1、江苏省连云港市灌南县江苏省连云港市灌南县九年级上第一次月考数学试卷九年级上第一次月考数学试卷 一、选择题一、选择题 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A x23=（x2）（x+3） B. （x+3）（x3）=6 C. 1xx=4 D. xy+2x=1 2. 一元二次方程 x2-4x+4=0 的根的情况是( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 无实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 3. 若O 的半径为 4cm，点 A 到圆心 O的距离为 3cm，那么点 A 与O的位置关系（ ） A. 点 A 在圆内 B. 点 A 在圆上 C. 点 A 在圆外 D. 不能确定 4. 若=
2、1x是方程20 xmxn的一个根，则2m n 等于（ ） A. 7 B. 6 C. 1 D. 3 5. 在 ABC 中，ABAC，6BC ，已知 O 是 ABC 的外接圆，且 O 的半径为 5，则 AB 的长为（ ） A. 10 B. 3 10 C. 10或3 10 D. 10或 2 10 6. 点 P是O内一点，过点 P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则 OP的长为（ ） A 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 7. 往水平放置的半径为13cm的圆柱形容器内装入一些水以后， 截面图如图所示， 若水面宽度24cmAB ，则水的最大深度为（ ） A. 5cm B. 8c
3、m C. 10cm D. 12cm 8. 如图，O的直径 AB 垂直弦 CD 于点 P，且 P 为半径 OB的中点，若 CD6，则直径 AB的长为（ ） A. 23 B. 6 C. 43 D. 63 9. 设2225137MaaNa，其中 a为实数，则 M 与 N的大小关系是（ ） A. MN B. MN C. MN D. 不能确定 10. 定义：如果一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）满足 a+b+c=0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）满足 ab+c=0 那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程2x2+mx+n=0 既是“
4、和谐”方程又是“美好”方程，则 mn 值为（ ） A. 2 B. 0 C. 2 D. 3 二、填空题二、填空题 11. 若(x1)2=4，则 x=_ 12. 已知三角形两边的长分别是2和5， 第三边的长是方程27100 xx的根， 则这个三角形的周长是_ 13. 方程(2)310mmxmx 是关于x的一元二次方程，则m_ 14. 已知： （x2+y2） （x2+y21）20，那么 x2+y2_ 15. 直角三角形的两直角边长分别为 8和 6，则此三角形的外接圆半径是_ 16. 某公司成立 3年以来，积极向国家上缴利税，由第一年的 200万元增长到 800万元，则平均每年增长的百分数是_ 17.
5、 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，ACB 外接圆的圆心坐标为_ 18. 如图，MN是O的直径，6MN ，点 A 在O上，20ANM，B为弧AM的中点，P是直径MN上一动点，则PAPB的最小值为_ 三解答题三解答题 19. 用适当的方法解下列方程： （1）9x2100=0； （2）x（x1）=2（x1）； （3）（x+2）（x+3）=20； （4）3x24x1=0 20. 已知关于 x 的一元二次方程2()2()0 xmxm(m 为常数) （1）求证：不论 m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程一个根为 3，求 m的值 21. 如图，半圆 O直径 AB=8，半径 OCAB，
6、D 为弧 AC 上一点，DEOC，DFOA，垂足分别为 E、F，求 EF的长 22. 如图,“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的问题：“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何.”用几何语言可表述为：CD为圆 O的直径,弦 ABCD于E,CE=1 寸,AB=10 寸,求直径 CD 的长. 23. 已知O直径为 10，点 A，点 B，点 C 在O上，CAB 的平分线交O于点 D （）如图，若 BC 为O 的直径，AB6，求 AC，BD，CD 的长； （）如图，若CAB60，求 BD的长 24. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题 求代数式 y2+4y
