1、专题专题 0505：等式与不等式等式与不等式 一、单选题一、单选题 1 （2022 山东日照 二模）若 a，b，c 为实数，且ab，0c ，则下列不等关系一定成立的是（ ） Aacbc B11ab Cacbc Dbac 2 （2022 山东潍坊 二模）已知正实数 a，b 满足22246aabb，则2ab的最大值为（ ） A2 5 B2 2 C5 D2 二、多选题二、多选题 3 （2022 山东 烟台市教育科学研究院二模）已知a、0,1b，且1ab ，则（ ） A2212ab Blnln2ln2ab C2ln lnln 2ab Dln0ab 4 （2022 山东菏泽 二模）设 a，b为两个正数，
2、定义 a，b的算术平均数为2abA a b,，几何平均数为G a bab, 上个世纪五十年代， 美国数学家 D H. Lehmer 提出了“Lehmer 均值”， 即11,pppppabLa bab，其中 p 为有理数下列结论正确的是（ ） A0.51,La bL a b B0,La bG a b C2,La bA a b D1,nnLa bLa b 5 （2022 山东临沂 二模）已知 a，bR，则使“1ab ”成立的一个必要不充分条件是（ ） A221ab B| 1ab C221ab D4110bab 三、填空题三、填空题 6（2022 山东日照 二模） 已知第一象限的点,M a b在直线
3、10 xy 上， 则12ab的最小值是_. 7 （2022 山东 德州市教育科学研究院二模）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间0，1均分为三段， 去掉中间的区间段1 2,3 3， 记为第 1 次操作； 再将剩下的两个区间10,3，2,13分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第 2 次操作 ；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段， 同样各自去掉中间的区间段： 操作过程不断地进行下去， 剩下的区间集合即是“康托三分集”，第三次操作后，依次从左到右第三个区间为_
4、，若使前 n 次操作去掉的所有区间长度之和不小于2627，则需要操作的次数 n的最小值为_(lg20.30，lg30.47) 8 （2022 山东泰安 二模）已知以 C 为圆心的圆222440 xyxy若直线220axby（a，b为正实数）平分圆 C，则21ab的最小值是_；设点0,3M x，若在圆 C上存在点 N，使得CMN45 ，则0 x的取值范围是_ 参考答案参考答案 1A 【分析】由不等式的基本性质和特值法即可求解. 【详解】对于 A 选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则abacb c ，A 选项正确； 对于B选项， 由不等式
5、的基本性质知， 不等式的两边都乘以 （或除以） 同一个负数， 不等号方向改变， 若2a ，1b，则11ab，B 选项错误； 对于 C 选项， 由不等式的基本性质知， 不等式的两边都乘以 （或除以） 同一个正数， 不等号方向不变，0c ，0abacbc ，C 选项错误； 对于 D 选项，因为0abba，0c ，所以无法判断ba与c大小，D 选项错误. 2B 【分析】将条件中的式子进行配方，利用基本不等式得到关于2ab的不等式，解不等式即可求出结果. 【详解】因为22222022ababab， 所以 2222abab，当且仅当2ab时等号成立，因为22246aabb， 所以2226abab，即22
6、62abab，所以222262abab， 即228ab，因为, a b为正实数，所以20ab，因此022 2ab，故2ab的最大值为2 2，此时222ab， 故选：B. 3ABD 【分析】利用基本不等式可判断 A 选项；利用基本不等式结合对数函数的单调性可判断 B 选项；利用特殊值法可判断 C 选项；构造函数 1lnf xxx ，利用函数 f x在0,1上的单调性可判断 D 选项. 【详解】对于 A 选项，因为22222122abababab， 所以，2212ab，当且仅当12ab时，等号成立，A 对； 对于 B 选项，由基本不等式可得2124abab，当且仅当12ab时，等号成立， 所以，1
