1、2021-2022 学年北京市海淀区六校联考高一上期中数学试卷学年北京市海淀区六校联考高一上期中数学试卷 一、单项选择题（每小题一、单项选择题（每小题 5 分，共分，共 50 分。 ）分。 ） 1 （5 分）下列所给元素与集合的关系正确的是（ ） AR B0N* C D|5|Z 2 （5 分）已知集合 A1，1，B1，0，1，2，那么 AB 等于（ ） A0，1 B0 C1，1 D1，0，1，2 3 （5 分）已知 ab，cd，下列不等式中必成立的一个是（ ） Aa+cb+d Bacbd Cacbd D 4 （5 分）命题“对任意 aR，都有 a20”的否定为（ ） A对任意 aR，都有 a2
2、0 B对任意 aR，都有 a20 C存在 aR，使得 a20 D存在 aR，使得 a20 5 （5 分）下列各组函数表示同一函数的是（ ） A B Cf（x）x2，g（x）（x+1）2 D 6 （5 分） “x2”是“x24”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7 （5 分）下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（ ） A如果 ab，那么 a+cbc B如果 a26a，那么 a6 C如果 ab，那么 D如果，那么 ab 8 （5 分）已知集合 Ax|x2x20，Bx|1x1，则（ ） AAB BBA CAB DAB 9（5 分） 用反证法证明
3、命题 “设 a， b 为实数， 则方程 x3+ax+b0 至少有一个实根” 时， 要做的假设是 （ ） A方程 x3+ax+b0 没有实根 B方程 x3+ax+b0 至多有一个实根 C方程 x3+ax+b0 至多有两个实根 D方程 x3+ax+b0 恰好有两个实根 10 （5 分）关于 x 的不等式 x22ax8a20（a0）的解集为（x1，x2） ，且 x2x115，则 a（ ） A B C D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 25 分）分） 11 （5 分）函数的定义域是 12 （5 分）已知 x0，y0，x+y3，则 xy 的最大值为 13 （5 分）能说明“若
4、ab，则 a2b2”为假命题的一组 a，b 的值依次为 14 （5 分）定义运算“”xy（x，yR，xy0） 当 x0，y0 时，xy+（2y）x 的最小值为 15 （5 分）顾客请一位工艺师把 A，B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下： 工序 时间 原料 粗加工 精加工 原料 A 9 15 原料 B 6 21 则最短交货期为 个工作日 三三.计算题（共计算题（共 6 小题，共小题，共 85 分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）分，
5、解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 16 （15 分）已知集合 Ax|x2x60和集合 Bx|x2|2求： （1）AB； （2）AB； （3） （RA）B 17 （15 分） （1）比较 1 与的大小； （2）求方程组的解集； （3）已知数轴上，A（x） ，B（1） ，且线段 AB 的中点到原点的距离大于 5，求 x 的取值范围 18 （15 分） （1）求不等式 x2+4x+10 的解集； （2）解不等式： （xa） （x2）0； （3）关于 x 的不等式 ax2+ax+10 的解集为 R，求实数 a 的取值范围 19 （14 分）围建一个面积为 360m2的矩形场地，要求矩形场地的一
6、面利用旧墙（利用旧墙需维修） ，其它三面围墙要新建， 在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口， 已知旧墙的维修费用为 45 元/m，新墙的造价为 180 元/m，设利用的旧墙的长度为 x（单位：m） ，修建此矩形场地围墙的总费用为 y（单位：元） （）将 y 表示为 x 的函数； （）试确定 x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用 20 （12 分）设集合 A（x，y）|xy1，ax+y4，xay2，若（2，1）A，求 a 的取值范围 21 （14 分） 汽车在行驶中， 由于惯性， 刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止， 一般称这段距离为 “刹车距离” 刹车距离是
7、分析交通事故的一个重要依据 在一个限速为 40km/h 的弯道上， 甲、 乙两辆汽车相向而行， 发现情况不对， 同时刹车， 但还是相碰了 事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过 6m，乙车的刹车距离略超过 10m 已知甲、乙两种车型的刹车距离 sm 与车速 vkm/h 之间的关系分别为 s甲，s乙 试判断甲、乙两车有无超速现象 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题（每小题一、单项选择题（每小题 5 分，共分，共 50 分。 ）分。 ） 1 （5 分）下列所给元素与集合的关系正确的是（ ） AR B0N* C D|5|Z 【分析】R、N*、Q、Z 分别表示了实数集、正整数集、有理
