1、 江苏省南通市启东市二校联考八年级上期中考试数学试卷江苏省南通市启东市二校联考八年级上期中考试数学试卷 一选择题（每小题一选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下面四个图形中，不是轴对称图形的是（ ） A B C D 2下列运算正确的是（ ） Ax2x3x6 Bx2+x22x4 C （3a）3 （5a）515a8 D （2x）24x2 3若点 A（m，2）与点 B（1，n）关于 y 轴对称，则 m+n（ ） A3 B1 C1 D3 4工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，AOB 是一个任意角，在边 OA，OB 上分别取 ODOE，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与 D，
2、E 重合，这时过角尺顶点 P 的射线 OP 就是AOB的平分线你认为工人师傅在此过程中用到的三角形全等的判定方法是这种作法的道理是（ ） ASSS BASA CAAS DSAS 5如图，已知AOB60，点 P 在 OA 边上，OP8cm，点 M、N 在边 OB 上，PMPN，若 MN2cm，则 OM 为（ ） A2cm B3cm C4cm D1cm 6如图，ABC 中，A90，ABAC，BD 平分ABE，DEBC，如果 BC10cm，则DEC 的周长是（ ） A8cm B10cm C11cm D12cm 7如图，在ABC 中，O 是在ABC 内一点，且点 O 到在ABC 三边的距离相等，BOC
3、126，则A 的度数为（ ） A72 B27 C54 D108 8如图，点 D 在 AC 上，点 E 在 AB 上，且 ABAC，BCBD，ADDEBE，则A（ ）度 A30 B36 C45 D50 9如图，点 P 为定角AOB 的平分线上的一个定点，且MPN 与AOB 互补，若MPN 在绕点 P 旋转的过程中，其两边分别与 OA、OB 相交于 M、N 两点，则以下结论： （1）PMPN 恒成立； （2）OM+ON的值不变； （3）MN 的长不变， （4）四边形 PMON 的面积不变；其中正确的序号是（ ） A （1） （2） （3） B （1） （2） （4） C （2） （3） （4） D
4、 （1） （2） （3） （4） 10如图，在ABC 中 ABAC，BC4，面积是 20，AC 的垂直平分线 EF 分别交 AC、AB 边于 E、F 点， 若点 D 为 BC 边的中点，点 M 为线段 EF 上一动点，则CDM 周长的最小值为（ ） A6 B8 C10 D12 二填空题（二填空题（11、12 题每小题题每小题 3 分，分，13-18 题每小题题每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 11计算： （3xy）2 （x2z） 12如图，已知ABCDBE，点 D 恰好在 AC 的延长线上，DBE20，BDE41则BCD的度数是 13 （4 分）如图，已知 ACCD12，要使ABCDE
5、C，还需添加一个条件，这个条件可以是 （只需写出一个即可） 14 （4 分）计算（0.25）201942020，结果是 15 （4 分）如图，在ABC 中，ABAC，D 为 BC 的中点，BAD20，且 AEAD，则CDE 的度数是 16（4 分） 已知多项式 2x24x1 除以一个多项式 A， 得商式为 2x， 余式为 x1， 则这个多项式 A 17 （4 分）如图所示，在ABC 中，DE，MN 是边 AB、AC 的垂直平分线，其垂足分别为 D、M，分别交BC 于 E、N，若 AB8，AC9，设AEN 周长为 m，则 m 的取值范围为 18 （4 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点
6、A 的坐标为（0，6） ，点 B 为 x 轴上一动点，以 AB 为边在直线 AB 的右侧作等边三角形 ABC若点 P 为 OA 的中点，连接 PC，则 PC 的长的最小值为 三解答题（共三解答题（共 90 分）分） 19 （15 分） （1）计算：3a32a3+a8a2（2a2）3； （2）已知 am5，求 a2m3n的值； （3）已知 9m27n81，求（2）2m+3n的值 20 （10 分）已知：如图，ABCD，DEBF，AECF （1）求证：ABECDF； （2）判断 AE 与 CF 的位置关系，并说明理由 21 （10 分）如图，直角坐标系中，在边长为 1 的正方形网格中，AOB 的顶
