1、北京市怀柔区北京市怀柔区 20212021- -20222022 学年高一上期末数学试题学年高一上期末数学试题 一、选择题：共一、选择题：共 8 小题，每小题小题，每小题 4分，共分，共 32 分分. 1. 设全集12 3 4 5 6U ， ， ， ， ，集合2 4 6A ， ，那么UA=（ ） A. 2 B. 35， C. 135， ， D. 14 6， ， 2. 已知命题p：xR ，3x，那么命题p为（ ） A. xR ，3x B. xR ，3x C. xR ，3x D. xR ，3x 3. 已知ab，那么下列结论正确的是（ ） A. 0ab B. 0ab C. 0ab D. 0ab 4.
2、 下列函数中，在区间(0,)上是减函数是（ ） A. 21yx B. 3yx C. 2xy D. 2yx 5. 为参加学校运动会，某班要从甲，乙，丙，丁四位女同学中随机选出两位同学担任护旗手，那么甲同学被选中的概率是（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 34 6. 已知0.32a，32b ，12c，那么 a，b，c 的大小关系为（ ） A. abc B. bac C. cab D. cba 7. “1x ”是“21x ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数2 ,0( )11,0 xxf xxx，若函数(
3、 )0f xm有三个零点，则实数m的取值范围是（ ） A. (1 2， B. (1 )2， C. (01)， D. 1,) 二、填空题：共二、填空题：共 5 小题，每小题小题，每小题 4分，共分，共 20 分分. 9. 已知集合1Ax x，2Bx x，则集合AB _. 10. 函数1yx定义域是_ 11. 函数3( )f xxx的零点个数是_. 12. 函数2( )(0)2xf xxx的最小值是_. 13. 我国古代数学名著续古摘奇算法 （杨辉著）一书中有关于三阶幻方的问题：将 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 分别填入3 3的方格中，使得每一行，每一列及对角线上的三个数的和
4、都相等 (如图所示)，我们规定：只要两个幻方的对应位置（如每行第一列的方格）中的数字不全相同，就称为不同的幻方，那么所有不同的三阶幻方的个数是_. 8 3 4 1 5 9 6 7 2 三、解答题：共三、解答题：共 5 小题，共小题，共 48 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 14. 解下列关于x不等式； （1）20 xx； （2）2320 xx 15. 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料 （）求三位同学都没有中奖
5、的概率； （）求三位同学中至少有两位没有中奖概率. 16. 某篮球队在本赛季已结束的 8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如下： （1）求甲在比赛中得分的平均数和方差； （2） 从甲比赛得分在 20分以下的 6 场比赛中随机抽取 2 场进行失误分析， 求抽到 2场都不超过平均数的概率 17. 已知函数21( )xf xx. （1）判断( )f x奇偶性； （2）当(1,)x时，判断( )f x的单调性并证明； （3）在（2）的条件下，若实数m满足(3 )(52 )fmfm，求m的取值范围. 18. 有一种新型洗衣液，去污速度特别快，已知每投放k个(14k，且kR)单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中
6、， 它在水中释放的浓度y(克/升)随着时间x(分钟)变化的函数关系式近似为 ykf x，其中 241,04817,4142xxf xxx .若多次投放， 则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验，当水中洗衣液浓度不低于4克/升时，它才能起到有效去污的作用. (1)若只投放一次k个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升，求k的值； (2)若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？ (3)若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第12分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由. 北京市怀柔区北京市
7、怀柔区 20212021- -20222022 学年高一上期末数学试题学年高一上期末数学试题 一、选择题：共一、选择题：共 8 小题，每小题小题，每小题 4分，共分，共 32 分分. 1. 设全集12 3 4 5 6U ， ， ， ， ，集合2 4 6A ， ，那么UA=（ ） A. 2 B. 35， C. 135， ， D. 14 6， ， 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据补集的定义即可得出答案. 【详解】解：由全集12 3 4 5 6U ， ， ， ， ，集合2 4 6A ， ， 所以UA=135， ，. 故选：C. 2. 已知命题p：xR ，3x，那么命题p为（ ） A. xR ，
8、3x B. xR ，3x C. xR ，3x D. xR ，3x 【答案】B 【解析】 【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断. 【详解】因为命题p：xR ，3x是全称量词命题， 所以其否定是存在量词命题，即xR ，3x， 故选：B 3. 已知ab，那么下列结论正确的是（ ） A. 0ab B. 0ab C. 0ab D. 0ab 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质可直接判断出结果. 【详解】ab，0a b ，知 A 错误，B正确； 当0ab时，0ab，C错误；当0ab时，0ab，D 错误. 故选：B. 4. 下列函数中，在区间(0,)上是减函数的是（ ） A. 21yx
9、B. 3yx C. 2xy D. 2yx 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数，幂函数，指数函数，一次函数的单调性即可得出答案. 【详解】解：对于 A，函数21yx在区间(0,)上是增函数，故 A不符合题意； 对于 B，函数3yx在区间(0,)上是增函数，故 B 不符合题意； 对于 C，函数2xy 在区间(0,)上是增函数，故 C 不符合题意； 对于 D，函数2yx 在区间(0,)上是减函数，故 D 符合题意. 故选：D. 5. 为参加学校运动会，某班要从甲，乙，丙，丁四位女同学中随机选出两位同学担任护旗手，那么甲同学被选中的概率是（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 34
10、【答案】C 【解析】 【分析】求出从甲、乙、丙、丁 4 位女同学中随机选出 2 位同学担任护旗手的基本事件，甲被选中的基本事件，即可求出甲被选中的概率 【详解】解：从甲、乙、丙、丁 4位同学中随机选出 2位担任护旗手，共有246C 种方法， 甲被选中，共有 3种方法， 甲被选中的概率是3162 故选：C 【点睛】本题考查通过组合的应用求基本事件和古典概型求概率，考查学生的计算能力，比较基础 6. 已知0.32a，32b ，12c，那么 a，b，c 的大小关系为（ ） A. abc B. bac C. cab D. cba 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数单调性比较大小. 【详解】因为
11、2xy 在R上是增函数，又10.33 ，所以10.33222，所以bac， 故选 B. 【点睛】本题考查利用指数函数单调性比较指数幂的大小，难度较易.对于指数函数 xf xa（0a且1a ） ：若1a ，则 xf xa是R上增函数；若01a，则 xf xa是R上减函数. 7. “1x ”是“21x ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 解方程21x ，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】解方程21x 可得1x ， 11,1，因此，“1x ”是“21x ”的充分不必要条件. 故选：A. 8.
