1、2020-2021 学年北京师大二附中海淀学校八年级（上）期中数学试卷学年北京师大二附中海淀学校八年级（上）期中数学试卷 一一.选择题（每题选择题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是 （ ） A B C D 2点 P（3，5）关于 y 轴的对称点的坐标是（ ） A （3，5） B （3，5） C （5，3） D （3，5） 3如图，ABCADE，若B80，C30，则E 的度数为（ ） A80 B35 C70 D30 4下列运算中，正确的是（ ） Aa24a24a2 Ba4a6a24 C （a2）3a
2、6 D3a32a26a6 5根据下列已知条件，不能唯一确定ABC 的大小和形状的是（ ） AAB3，BC4，AC5 BAB4，BC3，A30 CA60，B45，AB4 DC90，AB6，AC5 6与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的（ ） A三条中线的交点 B三条角平分线的交点 C三条高的交点 D三边的垂直平分线的交点 7如图，在ABC 中，D 是 BC 边上一点，且 ABADDC，BAD40，则C 为（ ） A25 B35 C40 D50 8如图，在ABC 中，AB4，AC3，AD 平分BAC，则 SABD：SADC为（ ） A4：3 B16：19 C3：4 D不能确定 9 若把一个
3、正方形纸片按下图所示方法三次对折后再沿虚线剪开， 则剩余部分展开后得到的图形是 （ ） A B C D 10如图，在第 1 个A1BC 中，B30，A1BCB；在边 A1B 上任取一点 D，延长 CA1到 A2，使 A1A2 A1D，得到第 2 个A1A2D；在边 A2D 上任取一点 E，延长 A1A2到 A3，使 A2A3A2E，得到第 3 个 A2A3E，按此做法继续下去，则第 n 个三角形中以 An为顶点的底角度数是（ ） A （）n75 B （）n 165 C （）n 175 D （）n85 二、填空题（每空二、填空题（每空 2 分，共分，共 22 分）分） 11 （2 分）三角形的三
4、边长分别是 2、3、x，则 x 的取值范围是 12 （2 分）计算： （xy）3 13 （2 分）如图，ABAC，要使ABEACD，应添加的条件是 （添加一个条件即可） 14 （2 分）如图，ABC 和BDE 都是等边三角形，如果ABE40那么CBD 的大小为 15 （2 分）如图，在ABC 中，ABAC，A20，线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 AC 于 E，连 接 BE，则CBE 为 16 （2 分）如图，在五边形 ABCDE 中，1+2+3+4+5 17 （2 分）若 3m2，3n5，则 32m n 18 （2 分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 36，则该等腰三角形的
5、底角的度数为 19 （2 分）已知三角形的两边长分别为 4 和 6，则第三边的中线长 x 的取值范围是 20 （2 分）如图点 D 是ABC 的两外角平分线的交点，下列说法： ADCD； ABAC； D 到 AB、BC 所在直线的距离相等； 点 D 在B 的平分线上； 其中正确的说法的序号是 三三.解答题（共解答题（共 48 分）分） 21 （6 分）计算： （1）8a（a2+a+） ； （2）a3a4a+（a2）4+（2a4）2 22 （6 分）已知：如图，点 M 在锐角AOB 的内部，在 OA 边上求作一点 P，在 OB 边上求作一点 Q，使 得PMQ 的周长最小 23 （4 分）如图，D
6、 在 AB 上，E 在 AC 上，ABAC，BC，求证：ADAE 24 （5 分）如图，电信部门要在公路 m，n 之间的 S 区域修建一座电视信号发射塔 P按照设计要求，发射 塔 P 到区域 S 内的两个城镇 A，B 的距离必须相等，到两条公路 m，n 的距离也必须相等发射塔 P 建 在什么位置？在图中用尺规作图的方法作出它的位置并标出（不写作法但保留作图痕迹） 25 （5 分）如图，在ABC 中，ACB90，CD 是 AB 边上的高，A30求证：AB4BD 26 （5 分）如图，三角形纸片中，AB8cm，BC6cm，AC5cm沿过点 B 的直线折叠这个三角形，使 点 C 落在 AB 边上的点
7、 E 处，折痕为 BD，求ADE 的周长 27 （6 分）如图，D 为ABC 外一点，DABB，CDAD，12，若 AC7，BC4，求 AD 的 长 28 （5 分）在学习平方根的过程中，同学们总结出：在 axN 中，已知底数 a 和指数 x，求幂 N 的运算是 乘方运算；已知幂 N 和指数 x，求底数 a 的运算是开方运算小茗提出一个问题： “如果已知底数 a 和幂 N，求指数 x 是否也对应着一种运算呢？”老师首先肯定了小茗善于思考，继而告诉大家这是同学们进 入高中将继续学习的对数，感兴趣的同学可以课下自主探究 小茗课后借助网络查到了对数的定义： 对数的定义： 如果 Nax（a0，且 a1
