1、2021-2022 学年北京市西城区部分学校八年级上期中数学试卷学年北京市西城区部分学校八年级上期中数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 2 分，共分，共 20 分）分） 12017 年 12 月 15 日，北京 2022 年冬奥会会徽“冬梦”正式发布以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是（ ） A B C D 2如图，有一池塘，要测池塘两端 A，B 间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点 A 和B 的点 C，连接 AC 并延长至 D，使 CDCA，连接 BC 并延长至 E，使 CECB，连接 ED若量出 DE58 米，则 A，B 间的距离即可求依据是（
2、 ） ASAS BSSS CAAS DASA 3下列计算正确的是（ ） A （x2）3x5 Bb2+b22b2 Cxmx5x5m D （3x）39x3 4下列条件中，不能判定三角形全等的是（ ） A三条边分别相等 B两边和其中一角分别相等 C两边和夹角分别相等 D两角和它们的夹边分别相等 5如图所示，三角形纸片被正方形纸板遮住了一部分，小明根据所学知识画出了一个与该三角形完全重合的三角形，那么这两个三角形完全重合的依据是（ ） ASSS BSAS CAAS DASA 6 若把一个正方形纸片按下图所示方法三次对折后再沿虚线剪开， 则剩余部分展开后得到的图形是 （ ） A B C D 7下列命题中
3、，不正确的是（ ） A有一个外角是 120的等腰三角形是等边三角形 B一条线段可以看成是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形 C等腰三角形的对称轴是底边上的中线 D等边三角形有 3 条对称轴 8如图，将三角形纸片 ABC 沿直线 DE 折叠后，使得点 B 与点 A 重合，折痕分别交 BC，AB 于点 D，E如果 AC5cm，ADC 的周长为 17cm，那么 BC 的长为（ ） A7cm B10cm C12cm D22cm 9如图，BAC130，若 MP 和 QN 分别垂直平分 AB 和 AC，则PAQ 等于（ ） A50 B75 C80 D105 10如图，将 RtABC 过点 B 折叠，使直
4、角顶点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处，折痕为 BD，现有以下结论： DEAB； BCBE； BD 平分ABC； BCE 是等边三角形； BD 垂直平分 EC； 其中正确的有（ ） A B C D 二、填空题（第二、填空题（第 11-18 题每题题每题 3 分，第分，第 19 题题 4 分，共分，共 28 分）分） 11 （3 分）计算：2a3a2b ， （2x）3 ，3a（5a2b） 12 （3 分）等腰三角形的两边长分别为 2 和 6，则三角形周长为 13 （3 分）等腰三角形的一个外角是 110，则它的顶角的度数是 14 （3 分）在ABC 中，ABAC，BC5，B60，则ABC 的
5、周长是 15 （3 分）若 a5 （ay）3a17，则 y ，若 39m27m311，则 m 的值为 16 （3 分）如图，ABCDEF，点 F 在 BC 边上，AB 与 EF 相交于点 P若DEF37，PBPF，则APF 17 （3 分）如图，ABC 中，D 点在 BC 上，将 D 点分别以 AB、AC 为对称轴，画出对称点 E、F，并连接AE、AF根据图中标示的角度，则EAF 的度数为 18 （3 分）如图，AOB30，OP 平分AOB，PDOB 于 D，PCOB 交 OA 于 C若 PC10，则OC ，PD 19 （4 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A（2，0） ，B（0，3） ，C
6、（0，2） ，点 D 在第二象限，且AOBOCD在坐标系中画草图分析可得： （1）点 D 的坐标为 ； （2）点 P 在 y 轴上，且PAC 是等腰三角形，则CPA 的大小为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 道小题，共道小题，共 52 分）分） 20 （12 分）计算： （1）x2y3 （x） ； （2） （2ab）3a4b2； （3） （2a2） （3ab25ab3） ； （4） （3x2）2 （x2+2x1） 21 （5 分）先化简，再求值x（2x24x）x2（6x3）+x（2x）2，其中 x 22 （5 分）已知 BECF，ABDE，BDEF 求证：ACDF 23 （4 分