7、+8 的最小值 解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4（y+2）20， （y+2）2+44 y2+4y+8 的最小值是 4 （1）求代数式 m2+m+1最小值； （2）求代数式 4x2+2x的最大值 25. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克 50元，连续两次降价后每千克 32 元，若每每次下降的百分率相同 (1)求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利 10 元，每天可售出 500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克，现该商场要保证每天盈利 6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价
8、多少元？ 26. （1） 【学习心得】 小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易 例如：如图 1，在ABC中，AB=AC，BAC=90 ，D是ABC外一点，且 AD=AC，求BDC的度数，若以点 A 为圆心， AB 为半径作辅助圆A， 则点 C、D 必在A 上， BAC是A的圆心角， 而BDC 是圆周角，从而可容易得到BDC= （2） 【问题解决】 如图 2，在四边形 ABCD中，BAD=BCD=90 ，BDC=25 ，求BAC的度数 小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：ABD的外接圆就是以
9、 BD的中点为圆心，12BD 长为半径的圆；ACD的外接圆也是以 BD 的中点为圆心，12BD长为半径的圆这样A、B、C、D四点在同一个圆上， 进而可以利用圆周角的性质求出BAC的度数， 请运用小刚的思路解决这个问题 （3） 【问题拓展】 如图 3，在ABC中，BAC=45 ，AD是 BC 边上的高，且 BD=4，CD=2，求 AD 的长 江苏省连云港市灌南县江苏省连云港市灌南县九年级上第一次月考数学试卷九年级上第一次月考数学试卷 一、选择题一、选择题 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. x23=（x2） （x+3） B. （x+3） （x3）=6 C. 1xx=4 D. xy+
10、2x=1 【答案】B 【解析】 根据一元二次方程的定义判断各个选项即可. 【详解】A.方程可变形为：x3=0，是一元一次方程，故不是一元二次方程； B.方程可变形为：x215=0，是一元二次方程； C.不整式方程，故不是一元二次方程； D.有两个未知数，故不是一元二次方程. 故选 B. 【点睛】本题考点：一元二次方程的定义. 2. 一元二次方程 x2-4x+4=0 的根的情况是( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 无实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 把 a=1，b=-4，c=4代入判别式=b2-4ac 进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况 【详解
11、】解：一元二次方程 x2-4x+4=0， =（-4）2-4 1 4=0， 方程有两个相等的实数根 故选 C 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1）0，方程有两个不相等的实数根； （2）=0，方程有两个相等的实数根； （3）0，方程没有实数根 3. 若O 的半径为 4cm，点 A 到圆心 O的距离为 3cm，那么点 A 与O的位置关系（ ） A. 点 A 在圆内 B. 点 A 在圆上 C. 点 A 在圆外 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来判断，设点与圆心的距离 d，则 dr 时，点在圆外；当
12、 d=r时，点在圆上；当 dr时，点在圆内 【详解】解：点 A到圆心 O 的距离为 3cm，小于O 的半径 4cm， 点 A在O内 故选：A 【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断，关键要记住若半径为 r，点到圆心的距离为 d，则有：当dr时，点在圆外；当 d=r 时，点在圆上；当 dr时，点在圆内 4. 若=1x是方程20 xmxn的一个根，则2m n 等于（ ） A. 7 B. 6 C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 将=1x代入20 xmxn即可求解 【详解】解：=1x是方程20 xmxn的一个根， 10mn， 1mn ， 2m n 1 23 故选 D 【点睛】本题考查了一元二
13、次方程解的定义，代数式求值，得到1mn 是解题的关键 5. 在 ABC 中，ABAC，6BC ，已知 O 是 ABC 的外接圆，且 O 的半径为 5，则 AB 的长为（ ） A. 10 B. 3 10 C. 10或3 10 D. 10或 2 10 【答案】C 【解析】 根据题意，画出图形，连接 OB，根据垂径定理，构建直角三角形进行求解 【详解】 解：如图 1：当BAC 为锐角时，过点 A作 ADBC于点 D，连接 OB， ADBC，BC=6， BD=12BC=3， O半径为 5， OB=OA=5， 2222534ODOBBD， AD=OA+OD=4+5=9， 2222393 10ABBDDD
