1、专题专题 0606: :不等式不等式 一、单选题一、单选题 1 （2022 广东湛江 二模）若,0,a b，且49ab，则aba的最小值为（ ） A9 B3 C1 D13 2 （2022 广东茂名 二模）已知2232ba()abR， ，则|3|ab 的最小值为（ ） A0 B1 C2 D2 3 （2022 广东惠州 二模）函数2455( )()22xxf xxx有（ ） A最大值52 B最小值52 C最大值 2 D最小值 2 二、多选题二、多选题 4 （2022 广东广州 二模）已知0,0ab，直线yxa与曲线1e21xyb相切，则下列不等式成立的是（ ） A18ab B218ab C62ab
2、 D33a b 5 （2022 广东佛山 二模）已知0 xy，且e sine sinyxxy ，其中 e 为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ） Asinsinxy Bsinsinxy Ccoscos0 xy Dcocos0sxy 6 （2022 广东肇庆 二模）已知221xy，xR，yR，且0 xy ，则（ ） A2xy B12xy C22loglog1xy D112xy 7 （2022 广东 普宁市华侨中学二模）已知0ab，且4ab，则（ ） A21a b B22loglog1ab C228ab D22loglog1ab 8 （2022 广东韶关 二模）已知2102105ab，
3、则下列结论正确的是（ ） A21ab B18ab C2lg 2ab Dab 9 （2022 广东汕头 二模）已知 a，b，c满足 cab，且 ac0 Bc（b-a）0 C22cbab Dabac 三、填空题三、填空题 10 （2022 广东深圳 二模）设01x，则141xx的最小值为_. 11 （2022 广东茂名 二模）已知正实数 m，n满足21mn，则42nmn的最小值为_ 参考答案参考答案 1C 【分析】由基本不等式得49abaab，进而结合已知条件得aba的最小值为1. 【详解】解：因为,0,a b，所以40,0ab aab， 因为49ab 所以4445529aaabab ab aab
4、abab，即99aba， 当且仅当4 ab aab，即29,3ab时等号成立， 所以1aba，即aba的最小值为1. 故选：C 2C 【分析】由2232ba可得( 3)( 3)2abab，令33abvab，表示出 a,b,再由2222233(3)96(1)(1)22abaabbvv，结合不等式知识，即可求得答案. 【详解】由2232ba可得：2232ab,故( 3)( 3)2abab ， 令33abvab，则3()61()2avbv， 因为2222233(3)96(1)(1)22abaabbvv 332 (1)(1)2422vvv， 当且仅当2233(1)(1)22v，即3131v或1313v
5、 时等号成立， 所以|3| 2ab ，即|3|ab的最小值为 2， 故选：C 3D 【分析】分离常数后，用基本不等式可解. 【详解】（方法 1）52x，20 x ， 则2245(2)11(2)222(2)xxxxxxx， 当且仅当122xx，即3x 时，等号成立. （方法 2）令2xt ，52x，12t ，2xt . 将其代入，原函数可化为22(2)4(2)511122tttytttttt ，当且仅当1tt，即1t 时等号成立，此时3x . 故选：D 4AC 【分析】利用导数的几何意义，求出 a，b 的关系，再结合均值不等式逐项分析、计算并判断作答. 【详解】设直线yxa与曲线1e21xyb相
6、切的切点为00(,)xy， 由1e21xyb求导得：1exy ，则有01e1x ，解得01x ， 因此，0122yab ，即21ab，而0,0ab， 对于 A，211212()2228ababab ，当且仅当122ab时取“=”，A 正确； 对于 B，212144(2 )()4428bab aababababab，当且仅当4baab，即122ab时取“=”，B不正确； 对于 C， 因2233()(2 )2(2 )2222aaabbabbab， 则有23()2ab， 即62ab， 当且仅当22ab，即4ab时取“=”，由214abab得21,36ab，所以当21,36ab时，max6()2ab，
