1、2020-2021 学年北京市海淀区二校联考八年级第一学期期中数学试卷学年北京市海淀区二校联考八年级第一学期期中数学试卷 一、选择题 1（3 分）第 24 届冬季奥林匹克运动会，将于 2022 年 02 月 04 日2022 年 02 月 20 日在中华人民共和国 北京市和张家口市联合举行在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是 历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（ ） A B C D 2（3 分）下列计算中，正确的是（ ） A（a2）3a8 Ba8a4a2 Ca3+a2a5 Da2 a3a5 3（3 分）一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，这个多边形
2、是（ ） A四边形 B五边形 C六边形 D八边形 4（3 分）计算（xk）（x+3）的结果中不含 x 的一次项，则 k 的值是（ ） A0 B3 C3 D2 5（3 分）已知一个等腰三角形两边长分别为 5，6，那么它的周长为（ ） A16 B17 C16 或 17 D10 或 12 6（3 分）一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中 的度数为（ ） A75 B60 C65 D55 7（3 分）如图，已知ABC 是等边三角形，点 O 是 BC 上任意一点，OE，OF 分别于两边垂直，等边三 角形的高为 2，则 OE+OF 的值为（ ） A1 B3 C2 D4 8（3 分）从边长为 a 的大正方形
3、纸板中挖去一个边长为 b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰 梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以 验证成立的公式为（ ） Aa2b2（ab）2 B（a+b）2a2+2ab+b2 C（ab）2a22ab+b2 Da2b2（a+b）（ab） 9（3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，ABC 的顶点 C（3，1），则点 C 关于 x 轴、y 轴对称的 点的坐标分别为（ ） A（3，1），（3，1） B（3，1），（3，1） C（3，1），（1，3） D（3，1），（3，1） 10 （3 分）在等边三角形 ABC 中，D，E 分别是 B
4、C，AC 的中点，点 P 是线段 AD 上的一个动点，当PCE 的周长最小时，P 点的位置在（ ） AABC 的重心处 BAD 的中点处 CA 点处 DD 点处 二、填空题（共 8 小题；共 24 分） 11（3 分）计算：（ab2）2（ab）2 12（3 分）等式（a+b）2a2+b2成立的条件为 13（3 分）已知：如图，在ABC 中，点 D 在 BC 上，B40，BBAD，CADC，则 DAC 的度数为 14（3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，A15，AB 的垂直平分线与 AC 交于点 D，与 AB 交于点 E，连接 BD若 AD12cm，则 BC 的长为 cm 15（3 分
5、）若 x2（m1）x+36 是一个完全平方式，则 m 的值为 16（3 分）如果实数 a，b 满足 a+b6，ab8，那么 a2+b2 17（3 分）教材中有如下一段文字： 思考 如图， 把一长一短的两根木棍的一端固定在一起， 摆出ABC， 固定住长木棍， 转动短木棍， 得到ABD， 这个实验说明了什么？ 如图中的ABC 与ABD 满足两边和其中一边的对角分别相等，即 ABAB，ACAD，BB，但 ABC 与ABD 不全等这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 小明通过对上述问题的再思考，提出：两边分别相等且这两边中较大边所对的角相等的两个三角形全 等请你判断小明的说法
6、（填“正确”或“不正确”） 18（3 分）在数学课上，老师提出用尺规作图解决问题 已知：线段 AB、线段 AC，ABAC，在 AB 上求作点 D，使ACD 的周长等于线段 AB 的长 小左同学的作法如下： （1）在线段 AB 上截取 BEAC； （2）连接 CE，作线段 CE 的垂直平分线交 AB 于点 D 老师说：“小左同学的作法正确” 请回答：小左同学的作图依据是 三、解答题（共 7 小题：共 46 分，第 19 题 10 分，第 20-22 题，每题 5 分）. 19（10 分）计算： （1）（4a3b+6a2b2ab3）2ab （2）（3x+2）（2x2x+1） 20（5 分）如图，点
7、 D、E 在ABC 的 BC 边上，ABAC，ADAE求证：BDCE 21（5 分）已知 x24x10，求代数式（2x3）2（x+y）（xy）y2的值 22 （5 分）在ABC 中，AD 平分BAC，BDAD，垂足为 D，过 D 作 DEAC，交 AB 于 E，若 AB5， 求线段 DE 的长 23（7 分）如图 1，我们在 2016 年 1 月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”（将十字星左 右两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”）该十字星的十字差为 12 1462048，再选择其它位置的十字星，可以发现“十字差”仍为 48 （1）如图 2，将正整数依次填
