1、 2021-2022 学年北京市海淀十三校联考八年级上期中数学试卷学年北京市海淀十三校联考八年级上期中数学试卷 一选择题（共一选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1第 24 届冬季奥林匹克运动会，将于 2022 年 02 月 04 日2022 年 02 月 20 日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（ ） A B C D 2下列图形中，具有稳定性的是（ ） A B C D 3下列各组线段中，能构成三角形的是（ ） A1，1，3 B2，3
2、，5 C3，4，9 D5，6，10 4能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的是三角形的（ ） A角平分线 B中线 C高线 D重心 5下列四个图形中，线段 BE 是ABC 的高的是（ ） A B C D 6用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出AOBAOB 的依据是（ ） A （SAS） B （SSS） C （ASA） D （AAS） 7下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A两条直角边对应相等 B斜边和一锐角对应相等 C斜边和一直角边对应相等 D两个锐角对应相等 8如图所示，P，Q 分别是 BC，AC 上的点，作 PRAB 于 R 点，作 PSAC 于 S 点，若 AQPQ，P
3、RPS，下面三个结论：ASAR；QPAR；BRPCSP，正确的是（ ） A和 B和 C和 D，和 二、填空题（共二、填空题（共 8 小题小题.每小题每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 9如图，已知 ADAE，请你添加一个条件，使得ADCAEB，你添加的条件是 （不添加任何字母和辅助线） 10已知直角三角形的一个锐角的度数为 37，则其另一个锐角的度数为 度 11一个多边形的内角和跟它的外角和相等，则这个多边形是 边形 12如图是由 6 个边长相等的正方形组合成的图形，1+2+3 13 如图， ABC中， C90， AD平分BAC， DEAB， 垂足为E， AB10， AC6， 则BE的长
4、为 14在ABC 中，已知 AB6，AC5，AD 是 BC 边上的中线，则 AD 取值范围是 15如图，AODBOC，C50，COD40，AD 与 BC 相交于点 E，则DEC 16当三角形中一个内角 是另外一个内角 的时，我们称此三角形为“友好三角形” ， 为友好角如果一个 “友好三角形” 中有一个内角为 54， 那么这个 “友好三角形” 的 “友好角 ” 的度数为 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，小题，17、18 每小题每小题 4 分，分，19、20、21、22 每小题每小题 4 分，共分，共 32 分）分） 17 （4 分）求出下列图形中 x 的值 18 （4 分）如图，在边长为
5、 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求作图 （1）利用尺规作图在 AC 边上找一点 D，使点 D 到 AB、BC 的距离相等 （不写作法，保留作图痕迹） （2）在网格中，ABC 的下方，直接画出EBC，使EBC 与ABC 全等 19 （6 分）看对话答题：小梅说：这个多边形的内角和等于 1125小红说：不对，你少加了一个角 问题： （1）他们在求几边形的内角和？ （2）少加的那个内角是多少度？ 20 （6 分）已知：如图，CBCD，分别过点 B 和点 D 作 ABBC，ADDC，两垂线相交于点 A求证：ABAD 21 （6 分）如图，A，E，C 三点在同一直线上，且ABCDAE （1）
6、线段 DE，CE，BC 有怎样的数量关系？请说明理由 （2）请你猜想ADE 满足什么条件时，DEBC，并证明 22 （6 分）如图，大小不同的两块三角板ABC 和DEC 直角顶点重合在点 C 处，ACBC，DCEC，连接 AE、BD，点 A 恰好在线段 BD 上 （1）找出图中的全等三角形，并说明理由； （2）当 ADAB4cm，则 AE 的长度为 cm （3）猜想 AE 与 BD 的位置关系，并说明理由 四能力展示题（共四能力展示题（共 3 小题，第小题，第 23、24 每小题每小题 6 分，分，25 题题 8 分，共分，共 20 分）分） 23 （6 分）在ABC 中，A70 （1）如图