7、点均在格点上，点 A，B 的坐标分别是 A（3，1） ，B（2，3） （1） 请在图中画出AOB关于 y 轴的对称AOB， 点 A的坐标为 ， 点 B的坐标为 ； （2）请写出 A点关于 x 轴的对称点 A的坐标为 ； （3）求AOB的面积 22 （10 分）甲、乙两人共同计算一道整式乘法题： （2x+a） （3x+b） 甲由于把第一个多项式中的“+a”看成了 “a” ， 得到的结果为 6x25x6； 乙由于漏抄了第二个多项式中 x 的系数， 得到的结果为 2x2+7x+6 （1）求正确的 a、b 的值 （2）计算这道乘法题的正确结果 23 （10 分）如图，ABAC，ADAE，BACDAE5
8、0，点 D 在 BC 的延长线上，连接 EC （1）求证：BDCE； 求ECD 的度数； （2）当BACDAE 时，请直接写出ECD 的度数 24 （10 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，CBCD，A60，点 E 为 AB 上一点，连接 BD，CE，BD 与 CE 交于点 F，且 CEAD （1）判断BEF 的形状，并说明理由； （2）若 AD10，CE7，求 CF 的长 25 （12 分）如图所示，在ABC 中，ABAC24cm，BC18cm，BC，D 为 AB 的中点，点 P 在线段BC上由点B出发向点C运动， 同时点Q在线段CA上由点C出发向点A运动， 设运动时间为t （s）
9、 （1） 若点 P 与点 Q 的速度都是 3cm/s，则经过多长时间BPD 与CQP 全等？请说明理由 （2）若点 P 的速度比点 Q 的速度慢 3cm/s，则经过多长时间BPD 与CQP 全等？请求出此时两点的速度 （3）若点 P、点 Q 分别以（2）中的速度同时从点 B，C 出发，都按逆时针方向沿ABC 三边运动，则经过多长时间点 P 与点 Q 第一次相遇？相遇点在ABC 的哪条边上？请求出相遇点到点 B 的距离 26 （13 分）在等边ABC 中，点 D、E（不与点 A、B、C 重合）分别是边 AC、AB 上的点，点 P 是平面内一动点，设PDC1，PEB2，DPEa （1）若点 P 在
10、边 BC 上运动（不与点 B 和点 C 重合） ，如图（1）所示则1+2 的值 （可用含的代数式表示） （2）若点 P 在ABC 的外部，如图 2 所示则1、2、 之间有何关系？写出你的结论，并说明理由 （3） 若点 P 在边 BC 的延长线上运动时， 请在图 3、 图 4 中分别画出相应的图形， 并直接写出1、 2、 之间的关系式，但不要求证明 参考答案解析参考答案解析 一选择题（每小题一选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下面四个图形中，不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项判断即可 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
11、 B、是轴对称图形，不本选项不合题意； C、是轴对称图形，不本选项不合题意； D、是轴对称图形，不本选项不合题意； 故选：A 【点评】本题考查了轴对称图形的知识，解答本题的关键是掌握轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形 2下列运算正确的是（ ） Ax2x3x6 Bx2+x22x4 C （3a）3 （5a）515a8 D （2x）24x2 【分析】根据整式的加减运算法则以及乘法运算法则即可求出答案 【解答】解：A、原式x5，故 A 不符合题意 B、原式2x2，故 B 不符合题意 C、原式27a3 （3125a5）84375a8，故 C 不
12、符合题意 D、原式4x2，故 D 符合题意 故选：D 【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则、乘法运算法则，本题属于基础题型 3若点 A（m，2）与点 B（1，n）关于 y 轴对称，则 m+n（ ） A3 B1 C1 D3 【分析】根据关于 y 轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，进而得出答案 【解答】解：点 A（m，2）与点 B（1，n）关于 y 轴对称， m1，n2， 故 m+n3 故选：D 【点评】此题主要考查了关于 y 轴对称点的性质，正确掌握点的坐标特点是解题关键 4工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，AOB 是一个任意角，在边
