1、2022-2023 学年沪教新版九年级上册数学期中复习试卷学年沪教新版九年级上册数学期中复习试卷 一选择题（共一选择题（共 6 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1ABC 中，C90，若A2B，则 cosB 等于（ ） A B C D 2在 RtABC 中，C90，已知 a 边及A，则斜边长应为（ ） A B CacosA DasinA 3如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AD3，BC9，AB6，CD4，若 EFBC，且梯形 AEFD 与梯形 EBCF 的周长相等，则 EF 的长为（ ） A B C D 4已知 、 是两个非零向量，且 +2 ，下列结论： 2
2、； ；2； 与 同向，其中正确的有几个（ ） A1 B2 C3 D4 5如图，ABCD 是正方形，AF2BF，E 是 CD 的中点，P 是 AD 边上的一点，下列条件：（1）AFPDEP；（2）AFPEDEPF；（3）PF：PE4：3；（4）FPE60其中能推出APFDPE的有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 6 已知点 G 是ABC 的重心， 如果联结 AG， 并延长 AG 交边 BC 于点 D， 那么下列说法中错误的是 （ ） ABDCD BAGGD CAG2GD DBC2BD 二填空题（共二填空题（共 12 小题，满分小题，满分 48 分，每小题分，每小题 4 分）分） 7
3、若，则的值为 82sin45+tan60 9已知不重合的两点 C、D 均是线段 AB 的黄金分割点，若 AB10，则 CD 10蜡烛长 30 厘米，点燃后每小时燃烧 5 厘米，燃烧时剩下的高度 y 厘米与燃烧时间 x 小时（0 x6）的关系式可以表示为 11在 RtABC 中，C90，若斜边 AB 是直角边 BC 的 3 倍，则 tanB 的值是 12如图，AD 是中线，点 E 在 AC 上，BE 交 AD 于点 F若，则值是 13如果在平行四边形 ABCD 中，如果 ， ，那么向量为 （用 和 表示） 14在 RtABC 中，C90，点 G 是ABC 的重心，CG2，sinACG，则 BC
4、的长是 15在ABC 中，ACB90，CDAB，垂足为 D若 16如图，在ABC 中，AB1，CDAB 于点 D，E 是线段 CD 上的动点，点 F 在直线 AB 的下方，ACBFEB90， AEFB30， 设CEx， BDF的面积为y， 则y关于x的函数关系式为 17如图，点 D 在钝角ABC 的边 BC 上连接 AD，B45，CADCDA，CA：CB5：7，则CAD 的余弦值为 18如图，在ABC 中，DEBC，AD3，DB6，则ADE 与ABC 的面积之比为 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 78 分）分） 19（10 分）在 RtABC 中，B90，AC：AB3：1求
5、A 的正弦、余弦和正切值 20（10 分）如图，E 是平行四边形 ABCD 的边 BA 延长线上的一点，CE 交 AD 于点 F，交 BD 于点 G，AE：AB1：3，设 ， （1）用向量 、 分别表示下列向量： ， ， （2）在图中求作向量分别在 、 方向上的分向量（不写作法，但要写出作图结论） 21（10 分）如图，已知 ADBECF，如果 AB3，AC7，EF6 （1）求 DE 的长 （2）如果 AC 与 DF 相交于点 O，OF1，求 22 （10 分）如图，已知在四边形 ABCD 中，ACAB，BDCD，AC 与 BD 相交于点 E，SAED9，SBEC25 （1）求证：DACCBD
6、； （2）求 cosAEB 的值 23（12 分）如图，在ABC 中，点 D 为 BC 边上一点，连接 AD，点 H 为 AD 中点，延长 BH 交 AC 边于点 E，求证： 24（12 分）（1）请阅读材料并填空： 问题：如图 1，在等边三角形 ABC 内有一点 P，且 PA2，PB，PC1求BPC 的度数和等边三角形 ABC 的边长 李明同学的思路是：将BPC 绕点 B 顺时针旋转 60，画出旋转后的图形（如图 2）连接 PP 根据李明同学的思路，进一步思考后可求得BPC ，等边ABC 的边长为 （2） 请你参考李明同学的思路， 探究并解决下列问题： 如图 3， 在正方形 ABCD 内有一