7、）如图，在 44 的正方形方格中，阴影部分是涂黑 5 个小正方形所形成的图案将方格内空白的两个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形，请在如图的图中至少画出四个方案，并画出对称轴 24 （6 分）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点分别是 A（3，2） ，B（0，4） ，C（1，1） （1）画出ABC 关于 x 轴对称的A1B1C1，并写出点 A1的坐标：A1（ ， ） （2）ABC 的面积为 （3）在 x 轴上有一点 P，使得 PA+PB 的值最小，请直接写出点 P 的坐标：P（ ， ） 25 （6 分）尺规作图，不写作法，保留作图痕迹 （1）如图 1，已知ABC，现将ABC
8、 绕点 B 逆时针旋转，使点 A 落在射线 BP 上，求作ACB 作法：在射线 BP 上截 BABA，以点 B 为圆心、BC 长为半径作弧，以点 A为圆心，AC 长为半径作弧，两弧在射线 BP 的右侧交于点 C，则ACB 即为所求 上述操作的作图原理是： （2）如图 2，在直线 MN 上求作一点 P，使点 P 到射线 OA，OB 的距离相等 结论： 26 （7 分）如图，ABC 中，ABAC，B30，点 D 是 AC 的中点，过点 D 作 DEAC 交 BC 于点 E，连接 AE若 AE3，求 BC 的长 解：ABAC CB（ ） B30， C30 BAC180BC 点 D 是 AC 的中点，
9、且 DEAC， ECEA3（ ） EACC30 BAEBACEAC 在 RtABE 中，B30， BE2 BCBE+EC 27 （7 分） 如图， CN 是等边ABC 的外角ACM 内部的一条射线， 点 A 关于 CN 的对称点为 D， 连接 AD，BD，CD，其中 AD，BD 分别交射线 CN 于点 E，P （1）依题意补全图形； （2）若ACN，直接写出BDC 的大小 （用含 的式子表示） ； （3）用等式表示线段 PB，PC 与 PE 之间的数量关系，并证明 （第（2）问中的结论可以直接使用） 四、附加题（本大题共四、附加题（本大题共 2 道小题，共道小题，共 10 分）分） 28 （4
10、 分）如果 xny，那么我们规定（x，y）n例如：因为 329，所以（3，9）2 根据上述规定， （2，8） ，若（m，16）p， （m，5）q， （m，t）r，且满足 p+qr，则 t 29 （6 分） （1）已知ABC 中，A90，B67.5，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形 （请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数） （2）已知ABC 中，C 是其最小的内角，过顶点 B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求ABC 与C 之间的关系 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小
11、题 2 分，共分，共 20 分）分） 12017 年 12 月 15 日，北京 2022 年冬奥会会徽“冬梦”正式发布以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】直接根据轴对称图形的概念分别解答得出答案 【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不合题意； D、不是轴对称图形，不合题意 故选：B 【点评】 本题考查的是轴对称图形的概念 轴对称图形的关键是寻找对称轴， 图形两部分折叠后可重合 2如图，有一池塘，要测池塘两端 A，B 间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点 A 和B 的点 C
12、，连接 AC 并延长至 D，使 CDCA，连接 BC 并延长至 E，使 CECB，连接 ED若量出 DE58 米，则 A，B 间的距离即可求依据是（ ） ASAS BSSS CAAS DASA 【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得答案 【解答】解：在ABC 和DEC 中， ABCDEC（SAS） ， ABDE58 米， 故选：A 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定与性质是解题关键 3下列计算正确的是（ ） A （x2）3x5 Bb2+b22b2 Cxmx5x5m D （3x）39x3 【分析】根据积的乘方与幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法解决此题 【解答
13、】解：A根据积的乘方， （x2）3x6，故 A 不正确，那么 A 不符合题意 B根据合并同类项法则，b2+b22b2，故 B 正确，那么 B 符合题意 C根据同底数幂的乘法，xmx5xm+5，故 C 不正确，那么 C 不符合题意 D根据积的乘方与幂的乘方， （3x）327x3，故 D 不正确，那么 D 不符合题意 故选：B 【点评】本题主要考查积的乘方与幂的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法，熟练掌握积的乘方与幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法是解决本题的关键 4下列条件中，不能判定三角形全等的是（ ） A三条边分别相等 B两边和其中一角分别相等 C两边和夹角分别相等 D两角和它们的夹边分