8、） ，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数（logarithm） ，记作：xlogaN其中，a 叫作对数的底数，N 叫作真数 小茗根据对数的定义，尝试进行了下列探究： （1）212，log221； 224，log242； 238，log283； 2416，log216 ； 计算：log232 ； （2）计算后小茗观察（1）中各个对数的真数和对数的值，发现一些对数之间有关系，例如：log24+log28 ； （用对数表示结果） （3）于是他猜想：logaM+logaN （a0 且 a1，M0，N0） 请你将小茗的探究过程补充完整，并再举一个例子验证（3）中他的猜想 29 （8 分）如图，在A
9、BC 中，BADDAC，DFAB，DMAC，AF10cm，AC14cm，动点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点向 F 点运动，动点 G 以 1cm/s 的速度从 C 点向 A 点运动，当一个点到达终点时，另 一个点随之停止运动，设运动时间为 （1）求证：在运动过程中，不管取何值，都有 SAED2SDGC； （2）当取何值时，DFE 与DMG 全等； （3）在（2）的前提下，若，求 SBFD 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.选择题（每题选择题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是 （ ）
10、 A B C D 【分析】依据轴对称图形的定义，即一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分能完全重合，则这条直 线即为图形的对称轴，从而可以解答题目 【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意 D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C 2点 P（3，5）关于 y 轴的对称点的坐标是（ ） A （3，5） B （3，5） C （5，3） D （3，5） 【分析】根据平面直角坐标系中任意一点 P（x，y） ，关于 x 轴的对称点的坐标是（x，y） ，关于 y 轴的 对称点的坐标是（x，y）即可得出答案 【解答】解：根据关于纵轴的对称点
11、：纵坐标相同，横坐标变成相反数， 点 P（3，5）关于 y 轴的对称点的坐标是（3，5） ， 故选：A 3如图，ABCADE，若B80，C30，则E 的度数为（ ） A80 B35 C70 D30 【分析】根据全等三角形的对应角相等解答即可 【解答】解：ABCADE，C30， EC30， 故选：D 4下列运算中，正确的是（ ） Aa24a24a2 Ba4a6a24 C （a2）3a6 D3a32a26a6 【分析】根据单项式乘以单项式的法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，进行计算便可 【解答】解：Aa24a24a2+2a4，此选项错误； Ba4a6a4+6a10，此项错误； C （a2）3
12、a2 3a6，此选项正确； D.3a32a26a5，此选项错误 故选：C 5根据下列已知条件，不能唯一确定ABC 的大小和形状的是（ ） AAB3，BC4，AC5 BAB4，BC3，A30 CA60，B45，AB4 DC90，AB6，AC5 【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即可 【解答】解： A、当三角形的三边确定时，由 SSS 可知这个三角形是确定的，所以 A 不正确； B、当两边及其中一边的对角确定时，此时是 ASS，可知这个三角形是不确定的； C、此时可知三角形的两角及其夹边确定，由 ASA 可知这个三角形是确定的； D、当三角形为直角三角形时，斜边和一条直角边确定，则满足 HL
13、，可知该三角形是唯一确定的； 故选：B 6与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的（ ） A三条中线的交点 B三条角平分线的交点 C三条高的交点 D三边的垂直平分线的交点 【分析】可分别根据线段垂直平分线的性质进行思考，首先满足到 A 点、B 点的距离相等，然后思考满 足到 C 点、B 点的距离相等，都分别在各自线段的垂直平分线上，于是答案可得 【解答】解：如图： OAOB，O 在线段 AB 的垂直平分线上， OBOC，O 在线段 BC 的垂直平分线上， OAOC，O 在线段 AC 的垂直平分线上， 又三个交点相交于一点， 与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的三边的垂直平分线的交点