13、OA，OB 上分别取 ODOE，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与 D，E 重合，这时过角尺顶点 P 的射线 OP 就是AOB的平分线你认为工人师傅在此过程中用到的三角形全等的判定方法是这种作法的道理是（ ） ASSS BASA CAAS DSAS 【分析】由三边对应相等得DOPEOP，即由 SSS 判定两个三角形全等做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证 【解答】解：依题意知， 在DOP 与EOP 中， ， DOPEOP（SSS） ， AOPBOP， 即 OP 即是AOB 的平分线 故选：A 【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题
14、是一种重要的能力，要注意培养 5如图，已知AOB60，点 P 在 OA 边上，OP8cm，点 M、N 在边 OB 上，PMPN，若 MN2cm，则 OM 为（ ） A2cm B3cm C4cm D1cm 【分析】过 P 作 PDOB 于 D，根据等腰三角形的性质和已知条件求出 MD，根据含 30角的直角三角形的性质求出 OD，再求出答案即可 【解答】解：过 P 作 PDOB 于 D， PMPN，MN2cm， MDND1（cm） ， PDOB， PDO90， POB60， OPD30， ODOP， OP8cm， OD4（cm） ， OMODMD3（cm） ， 故选：B 【点评】本题考查了含 30
15、角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于 30，那么这个角所对的直角边等于斜边的一半 6如图，ABC 中，A90，ABAC，BD 平分ABE，DEBC，如果 BC10cm，则DEC 的周长是（ ） A8cm B10cm C11cm D12cm 【分析】根据角平分线的性质，得 ADDE，利用 HL 判定 BADBED，得出 ABBE，进而得出 BCDE+DC+EC10 【解答】解：BD 平分ABE，DEBC，DAAB ADDE 又BDBD RtBADRtBED（HL） ABBE 又ABAC BEAC
16、BCBE+ECAC+ECAD+DC+ECDE+DC+EC10cm DEC 的周长是 10cm， 故选：B 【点评】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定及其性质等知识要通过全等把相等的线段转到转到一个三角形中 7如图，在ABC 中，O 是在ABC 内一点，且点 O 到在ABC 三边的距离相等，BOC126，则A 的度数为（ ） A72 B27 C54 D108 【分析】由条件可知 BO、CO 平分ABC 和ACB，利用三角形内角和可求得A 【解答】解：点 O 到ABC 三边的距离相等， BO 平分ABC，CO 平分ACB， A180（ABC+ACB）180 2（OBC+OCB）180
17、2（180 BOC）180 2（180 126）72， 故选：A 【点评】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键 8如图，点 D 在 AC 上，点 E 在 AB 上，且 ABAC，BCBD，ADDEBE，则A（ ）度 A30 B36 C45 D50 【分析】设ABDx，则可利用等腰三角形的两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和来A，C，ABC最后利用三角形的内角和求出 x，就可得到A 【解答】解：设ABDx， DEBE， AED2x， 又ADDE， AAED2x， BDCx+2x3x， 而 BCBD，则C3x， ABAC， ABC3x，
18、 3x+3x+2x180， A2x45 故选：C 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理；学会运用代数法解决几何计算问题，这是一种非常重要的方法，要熟练掌握 9如图，点 P 为定角AOB 的平分线上的一个定点，且MPN 与AOB 互补，若MPN 在绕点 P 旋转的过程中，其两边分别与 OA、OB 相交于 M、N 两点，则以下结论： （1）PMPN 恒成立； （2）OM+ON的值不变； （3）MN 的长不变， （4）四边形 PMON 的面积不变；其中正确的序号是（ ） A （1） （2） （3） B （1） （2） （4） C （2） （3） （4） D （1） （2） （3）