8、入 5 列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相 应的“十字差”也是一个定值，则这个定值为 （2）若将正整数依次填入 k 列的长方形数表中（k3），继续前面的探究，可以发现相应“十字差”为 与列数 k 有关的定值，请用 k 表示出这个定值，并证明你的结论 （3）如图 3，将正整数依次填入三角形的数表中，探究不同十字星的“十字差”，若某个十字星中心的 数在第 32 行，且其相应的“十字差”为 2015，则这个十字星中心的数为 （直接写出结果） 24（7 分）如图，已知等腰三角形 ABC 中，BAC30，ABAC，PAB，作点 B 关于直线 AP 的 对称点为点 D，连接 AD
9、，连接 BD 交 AP 于点 G，连接 CD 交 AP 于点 E，交 AB 于点 F （1）如图（1）当 15时， 按要求画出图形， 求出ACD 的度数， 探究 DE 与 BF 的倍数关系并加以证明； （2）在直线 AP 绕点 A 顺时针旋转的过程中（0a75），当AEF 为等腰三角形时，利用下页备 用图直接求出 的值为 25（7 分）我们把正 n 边形（n3）的各边三等分，分别以居中的那条线段为一边向外作正 n 边形，并去 掉居中的那条线段，得到一个新的图形叫做正 n 边形的“扩展图形”，并将它的边数记为 an如图 1， 将正三角形进行上述操作后得到其“扩展图形”，且 a312图 3、图 4
10、 分别是正五边形、正六边形的 “扩展图形” （1）如图 2，在 55 的正方形网格中用较粗的虚线画有一个正方形，请在图 2 中用实线画出此正方形 的“扩展图形”； （2）已知 a312，a420，a530，则图 4 中 a6 ，根据以上规律，正 n 边形的“扩展图形” 中 an ；（用含 n 的式子表示） （3） 已知， ， 且+， 则 n 参考答案 一、选择题（共 10 小题：共 30 分） 1（3 分）第 24 届冬季奥林匹克运动会，将于 2022 年 02 月 04 日2022 年 02 月 20 日在中华人民共和国 北京市和张家口市联合举行在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设
11、计，下列四个图案是 历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（ ） A B C D 解：A、是轴对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，故此选项错误； D、不是轴对称图形，故此选项正确； 故选：D 2（3 分）下列计算中，正确的是（ ） A（a2）3a8 Ba8a4a2 Ca3+a2a5 Da2 a3a5 解：A、幂的乘方底数不变指数相乘，故 A 错误； B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故 B 错误； C、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故 C 错误； D、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故 D 正确； 故选：D 3（3 分）一个多边形的内角
12、和是外角和的 2 倍，这个多边形是（ ） A四边形 B五边形 C六边形 D八边形 解：设所求正 n 边形边数为 n，由题意得 （n2） 1803602 解得 n6 则这个多边形是六边形 故选：C 4（3 分）计算（xk）（x+3）的结果中不含 x 的一次项，则 k 的值是（ ） A0 B3 C3 D2 解：（xk）（x+3） x2kx+3x3k x2+（3k）x3k （xk）（x+3）的结果中不含 x 的一次项， 3k0 k3 故选：B 5（3 分）已知一个等腰三角形两边长分别为 5，6，那么它的周长为（ ） A16 B17 C16 或 17 D10 或 12 解：当腰为 6 时，则三角形的三
13、边长分别为 6、6、5，满足三角形的三边关系，周长为 17； 当腰为 5 时，则三角形的三边长分别为 5、5、6，满足三角形的三边关系，周长为 16； 综上可知，等腰三角形的周长为 16 或 17 故选：C 6（3 分）一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中 的度数为（ ） A75 B60 C65 D55 解：如图，160，245， 180456075， 故选：A 7（3 分）如图，已知ABC 是等边三角形，点 O 是 BC 上任意一点，OE，OF 分别于两边垂直，等边三 角形的高为 2，则 OE+OF 的值为（ ） A1 B3 C2 D4 解：ABC 是等边三角形， ABBCAC，ABC60
14、 又OEAB，OFAC，BC60， OEOB sin60OB，同理 OFOC OE+OF（OB+OC）BC 在等边ABC 中，高 hABBC OE+OFh 又等边三角形的高为 2， OE+OF2， 解法二：三角形 ABC 的面积等于三角形 AOB 的面积+三角形 AOC 的面积，三角形 ABC 是等边三角形， 所以三个三角形是等底，高 OF+高 OE 等于三角形 ABC 的高 2 故选：C 8（3 分）从边长为 a 的大正方形纸板中挖去一个边长为 b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰 梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以 验证成立的公