14、 故选：D 7如图，在ABC 中，D 是 BC 边上一点，且 ABADDC，BAD40，则C 为（ ） A25 B35 C40 D50 【分析】先根据 ABAD，利用三角形内角和定理求出B 和ADB 的度数，再根据三角形外角的性质 即可求出C 的大小 【解答】解：ABAD， BADB， 由BAD40得B70ADB， ADDC， CDAC， CADB35 故选：B 8如图，在ABC 中，AB4，AC3，AD 平分BAC，则 SABD：SADC为（ ） A4：3 B16：19 C3：4 D不能确定 【分析】 根据角平分线性质推出， 设ABC边BC上的高是h， 根据三角形的面积公式推出SABD： S
15、ADC为 BD：CD，代入求出即可 【解答】解： 过 C 做 CEAD，交 BA 的延长线于 E， CEAD， EBAD，ACECAD， AD 平分BAC， BADCAD， EECA， ACAE， ADCE， ， ， 设ABC 边 BC 上的高是 h， ， 故选：A 9 若把一个正方形纸片按下图所示方法三次对折后再沿虚线剪开， 则剩余部分展开后得到的图形是 （ ） A B C D 【分析】拿正方形纸片先沿对角线向上翻折，再向右翻折，右下翻折，剪去上面一个等腰直角三角形， 展开即可得到正确答案 【解答】解：动手操作后可得第一个图案 故选：A 10如图，在第 1 个A1BC 中，B30，A1BCB
16、；在边 A1B 上任取一点 D，延长 CA1到 A2，使 A1A2 A1D，得到第 2 个A1A2D；在边 A2D 上任取一点 E，延长 A1A2到 A3，使 A2A3A2E，得到第 3 个 A2A3E，按此做法继续下去，则第 n 个三角形中以 An为顶点的底角度数是（ ） A （）n75 B （）n 165 C （）n 175 D （）n85 【分析】 先根据等腰三角形的性质求出BA1C 的度数， 再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分 别求出DA2A1， EA3A2及FA4A3的度数， 找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的底角度数 【解答】解：在CBA1中，B30，A1BCB，
17、 BA1C75， A1A2A1D，BA1C 是A1A2D 的外角， DA2A1BA1C75； 同理可得， EA3A2（）275，FA4A3（）375， 第 n 个三角形中以 An为顶点的底角度数是（）n 175 故选：C 二、填空题（每空二、填空题（每空 2 分，共分，共 22 分）分） 11 （2 分）三角形的三边长分别是 2、3、x，则 x 的取值范围是 1x5 【分析】直接根据三角形的三边关系求出 x 的取值范围即可 【解答】解：三角形的三边长分别是 2、3、x， 32x2+3，即 1x5 故答案为：1x5 12 （2 分）计算： （xy）3 x3y3 【分析】根据积的乘方的计算方法进行
18、计算即可 【解答】解： （xy）3x3y3， 13 （2 分）如图，ABAC，要使ABEACD，应添加的条件是 BC 或 AEAD （添加一个 条件即可） 【分析】要使ABEACD，已知 ABAC，AA，则可以添加一个边从而利用 SAS 来判定其全 等，或添加一个角从而利用 AAS 来判定其全等 【解答】解：添加BC 或 AEAD 后可分别根据 ASA、SAS 判定ABEACD 故答案为：BC 或 AEAD 14（2 分） 如图， ABC 和BDE 都是等边三角形， 如果ABE40 那么CBD 的大小为 40 【分析】 根据ABC 和BDE 都是等边三角形， 可得ABCEBD60， 即ABE+
19、EBCEBC+ CBD，利用等式的性质可得ABECBD，即可解答 【解答】解：ABC 和BDE 都是等边三角形 ABCEBD60 ABE+EBCEBC+CBD ABECBD40 即CBD40， 故答案为：40 15 （2 分）如图，在ABC 中，ABAC，A20，线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 AC 于 E，连 接 BE，则CBE 为 60 【分析】先根据ABC 中，ABAC，A20求出ABC 的度数，再根据线段垂直平分线的性质可求 出 AEBE，即AABE20即可解答 【解答】解：等腰ABC 中，ABAC，A20，ABC80， DE 是线段 AB 垂直平分线的交点， AEBE，
20、AABE20， CBEABCABE802060 故答案为：60 16 （2 分）如图，在五边形 ABCDE 中，1+2+3+4+5 360 【分析】根据多边形的外角和定理即可求解 【解答】解：根据多边形外角和定理得到：1+2+3+4+5360 故答案为：360 17 （2 分）若 3m2，3n5，则 32m n 【分析】首先根据幂的乘方的运算法则，求出 32m、3 n 的值各是多少；然后根据同底数幂的乘法法则计 算即可 【解答】解：3m2，3n5， 32m224，3 n ， 32m n4 故答案为： 18（2分） 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36， 则该等腰三角形的底角的度数为 63或