7、点 P， 且 PA，BP，PC1求BPC 的度数和正方形 ABCD 的边长 25（14 分）如图 1，在等边ABC 中，AB6cm，动点 P 从点 A 出发以 1cm/s 的速度沿 AB 匀速运动，动点 Q 同时从点 C 出发以同样的速度沿 BC 的延长线方向匀速运动，当点 P 到达点 B 时，点 P、Q 同时停止运动设运动时间为 t（s），过点 P 作 PEAC 于 E，PQ 交 AC 边于 D，线段 BC 的中点为 M，连接PM （1）当 t 为何值时，CDQ 与MPQ 相似； （2）在点 P、Q 运动过程中，点 D、E 也随之运动，线段 DE 的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由
8、，若不发生变化，求 DE 的长； （3）如图 2，将BPM 沿直线 PM 翻折，得BPM，连接 AB，当 t 为何值时，AB的值最小？并求出最小值 参考答案解析参考答案解析 一选择题（共一选择题（共 6 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1解：C90， A+B90， A2B， B30， cosBcos30， 故选：C 2解：在直角三角形中， 已知 a 和A 的值， 故根据锐角三角函数定义可知， sinA， c 故选：A 3解：由已知 AD+AE+EF+FDEF+EB+BC+CF， AD+AE+FDEB+BC+CF EFBC， EFAD， 设， AD+AE+FD3+
9、 ， 解得：k4， 作 AHCD，AH 交 BC 于 H，交 EF 于 G， 则 GFHCAD3，BHBCCH936， ， ， 故选：C 4解： 、 是两个非零向量，且 +2 ， 2 ； ；2， 与 方向相反， 故正确，错误， 故选：C 5解：四边形 ABCD 是正方形， AD，ABADCD， AF2BF， 可以假设 BFm，AF2m，则 ABADCD3m， E 是 CD 的中点， DEEC1.5m， 当AFPDEP 时，AD90， APFDPE， 当 AFPEDEPF 时， ， 设k， 则 AFkDE，PFkPE，可得 APAF，DPDE， ， AD90， APFDPE， 当 PF：PE4：
10、3，AF：DE4：3， ， APFDPE， 当FPE60时，无法判断APFDPE， 故选：B 6解：如图， 点 G 是ABC 的重心， AD 为 BC 边上的中线， BDCD，BC2BD，所以 A、D 选项的说法正确； 点 G 是ABC 的重心， AG2GD，所以 B 选项的说法错误，C 选项的说法正确 故选：B 二填空题（共二填空题（共 12 小题，满分小题，满分 48 分，每小题分，每小题 4 分）分） 7解：设 a2k，b3k，（k0）， 则 故答案为： 8解：原式2+ + 故答案为： + 9解：点 C、D 是线段 AB 的黄金分割点，AB10， ACAB55，BDAB55， ADABB
11、D155， CDACAD55（155）1020 故答案为：1020 10解：根据题意，得 y305x（0 x6） 故答案为：y305x（0 x6） 11解：在 RtABC 中，C90，若斜边 AB 是直角边 BC 的 3 倍， 不妨设 BCk，则 AB3k，由勾股定理得， AC2k， 所以 tanB， 故答案为：2 12解：过 D 点作 DHBE 交 AC 于 H，如图， AD 为中线， BDCD， DHBE， 1， CHEH， EFDH， ， AH2AE， AEEHCH， 故答案为 13解：如图，+ 故答案是： 14解：如图，延长 CG 交 AB 于 D，则点 D 为 AB 的中点，作 DE
12、BC 于 E， 点 G 是ABC 的重心，CG2， GDCG1，CDCG+GD3， 在 RtABC 中，C90，点 D 为 AB 的中点， DCDB， 又DEBC， CEBEBC， ACG+DCEDCE+CDE90， ACGCDE， sinACGsinCDE， CE2， BC4 故答案为：4 15解：ACB90，CDAB， CDACDB90， A+ACDACD+BCD90， ABCD， ACDCBD， （）2（）2， 故答案为： 16解：如图，作 FGAB 于点 G，延长 FG 到 N，作 ENFN，EMBM 于点 M， CDAB，得矩形 DBME，矩形 DENG， FEB90，FNE90，