12、 已知函数2 ,0( )11,0 xxf xxx，若函数( )0f xm有三个零点，则实数m的取值范围是（ ） A. (1 2， B. (1 )2， C. (01)， D. 1,) 【答案】A 【解析】 【分析】 函数( )0f xm有三个零点， 转化为函数( )f x的图象与直线ym有三个不同的交点， 画出( )f x的图象，结合图象求解即可 【详解】因为函数( )0f xm有三个零点， 所以函数( )f x的图象与直线ym有三个不同的交点， 函数( )f x的图象如图所示， 由图可知，12a， 故选：A 二、填空题：共二、填空题：共 5 小题，每小题小题，每小题 4分，共分，共 20 分分
13、. 9. 已知集合1Ax x，2Bx x，则集合AB _. 【答案】12xx 【解析】 【分析】根据集合的交集运算，即可求出结果. 【详解】因为集合1Ax x，2Bx x， 所以 1212x xx xxxAB. 故答案为：12xx. 10. 函数1yx定义域是_ 【答案】1, 【解析】 【详解】试题分析：根据偶次方根式下被开方数非负，有10,1.xx 因此函数1yx定义域1, ，注意结果要写出解集性质. 考点：函数定义域 11. 函数3( )f xxx的零点个数是_. 【答案】3 【解析】 【分析】令 f(x)0求解即可. 【详解】3( )0110f xxxx xx，方程有三个解，故 f(x)
14、有三个零点. 故答案为：3. 12. 函数2( )(0)2xf xxx的最小值是_. 【答案】2 【解析】 【分析】直接利用基本不等式即可得出答案. 【详解】解：因为0 x， 所以22( )2222xxf xxx， 当且仅当22xx，即2x 时，取等号， 所以函数2( )(0)2xf xxx的最小值为 2. 故答案为：2. 13. 我国古代数学名著续古摘奇算法 （杨辉著）一书中有关于三阶幻方的问题：将 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 分别填入3 3的方格中，使得每一行，每一列及对角线上的三个数的和都相等 (如图所示)，我们规定：只要两个幻方的对应位置（如每行第一列的方格）中
15、的数字不全相同，就称为不同的幻方，那么所有不同的三阶幻方的个数是_. 8 3 4 1 5 9 6 7 2 【答案】8 【解析】 【详解】三阶幻方，是最简单的幻方，由 1，2，3，4，5，6，7，8，9其中有 8 种排法 4 9 2、3 5 7、8 1 6；2 7 6、9 5 1、4 3 8； 2 9 4、7 5 3、6 1 8；4 3 8、9 5 1、2 7 6； 8 1 6、3 5 7、4 9 2；6 1 8、7 5 3、2 9 4； 6 7 2、1 5 9、8 3 4；8 3 4、1 5 9、6 7 2 故答案为：8 三、解答题：共三、解答题：共 5 小题，共小题，共 48 分，解答应写出
16、文字说明，演算步骤或证明过程分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 14. 解下列关于x的不等式； （1）20 xx； （2）2320 xx. 【答案】 （1）( 1,0) （2）(,1)(2,) 【解析】 【分析】 （1）根据一元二次不等式的解法即可得出答案； （1）根据一元二次不等式的解法即可得出答案. 【小问 1 详解】 解：不等式20 xx可化为(1)0 x x， 解得10 x ， 所以不等式的解集为( 1,0)； 【小问 2 详解】 解：不等式2320 xx可化为(1)(2)0 xx，解得1x或2x， 所以不等式的解集为(,1)(2,). 15. 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有
17、“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料 （）求三位同学都没有中奖的概率； （）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率. 【答案】 （1）125216； （2）2527. 【解析】 【详解】试题分析： （1）因为甲、乙、丙三位同学是否中奖是相互独立，因此可用相互独立事件同时发生的概率求三位同学都没有中奖的概率； （2）将此问题看成是三次独立重复试验，每试验“中奖”发生的概率为16. 试题解析： 解： 设甲、 乙、 丙三位同学中奖分别为事件 A、 B、 C， 那么事件 A、 B、 C 相互独立， 且 P(
18、A)=P(B)=P(C) (1)三位同学都没有中奖的概率为： P( )=P()P()P()35125( )6216 (2)三位同学中至少有两位没有中奖的概率为： P= 考点：1、相互独立事件同时发生的概率；2、独立重复试验. 16. 某篮球队在本赛季已结束的 8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如下： （1）求甲在比赛中得分的平均数和方差； （2）从甲比赛得分在 20分以下6场比赛中随机抽取 2场进行失误分析，求抽到 2 场都不超过平均数的概率 【答案】 （1）15，32 25； （2）25. 【解析】 【分析】 （1）将数据代入公式，即可求得平均数和方差. （2）6场比赛中得分不超过平均数的有
