1、2021-2022 学年北京市西城区九校联考八年级上期中数学试卷学年北京市西城区九校联考八年级上期中数学试卷 一、单项选择题（本题共一、单项选择题（本题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）在平面直角坐标系中，点 A（1，2）关于 x 轴对称的点的坐标是（ ） A （1，2） B （1，2） C （1，2） D （1，2） 2 （3 分）秋天到了，学校组织同学们郊游，某同学收集了漂亮的落叶，下面的落叶中，不是轴对称图形的是（ ） A B C D 3 （3 分）如图，ABCDCB，若 AC7，BE5，则 DE 的长为（ ） A2 B3 C4 D5 4
2、 （3 分）已知 x2+2mx+9 是完全平方式，则 m 的值为（ ） A6 B6 C3 D3 5 （3 分）下列计算正确的是（ ） Aa2+a3a5 B （a2b）3a2b3 C （a2）3a8 D （a2）3a6 6 （3 分）如图，BD 平分ABC，BCDE 于点 E，AB7，DE4，则 SABD（ ） A28 B21 C14 D7 7 （3 分）下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A （x+2） （x2）x24 B3a2b15ab23ab（a5b） Cx3+x2+xx（x2+x） Da2+a5（a2） （a+3） 8 （3 分）如图，由 4 个全等的小长方形与 1 个小正方
3、形密铺成正方形图案，该图案的面积为 49，小正方形的面积为 4，若分别用 x，y（xy）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（ ） Ax2+2xy+y249 Bx22xy+y24 Cx2+y225 Dx2y214 9 （3 分）某地地震后，某同学用下面的方式检测教室的房梁是否水平在等腰直角三角尺斜边 AB 的中点O 处栓一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点 C，即判断房梁是水平的这样做的理由是（ ） A等腰直角三角形的底角为 45 B等腰三角形中线和高线重合 C等腰三角形顶角平分线和底边上的中线重合 D等腰三角形底边上的中线和底
4、边上的高线重合 10（3 分） 如图， 在 56 的正方形格纸中， 格线的交点称为格点， 以格点为顶点的三角形称为格点三角形 图中ABC 是一个格点三角形，在格纸范围内，与ABC 成轴对称的格点三角形的个数为（ ）个 A8 B9 C10 D11 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 道小题，每小题道小题，每小题 2 分，共分，共 16 分）分） 11 （2 分） （6a3b3ab）3ab 12 （2 分）如图，ACAD，BCBD，请写出一个正确的结论 13 （2 分）若（a+1）0有意义，则实数 a 的取值范围是 14 （2 分）如图，在ABC 中，ABAC，BAC120，将ABC 沿
5、 DE 和 MN 折叠，使点 B 和点 C 落在点 A，则EAN 15 （2 分）若 2x8，4y16，则 2xy的值为 16 （2 分）等腰三角形的两边的长分别为 5cm 和 7cm，则此三角形的周长是 17 （2 分）如图，在ABC 中，ABAC，ABCD，过点 B 作 BFAC 于 E，交 CD 于点 F，BDCD 于D，CD8，BD3，BF4，ABE 的周长为 18 （2 分）如图，在ABC 中，BAC90，ABAC，D 是 BC 的中点，点 E、F 分别在边 AB、AC 上，且EDF90下列结论正确的是 （填所有正确结论的序号） BEDAFD； ACBE+FC； S1， S2分别表示
6、ABC 和EDF 的面积， 则；EFAD；AGFAED 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 54 分）分） 19 （4 分）计算：a2 （a4）3（a3）2 20 （4 分）计算： （2x+y） （xy）2（y2xy） 21 （8 分）因式分解： （1）5m320m； （2）m2x34m2x2y+4m2xy2 22 （5 分）化简求值：2a2（a+b） （a+b）3（a+b）2，其中 23 （6 分）已知：如图 1，在ABC 中，ACB90 求作：射线 CG，使得 CGAB 下面是小东设计的尺规作图过程 作法：如图 2， 以点 A 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 AC，AB 于 D，E
7、两点； 以点 C 为圆心，AD 长为半径作弧，交 AC 的延长线于点 F； 以点 F 为圆心，DE 长为半径作弧，两弧在FCB 内部交于点 G； 作射线 CG所以射线 CG 就是所求作的射线 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形； （保留作图痕迹） （2）完成下面的证明 证明：连接 FG、DE ADE ， DAE CGAB（ ） （填推理的依据） 24 （5 分）如图，ABAC，BDAC 于 D，CEAB 于 E，BD、CE 交于 O，连结 AO，求证：CDBE 25 （6 分）如图，在平面直角坐标系中，A（1，3） ，B（2，4） ，连接 AB （1） 画线段 A1B
