2022届山东省高三数学二轮复习专题训练05:不等式(含答案解析)

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1、专题专题 0505:等式与不等式等式与不等式 一、单选题一、单选题 1 (2022 山东日照 二模)若 a,b,c 为实数,且ab,0c ,则下列不等关系一定成立的是( ) Aacbc B11ab Cacbc Dbac 2 (2022 山东潍坊 二模)已知正实数 a,b 满足22246aabb,则2ab的最大值为( ) A2 5 B2 2 C5 D2 二、多选题二、多选题 3 (2022 山东 烟台市教育科学研究院二模)已知a、0,1b,且1ab ,则( ) A2212ab Blnln2ln2ab C2ln lnln 2ab Dln0ab 4 (2022 山东菏泽 二模)设 a,b为两个正数,

2、定义 a,b的算术平均数为2abA a b,,几何平均数为G a bab, 上个世纪五十年代, 美国数学家 D H. Lehmer 提出了“Lehmer 均值”, 即11,pppppabLa bab,其中 p 为有理数下列结论正确的是( ) A0.51,La bL a b B0,La bG a b C2,La bA a b D1,nnLa bLa b 5 (2022 山东临沂 二模)已知 a,bR,则使“1ab ”成立的一个必要不充分条件是( ) A221ab B| 1ab C221ab D4110bab 三、填空题三、填空题 6(2022 山东日照 二模) 已知第一象限的点,M a b在直线

3、10 xy 上, 则12ab的最小值是_. 7 (2022 山东 德州市教育科学研究院二模)十九世纪下半叶集合论的创立,奠定了现代数学的基础,著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物,具有典型的分形特征,其操作过程如下:将闭区间0,1均分为三段, 去掉中间的区间段1 2,3 3, 记为第 1 次操作; 再将剩下的两个区间10,3,2,13分别均分为三段,并各自去掉中间的区间段,记为第 2 次操作 ;每次操作都在上一次操作的基础上,将剩下的各个区间分别均分为三段, 同样各自去掉中间的区间段: 操作过程不断地进行下去, 剩下的区间集合即是“康托三分集”,第三次操作后,依次从左到右第三个区间为_

4、,若使前 n 次操作去掉的所有区间长度之和不小于2627,则需要操作的次数 n的最小值为_(lg20.30,lg30.47) 8 (2022 山东泰安 二模)已知以 C 为圆心的圆222440 xyxy若直线220axby(a,b为正实数)平分圆 C,则21ab的最小值是_;设点0,3M x,若在圆 C上存在点 N,使得CMN45 ,则0 x的取值范围是_ 参考答案参考答案 1A 【分析】由不等式的基本性质和特值法即可求解. 【详解】对于 A 选项,由不等式的基本性质知,不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号方向不变,则abacb c ,A 选项正确; 对于B选项, 由不等式

5、的基本性质知, 不等式的两边都乘以 (或除以) 同一个负数, 不等号方向改变, 若2a ,1b,则11ab,B 选项错误; 对于 C 选项, 由不等式的基本性质知, 不等式的两边都乘以 (或除以) 同一个正数, 不等号方向不变,0c ,0abacbc ,C 选项错误; 对于 D 选项,因为0abba,0c ,所以无法判断ba与c大小,D 选项错误. 2B 【分析】将条件中的式子进行配方,利用基本不等式得到关于2ab的不等式,解不等式即可求出结果. 【详解】因为22222022ababab, 所以 2222abab,当且仅当2ab时等号成立,因为22246aabb, 所以2226abab,即22

6、62abab,所以222262abab, 即228ab,因为, a b为正实数,所以20ab,因此022 2ab,故2ab的最大值为2 2,此时222ab, 故选:B. 3ABD 【分析】利用基本不等式可判断 A 选项;利用基本不等式结合对数函数的单调性可判断 B 选项;利用特殊值法可判断 C 选项;构造函数 1lnf xxx ,利用函数 f x在0,1上的单调性可判断 D 选项. 【详解】对于 A 选项,因为22222122abababab, 所以,2212ab,当且仅当12ab时,等号成立,A 对; 对于 B 选项,由基本不等式可得2124abab,当且仅当12ab时,等号成立, 所以,1