19、（4） 【分析】如图作 PEOA 于 E，PFOB 于 F只要证明 RtPOERtPOF，PEMPFN，即可一一判断 【解答】解：如图作 PEOA 于 E，PFOB 于 F PEOPFO90， EPF+AOB180， MPN+AOB180， EPFMPN， EPMFPN， OP 平分AOB，PEOA 于 E，PFOB 于 F， PEPF， 在 RtPOE 和 RtPOF 中， ， RtPOERtPOF（HL） ， OEOF， 在PEM 和PFN 中， ， PEMPFN（ASA） ， EMNF，PMPN，故（1）正确， SPEMSPNF， S四边形PMONS四边形PEOF定值，故（4）正确， O
20、M+ONOE+ME+OFNF2OE定值，故（2）正确， M，N 的位置变化， MN 的长度是变化的，故（3）错误， 故选：B 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键 10如图，在ABC 中 ABAC，BC4，面积是 20，AC 的垂直平分线 EF 分别交 AC、AB 边于 E、F 点，若点 D 为 BC 边的中点，点 M 为线段 EF 上一动点，则CDM 周长的最小值为（ ） A6 B8 C10 D12 【分析】连接 AD，AM，由于ABC 是等腰三角形，点 D 是 BC 边的中点，故 ADBC，再根据三角形的面积公式求出 AD 的长，再再根据 EF 是线段 AC
21、 的垂直平分线可知，点 C 关于直线 EF 的对称点为点A，故 AD 的长为 CM+MD 的最小值，由此即可得出结论 【解答】解：连接 AD，AM ABC 是等腰三角形，点 D 是 BC 边的中点， ADBC， SABCBCAD4AD20，解得 AD10， EF 是线段 AC 的垂直平分线， 点 C 关于直线 EF 的对称点为点 A， MAMC， ADAM+MD， AD 的长为 CM+MD 的最小值， CDM 的周长最短（CM+MD）+CDAD+BC10+410+212 故选：D 【点评】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键 二填空题（二填空题（11、1
22、2 题每小题题每小题 3 分，分，13-18 题每小题题每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 11计算： （3xy）2 （x2z） 9x4y2z 【分析】首先利用积的乘方的运算法则进行计算，再利用单项式乘以单项式计算法则进行计算即可 【解答】解：原式9x2y2 （x2z）9x4y2z， 故答案为：9x4y2z 【点评】此题主要考查了单项式乘以单项式，关键是掌握整式的运算的各种计算法则 12如图，已知ABCDBE，点 D 恰好在 AC 的延长线上，DBE20，BDE41则BCD的度数是 61 【分析】根据三角形内角和定理求出E，根据全等三角形的性质求出ACB，根据补角的概念计算，得到答案 【
23、解答】解：在BDE 中，DBE20，BDE41， E180DBEBDE119， ABCDBE， ACBE119， BCD18011961， 故答案为：61 【点评】本题考查的是全等三角形的性质的应用，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键 13 （4 分）如图，已知 ACCD12，要使ABCDEC，还需添加一个条件，这个条件可以是 AD 或 CBCE 或BE （只需写出一个即可） 【分析】证得BCAECD根据全等三角形的判定方法可得出答案 【解答】解：12， 1+ECA2+ECA， 即BCAECD 若添加AD，再加上 ACCD，可用 ASA 证明ABCDEC， 若添加 CBCE，再加上 ACC
24、D，可用 SAS 证明ABCDEC， 添加BE，再加上 ACCD，可用 AAS 证明ABCDEC 故答案为：AD 或 CBCE 或BE 【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键 14 （4 分）计算（0.25）201942020，结果是 4 【分析】积的乘方，等于每个因式乘法的积，据此计算即可 【解答】解： （0.25）201942020 （0.25）2019420194 （0.254）20194 （1）20194 （1）4 4 故答案为：4 【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键 15 （4 分）如图，在ABC 中，AB
