1、2021-2022 学年福建省福州市仓山区八年级学年福建省福州市仓山区八年级上期中数学试卷上期中数学试卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。分。 1下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A3，4，8 B5，6，11 C2，3，1 D4，5，8 2下列图形中，一定是轴对称图形的是（ ） A角 B三边形 C四边形 D五边形 3正五边形一个外角的度数是（ ） A72 B90 C108 D118 4如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则1 的度数是（ ） A54 B56 C60 D66 5下列计算结果等于 a12的是
2、（ ） A（a3）4 B （a3）4 C （a4）3 D（a4）3 6如图，等边三角形 DEF 是由等边三角形 ABC 沿射线 BC 方向平移得到，若 AB3，EC1，则 BF 的长是（ ） A7 B6 C5 D4 7已知 3x5，3y10，3z50，那么下列关于 x，y，z 之间满足的等量关系正确的是（ ） Ax+yz Bxyz C2x+yz D2xyz 8如图，在 RtABC 中，C90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D若 SACD6，AC6，则点 D 到 AB的距离为（ ） A1 B2 C3 D4 9在ABC 中，AB6，AC8，点 D 是 BC 边的中点，过点 D 分别作 DEAB
3、 交 AB 于点 E，作 DFAC交 AC 于点 F则 DE：DF 的值为（ ） A3：4 B9：16 C4：3 D16：9 10在平面直角坐标系中，直线 l 经过点（a，0） ，并垂直于 x 轴P 是直线 l 上的一点，点 A（2a3，4）和点 B（2a+2，0）均不在直线 l 上若 AP+BP 的最小值恰为 AB 的长，则 a 的取值范围为（ ） Aa1 B1a C2a3 Da2 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分 11在平面直角坐标系中，点 P（2，3）关于 x 轴对称点的坐标为 12计算：a（a2b）的结果为 13如图，将三
4、角形纸片 ABC 沿 BD 折叠，若290，A50，则1 的度数为 14如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在 AB，BC 上，若 BDCE，则1 的度数为 15 在ABC 和DEF 中， ABDE， CF 若要使得ABCDEF， 则应添加的条件是 （添加一个条件即可） 16如图，在 RtABC 中，ACB90，ABC2BAC点 E 是ABC 的平分线 BE 上的一点，连接AE，CE若 CEAB，则下列说法正确的有 （写出所有正确的序号） ADBD，CAE30，SABD3SBCD，CEAB 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 9 小题，共小题，共 86 分。解答应写出文字说明、证
5、明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （8 分）计算：5a2a43（a3）2+（a3）2 18 （8 分）先化简，再求值：x2（x+1）x（x2x+1） ，其中 x5 19 （8 分）如图，在ABC 中，BA+10，ACBA+20，CDAB 于点 D，求ACD 的度数 20 （8 分）如图，在ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，AE3，ABC 的周长为 14，求BCD 的周长 21 （8 分）如图，在ABC 中，ABAC，ADBC 于点 D，DE 平分ADB 交 AB 于点 E，DF 平分ADC交 AC 于点 F，求证：DEDF 22 （10 分）如图，在
6、ABC 和DEC 中，E 是 AB 上的一点，AD，12，且 ABDE，求证：34 23 （10 分）如图，在ABC 中，ACB90 （1）在 AC 的右侧作DCF，使点 F 在 AC 上，且DCFABC； （要求：尺规作图，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接 BD 交 AC 于点 P若 AC2BC4，求 PC 的长 24 （12 分）如图，在ABC 中，D 是 BC 上一点，ADCD，点 E 在线段 AD 上，连接 CE，设ABC，AEC （1）若 ACBC，CE 平分ACB，求 和 之间的数量关系； （2）若点 E 在线段 AD 的延长线上，且 +180，求证：ABEC 25 （
7、14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，A（m，0） ，B（a，b） ，D（a，0） ，且 0mab过点 A 作直线 AC 交 y 轴正半轴于点 C，且OAC60连接 AB，BC，CD，AC 平分BAD，BCAC （1）求 m 与 a 之间的等量关系； （2）求证：D，C，B 三点共线； （3）过点 B 作直线 lx 轴，垂足为 M点 Q 是直线 l 上的一点，连接 AQ，若 AQAB，则的值是否为定值？如果是，请求出定值如果不是，请说明理由 参考答案解析参考答案解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。分。 1下列长度的三条线段中