7、1，ABC、ACB 的平分线相交于点 O，则BOC ； （2）如图 2，ABC 的外角CBD、BCE 的平分线相交于点 O，则BOC ； （3）探究如图 3，ABC 的内角ABC 的平分线与其外角ACD 的平分线相交于点 O，设An，则BOC 的度数是 （用 n 的代数式表示） 24 （6 分）若三边均不相等的三角形三边 a、b、c 满足 abbc（a 为最长边，c 为最短边） ，则称它为“不均衡三角形” 例如，一个三角形三边分别为 7，5，4，因为 7554，所以这个三角形为“不均衡三角形” （1）以下 4 组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为 （填序号） 4cm，2cm，1cm；13c
8、m，18cm，9cm；19cm，20cm，19cm；9cm，8cm，6cm （2）已知“不均衡三角形”三边分别为 2x+2，16，2x6，直接写出 x 的整数值为 25 （8 分）数学课上，老师给出了如下问题： 已知：如图 1，在 RtABC 中，C90，ACBC，延长 CB 到点 D，DBE45，点 F 是边 BC上一点，连接 AF，作 FEAF，交 BE 于点 E （1）求证：CAFDFE； （2）求证：AFEF 经过独立思考后，老师让同学们小组交流小辉同学说出了对于第二问的想法： “我想通过构造含有边 AF 和 EF 的全等三角形，因此我过点 E 作 EGCD 于 G（如图 2 所示）
9、，如果能证明 RtACF 和 RtFGE 全等，问题就解决了但是这两个三角形证不出来相等的边，好像这样作辅助线行不通 ”小亮同学说： “既然这样作辅助线证不出来，再考虑有没有其他添加辅助线的方法 ”请你顺着小亮同学的思路在图 3 中继续尝试，并完成（1） 、 （2）问的证明 参考答案解析参考答案解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1第 24 届冬季奥林匹克运动会，将于 2022 年 02 月 04 日2022 年 02 月 20 日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是
10、历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】 根据如果一个图形沿一条直线折叠， 直线两旁的部分能够互相重合， 这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可 【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，故此选项错误； D、不是轴对称图形，故此选项正确； 故选：D 【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的概念 2下列图形中，具有稳定性的是（ ） A B C D 【分析】利用三角形的稳定性解答即可 【解答】解：A、三角形具有稳定性，故此选项符合题意； B、四边形不具有稳定性，
11、故此选项不合题意； C、五边形不具有稳定性，故此选项不合题意； D、六边形具有不稳定性，故此选项不合题意 故选：A 【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性 3下列各组线段中，能构成三角形的是（ ） A1，1，3 B2，3，5 C3，4，9 D5，6，10 【分析】由于三角形三边满足两短边的和大于最长的边，只要不满足这个关系就不能构成三角形根据这个关系即可确定选择项 【解答】解：A、1+123， 无法构成三角形，不合题意； B、2+35， 无法构成三角形，不合题意； C、3+479， 无法构成三角形，不合题
12、意； D、5+61110， 可以构成三角形，符合题意； 故选：D 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形 4能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的是三角形的（ ） A角平分线 B中线 C高线 D重心 【分析】利用三角形面积公式进行判断 【解答】解：能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的是三角形的中线 故选：B 【点评】 本题考查了三角形的面积： 三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半， 即 S底高 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分也考查了三角形的高、中线和角平分线 5下列四个图形中，线段 BE 是ABC
13、的高的是（ ） A B C D 【分析】根据三角形高的画法知，过点 B 作 AC 边上的高，垂足为 E，其中线段 BE 是ABC 的高，再结合图形进行判断 【解答】解：线段 BE 是ABC 的高的图是选项 D 故选：D 【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段熟记定义是解题的关键 6用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出AOBAOB 的依据是（ ） A （SAS） B （SSS） C （ASA） D （AAS） 【分析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用 SSS，答案可得