8、1， 使得线段 A1B1与线段 AB 关于 y 轴对称， 写出 A1、 B1的坐标： A1 ， B1 ； （2）写出一个点 C 的坐标，使ABC 成为等腰三角形，C（ ， ） ； （3）已知点 C 在坐标轴上，且满足ABC 是等腰三角形，则所有符合条件的 C 点有 个 26 （5 分）对于所有直角三角形，我们都可以将其分割为两个等腰三角形； 例如：如图，已知ABC，BAC90，作直角边 AB 的垂直平分线 DE，分别交 BC 与 AB 于 D、E 两点，连接 AD，则 AD 将ABC 分割成两个等腰三角形ADC，ADB 证明：DE 垂直平分 AC ADDB 12 在 RtABC 中，BAC90
9、 2+390，1+490 34 CDDA ADC，ADB 是等腰三角形 （1）根据上述方法，将下列锐角三角形和钝角三角形，分别分割成 4 个等腰三角形； （2）将下面的不等边三角形分割成 5 个等腰三角形 27 （6 分）如图，在ABC 中，ABAC，D 为 BC 上一点且ADC60，CEAD 于点 E，点 A 关于点E 的对称点为点 F，CF 交 AB 于点 G （1）依题意补全图形； （2）求AGC 的度数； （3）写出 AD、BD、CD 之间的等量关系，并证明 28 （5 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（4，4） ，C，B 两点分别是 x，y 轴正半轴上的动点，且满足BAC90
10、 （1）写出BOA 的度数； （2）求 BO+OC 的值； （3）若 BP 平分OBC，交 OA 于点 P，PNy 轴于点 N，AQ 平分BAC，交 BC 于点 Q，随着 C，B位置的变化，NP+AQ 的值是否会发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由 参考答案解析参考答案解析 一、单项选择题（本题共一、单项选择题（本题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）可重合在平面直角坐标系中，点 A（1，2）关于 x 轴对称的点的坐标是（ ） A （1，2） B （1，2） C （1，2） D （1，2） 【分析】根据关于 x 轴对称点的坐标特点：横坐标不
11、变，纵坐标互为相反数可得对应点坐标 【解答】解：点 A（1，2）关于 x 轴对称的点的坐标为（1，2） ， 故选：A 【点评】此题主要考查了关于 x 轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律 2 （3 分）秋天到了，学校组织同学们郊游，某同学收集了漂亮的落叶，下面的落叶中，不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，利用轴对称图形的定义进行解答即可 【解答】解：选项 A、B、C 能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 选项 D 不能找到这样的一条直线
12、，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 故选：D 【点评】此题主要考查了轴对称图形，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后 3 （3 分）如图，ABCDCB，若 AC7，BE5，则 DE 的长为（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】根据全等三角形的对应边相等推知 BDAC7，然后根据线段的和差即可得到结论 【解答】解：ABCDCB， BDAC7， BE5， DEBDBE2， 故选：A 【点评】本题考查了全等三角形的性质，仔细观察图形，根据已知条件找准对应边是解决本题的关键 4 （3 分）已知 x2+2mx+9 是完全平方式，则 m 的值为
13、（ ） A6 B6 C3 D3 【分析】根据完全平方公式的形式，可得答案 【解答】解：已知 x2+2mx+9 是完全平方式， m3 或 m3， 故选：D 【点评】本题考查了完全平方公式，注意符合条件的答案有两个，以防漏掉 5 （3 分）下列计算正确的是（ ） Aa2+a3a5 B （a2b）3a2b3 C （a2）3a8 D （a2）3a6 【分析】利用合并同类项的法则，积的乘方的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可 【解答】解：A、a2与 a3不属于同类项，不能合并，故 A 不符合题意； B、 （a2b）3a6b3，故 B 不符合题意； C、 （a2）3a6，故 C 不符合题意； D、 （