14、别相等 【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可 【解答】解：A三边对应相等，符合全等三角形的判定定理 SSS，能推出两三角形全等，故本选项不符合题意； B两边相等，假如是一个三角形是这两边的夹角，二另一个三角形是其中一边的对角相等，那么这时的两个三角形不全等，故本选项符合题意； C 两边和夹角分别相等， 符合全等三角形的判定定理 SAS， 能推出两三角形全等， 故本选项不符合题意； D两角和它们的夹边分别相等，符合全等三角形的判定定理 ASA，能推出两三角形全等，故本选项不符合题意； 故选：B 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三
15、角形的判定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有 HL 等 5如图所示，三角形纸片被正方形纸板遮住了一部分，小明根据所学知识画出了一个与该三角形完全重合的三角形，那么这两个三角形完全重合的依据是（ ） ASSS BSAS CAAS DASA 【分析】图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可 【解答】解：由图可知，三角形两角及夹边还存在， 根据可以根据三角形两角及夹边作出图形， 所以，依据是 ASA 故选：D 【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键 6 若把一个正方形纸片按下图所示方法三次对折后再沿虚线剪开
16、， 则剩余部分展开后得到的图形是 （ ） A B C D 【分析】拿正方形纸片先沿对角线向上翻折，再向右翻折，右下翻折，剪去上面一个等腰直角三角形，展开即可得到正确答案 【解答】解：动手操作后可得第一个图案 故选：A 【点评】本题主要考查了剪纸问题；主要是让学生学会动手操作能力 7下列命题中，不正确的是（ ） A有一个外角是 120的等腰三角形是等边三角形 B一条线段可以看成是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形 C等腰三角形的对称轴是底边上的中线 D等边三角形有 3 条对称轴 【分析】根据等边三角形的判定定理、轴对称图形的概念判断即可 【解答】解：A、一个三角形的外角是 120， 则内角为
17、60， 这个三角形是等边三角形，本选项说法正确，不符合题意； B、一条线段可以看成是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形，本选项说法正确，不符合题意； C、等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，本选项说法错误，符合题意； D、等边三角形有 3 条对称轴，本选项说法正确，不符合题意； 故选：C 【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理 8如图，将三角形纸片 ABC 沿直线 DE 折叠后，使得点 B 与点 A 重合，折痕分别交 BC，AB 于点 D，E如果 AC5cm，ADC 的周长为 17cm，那么 BC 的长为
18、（ ） A7cm B10cm C12cm D22cm 【分析】利用翻折变换的性质得出 ADBD，进而利用 AD+CDBC 得出即可 【解答】解：将ABC 沿直线 DE 折叠后，使得点 B 与点 A 重合， ADBD， AC5cm，ADC 的周长为 17cm， AD+CDBC17512（cm） 故选：C 【点评】此题主要考查了翻折变换的性质，根据题意得出 ADBD 是解题关键 9如图，BAC130，若 MP 和 QN 分别垂直平分 AB 和 AC，则PAQ 等于（ ） A50 B75 C80 D105 【分析】由 MP 和 QN 分别垂直平分 AB 和 AC，根据线段垂直平分线的性质，可得 PA
19、PB，QAQC，继而可得BAP+CAQB+C180BAC50，则可求得答案 【解答】解：MP 和 QN 分别垂直平分 AB 和 AC， PAPB，QAQC， BAPB，CAQC， BAC130， BAP+CAQB+C180BAC50， PAQBAC（BAP+CAQ）80 故选：C 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质注意转化思想的应用是关键 10如图，将 RtABC 过点 B 折叠，使直角顶点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处，折痕为 BD，现有以下结论： DEAB； BCBE； BD 平分ABC； BCE 是等边三角形； BD 垂直平分 EC； 其中正确的有（ ） A
