1、1 昌平区昌平区 2020212120202222 学年第一学期高一年级期末质量抽测数学试卷学年第一学期高一年级期末质量抽测数学试卷 本试卷共 5 页，共 150 分。 考试时长 120 分钟。 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。 第一部分（选择题 共 50 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合 | 21Axx ， 1,0,1,2B ，则ABI （A） 1,0 （B） 1,0,1 （C）0,1 （D） 1,0,1,2 （2）已知命题p：x R，220 xx，则p为
2、（A）x R，220 xx （B）x R， 220 xx （C）x R，220 xx （D）x R， 220 xx （3）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)上单调递减的是 （A）2yx （B）2xy （C）3yx （D）ln|yx （4）函数31( )( )2xf xx的零点个数为 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （5）北京 2022 年冬奥会新增了女子单人雪车、短道速滑混合团体接力、跳台滑雪混合团体、男子自由式滑雪大跳台、女子自由式滑雪大跳台、自由式滑雪空中技巧混合团体和单板滑雪障碍追逐混合团体等 7个比赛小项. 现有甲、乙两名志愿者分别从 7 个比赛小项中各任选一项参加志愿服务
3、工作，且甲、乙两人的选择互不影响，那么甲、乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是 （A）249 （B）649 （C）17 （D） 27 （6）如图，四边形ABCD是平行四边形，则1122ACBD （A）AB （B）CD （C）CB （D）AD （7）农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从种植有甲、乙两种麦苗的两块试验田中各抽取 6 株麦苗测量株高，得到的样本数据如下（单位：cm） ： 甲：9 , 10 , 11 , 12 , 10 , 20； 2 乙：8 , 14 , 13 , 10 , 12 , 21. 根据所抽取的甲、乙两种麦苗的株高数据，给出下面四个结论
4、，其中正确的结论是 （A）甲种麦苗样本株高的平均值大于乙种麦苗样本株高的平均值 （B）甲种麦苗样本株高的极差小于乙种麦苗样本株高的极差 （C）甲种麦苗样本株高的75%分位数为10 （D）甲种麦苗样本株高的中位数大于乙种麦苗样本株高的中位数 （8）设0a 且1a，则“函数( )xf xa在R上是减函数”是“函数( )(4)g xa x在R 上是增函数”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （9）为了鼓励大家节约用水，北京市居民用水实行阶梯水价，其中每户的户年用水量与水价的关系如下表所示： 分档 户年用水量（立方米） 水价（元/立方米）
5、 第一阶梯 0-180（含） 5 第二阶梯 181-260（含） 7 第三阶梯 260 以上 9 假设居住在北京的某户家庭2021年的年用水量为3200m，则该户家庭2021年应缴纳的水费为 （A）1800元 （B）1400元 （C）1040元 （D）1000元 （10）已知函数2|( )1xf xx. 给出下面四个结论： ( )f x的定义域是(,) ； ( )f x是偶函数； ( )f x在区间(0,)上单调递增； ( )f x的图像与1( )4g x 的图像有 4 个不同的交点. 其中正确的结论是 （A） （B） （C） （D） 第二部分（非选择题 共 100 分） 二、填空题共二、填空
6、题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分。分。 （11）实数13327log 9的值为_. 3 （12）某校高中三个年级共有学生2000人，其中高一年级有学生750人，高二年级有学生650人为了了解学生参加整本书阅读活动的情况，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么在高三年级的学生中应抽取的人数为_. （13）已知12313(0.3) ,4 ,log 2abc，则, ,a b c的大小关系是_.（用“”连接） （14）某高中校为了减轻学生过重的课业负担，提高育人质量，在全校所有的 1000 名高中学生中随机抽取了 100 名学生，了解他们完成作业所需