14、a2）3a6，故 D 符合题意 故选：D 【点评】本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握 6 （3 分）如图，BD 平分ABC，BCDE 于点 E，AB7，DE4，则 SABD（ ） A28 B21 C14 D7 【分析】利用角平分线的性质定理即可解决问题； 【解答】解：作 DHBA 于 H BD 平分ABC，BCDE，DHAB， DHDE4， SABD7414， 故选：C 【点评】本题考查角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 7 （3 分）下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A （x
15、+2） （x2）x24 B3a2b15ab23ab（a5b） Cx3+x2+xx（x2+x） Da2+a5（a2） （a+3） 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可 【解答】解：A从左到右的变形是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； B从左到右的变形是因式分解，故本选项符合题意； Cx3+x2+xx（x2+x+1） ，故本选项不符合题意； Da2+a5（a2） （a+3） ，故本选项不符合题意； 故选：B 【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解 8 （3 分）如图，由 4 个全等的小长方形与 1 个小
16、正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为 49，小正方形的面积为 4，若分别用 x，y（xy）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（ ） Ax2+2xy+y249 Bx22xy+y24 Cx2+y225 Dx2y214 【分析】本题中正方形图案的边长 7，同时还可用（x+y）来表示，其面积从整体看是 49，从组合来看，可以是（x+y）2，还可以是（4xy+4） ，阴影部分面积是 4，边长是 2，同时还可用（xy）来表示，接下来，我们再灵活运用等式的变形，即可作出判断 【解答】解：A、因为正方形图案的边长 7，同时还可用（x+y）来表示，故（x+y）2x2+2xy+y27249，正确；
17、B、由图象可知（xy）24，即 x22xy+y24，正确； C、由（x+y）2x2+2xy+y27249 和（xy）2x22xy+y24，可得 2xy，x2+y2（x+y）22xy4926.525，错误； D、由 x+y7，xy2，可得 x4.5，y2.5，所以 x2y24.522.5220.256.2514，正确 故选：C 【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，全等图形，解答本题需结合图形，利用等式的变形来解决问题 9 （3 分）某地地震后，某同学用下面的方式检测教室的房梁是否水平在等腰直角三角尺斜边 AB 的中点O 处栓一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上
18、，结果线绳经过三角尺的直角顶点 C，即判断房梁是水平的这样做的理由是（ ） A等腰直角三角形的底角为 45 B等腰三角形中线和高线重合 C等腰三角形顶角平分线和底边上的中线重合 D等腰三角形底边上的中线和底边上的高线重合 【分析】根据ABC 是个等腰三角形可得 ACBC，再根据点 O 是 AB 的中点，即可得出 OCAB，然后即可得出结论 【解答】解：ABC 是个等腰三角形， ACBC， 点 O 是 AB 的中点， AOBO， OCAB 故选：D 【点评】本题主要考查了学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，此题与实际生活联系密切，体现了从数学走向生活的指导思想，从而达到学以致用的目的 10（3
19、分） 如图， 在 56 的正方形格纸中， 格线的交点称为格点， 以格点为顶点的三角形称为格点三角形 图中ABC 是一个格点三角形，在格纸范围内，与ABC 成轴对称的格点三角形的个数为（ ）个 A8 B9 C10 D11 【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解 【解答】解：如图，当对称轴在竖直方向时，满足条件的三角形有 1 个， 当对称轴在水平方向时，满足条件的三角形有 5 个， 当对称轴与水平方向成 45方向时，满足条件的三角形有 4 个， 共 1+5+410（个） ， 故选：C 【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解
20、题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 道小题，每小题道小题，每小题 2 分，共分，共 16 分）分） 11 （2 分） （6a3b3ab）3ab 2a21 【分析】根据多项式除以单项式的法则计算即可 【解答】解：原式6a3b3ab3ab3ab 2a21， 故答案为：2a21 【点评】本题考查了多项式除以单项式，掌握多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加是解题的关键 12 （2 分）如图，ACAD，BCBD，请写出一个正确的结论 ACBADB（答案不唯一） 【分析】根据 SSS 证明ACB 和ADB 全等解答即可