25、AC，D 为 BC 的中点，BAD20，且 AEAD，则CDE 的度数是 10 【分析】利用等腰三角形的性质计算 【解答】解：ABAC，D 为 BC 的中点， CADBAD20，ADBC， ADC90， ADAE， ADEAED80， CDEADCADE908010 故答案为：10 【点评】本题考查了等腰三角形的中线、高和角平分线三线合一的性质，以及角的和与差运算得到 ADBC 是正确解答本题的关键 16 （4 分）已知多项式 2x24x1 除以一个多项式 A，得商式为 2x，余式为 x1，则这个多项式 A x 【分析】根据“除式（被除式余式）商”列式，再利用多项式除单项式，先把多项式的每一项
26、除以单项式，再把所得的商相加，计算即可 【解答】解：A（2x24x1）（x1）（2x） ， （2x25x）（2x） ， x 故答案为：x 【点评】此题主要考查了多项式除以单项式的法则，弄清被除式、除式、商、余式四者之间的关系是解题的关键 17 （4 分）如图所示，在ABC 中，DE，MN 是边 AB、AC 的垂直平分线，其垂足分别为 D、M，分别交BC 于 E、N，若 AB8，AC9，设AEN 周长为 m，则 m 的取值范围为 m17 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 EAEB，NCNA，根据三角形的三边关系解答即可 【解答】解：DE，MN 是边 AB、AC 的垂直平分线， EAEB，NC
27、NA， AEN 周长为 mEA+EN+NAEB+EN+NCBC， 在ABC 中，98BC9+8， m17， 当BAC90时，BC， m17 故答案为：m17 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键 18 （4 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（0，6） ，点 B 为 x 轴上一动点，以 AB 为边在直线 AB 的右侧作等边三角形 ABC若点 P 为 OA 的中点，连接 PC，则 PC 的长的最小值为 【分析】以 AP 为边作等边三角形 APE，连接 BE，过点 E 作 EFAP 于 F，由“SAS”可
28、证ABEACP，可得 BEPC，则当 BE 有最小值时，PC 有最小值，即可求解 【解答】解：如图，以 AP 为边作等边三角形 APE，连接 BE，过点 E 作 EFAP 于 F， 点 A 的坐标为（0，6） ， OA6， 点 P 为 OA 的中点， AP3， AEP 是等边三角形，EFAP， AFPF，AEAP，EAPBAC60， BAECAP， 在ABE 和ACP 中， ， ABEACP（SAS） ， BEPC， 当 BE 有最小值时，PC 有最小值， 即 BEx 轴时，BE 有最小值， BE 的最小值为 OFOP+PF3+， PC 的最小值为， 故答案为 【点评】本题考查了轴对称最短路线
29、问题，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键 三解答题（共三解答题（共 90 分）分） 19 （15 分） （1）计算：3a32a3+a8a2（2a2）3； （2）已知 am5，求 a2m3n的值； （3）已知 9m27n81，求（2）2m+3n的值 【分析】 （1）根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法和幂的乘方计算即可； （2）根据幂的乘方和同底数幂的除法计算即可； （3）根据同底数幂的乘法法则可得 2m+3n4，进一步求解即可 【解答】解： （1）3a32a3+a8a2（2a2）3； 6a6+a6+8a6 15a6； （2）am5， a2m3
30、n200； （3）9m27n81， 32m+3n81， 2m+3n4， （2）2m+3n（2）416 【点评】本题考查了同底数幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法和除法，幂的乘方运算法则是解题的关键 20 （10 分）已知：如图，ABCD，DEBF，AECF （1）求证：ABECDF； （2）判断 AE 与 CF 的位置关系，并说明理由 【分析】 （1）证得 DFBE，可证明ABECDF（SSS） （2）由全等三角形的性质得出AEBDFC，得出AEFEFC，则可得出结论 【解答】 （1）证明：DEBF， DEEFBFEF 即 DFBE， 在ABE 和CDF 中， ， ABECDF（SSS） （2）
31、解：AECF 理由：ABECDF， AEBDFC， AEB+AEFDFC+EFC180， AEFEFC， AECF 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键 21 （10 分）如图，直角坐标系中，在边长为 1 的正方形网格中，AOB 的顶点均在格点上，点 A，B 的坐标分别是 A（3，1） ，B（2，3） （1）请在图中画出AOB 关于 y 轴的对称AOB，点 A的坐标为 （3，1） ，点 B的坐标为 （2，3） ； （2）请写出 A点关于 x 轴的对称点 A的坐标为 （3，1） ； （3）求AOB的面积 【分析】 （1）根据网格结构找