14、， 如图 2：当BAC 为钝角时，过点 A作 ADBC于点 D，连接 OB， ADBC，BC=6， BD=12BC=3， O半径为 5， OB=OA=5， 2222534ODOBBD， AD=OA-OD=5-4=1， 22223110ABBDDD， 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆，垂径定理以及勾股定理，熟练掌握相关内容，根据题意构建直角三角形是解题的关键 6. 点 P是O内一点，过点 P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则 OP的长为（ ） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 【答案】B 【解析】 根据直径是圆中最长弦，知该圆的直径是 10cm；最
15、短弦即是过点 P且垂直于过点 P的直径的弦；根据垂径定理即可求得 CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得 OP的长 【详解】解：如图所示，CDAB 于点 P 根据题意，得 AB=10cm，CD=6cm OC=5，CP=3 CDAB， CP=12CD=3cm 根据勾股定理，得 OP=22OCCP=4cm 故选 B 【点睛】此题综合运用了垂径定理和勾股定理正确理解圆中，过一点的最长的弦和最短的弦 7. 往水平放置的半径为13cm的圆柱形容器内装入一些水以后， 截面图如图所示， 若水面宽度24cmAB ，则水的最大深度为（ ） A. 5cm B. 8cm C. 10cm D. 12cm 【答案】B
16、 【解析】 连接 OA，过点 O作 ODAB 交 AB 于点 C 交O于 D，再根据勾股定理求出 AC的长，进而可得出 CD的长 【详解】解：连接 OA，过点 O 作 ODAB交 AB于点 C 交O 于 D， OCAB，由垂径定理可知， AC=CB=12AB=12， 在 RtAOC中，由勾股定理可知： 222213125OCOAAC=-=-=， 13 58CDOD OCcm ， 故选：B 【点睛】 本题考查了垂径定理及勾股定理的应用， 属于基础题， 关键是过 O点作 AB 的垂线， 由此即可求解 8. 如图，O的直径 AB 垂直弦 CD 于点 P，且 P 为半径 OB的中点，若 CD6，则直径
17、 AB的长为（ ） A. 23 B. 6 C. 43 D. 63 【答案】C 【解析】 根据垂径定理可知 AB 垂直平分 CD，连接 OC，根据勾股定理即可求出半径 OC，最后求出直径即可 【详解】解：如图，连接 OC， AB 为O的直径，ABCD， 116322CPCD， 设O的半径为 r， 点 P为 OB中点， 12OPr， 在Rt OPC种，由勾股定理可得：222OPPCOC， 即：222( )32rr，解得：r=2 3或：r=2 3（舍） ， 直径为4 3 故选C 【点睛】 本题主要考查了垂径定理和勾股定理， 熟练掌握“垂直于弦的直径平分弦”并构建直角三角形求解是解题的关键 9. 设2
18、225137MaaNa，其中 a为实数，则 M 与 N的大小关系是（ ） A. MN B. MN C. MN D. 不能确定 【答案】D 【解析】 计算NM，配方后得到255724a，由于无法确定a的大小，则不能得出NM的符号，据此即可求解 【详解】解：2225137MaaNa， 2237251MaNaa 2237251aaa 258aa 2557=24a a的值无法确定， 无法判断NM符号， 故选 D 【点睛】本题考查了配方法的应用，作出比较大小是解题的关键 10. 定义：如果一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）满足 a+b+c=0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程
19、ax2+bx+c=0（a0）满足 ab+c=0 那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程2x2+mx+n=0 既是“和谐”方程又是“美好”方程，则 mn 值为（ ） A. 2 B. 0 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 根据一元二次方程的定义，可判定“和谐”方程的一个根为 1，“美好”方程的一个根为-1，则 2+m+n=0，2-m+n=0，然后求出 m、n的值后计算 mn 的值 【详解】解：根据题意得“和谐”方程的一个根为 1，“美好”方程的一个根为-1， 所以一元二次方程 2x2+mx+n=0的根为 1 和-1， 所以 2+m+n=0，2-m+n=0，解得 m=0，n=