21、 【解答】解：ACBADB， 在ACB 和ADB 中， ， ACBADB（SSS） ， CABDAB，ACBADB，ABDABC， 故答案为：ACBADB（答案不唯一） 【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据 SSS 证明ACB 和ADB 全等解答 13 （2 分）若（a+1）0有意义，则实数 a 的取值范围是 a1 【分析】利用零指数幂的意义解答即可 【解答】解：零的零次幂没有意义， a+10， a1 故答案为：a1 【点评】本题主要考查了零指数幂，利用零指数幂的底数不为零解答是解题的关键 14 （2 分）如图，在ABC 中，ABAC，BAC120，将ABC 沿 DE 和 MN
22、折叠，使点 B 和点 C 落在点 A，则EAN 60 【分析】根据折叠可知BBAE，CCAN，再利用等腰三角形的性质可得出答案 【解答】解：由折叠知：AEBE，ANCN， BBAE，CCAN， ABAC，BAC120， BC30， BBAECCAN30， EANBAC（BAE+CAN）120303060， 故答案为：60 【点评】本题主要考查了翻折变换，等腰三角形的性质，熟练掌握翻折的性质是解题的关键 15 （2 分）若 2x8，4y16，则 2xy的值为 2 【分析】逆向运用同底数幂的除法法则以及利用幂的乘方运算法则解答即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；幂的乘方法则：底数不变，指
23、数相乘 【解答】解：4y16（22y）24， 2y4， 解得 y2， 2y224， 2xy2x2y842 故答案为：2 【点评】本题考查了同底数幂的除法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键 16 （2 分）等腰三角形的两边的长分别为 5cm 和 7cm，则此三角形的周长是 17cm 或 19cm 【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况：当腰长为 5cm 时，当腰长为 7cm 时，解答出即可 【解答】解：根据题意， 当腰长为 5cm 时，周长5+5+717（cm） ； 当腰长为 7cm 时，周长5+7+719（cm） ； 故答案为：17cm 或 19cm 【点评】本题主要考查了等腰三
24、角形的性质定理，本题重点是要分两种情况解答 17 （2 分）如图，在ABC 中，ABAC，ABCD，过点 B 作 BFAC 于 E，交 CD 于点 F，BDCD 于D，CD8，BD3，BF4，ABE 的周长为 11 【分析】根据等腰三角形的性质得到ACBABC，根据平行线的性质得到ABCBCD，根据角平分线的性质得到 BEBD3，根据全等三角形的性质即可得到答案 【解答】解：ABAC， ACBABC， ABCD， ABCBCD， ACBBCD， BECE，BDCD， BEBD3， 在 RtBCE 与 RtBCD 中， RtBCERtBCD（HL） ， CECD8， AB+AEAC+AE8， A
25、BE 的周长AE+AB+BE8+311， 故答案为：11 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，证得 RtBCERtBCD 是解题的关键 18 （2 分）如图，在ABC 中，BAC90，ABAC，D 是 BC 的中点，点 E、F 分别在边 AB、AC 上，且EDF90下列结论正确的是 （填所有正确结论的序号） BEDAFD； ACBE+FC； S1， S2分别表示ABC 和EDF 的面积， 则；EFAD；AGFAED 【分析】由等腰直角三角形的性质可证BEDAFD（ASA） ，从而得出DEF 是等腰直角三角形，即可对结论进行逐一判断 【解答】解：BAC90，
26、ABAC，D 是 BC 的中点， BADC45，ADBD，ADC90， ADCBAC90， BDEADF， 在BED 和AFD 中， ， BEDAFD（ASA） ，故正确； BEAF， ACAF+FCBE+FC，故正确； BEDAFD， DEDF， DEF 是等腰直角三角形， DEAB 时，S2最小为ABS1， 当点 E 与 A 或 B 重合时，S2最大为S1， ，故正确； EF 是变化的，而 AD 为定值，故错误； AGFBAD+AEG45+AEG， AEDAEG+DEFAEG+45， AGFAED，故正确 故答案为： 【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与中，
27、三角形的外角的性质等知识，熟记全等三角形的性质是解题的关键 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 54 分）分） 19 （4 分）计算：a2 （a4）3（a3）2 【分析】先算幂的乘方，再算乘法，最后算除法即可 【解答】解：a2 （a4）3（a3）2 a2 （a12）a6 a14a6 a8 【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握 20 （4 分）计算： （2x+y） （xy）2（y2xy） 【分析】根据多项式乘多项式的法则和去括号的法则进行解答，即可得出答案 【解答】解： （2x+y） （xy）2（y2xy） 2x22xy+xyy22