7、要的时间（单位：h） ，将数据按照0.5,1)，1,1.5)，1.5,2)，2,2.5)，2.5,3)，3,3.5分成 6 组，并将所得的数据绘制成频率分布直方图（如图所示）. 由图中数据可知a ；估计全校高中学生中完成作业时间不少于3h的人数为 . （15）函数( )f x的定义域为D，给出下列两个条件： (1)0f； 任取12,x xD且12xx，都有1212()()0f xf xxx恒成立. 请写出一个同时满足条件的函数( )f x，则( )f x _. （16）若函数3,2( )(0log,2 axxf xax x且1)a. 若12a ，则( ( 1)f f _； 若( )f x有最小
8、值，则实数a的取值范围是_. 三、解答题共三、解答题共 5 小题，共小题，共 70 分分。解答解答应写出文字说明，应写出文字说明，演算步骤演算步骤或或证明过程证明过程。 （17） （本小题 13 分） 设向量( 1,2)= -a，(1, 1)=-b，4, 5)(=-c. （）求2+ab； 时间 / h频率组距0.60.50.40.3a3.532.521.510.504 （）若lm=+cab，,Rl m，求lm+的值； （）若ABuur=+ab，2BCuu u r=-ab，42CDuu u r=-ab，求证：,A C D三点共线. （18） （本小题 14 分） 已知函数2( )43f xmxm
9、x，mR. （）若1m ，求( )0f x 的解集； （）若方程( )0f x 有两个实数根12,xx，且22121 230 xxx x，求m的取值范围. （19）（本小题 14 分） 近年来，手机逐渐改变了人们的生活方式，已经成为了人们生活中的必需品，因此人们对手机性能的要求也越来越高. 为了了解市场上某品牌的甲、乙两种型号手机的性能，现从甲、乙两种型号手机中各随机抽取了 6 部手机进行性能测评，得到的评分数据如下（单位：分） ： 假设所有手机性能评分相互独立. （）在甲型号手机样本中，随机抽取 1 部手机，求该手机性能评分不低于 90 分的概率； （）在甲、乙两种型号手机样本中各抽取1 部
10、手机，求其中恰有 1 部手机性能评分不低于 90 分的概率； （）试判断甲型号手机样本评分数据的方差与乙型号手机样本评分数据的方差的大小.（只需写出结论） （20）（本小题 14 分） 已知函数22( )=log (4)f xx （）求( )f x的定义域； （）判断函数( )f x的奇偶性，并证明你的结论； （）若2( )log (5)f xmx对于(0,2)x恒成立，求实数m的最小值 甲型号手机 90 89 90 88 91 92 乙型号手机 88 91 89 93 85 94 5 （21） （本小题 15 分） 已知函数( )f x的定义域为D，如果存在0 xD，使得00()f xx，则
11、称0 x为( )f x的一阶不动点；如果存在0 xD，使得00( () f f xx，且00()f xx，则称0 x为( )f x的二阶周期点. （）分别判断函数2xy 与yx是否存在一阶不动点； （只需写出结论） （）求2( )1f xx x的一阶不动点； （）求e ,01,( )2,14.2xxf xxx的二阶周期点的个数. 昌平昌平区区 20212022 学年第一学期高一年级期末质量抽测学年第一学期高一年级期末质量抽测 数学试卷参考答案及评分标准数学试卷参考答案及评分标准 2022.1 一、选择题一、选择题 (共共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分分) 题号 1
12、 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A B C D B A C D 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） （11） 1 （12） 60 （13） bac （14）0.150 （15）lgyx （答案不唯一） （16）2 (1,2 三、解答题三、解答题(共共 5 小题，共小题，共 70 分分) 6 （17） （共 13 分） 解： （）因为2（1,0）+=ab， 所以21+=ab. 4 分 （）因为lm=+cab，,Rl m， 所以()()() ()4, 51,21, 1,2lmlm lm-=-+-= -+-. 所以4,5