8、数集、整数集，依次判断即可 【解答】解：R、N*、Q、Z 分别表示了实数集、正整数集、有理数集、整数集， 故 R，0N*，Q，|5|5Z， 故选：A 【点评】本题考查了元素与集合的关系判断，属于基础题 2 （5 分）已知集合 A1，1，B1，0，1，2，那么 AB 等于（ ） A0，1 B0 C1，1 D1，0，1，2 【分析】进行交集的运算即可 【解答】解：A1，1，B1，0，1，2， AB1，1 故选：C 【点评】本题考查了列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题 3 （5 分）已知 ab，cd，下列不等式中必成立的一个是（ ） Aa+cb+d Bacbd Cacbd D 【分
9、析】利用不等式的基本性质即可判断出 【解答】解：根据不等式的同向可加性，若 ab，cd，则 a+cb+d， 故选：A 【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题 4 （5 分）命题“对任意 aR，都有 a20”的否定为（ ） A对任意 aR，都有 a20 B对任意 aR，都有 a20 C存在 aR，使得 a20 D存在 aR，使得 a20 【分析】直接利用全称命题是否定是特称命题写出结果即可 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对任意 aR，都有 a20”的否定为：存在 a0R，使得 a020 故选：C 【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考
10、查 5 （5 分）下列各组函数表示同一函数的是（ ） A B Cf（x）x2，g（x）（x+1）2 D 【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，若一致是同一函数，否则不是同一函数 【解答】解：Af（x）的定义域为 R，而 g（x）的定义域为0，+） ， 所以定义域不同，所以 A 不是同一函数 Bf（x）的定义域为 R，而 g（x）的定义域为（，0）（0，+） ， 所以定义域不同，所以 B 不是同一函数 Cf（x）与 g（x）的对应法则不同，所以 C 不是同一函数 Df（t）|t|，g（x）|x|， 所以两个函数的定义域和对应法则一致，所以 D 表示同一函数 故选：D 【点评】本题主
11、要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数 6 （5 分） “x2”是“x24”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】由 x24，解得 x2即可判断出 【解答】解：由 x24，解得 x2 x2 是 x24 充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查了充分必要条件的判定，属于基础题 7 （5 分）下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（ ） A如果 ab，那么 a+cbc B如果 a26a，那么 a6 C如果 ab，那么 D如果，那么 ab 【分析】分别根据等式的性质即可判断
12、【解答】解：对于 A：当 c0 时，等式成立，当 c0 时，等式不成立，故 A 错误； 对于 B：如果 a26a，那么 a0 或 a6，故 B 错误； 对于 C：如果 ab，c0，则，故 C 错误； 对于 D：如果，两边同时乘以 c，那么 ab，故 D 正确 故选：D 【点评】本题考查了等式的性质，考属于基础题 8 （5 分）已知集合 Ax|x2x20，Bx|1x1，则（ ） AAB BBA CAB DAB 【分析】求出 A 中不等式的解集，再确定出 A 与 B 的关系 【解答】解：集合 A 中的不等式变形得： （x2） （x+1）0， 解得：1x2，即 Ax|1x2， Bx|1x1， BA，
13、 故选：B 【点评】本题考查集合的包含关系判断及应用，化简集合 A 是关键 9（5 分） 用反证法证明命题 “设 a， b 为实数， 则方程 x3+ax+b0 至少有一个实根” 时， 要做的假设是 （ ） A方程 x3+ax+b0 没有实根 B方程 x3+ax+b0 至多有一个实根 C方程 x3+ax+b0 至多有两个实根 D方程 x3+ax+b0 恰好有两个实根 【分析】直接利用命题的否定写出假设即可 【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定， 用反证法证明命题“设 a，b 为实数，则方程 x3+ax+b0 至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x3+ax+b0 没有实根 故选：A