28、y2+2xy 2x2+xy3y2 【点评】此题考查了多项式乘多项式以及去括号，熟记多项式乘多项式的法则和去括号的法则是解题的关键 21 （8 分）因式分解： （1）5m320m； （2）m2x34m2x2y+4m2xy2 【分析】 （1）先提公因式，再逆用平方差公式进行因式分解 （2）先提公因式，再逆用完全平方公式进行因式分解 【解答】解： （1）5m320m 5m（m24） 5m（m+2） （m2） （2）m2x34m2x2y+4m2xy2 m2x（x24xy+4y2） m2x（x2y）2 【点评】本题主要考查综合运用公式法、提公因式法进行因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法是解决本题的关键
29、 22 （5 分）化简求值：2a2（a+b） （a+b）3（a+b）2，其中 【分析】直接利用乘法公式化简，进而合并同类项，把已知数据代入得出答案 【解答】解：原式2a2（b2a2）3（a2+2ab+b2） 2a2b2+a23a26ab3b2 4b26ab， 当 a，b3 时， 原式4326（）3 36+6 30 【点评】此题主要考查了整式的混合运算化简求值，正确运用乘法公式是解题关键 23 （6 分）已知：如图 1，在ABC 中，ACB90 求作：射线 CG，使得 CGAB 下面是小东设计的尺规作图过程 作法：如图 2， 以点 A 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 AC，AB 于 D，E 两
30、点； 以点 C 为圆心，AD 长为半径作弧，交 AC 的延长线于点 F； 以点 F 为圆心，DE 长为半径作弧，两弧在FCB 内部交于点 G； 作射线 CG所以射线 CG 就是所求作的射线 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形； （保留作图痕迹） （2）完成下面的证明 证明：连接 FG、DE ADE CFG ， DAE FCG CGAB（ 同位角相等，两直线平行 ） （填推理的依据） 【分析】 （1）根据作法画出对应的几何图形； （2）利用作法得到 ADAECFCG，FGCE，则ADECFG，根据全等三角形的性质得DAEFCG然后根据 同位角相等，两直线平行判断 CGA
31、B 【解答】解： （1）如图，射线 CG 为所作； （2）完成下面的证明 证明：连接 FG、DE ADECFG， DAEFCG CGAB（ 同位角相等，两直线平行） 故答案为 CFG，FCG，同位角相等，两直线平行 【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了全等三角形的性质 24 （5 分）如图，ABAC，BDAC 于 D，CEAB 于 E，BD、CE 交于 O，连结 AO，求证：CDBE 【分析】根据 AAS 证明
32、ACE 和ABD 全等，进而利用全等三角形的性质解答即可 【解答】证明：BDAC 于 D，CEAB 于 E， ADBAEC90， 在ADB 和AEC 中， ， ADBAEC（AAS） ， ADAE， ACADABAE， 即 CDBE 【点评】本题考查了垂直的定义、全等三角形的判定及其性质等知识利用相等的线段进行等效转是解答本题的关键 25 （6 分）如图，在平面直角坐标系中，A（1，3） ，B（2，4） ，连接 AB （1）画线段 A1B1，使得线段 A1B1与线段 AB 关于 y 轴对称，写出 A1、B1的坐标：A1 （1，3） ，B1 （2，4） ； （2）写出一个点 C 的坐标，使ABC
33、 成为等腰三角形，C（ 3 ， 1 ） ； （3）已知点 C 在坐标轴上，且满足ABC 是等腰三角形，则所有符合条件的 C 点有 3 个 【分析】 （1）依据线段 A1B1与线段 AB 关于 y 轴对称，即可得到线段 A1B1，并得到 A1、B1的坐标； （2）利用等腰三角形的定义，并结合轴对称的性质，找到一点 C 即可； （3）依据点 C 在坐标轴上，且ABC 是等腰ABC，即可得出所有符合条件的 C 点 【解答】解： （1）如图所示，线段 A1B1即为所求，A1（1，3） 、B1（2，4） ； 故答案为： （1，3） ； （2，4） ； （2）如图所示，使ABC 成为等腰三角形，点 C（3
34、，1） ； 故答案为： （3，1） ； （3）如图所示，点 C 在坐标轴上，且满足ABC 是等腰三角形的 C 点有 3 个 故答案为：3 【点评】本题考查了作图轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的 26 （5 分）对于所有直角三角形，我们都可以将其分割为两个等腰三角形； 例如：如图，已知ABC，BAC90，作直角边 AB 的垂直平分线 DE，分别交 BC 与 AB 于 D、E 两点，连接 AD，则 AD 将ABC 分割成两个等腰三角形ADC，ADB 证明：DE 垂直平分 AC ADDB 12 在 RtABC 中，BAC90
