1、专题专题 0606: :不等式不等式 一、单选题一、单选题 1 (2022 广东湛江 二模)若,0,a b,且49ab,则aba的最小值为( ) A9 B3 C1 D13 2 (2022 广东茂名 二模)已知2232ba()abR, ,则|3|ab 的最小值为( ) A0 B1 C2 D2 3 (2022 广东惠州 二模)函数2455( )()22xxf xxx有( ) A最大值52 B最小值52 C最大值 2 D最小值 2 二、多选题二、多选题 4 (2022 广东广州 二模)已知0,0ab,直线yxa与曲线1e21xyb相切,则下列不等式成立的是( ) A18ab B218ab C62ab
2、 D33a b 5 (2022 广东佛山 二模)已知0 xy,且e sine sinyxxy ,其中 e 为自然对数的底数,则下列选项中一定成立的是( ) Asinsinxy Bsinsinxy Ccoscos0 xy Dcocos0sxy 6 (2022 广东肇庆 二模)已知221xy,xR,yR,且0 xy ,则( ) A2xy B12xy C22loglog1xy D112xy 7 (2022 广东 普宁市华侨中学二模)已知0ab,且4ab,则( ) A21a b B22loglog1ab C228ab D22loglog1ab 8 (2022 广东韶关 二模)已知2102105ab,
3、则下列结论正确的是( ) A21ab B18ab C2lg 2ab Dab 9 (2022 广东汕头 二模)已知 a,b,c满足 cab,且 ac0 Bc(b-a)0 C22cbab Dabac 三、填空题三、填空题 10 (2022 广东深圳 二模)设01x,则141xx的最小值为_. 11 (2022 广东茂名 二模)已知正实数 m,n满足21mn,则42nmn的最小值为_ 参考答案参考答案 1C 【分析】由基本不等式得49abaab,进而结合已知条件得aba的最小值为1. 【详解】解:因为,0,a b,所以40,0ab aab, 因为49ab 所以4445529aaabab ab aab
4、abab,即99aba, 当且仅当4 ab aab,即29,3ab时等号成立, 所以1aba,即aba的最小值为1. 故选:C 2C 【分析】由2232ba可得( 3)( 3)2abab,令33abvab,表示出 a,b,再由2222233(3)96(1)(1)22abaabbvv,结合不等式知识,即可求得答案. 【详解】由2232ba可得:2232ab,故( 3)( 3)2abab , 令33abvab,则3()61()2avbv, 因为2222233(3)96(1)(1)22abaabbvv 332 (1)(1)2422vvv, 当且仅当2233(1)(1)22v,即3131v或1313v
5、 时等号成立, 所以|3| 2ab ,即|3|ab的最小值为 2, 故选:C 3D 【分析】分离常数后,用基本不等式可解. 【详解】(方法 1)52x,20 x , 则2245(2)11(2)222(2)xxxxxxx, 当且仅当122xx,即3x 时,等号成立. (方法 2)令2xt ,52x,12t ,2xt . 将其代入,原函数可化为22(2)4(2)511122tttytttttt ,当且仅当1tt,即1t 时等号成立,此时3x . 故选:D 4AC 【分析】利用导数的几何意义,求出 a,b 的关系,再结合均值不等式逐项分析、计算并判断作答. 【详解】设直线yxa与曲线1e21xyb相
6、切的切点为00(,)xy, 由1e21xyb求导得:1exy ,则有01e1x ,解得01x , 因此,0122yab ,即21ab,而0,0ab, 对于 A,211212()2228ababab ,当且仅当122ab时取“=”,A 正确; 对于 B,212144(2 )()4428bab aababababab,当且仅当4baab,即122ab时取“=”,B不正确; 对于 C, 因2233()(2 )2(2 )2222aaabbabbab, 则有23()2ab, 即62ab, 当且仅当22ab,即4ab时取“=”,由214abab得21,36ab,所以当21,36ab时,max6()2ab,