20、-2， 所以 mn=0 故选 B 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解 二、填空题二、填空题 11. 若(x1)2=4，则 x=_ 【答案】3 或-1 【解析】 【详解】根据题意，12x 或12x ， 解得3x 或1x 故答案为：3或1 12. 已知三角形两边的长分别是2和5， 第三边的长是方程27100 xx的根， 则这个三角形的周长是_ 【答案】12 【解析】 求出方程的解，根据三角形三边关系定理判断是否能组成三角形，再求出即可 【详解】27100 xx， 因式分解得520 xx， 50 x 或20 x， 解得：1252xx， 三角
21、形的三边为 2，5，5，符合三角形三边关系定理，即三角形的周长是 2+5+5=12； 三角形的三边为 2，5，2， 2+2=45， 不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形 故答案为：12 【点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形三边关系定理的应用，关键是能利用因式分解法解一元二次方程求出三角形第三边的长 13. 方程(2)310mmxmx 是关于x的一元二次方程，则m_ 【答案】2 【解析】 根据一元二次方程的定义， 一元二次方程必须满足两个条件： 未知数的最高次数是 2； 二次项系数不为 0 由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可 【详解】解：由题意，得 |m|=2，且 m-20，解
22、得 m=-2， 故答案为：-2 【点睛】本题考查一元二次方程的概念只有一个未知数且未知数最高次数为 2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是 ax2+bx+c=0（且 a0） 特别要注意 a0 的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点 14. 已知： （x2+y2） （x2+y21）20，那么 x2+y2_ 【答案】5 【解析】 应用换元法，得到一元二次方程，解方程问题可解 【详解】解：设 tx2+y2（t0） ，则 t（t1）20 整理，得（t5） （t+4）0 解得 t5或 t4（舍去） 所以 x2+y25 故答案是：5 【点睛】本题考查了换元法和解一元二次方程知识，解答关键是根据题意选择合
23、适未知量使用换元法法解题 15. 直角三角形的两直角边长分别为 8和 6，则此三角形的外接圆半径是_ 【答案】5 【解析】 根据勾股定理可得斜边是 10，再根据其外接圆的半径是斜边的一半，即可得出其外接圆的半径 【详解】直角边长分别为 6和 8， 斜边=2268=10， 这个直角三角形的外接圆的半径为 102=5 故答案为：5 【点睛】本题考查了三角形的外接圆，知道直角三角形外接圆的直径是斜边的长是解题关键 16. 某公司成立 3年以来，积极向国家上缴利税，由第一年的 200万元增长到 800万元，则平均每年增长的百分数是_ 【答案】100% 【解析】 设平均每年增长的百分数是 x，根据题意找
24、出等量关系列出方程求解即可 【详解】解：设平均每年增长的百分数是 x， 2200(1)800 x， 2(1)4x， 1+x=2或 1+x=-2， x=1=100%或 x=-3（舍） 平均每年增长的百分数是 100% 【点睛】本题主要考查了用一元二次方程解决增长率问题，熟练掌握增长率公式是解题的关键 17. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，ACB 外接圆的圆心坐标为_ 【答案】 （5，2） 【解析】 画出三角形两边的垂直平分线的交点即可确定三角形的外心 【详解】解：如图：画出 BC 和 AB 的垂直平分线，相交于点 Q，点 Q即为所求 由图可知Q（5，2） 故答案为： （5，2） 【点睛】
25、本题主要考查了三角形的外接圆与外心 利用三角形两边的垂直平分线的交点确定ABC外接圆的圆心是解题的关键 18. 如图，MN是O的直径，6MN ，点 A 在O上，20ANM，B为弧AM的中点，P是直径MN上一动点，则PAPB的最小值为_ 【答案】3 【解析】 首先利用在直线 L上的同侧有两个点 A、B，在直线 L上有到 A、B 的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线 L 的对称点，对称点与另一点的连线与直线 L的交点就是所要找的点 P 的位置，然后根据弧所对的圆心角的度数发现一个等腰直角三角形计算 【详解】解：作点 B关于 MN的对称点 C，连接 AC交 MN 于点
26、 P，则 P 点就是所求作的点，此时 PA+PB最小，且等于 AC 的长 连接 OA，OC， BMCM， BOM=COM， B为弧 AM 的中点， BMAB， AOB=BOM=12AOM， ANM=20 ， AOM=40 ， AOC=3AOB=60 ， OA=OC=AC， MN=6， OA=12MN=3， AC=3 故答案为：3 【点睛】此题主要考查了轴对称-最短路线问题，垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质等，确定点 P的位置是本题的关键 三解答题三解答题 19. 用适当的方法解下列方程： （1）9x2100=0； （2）x（x1）=2（x1） ； （3） （x+2） （x+3）=20；