35、2+390，1+490 34 CDDA ADC，ADB 是等腰三角形 （1）根据上述方法，将下列锐角三角形和钝角三角形，分别分割成 4 个等腰三角形； （2）将下面的不等边三角形分割成 5 个等腰三角形 【分析】 （1）模仿例题，利用直角三角形斜边的中线的性质解决问题即可 （2）利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可 【解答】解： （1）如图，分割线如图所示 （2）如图，分割线即为所求 【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题 27 （6 分）如图，在ABC 中，ABAC，D 为 BC 上一点且ADC60，CEAD 于点
36、E，点 A 关于点E 的对称点为点 F，CF 交 AB 于点 G （1）依题意补全图形； （2）求AGC 的度数； （3）写出 AD、BD、CD 之间的等量关系，并证明 【分析】 （1）根据轴对称的特征补全图形； （2）由三角形外角的性质及等腰三角形的性质得出答案； （3）在 CD 是取点 P，使 FPFD，连接 FP，证明CPFADB（AAS） ，得出 ADPC，BDPF，则可得出答案 【解答】解： （1）根据题意画出图形如图 1， （2）ABAC， BACB， 点 A 关于点 E 的对称点为点 F，CEAD， ACCF，ACEECF， AGCB+BCGB+ACBACF2B2ECF， ECF
37、90EFC，EFC60+BCG， AGC2B180+120+2BCG， AGC60； （3）CDAD+BD 证明：如图 2，在 CD 是取点 P，使 FPFD，连接 FP， ADC60， PDF 为等边三角形， DPF60， FPC120， ADBFPC， 又ACCF，ABAC， ABCF， BADBCG， CPFADB（AAS） ， ADPC，BDPF， CDDP+PCAD+BD 【点评】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质的综合运用；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键 28 （5 分）如图，在
38、平面直角坐标系中，已知点 A（4，4） ，C，B 两点分别是 x，y 轴正半轴上的动点，且满足BAC90 （1）写出BOA 的度数； （2）求 BO+OC 的值； （3）若 BP 平分OBC，交 OA 于点 P，PNy 轴于点 N，AQ 平分BAC，交 BC 于点 Q，随着 C，B位置的变化，NP+AQ 的值是否会发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由 【分析】 （1）过点 A 作 AEx 轴于 E，AFy 轴于 F，则 AEAF4，得 OA 是BOC 的角平分线，即可求解； （2） 证四边形 AEOF 为正方形， 得 AEAFOEOF4， EAF90， 再证BAFCAE （ASA） ，得
39、 BFCE，进而求解即可； （3）过点 A 作 AEx 轴于 E，AFy 轴于 F，延长 NP 交 AE 于 K，由全等三角形的性质得 ABAC，则BAC 是等腰直角三角形，得ABCACB45，再证AQBAKP（ASA） ，得 AQAK，则AKP 是等腰直角三角形，得 AKPK，然后证 AQPK，即可求解 【解答】解： （1）过点 A 作 AEx 轴于 E，AFy 轴于 F，如图 1 所示： 点 A（4，4） ， AEAF4， OA 是BOC 的角平分线， BOC90， BOA45； （2）由（1）得：四边形 AEOF 为矩形， AEAF4， 四边形 AEOF 为正方形， AEAFOEOF4，
40、EAF90， BAC90， BAF+FACFAC+CAE90， BAFCAE， AEx 轴，AFy 轴， BFACEA90， 在BAF 和CAE 中， ， BAFCAE（ASA） ， BFCE， BO+OCOF+BF+OCOF+CE+OCOF+OE4+48； （3）随着 C，B 位置的变化，NP+AQ 的值为 4，不变，理由如下： 过点 A 作 AEx 轴于 E，AFy 轴于 F，延长 NP 交 AE 于 K，如图 2 所示： 则四边形 OEKN 为矩形， AKP90，NKOE4， 由（2）得：BAFCAE， ABAC， BAC90， BAC 是等腰直角三角形， ABCACB45， BP 平分
41、OBC， OBPCBP， BOAABC45， OBP+BOACBP+ABCABP， BPAOBP+BOA， BPAABP， ABAP， PNy 轴，BOA45， ONP 是等腰直角三角形， NPO45， APKNPO45， AQ 平分BAC，BAC 是等腰直角三角形， AQBC， AQBAKP90， 在AQB 和AKP 中， ， AQBAKP（ASA） ， AQAK， AKP90，APK45， AKP 是等腰直角三角形， AKPK， AQPK， NP+AQNP+PKNK4 【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型
