1、因数与倍数同步思维训练因数与倍数同步思维训练 一、填空题一、填空题 1 一个自然数既是48的因数， 又是12的倍数， 这个数可能是( )。 36和16的公因数有( )。 2A，B都是整数，A大于B，且2009AB，那么AB的最大值为( )，最小值为( )。 3姐弟俩去外婆家，姐姐每 6 天去一次，弟弟每 9 天去一次。6 月 1 日两人一起去外婆家，那么，下一次一起去外婆家的日期是( )。 4一个两位数恰有 8 个因数，且这 8 个因数的个位数字互不相同，那么这个两位数是( )。 52004 的因数中，比 100 大且比 200 小的因数是( )。 6过冬了，小白兔只储存了 180 只胡萝卜，
2、小灰兔只储存了 120 棵大白菜，为了冬天里有胡萝卜吃，小灰兔用十几棵大白菜换了小白兔的一些胡萝卜， 这时他们储存的粮食数量相等， 则一棵大白菜可以换_只胡萝卜。 二、解答题二、解答题 7已知等式11115ab其中 a，b 是非零自然数，求 ab 的最大值。 8为了打开银箱，需要先输入密码，密码由 7 个数字组成，它们不是 2 就是 3。在密码中 2 的数目比 3 多，而且密码能被 3 和 4 所整除。试求出这个密码。 9某个七位数 1993能够同时被 2，3，4，5，6，7，8，9 整除，那么它的最后三位数字依次是多少？ 10若四位数9 8a a能被 15 整除，则a代表的数字是多少？ 参考
3、答案参考答案 1 12，24，48 1，2，4 【分析】一个数既是 48 的因数，又是 12 的倍数，即求 48 以内（包括 48）的 12 的倍数， 那就先求出 48的因数和 12 的倍数，再找共同的数即可。分别列举出 36 和 16 的公因数，然后找出它们的公因数。据此解答。 即可。 【详解】48 的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48； 12 的倍数有： 12、24、 36、48、 这个数可能是 12、24、 48； 36 的因效有：1、2、3、4、6、9、12、18、36； 16 的因数有： 1、2、4、8、16； 36 和 16 的公因数有 1、2、4。 【点睛】解
4、答此题应根据找一个数的因数的方法和找一个数倍数的方法进行分别列举，进而得出结论。 2 2008 8 【分析】 A、 B 都是 2009 的因数， 先找出 2009 的所有因数， 要使得AB最大， 那么 A 取最大的因数 2009，B 取最小因数 1 即可，如果求差的最小值，两个因数最接近即可。 【详解】20092009 128774941 最大值为200912008 最小值为49418 【点睛】本题考查的是求一个数的因数，可以用成对枚举的方法。 36 月 19 日 【分析】姐姐每 6 天去一次，弟弟每 9 天去一次，6 和 9 的最小公倍数就是他们两次同去间隔的时间；从 6月 1 日向后推算这
5、个天数即可。 【详解】62 3 93 3 6 和 9 的最小公倍数是： 3 2 318 所以他们每相隔 18 天去一次； 6 月 1 日再过 18 天是 6 月 19 日。 答：下一次一起去外婆家是 6 月 19 日。 【点睛】考查了日期和时间的推算，求几个数的最小公倍数的方法，本题关键是找出他们每两次之间相隔的天数，进而根据开始的天数推算求解。 454 【分析】根据题意，先找出有 8 个因数的两位数，再根据“且这 8 个因数的个位数字互不相同”缩小范围，找出符合要求的两位数即可。 【详解】有 8 个因数的两位数分别是： 24 的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24； 30 的因数有：1
6、，2，3，5，6，10，15，30； 40 的因数有：1，2，4，5，8，10，20，40； 42 的因数有：1，2，3，6，7，14，21，42； 54 的因数有：1，2，3，6，9，18，27，54； 56 的因数有：1，2，4，7，8，14，28，56； 66 的因数有：1，2，3，6，11，22，33，66； 70 的因数有：1，2，5，7，10，14，35，70； 78 的因数有：1，2，3，6，13，26，39，78； 88 的因数有：1，2，4，8，11，22，44，88； 所以，一个两位数恰有 8 个因数，且这 8 个因数的个位数字互不相同，那么这个两位数是 54。 【点睛】要