13、FEN+BEM90，FEN+NFE90， BEMNFE， EMBFNE90， EMBFNE， ， AB1，A30，ACB90， BCAB， CDB90，ABC60， BCD30， BDBC， CDBD， CEx， BMDECDCEx， EFB30， ， ， 即 FNEMBD， GFFNGNFNBM（x）x， SBDFBDFGxx yx 故答案为：yx 17解：如图作 AHBC 于 H，设 ACCD5k，BC7k， B45，AHB90， AHBH，设 AHBHx， 在 RtACH 中， AH2+HC2AC2， x2+（7kx）2（5k）2， 解得 x3k 或 4k（舍弃与钝角三角形矛盾）， 当
14、x3k 时， BHAH3k，DHk， ADk， cosCADcosADH 故答案为 18解：AD3，DB6，ABAD+DB9， DEBC， ADEABC， ADE 与ABC 的面积之比（）2； 故答案为： 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 78 分）分） 19解：设 AC3k，ABk 在 RtABC 中，B90， BC2k sinA， cosA， tanA2 答：A 的正弦、余弦和正切值分别为、2 20解：（1） ，AEBA， ， +，EB， ， ， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， CDEB， BEGDCG， EG：CGEB：CD4：3， EG：EC4：7， ，
15、 故答案分别为： ， ， ； （2）点 G 作 GMAB 交 BC 于 M，NNBC 交 AB 于 N，则向量、是向量分别在 、 方向上的分向量 21解：（1）ADBECF， ，即， DE； （2）OF1， OE615， OD5+， ADCF， 22（1）证明：ACAB，BDCD， BACBDC90， 又AEBDEC， ABEDCE， ，即， 又AEDBEC， AEDBEC， DACCBD； （2）解：AEDBEC，SAED9，SBEC25， ， 在 RtABE 中，cosAEB 23证明：过 D 点作 DFBE 交 AC 于 F，如图， DFBE， ， HEDF， ， 点 H 为 AD 中点
16、， AHHD， AEEF， 24（1）解：等边ABC， ABC60， 将BPC 绕点 B 逆时针旋转 60得出ABP， APCP1，BPBP，PBCPBA，APBBPC， PBC+ABPABC60， ABP+ABPABC60， BPP是等边三角形， PP，BPP60， AP1，AP2， AP2+PP2AP2， APP90， BPCAPB90+60150， 过点 B 作 BMAP，交 AP的延长线于点 M， MPB30，BM， 由勾股定理得：PM， AM1+， 由勾股定理得：AB， 过答案为：150， （2）解：将BPC 绕点 B 逆时针旋转 90得到AEB， 与（1）类似：可得：AEPC1，B
17、EBP，BPCAEB，ABEPBC， EBPEBA+ABPABC90， BEP（18090）45， 由勾股定理得：EP2， AE1，AP，EP2， AE2+PE2AP2， AEP90， BPCAEB90+45135， 过点 B 作 BFAE，交 AE 的延长线于点 F； FEB45， FEBF1， AF2； 在 RtABF 中，由勾股定理，得 AB； BPC135，正方形边长为 答：BPC 的度数是 135，正方形 ABCD 的边长是 25解：（1）ABC 是等边三角形， BC60， DBQ120， BQPCQD，PMQ90， 只有当PMQDCQ120时，PMQDCQ， 则 PMDC， M 是
18、 BC 的中点， P 是 AB 的中点， 即 AP3t， t3 时，PMQDCQ； （2）不变化理由如下： 如图 1 中，作 PKBC 交 AC 于 K ABC 是等边三角形， BA60， PKBC， APKB60， APK 是等边三角形， PAPK， PEAK， AEEK， APCQPK，PKDDCQ，PDKQDC， PKDQCD（AAS）， DKDC， DEEK+DK（AK+CK）AC3cm； （3）如图 2 中，连接 AM， 则 ABAMMB， 而 MBMB， 当 A，B，M 在一条直线上时，AB最小， 即：点 B在 AM 上，（如图 3） BMCM3，ABAC6， AMBC， BAMBAC30， BMBM3， AB的最小值为 AMBM， 由折叠知，BPBP，PBMB60， APBPBMBAC30BAM， ABBP6t33， t93， 即：t 为 93时，AB的值最小，最小值为 33