7、lnlnlnln2ln24abab ,B 对; 对于 C 选项,取14a ,34b ,则222133lnlnln 2lnlnln 22ln2lnln 2444ab 16ln2 lnln209,此时2lnlnln 2ab ,C 错; 对于 D 选项,令 1lnf xxx ,其中01x, 则 1110 xfxxx ,所以,函数 f x在0,1上为增函数, 因为01b,则 1lnln10f bbbabf ,D 对. 故选:ABD. 4AB 【分析】根据基本不等式比较大小可判断四个选项. 【详解】对于 A,0.5( , )11abLa babab1( , )2abL a b,当且仅当ab时,等号成立,

8、故 A 正确; 对于 B,022( , )11abL a babab2( , )2ababG a bab,当且仅当ab时,等号成立,故 B 正确; 对于 C,2222222( , )2()abababL a babab2222()ababab2()( , )2()2ababA a bab,当且仅当ab时,等号成立,故 C 不正确; 对于 D,当1n 时,由 C 可知,21( , )=( , )2abL a bL a b,故 D 不正确. 故选:AB 5BC 【分析】对于 A、D 选项,取特殊值说明既不充分也不必要即可;对于 B,先取特殊值说明不充分,再同时平方证必要即可;对于 C,先取特殊值说

9、明不充分,再结合基本不等式证必要即可; 【详解】对于 A,当1ab时,满足221ab,不满足1ab ,即221ab推不出1ab ,不充分; 当13,24ab时,满足1ab ,不满足221ab,即1ab 推不出221ab,不必要;A 错误; 对于 B,当1ab时,满足| 1ab,不满足1ab ,即| 1ab推不出1ab ,不充分; 当1ab 时,平方得2221aabb,又22222221abaabbaabb,又| 0ab,故| 1ab, 即1ab 能推出| 1ab,必要;B 正确; 对于 C,当0ab=时,满足221ab,不满足1ab ,即221ab推不出1ab ,不充分; 当1ab 时,由20

10、,20ab,222 222 22 21ababa b,即1ab 能推出221ab,必要;C 正确; 对于 D,当12ab时,满足4110bab,不满足1ab ,即4110bab推不出1ab ,不充分; 当2,1ab时,满足1ab ,不满足4110bab,即1ab 推不出4110bab,不必要;D 错误. 故选:BC. 632 2#2 23 【分析】由第一象限的点( , )M a b在直线10 xy 上,可知1,0,0abab,带入原式中,利用基本不等式即可求解. 【详解】解:因为第一象限的点( , )M a b在直线10 xy 上,所以1,0,0abab, 所以12122()332 2baab

11、ababab, 当且仅当21,22ab时等号成立, 故答案为:32 2. 7 27,9 27; 9. 【分析】先根据题意把第n次操作所去掉的长度和求出来,然后再求和即可得到前n次操作所去掉的长度,再建立不等式即可求出n的最小值. 【详解】第一次操作去掉了区间长度的13,剩下的区间:10,3,2,13 第二次去掉2个长度为19的区间,即长度和为29,剩下的区间:10,9,2 1,9 3,2 7,3 9,8,19 第三次去掉4个长度为127的区间,即长度和为427,剩下的区间:10,27,21,27 9,27,9 27,81,27 3,L . 以此类推, 第n次将去掉12n个长度为13n的区间,即

12、长度和为123nn, 则 na的前n项和可表示为 112133122212393313nnnnnS L 由题意知,2261327n,21327n 两边同时取对数,即lg2 lg33lg3n, 解得:8.13n 9n 故答案为:27,9 27;9. 8 32 2#2 23 0,2 【分析】先由直线220axby经过圆心求得1ab ,再由2121ababab结合基本不等式即可求解; 当01x 时,设直线MP与圆C切于P点,由45CMP解得0 x的取值范围,当01x 时,存在(2,2)N使CMN45 即可求解. 【详解】由题意知:直线220axby经过圆心,又222440 xyxy化为标准方程为22121xy, 故2220ab,即1ab ,故21212233232 2bab aababababab, 当且仅当2baab,即22,21ab时取等,故21ab的最小值是32 2; 易知圆C与直线3y 相切,M在直线3y 上,当01x 时,设直线MP与圆C切于P点,如图所示,要使圆C上存在点 N,使得CMN45 , 则45CMP,12sin2CPCMPCMCM,则2CM ,即2201(32)2x ,解得002x,故002x且01x ; 当01x 时,M即为切点,此时圆上存在(2,2)N使CMN45 ,符合题意;综上:002x. 故答案为:32 2;0,2.

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