7、lnlnlnln2ln24abab ，B 对； 对于 C 选项，取14a ，34b ，则222133lnlnln 2lnlnln 22ln2lnln 2444ab 16ln2 lnln209，此时2lnlnln 2ab ，C 错； 对于 D 选项，令 1lnf xxx ，其中01x， 则 1110 xfxxx ，所以，函数 f x在0,1上为增函数， 因为01b，则 1lnln10f bbbabf ，D 对. 故选：ABD. 4AB 【分析】根据基本不等式比较大小可判断四个选项. 【详解】对于 A，0.5( , )11abLa babab1( , )2abL a b，当且仅当ab时，等号成立，
8、故 A 正确； 对于 B，022( , )11abL a babab2( , )2ababG a bab，当且仅当ab时，等号成立，故 B 正确； 对于 C，2222222( , )2()abababL a babab2222()ababab2()( , )2()2ababA a bab，当且仅当ab时，等号成立，故 C 不正确； 对于 D，当1n 时，由 C 可知，21( , )=( , )2abL a bL a b，故 D 不正确. 故选：AB 5BC 【分析】对于 A、D 选项，取特殊值说明既不充分也不必要即可；对于 B，先取特殊值说明不充分，再同时平方证必要即可；对于 C，先取特殊值说
9、明不充分，再结合基本不等式证必要即可； 【详解】对于 A，当1ab时，满足221ab，不满足1ab ，即221ab推不出1ab ，不充分； 当13,24ab时，满足1ab ，不满足221ab，即1ab 推不出221ab，不必要；A 错误； 对于 B，当1ab时，满足| 1ab，不满足1ab ，即| 1ab推不出1ab ，不充分； 当1ab 时，平方得2221aabb，又22222221abaabbaabb，又| 0ab，故| 1ab， 即1ab 能推出| 1ab，必要；B 正确； 对于 C，当0ab=时，满足221ab，不满足1ab ，即221ab推不出1ab ，不充分； 当1ab 时，由20
10、,20ab，222 222 22 21ababa b，即1ab 能推出221ab，必要；C 正确； 对于 D，当12ab时，满足4110bab，不满足1ab ，即4110bab推不出1ab ，不充分； 当2,1ab时，满足1ab ，不满足4110bab，即1ab 推不出4110bab，不必要；D 错误. 故选：BC. 632 2#2 23 【分析】由第一象限的点( , )M a b在直线10 xy 上，可知1,0,0abab，带入原式中，利用基本不等式即可求解. 【详解】解：因为第一象限的点( , )M a b在直线10 xy 上，所以1,0,0abab， 所以12122()332 2baab
11、ababab， 当且仅当21,22ab时等号成立， 故答案为：32 2. 7 27,9 27； 9. 【分析】先根据题意把第n次操作所去掉的长度和求出来，然后再求和即可得到前n次操作所去掉的长度，再建立不等式即可求出n的最小值. 【详解】第一次操作去掉了区间长度的13，剩下的区间：10,3，2,13 第二次去掉2个长度为19的区间，即长度和为29，剩下的区间：10,9，2 1,9 3，2 7,3 9，8,19 第三次去掉4个长度为127的区间，即长度和为427，剩下的区间：10,27，21,27 9，27,9 27，81,27 3，L . 以此类推， 第n次将去掉12n个长度为13n的区间，即
12、长度和为123nn， 则 na的前n项和可表示为 112133122212393313nnnnnS L 由题意知，2261327n，21327n 两边同时取对数，即lg2 lg33lg3n， 解得：8.13n 9n 故答案为：27,9 27；9. 8 32 2#2 23 0,2 【分析】先由直线220axby经过圆心求得1ab ，再由2121ababab结合基本不等式即可求解； 当01x 时，设直线MP与圆C切于P点，由45CMP解得0 x的取值范围，当01x 时，存在(2,2)N使CMN45 即可求解. 【详解】由题意知：直线220axby经过圆心，又222440 xyxy化为标准方程为22121xy， 故2220ab，即1ab ，故21212233232 2bab aababababab， 当且仅当2baab，即22,21ab时取等，故21ab的最小值是32 2； 易知圆C与直线3y 相切，M在直线3y 上，当01x 时，设直线MP与圆C切于P点，如图所示，要使圆C上存在点 N，使得CMN45 ， 则45CMP，12sin2CPCMPCMCM，则2CM ，即2201(32)2x ，解得002x，故002x且01x ； 当01x 时，M即为切点，此时圆上存在(2,2)N使CMN45 ，符合题意；综上：002x. 故答案为：32 2；0,2.