32、出点 A、B的位置，然后与点 O 顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点 A、B的坐标； （2）根据关于 x 轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数写出即可； （3）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积列式计算即可得解 【解答】解： （1）AO B如图所示；点 A（3，1） ，B（2，3） ； （2）A（3，1） ； （3）SAOB33121332， 913， 故答案为： （1） （3，1） ， （2，3） ； （2） （3，1） 【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键 22 （10 分）甲、乙两人共同计算一
33、道整式乘法题： （2x+a） （3x+b） 甲由于把第一个多项式中的“+a”看 成了 “a” ， 得到的结果为 6x25x6； 乙由于漏抄了第二个多项式中 x 的系数， 得到的结果为 2x2+7x+6 （1）求正确的 a、b 的值 （2）计算这道乘法题的正确结果 【分析】 （1）先根据多项式乘以多项式展开，合并同类项，得出两个二元一次方程，组成方程组，求出方程组的解即可； （2）根据多项式乘以多项式法则求出答案即可； 【解答】解： （1）（2xa） （3x+b） 6x2+2bx3axab 6x2+（2b3a）xab， 2b3a5， （2x+a） （x+b）2x2+2bx+ax+ab， 2b+a
34、7， 由和组成方程组：， 解得：； （2） （2x+3） （3x+2）6x2+13x+6 【点评】本题考查了多项式乘以多项式，合并同类项，解二元一次方程组等知识点，能得出关于 a、b的方程组是解此题的关键 23 （10 分）如图，ABAC，ADAE，BACDAE50，点 D 在 BC 的延长线上，连接 EC （1）求证：BDCE； 求ECD 的度数； （2）当BACDAE 时，请直接写出ECD 的度数 【分析】 （1）由“SAS”可证BADCAE，可得 BDCE； 由全等三角形的性质可得ACEABC65，由平角的性质可求解； （2）由“SAS”可证BADCAE，可得ACEABC，由等腰三角形的
35、性质和平角的性质可求解 【解答】证明： （1）ABAC，ADAE，BACDAE50， ABCACB65，ADEAED65，BADCAE， 在BAD 和CAE 中， ， BADCAE（SAS） ， BDCE； BADCAE， ACEABC65， ECD180ACBACE50， （2）BACDAE， BADCAE， 在BAD 和CAE 中， ， BADCAE（SAS） ， ACEABD， BAC，ABAC， ABCACB， ACE， ECD180ACBACE 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平角的性质，证明BADCAE是本题的关键 24 （10 分）如图，在四边形 AB
36、CD 中，ABAD，CBCD，A60，点 E 为 AB 上一点，连接 BD，CE，BD 与 CE 交于点 F，且 CEAD （1）判断BEF 的形状，并说明理由； （2）若 AD10，CE7，求 CF 的长 【分析】 （1）证明ABD 是等边三角形，可得ADB60，再由平行线的性质可得CEBEBF BFE60，则结论得证； （2）连接 AC 交 BD 于点 O，由题意可证 AC 垂直平分 BD，由ABD 是等边三角形，可得BAODAO30，ABAD10，由（1）中EBF 是等边三角形，可得 EFBE3，可得 CF 的长 【解答】解： （1）BEF 是等边三角形，理由是： ABAD，A60， A
37、BD 是等边三角形 ADB60， CEAD， CEBA60，BFEADB60， CEBEBFBFE60， BEF 是等边三角形； （2）连接 AC 交 BD 于点 O， ABAD，CBCD， AC 是 BD 的垂直平分线， 即 ACBD， ABAD，BAD60， BACDAC30， CEAD， ACECADBAC30， CEAE7， BEABAE1073， BEF 是等边三角形， EFBE3， CFCEEF734 【点评】本题考查了平行线的性质，线段垂直平分线的逆定理，等边三角形的性质和判定等知识，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键 25 （12 分）如图所示，在ABC 中，ABAC24cm