14、 【点评】本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查 10 （5 分）关于 x 的不等式 x22ax8a20（a0）的解集为（x1，x2） ，且 x2x115，则 a（ ） A B C D 【分析】利用不等式的解集以及韦达定理得到两根关系式，然后与已知条件化简求解 a 的值即可 【解答】解：因为关于 x 的不等式 x22ax8a20（a0）的解集为（x1，x2） ， 所以 x1+x22a， x1x28a2， 又 x2x115， 24可得（x2x1）236a2，代入可得，15236a2，解得 a， 因为 a0，所以 a 故选：A 【点评】本题考查二次不等式的解法，韦达定理的应用，考查计算能力
15、二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 25 分）分） 11 （5 分）函数的定义域是 x|x0 且 x1 【分析】由根式内部的代数式大于等于 0 且分式的分母不为 0 求解 【解答】解：由题意，解得 x0 且 x1 函数的定义域是x|x0 且 x1 故答案为：x|x0 且 x1 【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题 12 （5 分）已知 x0，y0，x+y3，则 xy 的最大值为 【分析】根据题意，由基本不等式的性质可得 xy（）2，即可得答案 【解答】解：根据题意，x0，y0，则 xy（）2，当且仅当 xy时等号成立， 即 xy 的最大值为； 故答案为： 【点评】
16、本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是掌握基本不等式的形式，属于基础题 13 （5 分）能说明“若 ab，则 a2b2”为假命题的一组 a，b 的值依次为 1，1 【分析】由题意可取 a1，b1，即有 a2b2 【解答】解： “若 ab，则 a2b2” ，能说明该命题为假命题， 此题答案不唯一，可取 a1，b1，即有 a2b2， 故答案为：1，1 【点评】本题考查命题的真假判断，考查不等式的性质，运算能力和推理能力，属于基础题 14 （5 分）定义运算“”xy（x，yR，xy0） 当 x0，y0 时，xy+（2y）x 的最小值为 【分析】通过新定义可得 xy+（2y）x，利用基本不等式即得结
17、论 【解答】解：xy， xy+（2y）x+， 由x0，y0， x2+2y22xy， 当且仅当 xy 时等号成立， ， 故答案为： 【点评】本题以新定义为背景，考查函数的最值，涉及到基本不等式等知识，注意解题方法的积累，属于中档题 15 （5 分）顾客请一位工艺师把 A，B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下： 工序 时间 原料 粗加工 精加工 原料 A 9 15 原料 B 6 21 则最短交货期为 42 个工作日 【分析】先完成 B 的加工，
18、再完成 A 的加工即可 【解答】解：由题意，徒弟利用 6 天完成原料 B 的加工，由师傅利用 21 天完成精加工，与此同时，徒弟利用 9 天完成原料 A 的加工，最后由师傅利用 15 天完成精加工，故最短交货期为 6+21+1542 个工作日 故答案为：42 【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题 三三.计算题（共计算题（共 6 小题，共小题，共 85 分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 16 （15 分）已知集合 Ax|x2x60和集合 Bx|x2|2求： （1）AB； （2）AB； （3） （R
19、A）B 【分析】 （1） （2）通过求解绝对值不等式和一元二次不等式化简集合 B 和集合 A，然后直接取交集，并集 （3）求出集合 A 在实数集中的补集后，借助于交集概念求两集合的交集 【解答】解：集合 Ax|x2x60 x|x3 或 x2， Bx|x2|2x|2x22x|0 x4， （1）ABx|3x4 （2）ABx|x0 或 x2， （3）RAx|2x3， （RA）Bx|0 x3 【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，一元二次不等式和分式不等式的解法，属于基础题 17 （15 分） （1）比较 1 与的大小； （2）求方程组的解集； （3）已知数轴上，A（x） ，B（1） ，且线段 A
20、B 的中点到原点的距离大于 5，求 x 的取值范围 【分析】 （1）作差化简，1，从而比较大小； （2）化简 4x29y2（2x+3y） （2x3y）15，从而将方程组转化为，从而求解； （3）由题意化简得|5，解绝对值不等式即可 【解答】解： （1）1 0， 1； （2）4x29y2（2x+3y） （2x3y）15， 又2x3y5，2x+3y3， 方程组可化为， 解得 x2，y， 故方程组的解集为（2，）； （3）A（x） ，B（1） ， 线段 AB 的中点为（） ， 线段 AB 的中点到原点的距离大于 5， |5， 解得 x11 或 x9， 故 x 的取值范围为（，9）（11，+） 【点评