8、，能组成三角形的是（ ） A3，4，8 B5，6，11 C2，3，1 D4，5，8 【分析】直接利用三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进而判断得出答案 【解答】解：A3+48，不能构成三角形； B5+611，不能构成三角形； C1+23，不能构成三角形； D4+58，能构成三角形 故选：D 【点评】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数 2下列图形中，一定是轴对称图形的是（ ） A角 B三边形 C四边形 D五边形 【分析】利用轴对称图形的定义逐项进行分析即可 【解答】解：A角是轴对称图形，故此选项符合题意； B三边形不一定是轴
9、对称图形，故此选项不合题意； C四边形不一定是轴对称图形，故此选项不合题意； D五边形不一定是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A 【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形 3正五边形一个外角的度数是（ ） A72 B90 C108 D118 【分析】根据多边形的外角和是 360，即可求解 【解答】解：正五边形的一个外角为 360572， 故选：A 【点评】本题考查多边形的内角与外角，正确理解多边形的外角和是 360是关键 4如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则1 的度数是（ ） A54 B5
10、6 C60 D66 【分析】根据三角形内角和定理求出C，根据全等三角形的性质得出1C，再得出答案即可 【解答】解： ABCDEF， FC1， A54，B60， 1C180AB180546066， 故选：D 【点评】 本题考查了三角形内角和定理和全等三角形的性质， 能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等 5下列计算结果等于 a12的是（ ） A（a3）4 B （a3）4 C （a4）3 D（a4）3 【分析】利用幂的乘方的法则对各项进行运算即可判断 【解答】解：A、（a3）4a12，故 A 不符合题意； B、 （a3）4a12，故 B 符合题意； C、 （
11、a4）3a12，故 C 不符合题意； D、（a4）3a12，故 D 不符合题意； 故选：B 【点评】本题主要考查幂的乘方，解答的关键是熟记幂的乘方的法则：底数不变，指数相乘 6如图，等边三角形 DEF 是由等边三角形 ABC 沿射线 BC 方向平移得到，若 AB3，EC1，则 BF 的长是（ ） A7 B6 C5 D4 【分析】根据等边三角形得 ABBC3，根据平移的性质，结合图形，可直接求得结果 【解答】解：ABC 是等边三角形， ABBC3， 等边三角形 DEF 是由等边三角形 ABC 沿射线 BC 方向平移得到， EFBC3， 又 EC1， BFBC+EFEC3+315 故选：C 【点评
12、】本题考查了等边三角形的性质，平移的性质，解题的关键是理解平移的性质利用数形结合的思想 7已知 3x5，3y10，3z50，那么下列关于 x，y，z 之间满足的等量关系正确的是（ ） Ax+yz Bxyz C2x+yz D2xyz 【分析】由 3z50 可得：3z510，则可得到 3z3x3y，从而有 3z3x+y，即可得解 【解答】解：3x5，3y10，3z50， 3z510， 3z3x3y， 3z3x+y， zx+y 故选：A 【点评】 本题主要考查同底数幂的乘法， 解答的关键是对同底数幂的乘法的运算法则的掌握与灵活运用 8如图，在 RtABC 中，C90，AD 平分BAC 交 BC 于点
13、 D若 SACD6，AC6，则点 D 到 AB的距离为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】过点 D 作 DEAB 于 E，依据角平分线性质，即可得到 DCDE依据 SACD6，求得 CD 的长，即可得出点 D 到 AB 的距离 【解答】解：如图所示，过点 D 作 DEAB 于 E， AD 平分BAC，DCAC，DEAB， DCDE， SACD6， ACCD6，即6CD6， 解得 CD2， DE2， 即点 D 到 AB 的距离为 2， 故选：B 【点评】本题主要考查的是角平分线的性质，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键 9在ABC 中，AB6，AC8，点 D 是 BC