15、式为（ ） Aa2b2（ab）2 B（a+b）2a2+2ab+b2 C（ab）2a22ab+b2 Da2b2（a+b）（ab） 解：由图 1 将小正方形一边向两方延长，得到两个梯形的高，两条高的和为 ab，即平行四边形的高为 ab， 两个图中的阴影部分的面积相等，即甲的面积a2b2，乙的面积（a+b）（ab） 即：a2b2（a+b）（ab） 所以验证成立的公式为：a2b2（a+b）（ab） 故选：D 9（3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，ABC 的顶点 C（3，1），则点 C 关于 x 轴、y 轴对称的 点的坐标分别为（ ） A（3，1），（3，1） B（3，1），（3，1） C（3
16、，1），（1，3） D（3，1），（3，1） 解：在平面直角坐标系 xOy 中，ABC 的顶点 C（3，1）， 点 C 关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标分别为（3，1），（3，1） 故选：A 10 （3 分）在等边三角形 ABC 中，D，E 分别是 BC，AC 的中点，点 P 是线段 AD 上的一个动点，当PCE 的周长最小时，P 点的位置在（ ） AABC 的重心处 BAD 的中点处 CA 点处 DD 点处 解：连接 BP， ABC 是等边三角形，D 是 BC 的中点， AD 是 BC 的垂直平分线， PBPC， PCE 的周长EC+EP+PCEC+EP+BP， 当 B、P、E 在同一直线
17、上时， PCE 的周长最小， BE 为中线， 点 P 为ABC 的重心， 故选：A 二、填空题（共 8 小题；共 24 分） 11（3 分）计算：（ab2）2（ab）2 b2 解：（ab2）2（ab） 2 a2b4a2b2 b2 故答案为：b2 12（3 分）等式（a+b）2a2+b2成立的条件为 ab0 解：（a+b）2a2+2ab+b2， 等式（a+b）2a2+b2成立的条件为 ab0， 故答案为：ab0 13（3 分）已知：如图，在ABC 中，点 D 在 BC 上，B40，BBAD，CADC，则 DAC 的度数为 20 解：BBAD40，ADCB+BAD， ADC80， CADC80，
18、DAC18016020， 故答案为 20 14（3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，A15，AB 的垂直平分线与 AC 交于点 D，与 AB 交于点 E，连接 BD若 AD12cm，则 BC 的长为 6 cm 解：DE 是 AB 的垂直平分线， ADBD12cm， AABD15， BDCA+ABD15+1530， 在 RtBCD 中，BCBD126cm 故答案为：6 15（3 分）若 x2（m1）x+36 是一个完全平方式，则 m 的值为 11 或 13 解：x2（m1）x+36 是一个完全平方式， m112， 故 m 的值为11 或 13， 故答案为：11 或 13 16（3 分）
19、如果实数 a，b 满足 a+b6，ab8，那么 a2+b2 20 解：a+b6，ab8， a2+b2（a+b）22ab361620， 故答案为：20 17（3 分）教材中有如下一段文字： 思考 如图， 把一长一短的两根木棍的一端固定在一起， 摆出ABC， 固定住长木棍， 转动短木棍， 得到ABD， 这个实验说明了什么？ 如图中的ABC 与ABD 满足两边和其中一边的对角分别相等，即 ABAB，ACAD，BB，但 ABC 与ABD 不全等这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 小明通过对上述问题的再思考，提出：两边分别相等且这两边中较大边所对的角相等的两个三角形全 等请你判
20、断小明的说法 正确 （填“正确”或“不正确”） 解：小明的说法正确 理由：如图，ABC 和DEF 中，ABAC，EDDF，ABDE，ACDF，ACBDFE，作 AG BC 于 G，DHEF 于 H ACBDFE， ACGDFH， 在ACG 和DFH 中， ， ACGDFH， AGDH， 在 RtABG 和 RtDEH 中， ， ABGDEH， BE， 在ABC 和DEF 中， ， ABCDEF （当ABC 和DEF 是锐角三角形时，证明方法类似） 故答案为正确 18（3 分）在数学课上，老师提出用尺规作图解决问题 已知：线段 AB、线段 AC，ABAC，在 AB 上求作点 D，使ACD 的周长
21、等于线段 AB 的长 小左同学的作法如下： （1）在线段 AB 上截取 BEAC； （2）连接 CE，作线段 CE 的垂直平分线交 AB 于点 D 老师说：“小左同学的作法正确” 请回答：小左同学的作图依据是 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 解：由作法得 D 点线段 CE 的垂直平分线上， 根据线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等， DEDC， 而 BEAC， ACD 的周长AC+AD+CDAC+AD+DEBE+AEAB 故答案为线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 三、解答题（共 7 小题：共 46 分，第 19 题 10 分，第 20-22 题，每题 5