27、（4）3x24x1=0 【答案】 （1）x=103 ； （2）x1=1，x2=2； （3）x1=7，x2=2； （4）x1=2- 73，x2=2+ 73 【解析】 （1）利用直接开平方解答； （2）利用提取公因式法解答； （3）利用因式分解法解答； （4）利用公式法解答. 【详解】 （1）9x2100=0， 9x2=100， x2=1009， 解得：x=103； （2）x（x1）=2（x1） ， x（x1）2（x1）=0， （x1） （x2）=0， 解得：x1=1，x2=2； （3）（x+2） （x+3）=20， x2+5x14=0， （x2） （x+7）=0， 解得：x1=7，x2=2； （
28、4）3x24x1=0， b24ac=（4）24 3 （1）=28， x=428272 33， 解得：x1=2- 73，x2=2+ 73 【点睛】 本题考查用直接开平方法，因式分解法和公式法解一元二次方程， 熟练掌握每个方法是解此题关键. 20. 已知关于 x 的一元二次方程2()2()0 xmxm(m 为常数) （1）求证：不论 m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程一个根为 3，求 m的值 【答案】 （1）见解析； （2）m 的值为 3或 1 【解析】 （1）先求出的值，再根据根的情况与判别式的关系即可得出答案； （2）将方程的已知根代入方程，得到关于 m的方程，求解即可
29、【详解】解： （1）原方程可化为222220 xmxmm 因为 a1，22bm ，22cmm， 所以2224224240bacmmm 所以不论 m为何值，该方程总有两个不相等的实数根 （2）因为一个根为 3，将 x3 代入220 xmxm，得 232 30mm 解这个方程，得13m ，21m 所以 m的值为 3 或 1 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1）0方程有两个不相等的实数根； （2）=0方程有两个相等的实数根； （3）0方程没有实数根 21. 如图，半圆 O 的直径 AB=8，半径 OCAB，D 为弧 AC 上一点，DEOC，DFOA，
30、垂足分别为 E、F，求EF 的长 【答案】4 【解析】 连接 OD，利用三个角是直角的四边形是矩形判定四边形 DEOF是矩形，利用矩形的对角线相等即可得到所求结论 【详解】连接 OD OCAB DEOC，DFOA， AOC=DEO=DFO=90 ， 四边形 DEOF是矩形， EF=OD OD=OA EF=OA=4 【点睛】本题考查了圆的认识及矩形的判定与性质，解题的关键是利用矩形的判定方法判定四边形 DFOE为矩形 22. 如图,“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的问题：“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何.”用几何语言可表述为：CD为圆 O的直径,
31、弦 ABCD于E,CE=1 寸,AB=10 寸,求直径 CD 的长. 【答案】26 【解析】 根据垂径定理和勾股定理求解 【详解】解： 设直径 CD的长为 2x，则半径 OC=x， CD为O的直径，弦 ABCD于 E，AB=10 寸， AE=BE=12AB=12 10=5 寸， 连接 OA，则 OA=x 寸，根据勾股定理得 x2=52+（x-1）2， 解得 x=13， CD=2x=2 13=26（寸） 故答案为 26 【点睛】此题是一道古代问题，其实质是考查垂径定理和勾股定理 23. 已知O的直径为 10，点 A，点 B，点 C在O上，CAB 的平分线交O 于点 D （）如图，若 BC 为O
32、的直径，AB6，求 AC，BD，CD 的长； （）如图，若CAB60，求 BD的长 【答案】 （）求 AC8，BDCD52； （）BD5 【解析】 （）利用圆周角定理可以判定CAB和DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得 AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到 BDCD52 ； （）如图，连接 OB，OD由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知OBD是等边三角形，则 BDOBOD5 【详解】解： （）如图，BC 是O 的直径， CABBDC90 在直角CAB 中，BC10，AB6， 由勾股定理得到：AC22221068BCAB AD
33、平分CAB， CDBD ， CDBD 在直角BDC中，BC10，CD2+BD2BC2， 易求 BDCD52； （）如图，连接 OB，OD AD平分CAB，且CAB60， DAB12 CAB30， DOB2DAB60 又OBOD， OBD是等边三角形， BDOBOD O的直径为 10，则 OB5， BD5 【点睛】本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质此题利用了圆的定义、有一内角为 60度的等腰三角形为等边三角形证得OBD是等边三角形 24. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题 求代数式 y2+4y+8 的最小值 解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2