20、 B C D 【分析】由折叠的性质可得BEDBCD90，BCBE，CBDEBD，DEDC，可得 DEAB，BD 平分ABC，由线段垂直平分线的判定可得 BD 垂直平分 EC，由ABC 不一定等于 60，可得BEC 不一定是等边三角形，即可求解 【解答】解：将 RtABC 过点 B 折叠，使直角顶点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处， BCDBED， BEDBCD90，BCBE，CBDEBD，DEDC， DEAB，BD 平分ABC，故正确， DEDC，BEBC， BD 垂直平分 EC，故正确， ABC 不一定等于 60， BEC 不一定是等边三角形，故错误， 故选：D 【点评】本题考查了翻折变
21、换，全等三角形的性质，等边三角形的判定等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键 二、填空题（第二、填空题（第 11-18 题每题题每题 3 分，第分，第 19 题题 4 分，共分，共 28 分）分） 11 （3 分）计算：2a3a2b 6a3b ， （2x）3 8x3 ，3a（5a2b） 15a26ab 【分析】单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘； 积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘； 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加； 【解答】解：2a3a2b6a3b； （2x）38x3； 3a（5a2b）15a26ab 故答案为：6
22、a3b；8x3；15a26ab 【点评】本题考查了单项式与单项式相乘、积的乘方、单项式与多项式相乘，掌握这三个法则的熟练应用，正确运用是解题关键 12 （3 分）等腰三角形的两边长分别为 2 和 6，则三角形周长为 14 【分析】根据 2 和 6 可分别作等腰三角形的腰，结合三角形三边关系定理，分别讨论求解 【解答】解：当 2 为腰时，三边为 2，2，6，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形； 当 6 为腰时，三边为 6，6，2，符合三角形三边关系定理，周长为：6+6+214 故答案为：14 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理关键是根据 2，6 分别作为腰，由三边关系定
23、理，分类讨论 13 （3 分）等腰三角形的一个外角是 110，则它的顶角的度数是 70或 40 【分析】根据外角与相邻的内角的和为 180求这个内角的度数，再分这个角是顶角与底角两种情况讨论求解 【解答】解：一个外角是 110， 与这个外角相邻的内角是 18011070， 当 70角是顶角时，它的顶角度数是 70， 当 70角是底角时，它的顶角度数是 18070240， 综上所述，它的顶角度数是 70或 40 故答案为：70或 40 【点评】本题考查了等腰三角形的两底角相等的性质，要注意分两种情况讨论求解 14 （3 分）在ABC 中，ABAC，BC5，B60，则ABC 的周长是 15 【分析
24、】根据等边三角形的判定和性质即可解决问题 【解答】解：ABAC，B60， ABC 是等边三角形， BC5， ABC 的周长为 15， 故答案为 15 【点评】本题考查等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 15 （3 分）若 a5 （ay）3a17，则 y 4 ，若 39m27m311，则 m 的值为 2 【分析】先利用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则计算 a5 （ay）3、39m27m，再根据底数与指数分别相等时幂也相等得方程，求解即可 【解答】解：a5 （ay）3a5a3ya5+3y， a5+3ya17 5+3y17 y4 39m27m332m33m31+5
25、m， 31+5m311 1+5m11 m2 故答案为：4；2 【点评】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法法则，根据底数、指数分别相等时其幂也相等得到关于y 和 m 的方程是解决本题的关键 16 （3 分）如图，ABCDEF，点 F 在 BC 边上，AB 与 EF 相交于点 P若DEF37，PBPF，则APF 74 【分析】根据全等三角形的性质可得EB37，再根据等边对等角可得PFBB37，再由三角形外角的性质可得APF 的度数 【解答】解：ABCDEF， EB37， PBPF， PFBB37， APF37+3774， 故答案为：74 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形