22、 分）. 19（10 分）计算： （1）（4a3b+6a2b2ab3）2ab （2）（3x+2）（2x2x+1） 解：（1）原式2a2+3abb2； （2）原式6x33x2+3x+4x22x+26x3+x2+x+2 20（5 分）如图，点 D、E 在ABC 的 BC 边上，ABAC，ADAE求证：BDCE 【解答】证明：如图，过点 A 作 APBC 于 P ABAC， BPPC； ADAE， DPPE， BPDPPCPE， BDCE 21（5 分）已知 x24x10，求代数式（2x3）2（x+y）（xy）y2的值 解：x24x10，即 x24x1， 原式4x212x+9x2+y2y23x212
23、x+93（x24x）+93+912 22 （5 分）在ABC 中，AD 平分BAC，BDAD，垂足为 D，过 D 作 DEAC，交 AB 于 E，若 AB5， 求线段 DE 的长 解：AD 平分BAC， BADCAD， DEAC， CADADE， BADADE， AEDE， ADDB， ADB90， EAD+ABD90，ADE+BDEADB90， ABDBDE， DEBE， AB5， DEBEAEAB2.5 23（7 分）如图 1，我们在 2016 年 1 月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”（将十字星左 右两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”）该十字星的
24、十字差为 12 1462048，再选择其它位置的十字星，可以发现“十字差”仍为 48 （1）如图 2，将正整数依次填入 5 列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相 应的“十字差”也是一个定值，则这个定值为 24 （2）若将正整数依次填入 k 列的长方形数表中（k3），继续前面的探究，可以发现相应“十字差”为 与列数 k 有关的定值，请用 k 表示出这个定值，并证明你的结论 （3）如图 3，将正整数依次填入三角形的数表中，探究不同十字星的“十字差”，若某个十字星中心的 数在第 32 行，且其相应的“十字差”为 2015，则这个十字星中心的数为 976 （直接写出结果） 解：
25、（1）根据题意得：68212482424； 故答案为：24； （2）定值为 k21（k+1）（k1）； 证明： 设十字星中心的数为 x， 则十字星左右两数分别为 x1， x+1， 上下两数分别为 xk， x+k （k3） ， 十字差为（x1）（x+1）（xk）（x+k）x21x2+k2k21， 故这个定值为 k21（k+1）（k1）； （3）设正中间的数为 a，则上下两个数为 a62，a+64，左右两个数为 a1，a+1， 根据题意得：（a1）（a+1）（a62）（a+64）2015， 解得：a976 故答案为：976 24（7 分）如图，已知等腰三角形 ABC 中，BAC30，ABAC，PA
26、B，作点 B 关于直线 AP 的 对称点为点 D，连接 AD，连接 BD 交 AP 于点 G，连接 CD 交 AP 于点 E，交 AB 于点 F （1）如图（1）当 15时， 按要求画出图形， 求出ACD 的度数， 探究 DE 与 BF 的倍数关系并加以证明； （2）在直线 AP 绕点 A 顺时针旋转的过程中（0a75），当AEF 为等腰三角形时，利用下页备 用图直接求出 的值为 30或 52.5 解：（1）如图 1： B、D 关于 AP 对称， AP 垂直平分 BD，a15， ADAB，1215， BAC30， DAC1+2+BAC60， ACAB， ACAD， ACD 为等边三角形 ACD
27、60 DE2BF， 证明：连接 EB， AP 垂直平分 BD， EDEB， 34， ABAD，DAB30， ADB75， 又ADC60， 3415， 530， 又 ADAC，AB 平分DAC， ABDC， EB2BF， ED2BF （2）如图 2， ADAC， DAC 是等腰三角形 ADC（1802a30）275a， AEFADC+DAE75a+a75， 当 AEAF 时，EAFa18075218015030； 当 AEEF 时，EAFa（18075）252.5； 当 EFAF 时，AEFEAFa75（舍去） 故答案为：30或 52.5 25（7 分）我们把正 n 边形（n3）的各边三等分，分
28、别以居中的那条线段为一边向外作正 n 边形，并去 掉居中的那条线段，得到一个新的图形叫做正 n 边形的“扩展图形”，并将它的边数记为 an如图 1， 将正三角形进行上述操作后得到其“扩展图形”，且 a312图 3、图 4 分别是正五边形、正六边形的 “扩展图形” （1）如图 2，在 55 的正方形网格中用较粗的虚线画有一个正方形，请在图 2 中用实线画出此正方形 的“扩展图形”； （2）已知 a312，a420，a530，则图 4 中 a6 42 ，根据以上规律，正 n 边形的“扩展图形”中 an n（n+1） ；（用含 n 的式子表示） （3） 已知， ， 且+， 则 n 99 解：（1）如图所示： （2）图 4 中 a66742，根据以上规律，正 n 边形的“扩展图形”中 ann（n+1）；（用含 n 的式 子表示） （3），且+， ， 解得 n99 故答案为：42，n（n+1）；99