34、+4（y+2）20， （y+2）2+44 y2+4y+8 的最小值是 4 （1）求代数式 m2+m+1的最小值； （2）求代数式 4x2+2x的最大值 【答案】 （1）34； （2）5 【解析】 （1）根据题中的解法即可得到答案； （2）同理（1）. 【详解】 （1）m2+m+1=m2+m+14+34=（m+12）2+3434， 则 m2+m+1 的最小值是34； （2）4x2+2x=x2+2x1+5=（x1）2+55， 则 4x2+2x的最大值是 5 【点睛】本题主要考查了配方法与偶次方的非负性，解此题的关键在于利用配方法得到完全平方式，再利用非负数的性质即可得解. 25. 某水果商场经销一
35、种高档水果，原价每千克 50元，连续两次降价后每千克 32 元，若每每次下降的百分率相同 (1)求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利 10 元，每天可售出 500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克，现该商场要保证每天盈利 6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】 （1）每次下降的百分率为 20%； （2）该商场要保证每天盈利 6000 元，那么每千克应涨价 5元 【解析】 (1)设每次降价的百分率为 a，(1a)2为两次降价的百分率，50 降至 32 就是方程的平衡条件，列出方程求
36、解即可； (2)根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值 【详解】解：(1)设每次下降的百分率为 a，根据题意，得： 50(1a)232， 解得：a1.8(舍)或 a0.2， 答：每次下降的百分率为 20%； (2)设每千克应涨价 x元，由题意，得 (10+x)(50020 x)6000， 整理，得 x215x+500， 解得：x15，x210， 因为要尽快减少库存，所以 x5 符合题意 答：该商场要保证每天盈利 6000元，那么每千克应涨价 5 元 【点睛】本题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找准等量关系列出方程是解答本题的关键 26. （1） 【学习心得】 小
37、刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易 例如：如图 1，在ABC中，AB=AC，BAC=90 ，D是ABC外一点，且 AD=AC，求BDC的度数，若以点 A 为圆心， AB为半径作辅助圆A， 则点 C、 D 必在A 上， BAC 是A 的圆心角， 而BDC 是圆周角，从而可容易得到BDC= （2） 【问题解决】 如图 2，在四边形 ABCD中，BAD=BCD=90 ，BDC=25 ，求BAC的度数 小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：ABD的外接圆就是以 BD的中点为圆心，12BD 长为半径
38、的圆； ACD的外接圆也是以 BD的中点为圆心，12BD长为半径的圆 这样 A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题 （3） 【问题拓展】 如图 3，在ABC中，BAC=45 ，AD是 BC 边上的高，且 BD=4，CD=2，求 AD 的长 【答案】 （1）45； （2）BAC=25 ， （3）AD=17+3 【解析】 （1） 如图 1， 由已知易得点 B， C， D在以点 A 为圆心， AD 为半径的圆上， 则由“圆周角定理”可得BDC=12BAC=23 ； （2）如图 2，由已知易得 A、B、C、D在以 BD的中点 O 为圆心，
39、OB为半径的圆上，由此可由“圆周角定理”可得BAC=BDC=28 ； （3）如图 3，由已知易得点 A、C、D、F在以 AC为直径的同一个圆上，由此可得EFC=DAC；同理可得：DFC=CBE；由已知易得DAC=EBC，这样即可得到EFC=DFC. 【详解】 （1）如图 1，AB=AC=AD， 点 B、C、D在以 A 为圆心，AB为半径的圆上， BDC=12BAC=23 ； (2)证明：取 BD 中点 O，连接 AO、CO， 在 RtBAO中，BAD=90 ， AO=12BD=BO=DO， 同理：CO=12BD， AO=DO=CO=BO， 点 A、B、C、D在以 O为圆心、OB 为半径的同一个圆上， BAC=BDC=28 (3)CFAB，ADBC， AFC=ADC=90 ， 点 A、C、D、F 在以 AC为直径的同一个圆上， EFC=DAC， 同理可得：DFC=CBE， 在ADC中，DAC+ACD=90 ，在BEC 中，EBC+ACD=90 ， DAC=EBC， EFC=DFC.