14、边的中点，过点 D 分别作 DEAB 交 AB 于点 E，作 DFAC交 AC 于点 F则 DE：DF 的值为（ ） A3：4 B9：16 C4：3 D16：9 【分析】 连接 AD， 证 BDCD， 则 SABDSACD， 再由三角形面积公式得ABDEACDF，则 ABDEACDF，即可求解 【解答】解：连接 AD，如图： 点 D 是 BC 边的中点， BDCD， SABDSACD， DEAB 交 AB 于点 E，DFAC 交 AC 于点 F， ABDEACDF， ABDEACDF， 即 6DE8DF， DE：DF4：3， 故选：C 【点评】本题考查了三角形面积，证出 SABDSACD是解题
15、的关键 10在平面直角坐标系中，直线 l 经过点（a，0） ，并垂直于 x 轴P 是直线 l 上的一点，点 A（2a3，4）和点 B（2a+2，0）均不在直线 l 上若 AP+BP 的最小值恰为 AB 的长，则 a 的取值范围为（ ） Aa1 B1a C2a3 Da2 【分析】由 AP+BP 的最小值恰为 AB 的长可知点 A（2a3，4）和点 B（2a+2，0）在直线 l 的两侧，即可得出，解不等式组即可得到结论 【解答】解：由题意可知，点 A（2a3，4）和点 B（2a+2，0）在直线 l 的两侧， 2a+2（2a3）50， A 点在直线 l 的左侧，点 B 在直线 l 的右侧， ， 解得
16、1a， 故选：B 【点评】 此题主要考查了轴对称最短路线问题， 能够理解题意得出点 A （2a3， 4） 和点 B （2a+2，0）在直线 l 的两侧是解题的关键 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分 11在平面直角坐标系中，点 P（2，3）关于 x 轴对称点的坐标为 （2，3） 【分析】直接利用关于 x 轴对称点的性质得出答案 【解答】解：点 P（2，3）关于 x 轴对称点的坐标为： （2，3） 故答案为： （2，3） 【点评】此题主要考查了关于 x 轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键 12计算：a（a2b）的结果为
17、a22ab 【分析】根据单项式乘多项式的法则进行计算即可得出答案 【解答】解：a（a2b）a22ab 故答案为：a22ab 【点评】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘多项式的法则是解题的关键 13如图，将三角形纸片 ABC 沿 BD 折叠，若290，A50，则1 的度数为 20 【分析】由折叠的性质可得1ABD，AA50，再根据三角形的内角和定理即可求解 【解答】解：如图， 将三角形纸片 ABC 沿 BD 折叠， 1ABD，AA50， BEA90， ABE90A905040， 120， 故答案为：20 【点评】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，明确折叠前后对应角相等是解题的关键
18、14如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在 AB，BC 上，若 BDCE，则1 的度数为 60 【分析】根据题干条件：ACCB，CEBD，ACDB 可以判定ACECBD，即可得到CAEBCD，又知1ABP+BAP，故知1CAE+ACDACB 【解答】解：ABC 是等边三角形， ACCB，ACBABC60 在ACE 和CBD 中， ， ACECBD（SAS） ， CAEBCD， 1ABP+BAP， 1CAE+ACDACB60 故答案为：60 【点评】本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是能看出APEABP+BAP，还要熟练掌握三角形全等的判定与
19、性质定理 15在ABC 和DEF 中，ABDE，CF若要使得ABCDEF，则应添加的条件是 AD（答案不唯一） （添加一个条件即可） 【分析】此题是一道开放型的问题，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可 【解答】解： 添加的条件是AD， 理由是：在ABC 和DEF 中， ， ABCDF（AAS） ， 故答案为：AD（答案不唯一） 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有 HL 16如图，在 RtABC 中，ACB90，ABC2BAC点 E 是ABC 的平分线 BE
20、 上的一点，连接AE，CE若 CEAB，则下列说法正确的有 （写出所有正确的序号） ADBD，CAE30，SABD3SBCD，CEAB 【分析】 根据直角三角形的性质得BAC30， ABC60， 由角平分线的定义得CBDABDBAD30，即可得 ADBD； 根据平行线的性质可得ACEBEC30，可得 CDDE，由 ADBD 得 ACBE，利用 SAS 证明BCEAEC，即可得CAECBD30； 根据含 30角的直角三角形的性质得 ADBD2CD，可得 SABD2SBCD； 由CAEABDBAD30得AEB90， 根据含 30角的直角三角形的性质可得 AEAB 【解答】解：在 RtABC 中，A