38、，BC18cm，BC，D 为 AB 的中点，点 P 在 线段BC上由点B出发向点C运动， 同时点Q在线段CA上由点C出发向点A运动， 设运动时间为t （s） （1）若点 P 与点 Q 的速度都是 3cm/s，则经过多长时间BPD 与CQP 全等？请说明理由 （2）若点 P 的速度比点 Q 的速度慢 3cm/s，则经过多长时间BPD 与CQP 全等？请求出此时两点的速度 （3）若点 P、点 Q 分别以（2）中的速度同时从点 B，C 出发，都按逆时针方向沿ABC 三边运动，则经过多长时间点 P 与点 Q 第一次相遇？相遇点在ABC 的哪条边上？请求出相遇点到点 B 的距离 【分析】 （1）根据等腰
39、三角形的性质可得出BC，由点 P、Q 同速同时出发可得出 BPCQ，结合全等三角形的判定定理可得出当BDCP时BPD与CPQ全等， 进而即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设点 P 的速度为 xcm/s，则点 Q 的速度为（x+3）cm/s，由 BPCQ、BC 结合全等三角形的性质可得出 BDCQ、BPCP，进而即可得出关于 t、x 的方程组，解之即可得出结论； （3）根据路程速度时间结合点 P、Q 相遇，即可得出关于 t 的一元一次方程，解之可求出 t 值，由点 P 的路程点 P 的速度运动时间可求出点 P 的路程，再结合 CA、AB、BC 的长度，即可找出点 P、Q 第
40、一次相遇时的位置，此题得解 【解答】解： （1）点 P 与点 Q 的速度都是 3cm/s， BPCQ3t， BC，ABAC24cm，BC18cm， 要使BPD 与CQP 全等，则需 BDCP， 即 183t12， t2s， 即经过 2s 的时间BPD 与CQP 全等； （2）设点 P 的速度是 xcm/s，则点 Q 的速度是（x+3）cm/s， BPxt，CQ（x+3）t， BPCQ， BC，要使BPD 与CQP 全等，则需 BDCQ，BPCP， ， 解得：， 经过 1s，点 P 的速度是 9cm/s，则点 Q 的速度是 12cm/s 时，BPD 与CQP 全等； （3）设经过 t（s）点 P
41、 与点 Q 第一次相遇， 则 12t9t48， t16（s） ， P 的路程916144（cm） ， 144（24+24+18）2+12， 经过 16s 点 P 与点 Q 第一次相遇，在 BC 边上相遇，相遇点到点 B 的距离为 12cm 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）根据全等三角形的判定定理找出当 BDCP 时BPD 与CPQ 全等； （2）根据全等三角形的性质找出 BDCQ、BPCP； （3）根据路程速度时间，找出关于 t 的一元一次方程 26 （13 分）在等边ABC 中，点 D、E（不与点 A、B、C 重合）分别是边 AC、AB
42、上的点，点 P 是平面内一动点，设PDC1，PEB2，DPEa （1）若点 P 在边 BC 上运动（不与点 B 和点 C 重合） ，如图（1）所示则1+2 的值 （可用含的代数式表示） （2）若点 P 在ABC 的外部，如图 2 所示则1、2、 之间有何关系？写出你的结论，并说明理由 （3） 若点 P 在边 BC 的延长线上运动时， 请在图 3、 图 4 中分别画出相应的图形， 并直接写出1、 2、 之间的关系式，但不要求证明 【分析】 （1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义得出1+2C+，进而得出即可； （2）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出12+60； （3）利用三角外角的性质得出需要分类讨论，如图所示 【解答】解： （1）如图（1） ，1+2+ADP+AEP360，A+ADP+AEP360， 1+2A+， ABC 是等边三角形， A60， 1+260+ 故答案是：60+； （2）12+60理由如下： 如图（2） ，设 AC 与 PE 交于点 F， 1 为PFD 的外角， 1+PFD 2 为AEF 的外角， 2A+AFE A60，AFEPFD 260+PFD 1260 12+60； （3）如图（3）时：2160； 如图（4）时：12+60 【点评】本题考查了三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质，熟练利用三角形外角的性质是解题的关键