7、C 正确; 对于 D,由21ab,0,0ab得,102b,11( ,1)2abb ,而函数3xy 在 R 上单调递增, 因此,333a b,D 不正确. 故选:AC 5AC 【分析】构造函数 sinexxf x ,求导,计算出其单调性即可判断. 【详解】构造函数 sinexxf x , 2coscossin4eexxxxxfx , 当4x 时,( )0fx = ,04x 时, 0fx ,4x 时, 0fx , 在4x处取最大值,0,x , sin0,0 xf x , 函数图像如下: ,eexyxy ,sinsinxy ,A 正确;B 错误; 04x ,22cos1 sin0, cos1 sin
8、,coscosxxyyxy , coscos0 xy ,C 正确,D 错误; 故选:AC. 6AC 【分析】根据基本不等式逐个分析判断 【详解】2212xyxy,22220 xyxy, 22222xyxyxy, 2xy,当且仅当22xy=或22xy 时取等号,故 A 正确; 222212xyxyxy,12xy ,当且仅当22xy=或22xy 时取等号,故 B 错误; 22221loglogloglog12xyxy ,当且仅当22xy=或22xy 时取等号,故 C 正确; 由选项 B 的解析可知12xy ,所以22xy ,所以12xy,所以11122 2xyxy,当且仅当22xy=或22xy 时
9、取等号,故 D 错误 故选:AC 7ACD 【分析】利用不等式的性质和基本不等式的应用,结合指数函数与对数函数的单调性,对选项逐一分析判断. 【详解】因为0ab,且4ab,对 A,0ab,所以0221a b,故 A 正确;对 B,取83,32ab,所以2222216logloglogloglog 219aabb, 故 B 错误; 对 C,2222222ababa b=, 当且仅当ab取等号,又因为24abab,当且仅当ab取等号,所以42222282aba b,当且仅当ab取等号,因为0ab,所以不能取等号,故 C 正确;对 D,当10 ab,22log0,log0ab,所以22loglog1
10、ab;当1ab,22log0,log0ab,所以2222222logloglogloglog144ababab,当且仅当ab取等号,因为0ab,所以不能取等号,故 D 正确. 故选:ACD. 【点睛】 在应用基本不等式求最值时, 要把握不等式成立的三个条件, 就是“一正各项均为正; 二定积或和为定值;三相等等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现错误 8ABC 【分析】由题意可知lg2a ,lg5b ,根据对数函数的单调性可知 D 错误;2101010ab,可知 A 正确;利用基本不等式可知22 2abab,化简整理可知 B 正确;在根据lg 5lg2b ,利用不等式的性质,即可判断 C 正
11、确. 【详解】由题可知lg2a ,1lg5lg 52b ,又52,所以 ab,D 错误; 因为2210101010abab,有21ab所以 A 正确; 由基本不等式得22 2abab,所以18ab ,当且仅当2ab时,取等号; 又因为lg2a ,2lg5b ,所以2ab,故18ab ,B 正确; 由于lg20a ,lg 5lg2b ,所以2lg 2ab ,C 正确. 故选:ABC 9BCD 【分析】利用不等式的基本性质求解. 【详解】解:因为 a,b,c 满足 cab,且 ac0, 所以0,0,0,0,0cabacba, 所以 ac(a-c)0 ,c(b-a)0,22cbab,abac, 故选
12、:BCD 109 【详解】试题分析:因为01x,所以011x ,则14141411 4111xxxxxxxxxx 145291xxxx,当且仅当14113xxxxx时,等号成立,故141xx的最小值为9. 考点:基本不等式的应用. 【方法点晴】本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题,属于中档试题,此类问题解答中要注意基本不等式的成立的条件和等号成立的条件,灵活应用,着重考查了构造思想的应用,本题的解答中把141414114111xxxxxxxxxx ,在利用基本不等式求得最小值,其中灵活利用011x 是解答本题的关键. 1117 【分析】由“1”的代换,利用基本不等式求解. 【详解】因为42428282288216nmnmmnmnmnmnmn, 当且仅当82nmmn,即1214mn时等号成立, 所以4242117nmnmn 故答案为:17