26、的对应角相等 17 （3 分）如图，ABC 中，D 点在 BC 上，将 D 点分别以 AB、AC 为对称轴，画出对称点 E、F，并连接AE、AF根据图中标示的角度，则EAF 的度数为 134 【分析】连接 AD，利用轴对称的性质解答即可 【解答】解：连接 AD， D 点分别以 AB、AC 为对称轴，画出对称点 E、F， EABBAD，FACCAD， B62，C51， BACBAD+DAC180625167， EAF2BAC134， 故答案为 134 【点评】此题考查轴对称的性质，三角形内角和定理等知识，关键是利用轴对称的性质解答 18 （3 分）如图，AOB30，OP 平分AOB，PDOB 于
27、 D，PCOB 交 OA 于 C若 PC10，则OC 10 ，PD 5 【分析】求出COPCPOBOP，即可得出 PCOC，根据角平分线的性质得出 PDPE，求出PE，即可求出 PD 【解答】解：OP 平分AOB， AOPBOP， PCOB， CPOBOP，CPOAOP， PCOC， PC10， OCPC10， 过 P 作 PEOA 于点 E， PDOB，OP 平分AOB， PDPE， PCOB，AOB30 ECPAOB30 在 RtECP 中，PEPC5， PDPE5， 故答案为：10，5 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质的应用，注意：角平分线上的点到角的两边距离相等 19
28、 （4 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A（2，0） ，B（0，3） ，C（0，2） ，点 D 在第二象限，且AOBOCD在坐标系中画草图分析可得： （1）点 D 的坐标为 （3，2） ； （2）点 P 在 y 轴上，且PAC 是等腰三角形，则CPA 的大小为 22.5或 45或 67.5或 90 【分析】 （1）根据AOBOCD 可得 DCBO，再根据 B（0，3） ，C（0，2）可得 D 点坐标； （2）由点 A（2，0） ，C（0，2） ，得到 OAOC2，求得ACOCAO45，当 ACAP 时，当CACP 时，当点 O 与点 P 重合时，根据等腰三角形的性质即可得到结论 【解答】解：
29、 （1）正确画出COD， AOBOCD， DCBO， B（0，3） ，C（0，2） ， D（3，2） ； （2）点 A（2，0） ，C（0，2） ， OAOC2， ACOCAO45， 当 ACAP 时，CPAACP45； 当 CACP 时，CPACAP（18045）67.5，或CPACAPACO22.5； 当点 O 与点 P 重合时，PCPA，CPACOA90， 综上所述，CPA 的大小为 22.5或 45或 67.5或 90 故答案为： （1） （3，2） ； （2）22.5或 45或 67.5或 90 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的
30、对应边相等 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 道小题，共道小题，共 52 分）分） 20 （12 分）计算： （1）x2y3 （x） ； （2） （2ab）3a4b2； （3） （2a2） （3ab25ab3） ； （4） （3x2）2 （x2+2x1） 【分析】 （1）根据单项式乘单项式乘法法则解决此题 （2）根据单项式乘单项式乘法法则解决此题 （3）根据单项式乘多项式乘法法则解决此题 （4）根据单项式乘多项式乘法法则解决此题 【解答】解： （1）x2y3 （x）2x3y3 （2） （2ab）3a4b2 8a3b3a4b2 8a7b5 （3） （2a2） （3ab25ab3） 2
31、a23ab22a2 （5ab3） 6a3b2+10a3b3 （4） （3x2）2 （x2+2x1） 9x4 （x2+2x1） 9x4 （x2）+9x42x9x4 9x6+18x59x4 【点评】本题主要考查单项式乘单项式、单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘单项式乘法法则、单项式乘多项式乘法法则是解决本题的关键 21 （5 分）先化简，再求值x（2x24x）x2（6x3）+x（2x）2，其中 x 【分析】先利用整式的乘法计算，合并化简，最后代入求得数值即可 【解答】解：原式2x34x26x3+3x2+4x3 x2， 当 x时， 原式 【点评】此题考查整式的混合运算与化简求值，掌握计算方法与合并同类
32、项的方法是解决问题的关键 22 （5 分）已知 BECF，ABDE，BDEF 求证：ACDF 【分析】根据题意可以证得ABCDEF，从而可以解答本题 【解答】证明：BECF， BE+ECCF+EC， BCEF， 在ABC 和DEF 中， ， ABCDEF（SAS） ， ACBF， ACDF 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用全等三角形的性质解答 23 （4 分）如图，在 44 的正方形方格中，阴影部分是涂黑 5 个小正方形所形成的图案将方格内空白的两个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形，请在如图的图中至少画出四个方案，并画