21、】本题考查了利用作差法判断不等关系，方程组的化简与运算，绝对值不等式的解法，属于中档题 18 （15 分） （1）求不等式 x2+4x+10 的解集； （2）解不等式： （xa） （x2）0； （3）关于 x 的不等式 ax2+ax+10 的解集为 R，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）求得方程 x2+4x+10 的两根，再结合二次函数的图象，得解； （2）分 a2，a2 和 a2 三种情况，结合二次函数的图象，进行讨论即可； （3）分 a0 和 a0 两种情况，根据二次函数的图象，即可得解 【解答】解： （1）令 x2+4x+10，解得 x2， 所以不等式 x2+4x+10 的解集为x
22、|x2或 x2+ （2）令（xa） （x2）0，解得 xa 或 2， 当 a2 时，不等式的解为 xa 或 x2； 当 a2 时，不等式化为（x2）20，所以 x2； 当 a2 时，不等式的解为 x2 或 xa， 综上所述，当 a2 时，不等式的解集为x|xa 或 x2； 当 a2 时，不等式的解集为x|x2； 当 a2 时，不等式的解集为x|x2 或 xa （3）当 a0 时，不等式化为 10，恒成立，符合题意； 当 a0 时，则有，解得 0a4， 综上，实数 a 的取值范围为0，4） 【点评】本题考查一元二次不等式的解法，理解二次函数，一元二次不等式与方程之间的联系是解题的关键，考查逻辑推
23、理能力和运算能力，属于中档题 19 （14 分）围建一个面积为 360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修） ，其它三面围墙要新建， 在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口， 已知旧墙的维修费用为 45 元/m，新墙的造价为 180 元/m，设利用的旧墙的长度为 x（单位：m） ，修建此矩形场地围墙的总费用为 y（单位：元） （）将 y 表示为 x 的函数； （）试确定 x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用 【分析】 （I）设矩形的另一边长为 am，则根据围建的矩形场地的面积为 360m2，易得 ，此时再根据旧墙的维修费用为 45 元/m，新
24、墙的造价为 180 元/m，我们即可得到修建围墙的总费用 y 表示成 x 的函数的解析式； （II）根据（I）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的 x 值 【解答】解： （）设矩形的另一边长为 am， 则 y45x+180（x2）+1802a225x+360a360 由已知 ax360，得 ， 所以 （II）因为 x0，所以 ， 所以 ，当且仅当 时，等号成立 即当 x24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10440 元 【点评】函数的实际应用题，我们要经过析题建模解模还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量 x 取值范围的限制
25、，解模时也要实际问题实际考虑将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一 20 （12 分）设集合 A（x，y）|xy1，ax+y4，xay2，若（2，1）A，求 a 的取值范围 【分析】由（2，1）A 得不等式组，解不等式组即可 【解答】解：（2，1）A， ， 解得，a， 即 a 的取值范围是（，+） 【点评】本题考查了元素与集合的关系应用，属于基础题 21 （14 分） 汽车在行驶中， 由于惯性， 刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止， 一般称这段距离为 “刹车距离” 刹车距离是分析交通事故的一个重要依据 在一个限速为 40km/h 的弯道上， 甲、 乙两辆汽车相向而行， 发现情况不对， 同时刹车， 但还是相碰了 事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过 6m，乙车的刹车距离略超过 10m 已知甲、乙两种车型的刹车距离 sm 与车速 vkm/h 之间的关系分别为 s甲，s乙 试判断甲、乙两车有无超速现象 【分析】根据已知条件，结合所给函数，求出两车的车速，即可求解 【解答】解：对甲车，令6，解得 v30 或 v20（舍去） ，甲车车速在限速以内， 对乙车，令10，解得 v50 或 v40（舍去） ，乙车车速超过限速 故甲车车速在限速以内，乙车车速超过限速 【点评】本题主要考查函数模型的应用，考查计算能力，属于基础题
