SABCABCH（2+）+ 【点评】本题考查作图复杂作图，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 23某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本 3 元试销期间发现每天的销售量 y（袋）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系 y80 x+560，其中 3.5x5.5，另外每天还需支付其他各项费用 80 元 （1）如果每天获得 160 元的利润，销售单价为多少元？ （2
35、）设每天的利润为 w 元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）根据每天获得 160 元的利润，列出关于 x 的一元二次方程并求解，再结合 3.5x5.5 即可求解； （2）根据每天的利润每天每袋的利润销售量每天需支付的其他各项费用，列出 w 关于 x 的二次函数解析式，再根据二次函数的性质求解即可 解：（1）由题意得：（x3）（80 x+560）80160， 整理，得 x210 x+240， 解得：x14，x26， 3.5x5.5， x4， 如果每天获得 160 元的利润，销售单价为 4 元； （2）由题意得：w（x3）（80 x+560）80 80 x2
36、+800 x1760 80（x5）2+240， 3.5x5.5， 当 x5 时，w 有最大值为 240 当销售单价定为 5 元时，每天的利润最大，最大利润是 240 元 【点评】本题考查了一元二次方程与二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键 24如图 1，直线 AB 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，点 C 在 x 轴负半轴上，这三个点的坐标分别为 A（4，0），B（0，4），C（1，0） （1）请求出直线 AB 的解析式； （2）连接 BC，若点 E 是线段 AC 上的一个动点（不与 A，C 重合），过点 E 作 EFBC 交 AB 于点
37、F，当BEF 的面积是，求点 E 的坐标； （3）如图 2，将点 B 向右平移 1 个单位长度得到点 D，在 x 轴上存在动点 P，若DCO+DPO，当 tan4 时，请直接写出点 P 的坐标 【分析】（1）利用待定系数法可求解析式； （2）先求出点 F 坐标，由面积的和差关系可求解； （3）先求出 tanBCO，再分两种情况讨论，由锐角三角函数可求 NP18，即可求解 解：（1）直线 AB 经过点 B（0，4）， 设直线 AB 的解析式为 ykx+4， 把 A（4，0）代入上式，得：4k+40， 解得 k1， 直线 AB 的解析式为 yx+4； （2）设点 E（m，0）， 直线 BC 表达式
38、中的 k 值为 4，EFBC， 设直线 EF 的表达式为：y4x+n， 将点 E 坐标代入上式并解得：04m+n， n4m， 直线 EF 的表达式为：y4x4m， x+44x4m， 解得：x（m+1），把 x 的值代入 yx+4，得：y， 点 F 坐标为（m+，）， SBEFSOABSOBESAEF444m（4m）， 解得：m， 点 E 坐标为（，0）； （3）如图，连接 BD，过点 D 作 DNAO 于 N，过点 B 作 BHCD 于 H， B（0，4），C（1，0）， OB4，OC1， tanBCO4，BC， tan4， BCO， DCO+DPOBCOBCD+DPO， BCDDPO， 将点
39、 B 向右平移 1 个单位长度得到点 D， BD1CO，BDCO，点 D（1，4）， DN4， C（1，0），D（1，4）， CD2， SDBCBDDHCDBH， 142BH， BH， CH， tanBCO， 当点 P 在点 A 的右侧时，tanDPO， ， NP18， OP19， 点 P（19，0）， 当点 P在点 C 的左侧时，tanDPO， NP18， OP17， 点 P（17，0）， 综上所述：点 P 坐标为（19，0）或（17，0） 【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，三角形面积公式，平移的性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键 25已知，
40、四边形 ABCD 是矩形，ADAB，E、F、G 分别是 AB、BC、AD 上的点， （1）当 n1，DEEF 如图 1，求证：； 如图 2，连接 DF，若 CF2AG，求； （2）如图 3，AD2AB10，GEF45，直接写出EFG 面积的最小值 【分析】（1）根据矩形的性质可得AB90，AED+ADE90，根据 DEEF，可得出AED+BEF90，从而得到ADEBEF，即可证明ADEBEF，根据相似三角形的性质即可证明； 根据相似三角形的判定得出AEGCDF，根据相似三角形的性质可得AGECFD，可得 ADBC，证明AEDEFD，可得ADEEDF，根据等边对等角可得 GDGE，即可求得2；
41、（2）过点 G 作 GTEF 于点 T，设 AGx，EFy，设EFG 的面积为 s，过 E 作 EMEG，过点 F 作MFEM，EM 交 BC 于点 N，根据已知条件表示出 EG，根据（1）的结论可得AEGBNE，根据相似三角形的性质可得 EN，进而证明MNFAEG，根据相似三角形的性质可得方程，整理方程，根据方程存在解，根据判别式列出不等式，解不等式求解即可 【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是矩形， AB90， AED+ADE90， DEEF， AED+BEF90， ADEBEF， ADEBEF， ； 解：四边形 ABCD 是矩形， AD90，ABCD，ADBC， n1，AEBE， ，
42、 CF2AG， ， ， AC， AEGCDF， AGECFD， ADBC， ADFCFD， AGEADF， GEDF， GEDEDF， ，AEBE， ， ADEF， AEDEFD， ADEEDF， GDEGED， GDGE， ， 即2； （2）解：如图， 过点 G 作 GTEF 于点 T， 设 AGx，EFy，设EFG 的面积为 s， 则， GEF45， 1245， GTET，GTEG， ， 过 E 作 EMEG，过点 F 作 MFEM，EM 交 BC 于点 N， 则EFM 是等腰直角三角形， MEMFEFy， AD2AB10，GEF45， AE2，BE3， EG， GEN90， 根据（1）的结论可得AEGBNE， ，AEGBNE， ， EN， MNMEEN， MNFBNE， MNFAEG， AM90， MNFAEG， ， 即， y， s，EG， s， 整理得：3x22sx+4s+120， 0， 即， 或， s0， 解得：s6+6， s 的最小值为 6+6， 即EFG 的面积最小值为 6+6 【点评】此题考查四边形综合题，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的判别式，矩形的性质，勾股定理，灵活应用相似三角形的判定和性质是解题关键