33、出对称轴 【分析】根据轴对称图形的性质画出图形即可 【解答】解：方案如图所示，对称轴如图所示 【点评】 本题考查利用轴对称设计图案， 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题， 属于中考常考题型 24 （6 分）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点分别是 A（3，2） ，B（0，4） ，C（1，1） （1）画出ABC 关于 x 轴对称的A1B1C1，并写出点 A1的坐标：A1（ 3 ， 2 ） （2）ABC 的面积为 （3）在 x 轴上有一点 P，使得 PA+PB 的值最小，请直接写出点 P 的坐标：P（ 2 ， 0 ） 【分析】 （1）分别作出三个顶点关于 x 轴的对称点，再首尾顺次连接
34、即可； （2）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积； （3）连接 A1B，与 x 轴的交点即为所求 【解答】解： （1）如图所示，A1B1C1即为所求，A1（3，2） ； 故答案为：3、2； （2）ABC 的面积为 43231314 1232 ， 故答案为： （3）如图所示，点 P 即为所求，其坐标为（2，0） ， 故答案为：2、0 【点评】本题主要考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质 25 （6 分）尺规作图，不写作法，保留作图痕迹 （1）如图 1，已知ABC，现将ABC 绕点 B 逆时针旋转，使点 A 落在射线 BP 上，求作ACB 作法：在射线 BP 上截 BABA
35、，以点 B 为圆心、BC 长为半径作弧，以点 A为圆心，AC 长为半径作弧，两弧在射线 BP 的右侧交于点 C，则ACB 即为所求 上述操作的作图原理是： SSS （2）如图 2，在直线 MN 上求作一点 P，使点 P 到射线 OA，OB 的距离相等 结论： 点 P 为AOB 的平分线与 MN 的交点 【分析】（1） 根据题中作法画出对应的几何图形， 再利用三角形全等的判定方法可判断ACBACB，于是得到ABC满足条件； （2）利用角平分线的性质画图 【解答】解： （1）如图，ACB 即为所求 由作法得 BABA，BCBC，ACAC， 根据“SSS”可判断ACBACB， ABCABC， ABA
36、CBC， ABC 绕点 B 逆时针旋转得到ACB 故答案为：SSS； （2）如图，点 P 为所作， 根据角平分线的性质可判断点 P 到射线 OA，OB 的距离相等 故答案为：点 P 为AOB 的平分线与 MN 的交点 【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形也考查了角平分线的性质 26 （7 分）如图，ABC 中，ABAC，B30，点 D 是 AC 的中点，过点 D 作 DEAC 交 BC 于点 E，连接 AE若 AE3，求 BC 的长 解：ABAC
37、 CB（ 等边对等角 ） B30， C30 BAC180BC 120 点 D 是 AC 的中点，且 DEAC， ECEA3（ 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 ） EACC30 BAEBACEAC 90 在 RtABE 中，B30， BE2 AE 6 BCBE+EC 9 【分析】由等腰三角形的性质得出BC30，BAC120；根据线段垂直平分线的性质得 ECEA3EACC30从而可得BAE90，RtABE 中，根据 30角所对直角边等于斜边的一半，可求得 BE2AE6；由此可求得 BC 的长 【解答】解：ABAC CB（等边对等角） B30， C30 BAC180BC120 点 D 是
38、 AC 的中点，且 DEAC， ECEA3（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等） EACC30 BAEBACEAC90 在 RtABE 中，B30， BE2AE6 BCBE+EC9 故答案为：等边对等角，120，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，90，AE，6，9 【点评】本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，含 30角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 27 （7 分） 如图， CN 是等边ABC 的外角ACM 内部的一条射线， 点 A 关于 CN 的对称点为 D， 连接 AD，BD，CD，其中 AD，BD 分别交射线 CN 于点