7、明确，一个两位数恰有 8 个因数，这 8 个因数除了 1 和它本身，还有 6 个。 5167 【分析】根据题意，先对 2004 进行质因数分解，然后找出在 100200 间的因数。 【详解】20043 4 167， 所以，2004 的因数中，比 100 大且比 200 小的因数是 167。 【点睛】熟练掌握找一个数的因数的方法，是解答此题的关键。 63 【分析】若使他们存储粮食的数量相等，需要将小白兔的胡萝卜给小灰兔180 1202=30（只） ，但是本题需要去换，即若干次换完后要多 30 个胡萝卜即可，若想用十几颗大白菜换，而30里面只有15这个约数是十几，所以需要换 15 次，每次换后要多
8、：3015=2（只） ，所以 1 棵白菜换了（21）只胡萝卜。 【详解】根据分析可得： （180120） 2 60 2 30（只） 30 152（只） 213（只） 所以，一棵大白菜可以换 3 只胡萝卜。 【点睛】找出“30里面只有15这个约数是十几”，是解答此题的关键。 7256 【分析】易知，11515()15()15()mnmnmnmnmn，令（m，n）为互质的一对数，现在要让分母为 1，只需m，n 是 15 的一对互质的约数即可。 【详解】当（m，n）（1，1）时，111153030，此时，ab60； 当（m，n）（1，3）时，111156020，此时，ab80； 当（m，n）（1，5
9、）时，111159018，此时，ab108； 当（m，n）（1，15）时，1111524016，此时，ab256； 当（m，n）（3，5）时，111154024，此时，ab64； 所以，ab 的最大值为 256。 【点睛】本题考查的是因数与倍数，并与最值问题相结合，找出所有符合要求的情况是求解问题的关键。 82222232 【详解】密码中的 2 比 3 要多，所以 2 可能有 4、5、6 或 7 个。当 2 有 4 个时，密码的数字和为 17；当 2有 5 个时，数字和为 16；当 2 有 6 个时，数字和为 15；当 2 有 7 个时，数字和为 14。由于一个数能被 3 整除时，它的数字和也
10、能被 3 整除，所以密码中 2 应当有 6 个，这样 3 就只能有 1 个。另外，一个数能被 4整除，那么它的末两位数也应当能被 4 整除，所以末两位数必定是 32.所以，密码是 2222232。 9320 【详解】方法一：利用整除特征 因为这个数能被 5 整除，所以末位只能是 0 或 5，又能被 2 整除，所以其末位为偶数，所以只能是 0。 在满足以上条件的情况下，还能被 4 整除，那么末两位只能是 20、40、60 或 80。 又因为还能同时被 9 整除，所以这个数的数字和也应该是 9 的倍数，有，的数字和分别为 24A，26B，28C，30D，对应的 A、B、C、D 只能是 3，1，8，
11、6.即末三位可能是 320，140，860，680。 而只有 320，680 是 8 的倍数，再验证只有 1993320，1993680 中只有 1993320 是 7 的倍数。 因为有同时能被 2，4，5，7，8，9 整除的数，一定能同时被 2，3，4，5，6，7，8，9 这几个数整除，所以 1993320 为所求的这个数。 显然，其末三位依次为 3，2，0。 方法二：采用试除法 一个数能同时被 2，3，4，5，6，7，8，9 整除，而将这些数一一分解质因数： ，所以这个数一定能被 23 32 5 78 9 5 72520 整除。 用 1993000 试除，1993000 25207902200，余 2200 可以看成不足 25202200320，所以在末三位的方格内填入 320 即可。 105 【详解】因为 15 是 3 和 5 的倍数，所以9 8a a既能被 3 整除，也能被 5 整除。能被 5 整除的数的个位数字是0 或 5，能被 3 整除的数的各位数字的和是 3 的倍数。当0a 时，9817aa，不是 3 的倍数；当5a 时，9817aa，是 3 的倍数。所以，a代表的数字是 5。