21、27 【分析】分锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出它 的底角的度数 【解答】解：在三角形 ABC 中，设 ABAC，BDAC 于 D 若是锐角三角形，A903654， 底角（18054）263； 若三角形是钝角三角形，BAC36+90126， 此时底角（180126）227 所以等腰三角形底角的度数是 63或 27 故答案为：63或 27 19 （2 分）已知三角形的两边长分别为 4 和 6，则第三边的中线长 x 的取值范围是 1x5 【分析】由“SAS”可证BDECDA，可得 BEAC6，AE2x，根据在三角形中任意两边之和大 于第三边，任意两边之
22、差小于第三边，即可求解 【解答】解：如图所示，AB4，AC6，延长 AD 至 E，使 ADDE，连接 BE、EC，设 ADx， 在BDE 与CDA 中， ， BDECDA（SAS） ， BEAC6，AE2x， 在ABE 中，BEABAEAB+BE，即 642x6+4， 1x5， 故答案为：1x5 20 （2 分）如图点 D 是ABC 的两外角平分线的交点，下列说法： ADCD； ABAC； D 到 AB、BC 所在直线的距离相等； 点 D 在B 的平分线上； 其中正确的说法的序号是 【分析】作 DEBA 于 E，DFBC 于 F，DHAC 于 H，如图，根据角平分线的性质得到 DEDH， DH
23、DF， 则 DEDF， 于是可对进行判断； 然后根据角平分线的性质定理的逆定理可对进行判断 【解答】解：AD 与 CD 不能确定相等，AB 与 AC 也不能确定相等，所以错误； 作 DEBA 于 E，DFBC 于 F，DHAC 于 H，如图， AD 平分EAC， DEDH， 同理可得 DHDF， DEDF， 即 D 到 AB、BC 所在直线的距离相等，所以正确； 点 D 在B 的平分线上；所以正确 故答案为 三三.解答题（共解答题（共 48 分）分） 21 （6 分）计算： （1）8a（a2+a+） ； （2）a3a4a+（a2）4+（2a4）2 【分析】 （1）直接单项式乘多项式运算法则计算
24、得出答案； （2）直接利用幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则分别化简，再合并同类项得出答案 【解答】解： （1）8a（a2+a+） 8aa2+8aa+8a 8a3+6a2+5a； （2）a3a4a+（a2）4+（2a4）2 a8+a8+4a8 6a8 22 （6 分）已知：如图，点 M 在锐角AOB 的内部，在 OA 边上求作一点 P，在 OB 边上求作一点 Q，使 得PMQ 的周长最小 【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作出点 M 关于 OA 和 OB 的对称点 M和 M，连接 MM 交 OA 于 P，交 OB 于点 Q，则 MM即为PMQ 最小周长 【解答】解：如图， 作出点 M 关于
25、 OA 和 OB 的对称点 M和 M， 连接 MM交 OA 于 P，交 OB 于点 Q， 则 MM即为PMQ 最小周长 所以点 P，点 Q 即为所求 23 （4 分）如图，D 在 AB 上，E 在 AC 上，ABAC，BC，求证：ADAE 【分析】 根据全等三角形的判定定理 ASA 可以证得ACDABE， 然后由 “全等三角形的对应边相等” 即可证得结论 【解答】证明：在ABE 与ACD 中， ， ACDABE（ASA） ， ADAE（全等三角形的对应边相等） 24 （5 分）如图，电信部门要在公路 m，n 之间的 S 区域修建一座电视信号发射塔 P按照设计要求，发射 塔 P 到区域 S 内的
26、两个城镇 A，B 的距离必须相等，到两条公路 m，n 的距离也必须相等发射塔 P 建 在什么位置？在图中用尺规作图的方法作出它的位置并标出（不写作法但保留作图痕迹） 【分析】作线段 AB 的垂直平分线，再作直线 m 与 n 的夹角的角平分线，两线的交点就是 P 点 【解答】解：如图所示 25 （5 分）如图，在ABC 中，ACB90，CD 是 AB 边上的高，A30求证：AB4BD 【分析】由ABC 中，ACB90，A30可以推出 AB2BC，同理可得 BC2BD，则结论即可 证明 【解答】解：ACB90，A30， AB2BC，B60 又CDAB， DCB30， BC2BD AB2BC4BD