14、【解答】解：作图的步骤： 以 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA、OB 于点 D、C； 任意作一点 O，作射线 OB，以 O为圆心，OC 长为半径画弧，交 OB于点 C； 以 C为圆心，CD 长为半径画弧，交前弧于点 D； 过点 D作射线 OA 所以AOB就是与AOB 相等的角； 作图完毕 在OCD 与OCD， ， OCDOCD（SSS） ， AOBAOB， 显然运用的判定方法是 SSS 故选：B 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键 7下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A两条直角边对
15、应相等 B斜边和一锐角对应相等 C斜边和一直角边对应相等 D两个锐角对应相等 【分析】根据三角形全等的判定定理判断即可 【解答】解：A、根据 SAS 定理可知，两条直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意； B、根据 AAS 定理可知，斜边和一锐角对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意； C、根据 HL 定理可知，斜边和一直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意； D、两个锐角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项符合题意； 故选：D 【点评】本题考查的是三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键 8如图所示，P，Q 分别是 BC，AC 上的点，作 PRAB 于
16、 R 点，作 PSAC 于 S 点，若 AQPQ，PRPS，下面三个结论：ASAR；QPAR；BRPCSP，正确的是（ ） A和 B和 C和 D，和 【分析】根据角平分线的判定，先证 AP 是BAC 的平分线，再证APRAPS（HL） ，可证得 AS AR，QPAR 成立 【解答】解：连接 AP， PRPS， AP 是BAC 的平分线， APRAPS（HL） ASAR，正确 AQPQ BAPQAPQPA QPAR，正确 BC 只是过点 P，并没有固定，明显BRPCSP不成立 故选：C 【点评】本题主要考查三角形全等的判定方法，以及角平分线的判定和平行线的判定，难度适中 二、填空题（共二、填空题
17、（共 8 小题小题.每小题每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 9如图，已知 ADAE，请你添加一个条件，使得ADCAEB，你添加的条件是 ABAC 或ADCAEB 或ABEACD （不添加任何字母和辅助线） 【分析】根据图形可知证明ADCAEB 已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用 ASA、SAS、AAS 证明两三角形全等 【解答】解：AA，ADAE， 可以添加 ABAC，此时满足 SAS； 添加条件ADCAEB，此时满足 ASA； 添加条件ABEACD，此时满足 AAS， 故答案为 ABAC 或ADCAEB 或ABEACD； 【点评】本题考查了全等三角形的判定，是一道开放题，
18、解题的关键是牢记全等三角形的判定方法 10已知直角三角形的一个锐角的度数为 37，则其另一个锐角的度数为 53 度 【分析】根据直角三角形的两锐角互余列式计算即可 【解答】解：直角三角形的一个锐角的度数为 37， 其另一个锐角的度数903753， 故答案为：53 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键 11一个多边形的内角和跟它的外角和相等，则这个多边形是 4 边形 【分析】利用多边形的内角和与外角和公式列出方程，然后解方程即可 【解答】解：设多边形的边数为 n，根据题意 （n2） 180360， 解得 n4 故答案为：4 【点评】本题考查了多边形的内角和