19、 4 场，可记为1234,a a a a，超过平均数的有 2 场，可记为12,b b，分别求得 6场比赛中抽出 2场，总事件及满足题意的事件，根据古典概型概率公式，即可得答案. 【详解】解： （1）平均数1(78 10 15 17192123)158x 方差2222222221(7 15)(8 15)(10 15)(15 15)(17 15)(19 15)(21 15)(23 15)8s=32.25 （2）由题意得，6场比赛中得分不超过平均数的有 4 场，可记为1234,a a a a 超过平均数的有 2场，可记为12,b b 记从 6 场比赛中抽出 2 场，抽到的 2 场都不超过平均数为事件
20、 A 从 6场比赛中抽出 2场，共有以下情形： 1213141 11 22222 243 13 24 14 2134132,a a a a a a ab ab a a a a a b a b a a a b a b a b a b bb， 共有 15个基本事件，事件 A 包含 6个基本事件 所以62( )155p A 17. 已知函数21( )xf xx. （1）判断( )f x奇偶性； （2）当(1,)x时，判断( )f x的单调性并证明； （3）在（2）的条件下，若实数m满足(3 )(52 )fmfm，求m的取值范围. 【答案】 （1）奇函数 （2）增函数，证明见解析 （3）(1,2) 【
21、解析】 【分析】 （1）求出函数的定义域，再判断 ,f xfx的关系，即可得出结论； （2）任取12(1,)xx ，且12xx，利用作差法比较12( ),()f xf x的大小即可得出结论； （3）根据函数的单调性列出不等式，即可得解，注意函数的定义域. 【小问 1 详解】 解：函数( )f x的定义域为(,0)(0,)， 因为22()11()( )xxfxf xxx ， 所以函数( )f x是奇函数； 小问 2 详解】 解：函数( )f x是(1,)上单调增函数， 证：任取12(1,)xx ，且12xx，则 2212121211( )()xxf xf xxx 2212212112x xxx
22、xxx x 12121212()()x xxxxxx x 121212()(1)xxx xx x， 因为211xx，所以120 xx，120 x x ，1210 x x ， 所以12( )0(f xf x，即12( )()f xf x， 所以函数( )f x是(1,)上的单调增函数； 【小问 3 详解】 解：由（2）知函数( )f x是(1,)上的单调增函数， 所以35 21mm ，解得12m， 所以m的取值范围为(1,2). 18. 有一种新型的洗衣液，去污速度特别快，已知每投放k个(14k，且kR)单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中， 它在水中释放的浓度y(克/升)随着时间x(分钟)变化的函
23、数关系式近似为 ykf x，其中 241,04817,4142xxf xxx .若多次投放， 则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验，当水中洗衣液浓度不低于4克/升时，它才能起到有效去污的作用. (1)若只投放一次k个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升，求k的值； (2)若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？ (3)若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第12分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由. 【答案】 （1）1k ； （2）12分钟； （3）见详解. 【解析】 【分析】
24、 （1）由只投放一次k个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升，根据已知可得， 3kf x ，代入可求出k的值； （2）由只投放一次4个单位的洗衣液，可得964,048282 ,414xyxxx，分04x、414x两种情况解不等式4y 即可求解； （3）令12x ，由题意求出此时y的值并与4比较大小即可. 【详解】（1） 因为 241,04817,4142xxf xxx ， 当两分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升时， 可得 3kf x ，即241382k，解得1k ； （2）因为4k ，所以 964,0448282 ,414xyf xxxx，当04x时，96448x， 将两式联立解之得04x； 当41 4x时，28 24x， 将两式联立解之得412x，综上可得012x， 所以若只投放一次4个单位的洗衣液， 则有效去污时间可达12分钟；（3） 当12x 时，由题意1242712115282y ， 因为54， 所以在第12分钟时洗衣液能起到有效去污的作用. 【点睛】本题主要考查分段函数模型的选择和应用，其中解答本题的关键是正确理解水中洗衣液浓度不低于4克/升时，它才能起到有效去污的作用，属中等难度题.