13、2.lmlm= -+-=- 解得1,3.lm= -=. 所以= 2lm+. 8 分 （）因为2ACABBCuu u ruuruu u r=+=-ab， 所以()422 22CDACuu u ruuu r=-=-=abab. 所以ACuuu r与CDuu u r共线. 所以,A C D三点共线. 13 分 （18） （共 14 分） 解：（）当1m时，2430 xx， 解得31x. 所以( )0f x 的解集为 | 31xx. 5 分 （）由题意可得 216120.0, mmm 解得34m或0m . 又因为2430mxmx， 所以124xx ，1 23x xm. 因为22121 230 xxx
14、x， 所以2121 2(50)xxx x. 7 所以15160m. 所以0m 或1516m. 综上可知，m的取值范围是0m m |或1516m. 14 分 （19）（共 14 分） 解： （）记“抽取的甲型号手机性能评分不低于 90 分”为事件 A，甲型号手机样本共 有 6 部，其中手机性能评分不低于 90 分的手机有 4 部， 所以42( )63P A . 4 分 （）记“抽取的甲型号手机性能评分不低于 90 分”为事件 A， “抽取的乙型号手机性能评分不低于90 分”为事件 B，“甲、乙两种型号手机性能评分中恰有 1 个评分不低于 90 分”为事件 C，则 2( )3P A ,1( )1(
15、 )3P AP A ；1( )2P B ，1( )1( )2P BP B ； ( )()()()( ) ( )( ) ( )1121132322.UP CP ABABP ABP ABP A P BP A P B 11 分 （）甲型号手机样本评分数据的方差小于乙型号手机样本评分数据的方差. 14 分 （20）（共 14 分） 解：（）由240 x，解得22x . 所以( )f x的定义域为( 2,2). 4 分 （）结论：函数( )f x为偶函数. 证明如下： 函数( )f x的定义域为( 2,2). 因为22()log (4() ) fxx 22log (4) x ( )f x， 所以函数(
16、)f x为偶函数. 8 分 8 （）由题意，得222log (4)log (5)xmx. 因为2logyx在区间(0,)上是单调递增函数， 所以2045 xmx. 因为(0,2)x， 所以1()mxx. 因为1122xxxx，其中等号成立当且仅当1xx，即21x，解得1x 或1 x（舍）. 所以1()2xx. 由2( )log (5)f xmx对于(0,2)x恒成立，得2m. 所以实数m的最小值为2. 14 分 （21）（共 15 分） 解： （）2xy 不存在一阶不动点，yx存在一阶不动点. 3 分 （）由题意，令2( )1f xx xx， 整理得2(11)0 x x . 解得0 x或2x或
17、2 x. 所以函数( )f x的一阶不动点为,2 02. 7 分 （） （1）当01 x时，( )e(1,exf x，易知( )exf xx. 而1( ( )(e )2e2xxff xf， 若1( ( )2e2xff xx，则e240 xx， 令函数( )e24xg xx，易知( )g x在0,1(上单调递增， 且1( )302eg，(1)e 20g ， 所以存在点1(0,1x，使得1()0g x. 9 所以故函数( )g x在0,1(上存在唯一的零点. 所以( )f x在0,1(上存在唯一的二阶周期点. （2）当12x时，3( )21,22()xf x . 因为1( ( )(2)2(2)12
18、224xxxff xf ， 令( ( )f f xx，解得43x . 又因为( )22xf xx，则43x . 所以( )f x在区间(1,2)上不存在二阶周期点. （3）当24x时，( )2(0,12xf x，易知 fxx. 22( ( )(2)e2xxf f xf，令( ( )f f xx，整理得22e0 xx. 令函数22( )exh xx，易知22( )exh xx21e ()exx在2,4)上单调递减， 且(2)e 20h ，(3)e30h， 所以存在22,4)x，使得20h x. 所以( )h x在2,4)上存在唯一的零点. 所以( )f x在2,4)上存在唯一的二阶周期点. 综上可知，( )f x有 2 个二阶周期点. 15 分