7、C 正确； 对于 D，由21ab，0,0ab得，102b，11( ,1)2abb ，而函数3xy 在 R 上单调递增， 因此，333a b，D 不正确. 故选：AC 5AC 【分析】构造函数 sinexxf x ，求导，计算出其单调性即可判断. 【详解】构造函数 sinexxf x ， 2coscossin4eexxxxxfx ， 当4x 时，( )0fx = ，04x 时， 0fx ，4x 时， 0fx ， 在4x处取最大值，0,x ， sin0,0 xf x ， 函数图像如下： ,eexyxy ，sinsinxy ，A 正确；B 错误； 04x ，22cos1 sin0, cos1 sin
8、,coscosxxyyxy ， coscos0 xy ，C 正确，D 错误； 故选：AC. 6AC 【分析】根据基本不等式逐个分析判断 【详解】2212xyxy，22220 xyxy， 22222xyxyxy， 2xy，当且仅当22xy=或22xy 时取等号，故 A 正确； 222212xyxyxy，12xy ，当且仅当22xy=或22xy 时取等号，故 B 错误； 22221loglogloglog12xyxy ，当且仅当22xy=或22xy 时取等号，故 C 正确； 由选项 B 的解析可知12xy ，所以22xy ，所以12xy，所以11122 2xyxy，当且仅当22xy=或22xy 时
9、取等号，故 D 错误 故选：AC 7ACD 【分析】利用不等式的性质和基本不等式的应用，结合指数函数与对数函数的单调性，对选项逐一分析判断. 【详解】因为0ab，且4ab，对 A，0ab，所以0221a b，故 A 正确；对 B，取83,32ab，所以2222216logloglogloglog 219aabb， 故 B 错误； 对 C，2222222ababa b=， 当且仅当ab取等号，又因为24abab，当且仅当ab取等号，所以42222282aba b，当且仅当ab取等号，因为0ab，所以不能取等号，故 C 正确；对 D，当10 ab，22log0,log0ab，所以22loglog1
10、ab；当1ab，22log0,log0ab，所以2222222logloglogloglog144ababab，当且仅当ab取等号，因为0ab，所以不能取等号，故 D 正确. 故选：ACD. 【点睛】 在应用基本不等式求最值时， 要把握不等式成立的三个条件， 就是“一正各项均为正； 二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误 8ABC 【分析】由题意可知lg2a ，lg5b ，根据对数函数的单调性可知 D 错误；2101010ab，可知 A 正确；利用基本不等式可知22 2abab，化简整理可知 B 正确；在根据lg 5lg2b ，利用不等式的性质，即可判断 C 正
11、确. 【详解】由题可知lg2a ，1lg5lg 52b ，又52，所以 ab，D 错误； 因为2210101010abab，有21ab所以 A 正确； 由基本不等式得22 2abab，所以18ab ，当且仅当2ab时，取等号； 又因为lg2a ，2lg5b ，所以2ab，故18ab ，B 正确； 由于lg20a ，lg 5lg2b ，所以2lg 2ab ，C 正确. 故选：ABC 9BCD 【分析】利用不等式的基本性质求解. 【详解】解：因为 a，b，c 满足 cab，且 ac0， 所以0,0,0,0,0cabacba， 所以 ac（a-c）0 ，c（b-a）0，22cbab，abac， 故选
12、：BCD 109 【详解】试题分析：因为01x，所以011x ，则14141411 4111xxxxxxxxxx 145291xxxx，当且仅当14113xxxxx时，等号成立，故141xx的最小值为9. 考点：基本不等式的应用. 【方法点晴】本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题，属于中档试题，此类问题解答中要注意基本不等式的成立的条件和等号成立的条件，灵活应用，着重考查了构造思想的应用，本题的解答中把141414114111xxxxxxxxxx ，在利用基本不等式求得最小值，其中灵活利用011x 是解答本题的关键. 1117 【分析】由“1”的代换，利用基本不等式求解. 【详解】因为42428282288216nmnmmnmnmnmnmn， 当且仅当82nmmn，即1214mn时等号成立， 所以4242117nmnmn 故答案为：17