21、CB90，ABC2BAC BAC30，ABC60， 点 E 是ABC 的平分线 BE 上的一点， CBEABEBAC30， ADBD，正确； CEAB， ACEBAC30，ABEBEC30， ACEBEC30， CDDE， ADBD， BD+DEAD+CD，即 ACBE， 在BCE 和AEC 中， ， BCEAEC（SAS） ， CAECBE30，正确； ACB90，CBE30， ADBD2CD， SABD2SBCD，错误； CAEABEBAC30， AEB90， AEAB，正确 故答案为： 【点评】本题主要考查含 30的直角三角形，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形的判
22、定与性质，等角对等边，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关系与边的关系 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 9 小题，共小题，共 86 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （8 分）计算：5a2a43（a3）2+（a3）2 【分析】根据单项式乘单项式和幂的乘方与积的乘方法则进行计算，即可得出答案 【解答】解：5a2a43（a3）2+（a3）2 5a63a6+a6 3a6 【点评】此题考查了单项式乘单项式以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键 18 （8 分）先化简，再求值：x2（x+1）x（x2x
23、+1） ，其中 x5 【分析】先根据单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可 【解答】解：x2（x+1）x（x2x+1） x3+x2x3+x2x 2x2x， 当 x5 时，原式252545 【点评】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序 19 （8 分）如图，在ABC 中，BA+10，ACBA+20，CDAB 于点 D，求ACD 的度数 【分析】由BA+10，ACBA+20，再根据三角形内角和定理即可求解 【解答】解：BA+10，ACBA+20， A+A+10+A+20180， A50， CDAB， ADC90， ACD90A9
24、05040 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键 20 （8 分）如图，在ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，AE3，ABC 的周长为 14，求BCD 的周长 【分析】先根据 DE 是 AC 的垂直平分线，AE3 得出 ADCD，AC2AE16，再根据ABC 的周长为 14 可求出 AB+BC 的长，进而得出结论 【解答】解：DE 是 AC 的垂直平分线，AE3， ADCD，AC2AE6， ABC 的周长为 14， AB+BC14AC8， BCD 的周长BC+（BD+CD）AB+BC8 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意
25、一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键 21 （8 分）如图，在ABC 中，ABAC，ADBC 于点 D，DE 平分ADB 交 AB 于点 E，DF 平分ADC交 AC 于点 F，求证：DEDF 【分析】由等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质直接证明即可 【解答】证明：ABAC，ADBC， BADCAD，ADBADC90， DE 平分ADB 交 AB 于点 E，DF 平分ADC 交 AC 于点 F， ADEADF， 在ADE 和ADF 中， ， ADEADF（ASA） ， DEDF 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质此题利用了等腰三角形“三线合一”的性质解答 22 （10 分）
26、如图，在ABC 和DEC 中，E 是 AB 上的一点，AD，12，且 ABDE，求证：34 【分析】根据三角形内角和定理和平角得出B3，进而利用 ASA 证明ABC 与DEC 全等，进而解答即可 【解答】证明：2+4+B180，1+3+4180，12， 3B， 在ABC 与DEC 中， ， ABCDEC（ASA） ， CEBC， 4B， 34 【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证ABCDEC 是解题的关键 23 （10 分）如图，在ABC 中，ACB90 （1）在 AC 的右侧作DCF，使点 F 在 AC 上，且DCFABC； （要求：尺规作图，保留