19、公式与多边形的外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是 360 12如图是由 6 个边长相等的正方形组合成的图形，1+2+3 135 【分析】如图，根据题意得 DEBC，ECAB，GFGC，DECABCFGC90，先判断CGF 为等腰直角三角形得到245，再证明ABCCED 得到1DCE，则1+390，从而求出1+2+3 的度数 【解答】解：如图， 根据题意得 DEBC，ECAB，GFGC，DECABCFGC90， CGF 为等腰直角三角形， 245， 在ABC 和CED 中， ， ABCCED（SAS） ， 1DCE， DCE+390， 1+390， 1+2+3
20、90+45135 故答案为 135 【点评】本题考查了全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等形也考查了正方形的性质 13如图，ABC 中，C90，AD 平分BAC，DEAB，垂足为 E，AB10，AC6，则 BE 的长为 4 【分析】先证明ACD 和AED 全等，得出 ACAE，即可得出 BE 的长度 【解答】解：AD 是CAB 的平分线， EADCAD， DEAB， DEAC90， 在ADE 和ADC 中， ， ADEADC（AAS） ， AEAC6， BEABAE1064， 故答案为 4 【点评】本题主要考查全等三角形的判定，关键是要牢记全等三角形的判定定理 14在ABC 中，已知 AB
21、6，AC5，AD 是 BC 边上的中线，则 AD 取值范围是 AD 【分析】延长 AD 到 E 使 DEAD，连接 BE，如图，证明BDECDA 得到 BEAC5，再利用三角形三边的关系得到 ABBEAEAB+BE，从而得到 AD 的范围 【解答】解：延长 AD 到 E 使 DEAD，连接 BE，如图， AD 是 BC 边上的中线， BDCD， 在BDE 和CDA 中， ， BDECDA（SAS） ， BEAC5， ABBEAEAB+BE， 即 652AD6+5， AD 故答案为AD 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判
22、定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件也考查了三角形三边的关系 15如图，AODBOC，C50，COD40，AD 与 BC 相交于点 E，则DEC 40 【分析】 根据全等三角形的性质得出DC， 根据三角形内角和定理求出D+DEC+DFE180，C+DOC+OFC180，根据对顶角相等得出DFEOFC，求出DECCOD，再求出答案即可 【解答】解：设 DO 交 BC 于 F， AODBOC，C50， DC， D+DEC+DFE180，C+DOC+OFC180， 又DFEOFC， DECCOD， COD40， DEC40， 故答案为：40 【点评】 本题考查了三角形内角和定理和全等三角形的性质
23、， 能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等 16当三角形中一个内角 是另外一个内角 的时，我们称此三角形为“友好三角形” ， 为友好角如果一个“友好三角形”中有一个内角为 54，那么这个“友好三角形”的“友好角 ”的度数为 54或 84或 108 【分析】分 54角是 、 和既不是 也不是 三种情况，根据希望角的定义以及三角形的内角和定理列式计算即可得解 【解答】解：54角是 ，则友好角度数为 54； 54角是 ，则54， 所以，友好角 108； 54角既不是 也不是 ， 则 +54180， 所以，+54180， 解得 84， 综上所述，友好角度数为 5
24、4或 84或 108 故答案为：54或 84或 108 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，读懂题目信息，理解希望角的定义是解题的关键，难点在于分情况讨论 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，小题，17、18 每小题每小题 4 分，分，19、20、21、22 每小题每小题 4 分，共分，共 32 分）分） 17 （4 分）求出下列图形中 x 的值 【分析】 （1）根据三角形的内角和定理计算可得到结论； （2）根据三角形的内角和定理计算可得到结论； （3）根据三角形外角的性质计算可得到结论 【解答】解： （1）x180 90 5040； （2）x+x+40180， x70； （3）x+70
25、 x+x+10， 解得 x60 【点评】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，熟练掌握三角形的内角和定理及三角形外角的性质是解题的关键 18 （4 分）如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求作图 （1）利用尺规作图在 AC 边上找一点 D，使点 D 到 AB、BC 的距离相等 （不写作法，保留作图痕迹） （2）在网格中，ABC 的下方，直接画出EBC，使EBC 与ABC 全等 【分析】 （1）作ABC 的平分线即可； （2）利用翻折变换，或构造平行四边形可得结论； 【解答】解： （1）如图点 D 即为所求； （2）EBC 或EBC 即为所求； 【点评】本题考查作