27、26 （5 分）如图，三角形纸片中，AB8cm，BC6cm，AC5cm沿过点 B 的直线折叠这个三角形，使 点 C 落在 AB 边上的点 E 处，折痕为 BD，求ADE 的周长 【分析】根据翻折变换的性质可得 DECD，BEBC，然后求出 AE，再根据三角形的周长列式求解即 可 【解答】解：BC 沿 BD 折叠点 C 落在 AB 边上的点 E 处， DECD，BEBC， AB8cm，BC6cm， AEABBEABBC862cm， ADE 的周长AD+DE+AE， AD+CD+AE， AC+AE， 5+2， 7cm 27 （6 分）如图，D 为ABC 外一点，DABB，CDAD，12，若 AC7
28、，BC4，求 AD 的 长 【分析】延长 AD，BC 交于点 E，就可以得出ADCEDC，就可以得出 CEAC，DEDA，就可以 求出 BE 的值，从而得出 AE 的值而得出结论 【解答】证明：延长 AD，BC 交于点 E CDAD， ADCEDC90 在ADC 和EDC 中 ， ADCEDC（ASA） DACDEC，ACEC，ADED AC7， EC7 BC4 BE11 DABB， AEBE11 AD5.5 答：AD 的长为 5.5 28 （5 分）在学习平方根的过程中，同学们总结出：在 axN 中，已知底数 a 和指数 x，求幂 N 的运算是 乘方运算；已知幂 N 和指数 x，求底数 a
29、的运算是开方运算小茗提出一个问题： “如果已知底数 a 和幂 N，求指数 x 是否也对应着一种运算呢？”老师首先肯定了小茗善于思考，继而告诉大家这是同学们进 入高中将继续学习的对数，感兴趣的同学可以课下自主探究 小茗课后借助网络查到了对数的定义： 对数的定义： 如果 Nax（a0，且 a1） ，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数（logarithm） ，记作：xlogaN其中，a 叫作对数的底数，N 叫作真数 小茗根据对数的定义，尝试进行了下列探究： （1）212，log221； 224，log242； 238，log283； 2416，log216 4 ； 计算：log232 5 ；
30、（2）计算后小茗观察（1）中各个对数的真数和对数的值，发现一些对数之间有关系，例如：log24+log28 log232 ； （用对数表示结果） （3）于是他猜想：logaM+logaN logaMN （a0 且 a1，M0，N0） 请你将小茗的探究过程补充完整，并再举一个例子验证（3）中他的猜想 【分析】 （1）根据对数与乘方之间的关系求解可得； （2）利用对数的定义求解可得； （3）根据所得结论求解可得 【解答】解： （1）2416， log2164； 2532， log2325； 故答案为：4，5； （2）log24+log282+35log232， 故答案为：log232； （3）lo
31、gaM+logaNlogaMN， 验证：例如 log33+log391+23log327log3（39） ， 故答案为：logaMN 29 （8 分）如图，在ABC 中，BADDAC，DFAB，DMAC，AF10cm，AC14cm，动点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点向 F 点运动，动点 G 以 1cm/s 的速度从 C 点向 A 点运动，当一个点到达终点时，另 一个点随之停止运动，设运动时间为 （1）求证：在运动过程中，不管取何值，都有 SAED2SDGC； （2）当取何值时，DFE 与DMG 全等； （3）在（2）的前提下，若，求 SBFD 【分析】（1） 由角平分线的性质可知 DF
32、DM， 所以AED 和DEG 的面积转化为底 AE 和 CG 的比值， 根据路程速度时间求出AE和CG的长度即可证明在运动过程中， 不管取何值， 都有SAED2SDGC （2）分两种情况进行讨论：当 0t4 时，当 4t5 时，分别根据DFEDMG，得出 EF GM，据此列出关于 t 的方程，进行求解即可 （3）利用等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案 【解答】 （1）证明：BADDAC，DFAB，DMAC， DFDM， SAEDAEDF，SDGCCGDM， ， 点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点向 F 点运动，动点 G 以 1cm/s 的速度从 C 点向 A 点运动， AE2
33、tcm，CGtcm， 2， 即2， 在运动过程中，不管取何值，都有 SAED2SDGC （2）解：当 0t4 时，点 G 在线段 CM 上，点 E 在线段 AF 上 EF102t，MG4t 102t4t， t6（不合题意，舍去） ； 当 4t5 时，点 G 在线段 AM 上，点 E 在线段 AF 上 EF102t，MGt4， 102tt4， t； 综上，t 综上所述当 t时，DFE 与DMG 全等 （3）解：t， AE2t（cm） ， DFDM， SABD：SACDAB：ACBD：CD119：126， AC14cm， AB（cm） ， BFABAF10（cm） ， SADE：SBDFAE：BF：，SAED28cm2， SBDF（cm2）