39、 E，P （1）依题意补全图形； （2）若ACN，直接写出BDC 的大小 60 （用含 的式子表示） ； （3）用等式表示线段 PB，PC 与 PE 之间的数量关系，并证明 （第（2）问中的结论可以直接使用） 【分析】 （1）按要求画图即可； （2）由轴对称可得 CACD，再由等腰三角形和等边三角形性质可得结论； （3） 在 PB 上截取 PFPC， 如图所示， 连接 CF， 先证明PCF 为等边三角形， 再证明BFCDPC，则 BFPA，由此可解决问题 【解答】解： （1）补全图形如图所示 （2）点 A、D 关于 CN 对称， CN 为 AD 中垂线， CACD，ACNDCN ACD2， 又
40、ABC 为等边三角形， ABACBC， BCCD BCD60+2，BDCDBC BDC60 故答案为：60 （3）PBPC+2PE 证明：在 PB 上截取 PFPC，如图所示，连接 CF CACD，ACD2，CNAD， CDACAD90， BDC60， PDECDABDC（90）（60）30， PD2PE，DPE60CPF， PFPC， PCF 为等边三角形， BFCDPC120， 在BFC 和DPC 中， ， BFCDPC（AAS） BFPD2PE PBPF+BFPC+2PE 即 PBPC+2PE 【点评】 本题属于三角形综合题， 考查了轴对称的性质， 三角形内角和定理， 等边三角形的判定与
41、性质，全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构造等边三角形转移线段解题是关键 四、附加题（本大题共四、附加题（本大题共 2 道小题，共道小题，共 10 分）分） 28 （4 分）如果 xny，那么我们规定（x，y）n例如：因为 329，所以（3，9）2 根据上述规定， （2，8） 3 ，若（m，16）p， （m，5）q， （m，t）r，且满足 p+qr，则 t 80 【分析】根据有理数的乘方、同底数幂的乘法解决此题 【解答】解：238， （2，8）3 （m，16）p， （m，5）q， （m，t）r， mp16，mq5，mrt mpmqmp+q80 p+qr， mp+qmr mr80t t80
42、 故答案为：3，80 【点评】本题主要考查有理数的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握有理数的乘方、同底数幂的乘法是解决本题的关键 29 （6 分） （1）已知ABC 中，A90，B67.5，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形 （请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数） （2）已知ABC 中，C 是其最小的内角，过顶点 B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求ABC 与C 之间的关系 【分析】 （1）已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理，先计算出可能的角
43、度，或者先从草图中确认可能的情况，及角度，然后画上 （2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般” ，需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程，可得出角与角之间的关系 【解答】解： （1）如图（共有 2 种不同的分割法） （2）设ABCy，Cx，过点 B 的直线交边 AC 于 D在DBC 中， 若C 是顶角，如图 1，则CBDCDB90 x，A180 xy 而ADB90，此时只能有AABD，即 180 xyy（90 x） 即 3x+4y540，即ABC135C； 若C 是底角， 第一种情况：如图 2，当 DBDC 时，则DBCx，ABD 中，ADB2x，ABDyx 由 ABAD，得 2
44、xyx，此时有 y3x，即ABC3C 由 ABBD，得 180 xy2x，此时 3x+y180，即ABC1803C 由 ADBD， 得 180 xyyx， 此时 y90， 即ABC90， C 为小于等于 45的任意锐角 第二种情况，如图 3，当 BDBC 时，BDCx，ADB180 x90，此时只能有 ADBD， 从而AABDCC，这与题设C 是最小角矛盾 当C 是底角时，BDBC 不成立 综上，ABC 与C 之间的关系是：ABC135C 或ABC1803C 或ABC3C 或ABC90，C 是小于 45的任意角 【点评】本题考查了等腰三角形的性质；第（1）问是计算与作图相结合的探索本问对学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、等腰三角形性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求 第（2）问在第（1）问的基础上，由“特殊”到“一般” ， “分类讨论”把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形并结合“方程思想”探究角与角之间的关系本题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般” 、 “分类讨论” 、 “方程思想” 、 “转化思想”等数学思想，是一道不可多得的好题