26、图应用与设计，全等三角形的判定，角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 19 （6 分）看对话答题：小梅说：这个多边形的内角和等于 1125小红说：不对，你少加了一个角 问题： （1）他们在求几边形的内角和？ （2）少加的那个内角是多少度？ 【分析】设少加这个内角为 x 度，这个多边形的边数为 n，根据多边形的内角和公式列出算式，根据多边形的一个内角的度数大于 0 度，且小于 180 度可求得 n 的值 【解答】解： （1）设少加这个内角为 x，这个多边形的边数为 n 则 1125+x（n2）180， x（n2）1801125， 0 x180， 0（n2）
27、1801125180， n 为整数， n9 （2）x（92）1801125135， 少加这个内角为 135 度 【点评】本题主要考查的是多边形的内角和定理的应用，根据多边形的一个内角的度数大于 0 度，且小 于 180 度求得多边形的边数是解题的关键 20 （6 分）已知：如图，CBCD，分别过点 B 和点 D 作 ABBC，ADDC，两垂线相交于点 A求证：ABAD 【分析】连接 AC，由 HL 可证 RtABCRtADC，可得 ABAD 【解答】证明：连接 AC， ABBC，ADCD BD90， 在 RtABC 和 RtADC 中 RtABCRtADC（HL） ABAD 【点评】本题考查了
28、全等三角形的判定和性质，证明 RtABCRtADC 是本题的关键 21 （6 分）如图，A，E，C 三点在同一直线上，且ABCDAE （1）线段 DE，CE，BC 有怎样的数量关系？请说明理由 （2）请你猜想ADE 满足什么条件时，DEBC，并证明 【分析】 （1）根据全等三角形的性质得出 AEBC，DEAC，再求出答案即可； （2）当AED90时，DEBC，根据全等三角形的性质得出AEDC，求出DECC，再根据平行线的判定得出即可即可 【解答】 （1）解：DECE+BC 理由：ABCDAE， AEBC，DEAC A，E，C 三点在同一直线上， ACAE+CE， DECE+BC； （2）当AD
29、E 满足AED90时，DEBC， 证明：ABCDAE，AED90， CAED90，DEC180AED90， CDEC DEBC， 即当ADE 满足AED90时，DEBC 【点评】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等 22 （6 分）如图，大小不同的两块三角板ABC 和DEC 直角顶点重合在点 C 处，ACBC，DCEC，连接 AE、BD，点 A 恰好在线段 BD 上 （1）找出图中的全等三角形，并说明理由； （2）当 ADAB4cm，则 AE 的长度为 8 cm （3）猜想 AE 与 BD 的位置关系，并说明理
30、由 【分析】 （1）根据 SAS 证明CBDCAE 即可； （2）根据全等三角形的性质解答即可； （3）根据全等三角形的性质和垂直的定义解答即可 【解答】解： （1）CBDCAE，理由如下： ACBDCE90， ACB+ACDDCE+ACD， 即BCDACE， 在CBD 与CAE 中， ， CBDCAE（SAS） ； （2）CBDCAE， BDAEAD+AB4+48（cm） ， 故答案为：8； （3）AEBD，理由如下： AE 与 CD 相交于点 O，在AOD 与COE 中， CBDCAE， ADOCEO， AODCOE， OADOCE90， AEBD 【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，
31、关键是根据 SAS 得出CBD 与CAE 全等解答 四能力展示题（共四能力展示题（共 3 小题，第小题，第 23、24 每小题每小题 6 分，分，25 题题 8 分，共分，共 20 分）分） 23 （6 分）在ABC 中，A70 （1）如图 1，ABC、ACB 的平分线相交于点 O，则BOC 125 ； （2）如图 2，ABC 的外角CBD、BCE 的平分线相交于点 O，则BOC 55 ； （3）探究如图 3，ABC 的内角ABC 的平分线与其外角ACD 的平分线相交于点 O，设An，则BOC 的度数是 （用 n 的代数式表示） 【分析】 （1）根据三角形内角和定理，由A70，得ABC+ACB
32、180A110根据角平分线的定义， 由 BO 平分ABC， CO 平分ACB， 得OBC， OCB， 那么OBC+OCB55，从而推断出BOC180（OBC+OCB）125 （2）根据三角形外角的性质，得DBCA+ACB，BCEA+ABC，故DBC+BCEA+ACB+A+ABC250根据角平分线的定义，由 BO平分DBC，CO平分BCE，得OBC ， O CB ， 故 O BC+ O CB 125，那么BOC180（OBC+OCB）55 （3） 根据角平分线的定义， 由 BO 平分ABC， CO 平分ACE， 得ABC2OBC， ACE2OCE 根据三角形外角的性质，得AACEABC，故A2O