27、作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接 BD 交 AC 于点 P若 AC2BC4，求 PC 的长 【分析】 （1）在 CA 上截取 CFCB，然后分别以 C、F 为圆心，AB、AC 为半径画弧，两弧的交点为 D，从而得到满足条件的DCF； （2）方法一：先利用全等三角形的性质得到 DFAC4，CFCB2，DFCACB90，作 FP的垂直平分线交 PD 于 N，连接 FN，作 NHDF 于 H，如图，证明 MNDFBC，再证明 PMNPCB，所以 PCPM，从而得到 PCCF； 方法二：证明DFPBCP，利用相似比得到 FP2CP，则 2PC+PC2，从而得到 PC 的长 【解答】解： （1）
28、如图，DCF 为所作； （2）方法一：如图 2，DCFABC， DFAC4，CFCB2，DFCACB90， DFBC， 作 FP 的垂直平分线交 PD 于 N，连接 FN，作 NHDF 于 H，如图， NPNF，MPMF， NPFNFP， NDFNFD， NDNF， FHDH FHMN， MNFHDH2， MNBC， MNDF， MNBC， PMNPCB， 在PMN 和PCB 中， ， PMNPCB（AAS） ， PCPM， 而 PMMF， PCCF 方法二：易证DFPBCP， 2， FP2CP， PF+CPCF， 2PC+PC2， PC 【点评】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟
29、悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质 24 （12 分）如图，在ABC 中，D 是 BC 上一点，ADCD，点 E 在线段 AD 上，连接 CE，设ABC，AEC （1）若 ACBC，CE 平分ACB，求 和 之间的数量关系； （2）若点 E 在线段 AD 的延长线上，且 +180，求证：ABEC 【分析】 （1）根据角平分线的性质和三角形内角和，可以得到 和 之间的数量关系； （2）根据题意可以构造三角形全等，先作辅助线 CFCE 且点 F 在直线 AD 上，然后即可证明BDAFDC，从而可以得到
30、结论成立 【解答】解： （1）设ACEx， CE 平分ACB，ADCD， DACDCA2x， ACBC，ABC， ABCBAC， ABC+BAC+ACB180，AEC+EAC+ACE180，AEC， +2x180，+2x+x180， 390； （2）作 CFCE 且点 F 在直线 AD 上，如右图所示， 则CEFCFE， ABC，AEC，+180， ABC+CFE180， ABC+BAD+BDA180，CFECDF+FCD，BDAFDC， BADFCD， 在BDA 和FDC 中， ， BDAFDC（ASA） ， ABCF， ABCE 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角
31、形内角和，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键 25 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，A（m，0） ，B（a，b） ，D（a，0） ，且 0mab过点 A 作直线 AC 交 y 轴正半轴于点 C，且OAC60连接 AB，BC，CD，AC 平分BAD，BCAC （1）求 m 与 a 之间的等量关系； （2）求证：D，C，B 三点共线； （3）过点 B 作直线 lx 轴，垂足为 M点 Q 是直线 l 上的一点，连接 AQ，若 AQAB，则的值是否为定值？如果是，请求出定值如果不是，请说明理由 【分析】 （1）先通过条件作出对应的图象，然后由点的坐标得到线段 OA，AM 的长度，进而结合
32、OAC60、AC 平分BAD、BCAC 得到ACO30，BAC60，ACB90，然后得到 AC、AB 的长，最后由BAM60得到 AM 的长度，即可得到 m 与 a 的数量关系； （2）由 m 与 a 的数量关系得到 OD、OC 的长，然后得到ODC30，再得到ACD90，最后得证 D、C、B 三点共线； （3）由 AQAB 得到QAB90，然后结合BAM60得到ABQ30，然后利用含 30角的直角三角形中三边的关系得到 BC、AQ 的长，进而得到ABC、ABQ 的面积，最后求得面积比 【解答】 （1）解：如图，过点 B 作 BMx 轴于点 M， A（m，0） ，B（a，b） ，D（a，0）
33、，且 0mab， OAm，AMam，BMb，ODa， OAC60，AC 平分BAD，BCAC， ACO30，BAC60，ACB90， BAM60，ABC30， AC2OA2m， AB2AC4m， AMAB2m， 2mam， a3m （2）证明：a3m， OD3m， 在 RtAOC 中，ACO30，OAm， OCm， CD2m， CD2OC， ODC30， OAC60， ACD90， ACB90， ACD+ACB180， D、C、B 三点共线 （3）解：AQAB， QAB90， BAM60， ABM30， AB4m，AQm， SABQm2， 在 RtABC 中，ACB90，BAC60， ABC30， AC2m， BC2m， SABC2m2， ， 为定值 【点评】 本题考查了含 30角的直角三角形三边关系， 解题的关键是熟练应用含 30角的直角三角形三边关系表示相关线段长度