33、CE2OBC2（OCEOBC）2BOC，那么BOC 【解答】解： （1）A70， ABC+ACB180A110 BO 平分ABC，CO 平分ACB， OBC，OCB OBC+OCB55 BOC180（OBC+OCB）125 故答案为：125 （2）DBCA+ACB，BCEA+ABC， DBC+BCEA+ACB+A+ABC180+70250 BO平分DBC，CO平分BCE， OBC，OCB OBC+OCB125 BOC180（OBC+OCB）18012555 故答案为：55 （3）BO 平分ABC，CO 平分ACE， ABC2OBC，ACE2OCE AACEABC， A2OCE2OBC2（OCE
34、OBC）2BOC BOC 故答案为： 【点评】本题主要考查角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的性质是解决本题的关键 24 （6 分）若三边均不相等的三角形三边 a、b、c 满足 abbc（a 为最长边，c 为最短边） ，则称它为“不均衡三角形” 例如，一个三角形三边分别为 7，5，4，因为 7554，所以这个三角形为“不均衡三角形” （1）以下 4 组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为 （填序号） 4cm，2cm，1cm；13cm，18cm，9cm；19cm，20cm，19cm；9cm，8cm，6cm （2）已知“不均衡
35、三角形”三边分别为 2x+2，16，2x6，直接写出 x 的整数值为 10 或 12 或 13 或 14 【分析】 （1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解； （2）分三种情况对 16 进行讨论即可求解 【解答】解： （1）1+24， 4cm，2cm，1cm 不能组成“不均衡三角形” ； 1813139， 13cm，18cm，9cm 能组成“不均衡三角形” ； 1919， 19cm，20cm，19cm 不能组成“不均衡三角形” ； 9886， 9cm，8cm，6cm 不能组成“不均衡三角形” 故答案为：； （2）16（2x+2）2x+2（2x6） ， 解得 x3， 2x60， 解得 x3， 故
36、不合题意舍去； 2x+2162x6， 解得 7x11， 2x+21616（2x6） ， 解得 x9， 9x11， x 为整数， x10， 经检验，当 x10 时，22，16，14 可构成三角形； 2x616， 解得 x11， 2x+2（2x6）2x616， 解得 x15， 11x15， x 为整数， x12 或 13 或 14，都可以构成三角形 综上所述，x 的整数值为 10 或 12 或 13 或 14 故答案为：10 或 12 或 13 或 14 【点评】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握“不均衡三角形”的定义、以及分类讨论思想的应用是解题的关键 25 （8 分）数学课上，老师给出了如下问
37、题： 已知：如图 1，在 RtABC 中，C90，ACBC，延长 CB 到点 D，DBE45，点 F 是边 BC上一点，连接 AF，作 FEAF，交 BE 于点 E （1）求证：CAFDFE； （2）求证：AFEF 经过独立思考后，老师让同学们小组交流小辉同学说出了对于第二问的想法： “我想通过构造含有边AF 和 EF 的全等三角形，因此我过点 E 作 EGCD 于 G（如图 2 所示） ，如果能证明 RtACF 和 RtFGE 全等，问题就解决了但是这两个三角形证不出来相等的边，好像这样作辅助线行不通 ”小亮同学说： “既然这样作辅助线证不出来，再考虑有没有其他添加辅助线的方法 ”请你顺着小
38、亮同学的思路在图 3 中继续尝试，并完成（1） 、 （2）问的证明 【分析】 （1）依据“同角的余角相等” ，即可得到CAFDFE； （2）在 AC 上截取 AGBF，连接 FG，依据 ASA 即可判定AGFFBE，进而得出 AFEF 【解答】证明： （1）C90， CAF+AFC90 FEAF， DFE+AFC90 CAFDFE （2）如图 3，在 AC 上截取 AGBF，连接 FG， ACBC， ACAGBCBF，即 CGCF C90， CGFCFG45 AGF180CGF135 DBE45， FBE180DBE135 AGFFBE 由（1）可得：CAFDFE AGFFBE（ASA） AFEF 【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解本题的关键是作辅助线构造含有边 AF 和 EF 的全等三角形
