1、 两数和（差）的平方 第12章 整式的乘除 教学目标 1、知识与能力 （1）了解公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特征。 （2）会应用公式进行简单的计算。 2、数学思考 （1）在学习的过程中使学生体会数、形结合的优势，进一步发展符号感和推理能力，渗透建模、化归、整体、数形结合等数学思想方法。 （2）鼓励学生探索算法的多样化,培养学生的发现能力、求简意识、应用意识、解决问题和创新能力。 教学目标 3、问题解决 让学生理解完全平方（和）差公式的意义以及它们与多项式乘法的关系，公式的结构特征，并运用完全平方（和）差公式进行简便计算。 4、情感态度 （1）体验数学活动充满着探索性和创造性，培养学生敢
2、于挑戓，勇于探索的精神和善于观察、大胆创新的思维品质 （2）体验在数学活动中获得成功的喜悦，树立自信心。 （3）渗透数学公式的结构美、和谐美。 教学重难点 重点：经历公式的发现和推导，掌握公式的结构特 征，学会运用公式进行简单的计算，体会公式的便捷性。 难点：公式的应用以及广泛意义上理解公式中字母a、b的含义，并会判别要计算的代数式是哪两个数的和（戒差）的平方。 一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图).用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较. a a b 直接求：总面积=（a+b)(a+b) 间接求：总面积=a2+ab+ab+b
3、2 你发现了什么？ （a+b)2=a2+2ab+b2 情景导入 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1） （p+1)2=(p+1)(p+1)= . p2+2p+1 （2） （m+2)2=(m+2)(m+2)= . m2+4m+4 （3） （p-1)2=(p-1)(p-1)= . p2-2p+1 （4） （m-2)2=(m-2)(m-2)= . m2-4m+4 根据上面的规律，你能直接下面式子的写出答案吗？ （a+b)2= . a2+2ab+b2 用多项式乘法法则计算:(a+b)2. (a+b)2=(a+b)(ab)=_. 我们又得到一个漂亮的结果: 这就是说， (a + b)2 =a2
4、2abb2. a2+2ab+b2 利用这个公式，可以直接计算两数和的平方. 获取新知 两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍.这个公式叫做两数和的平方公式. 完全平方公式 （a+b）2= . a2+2ab+b2 公式简记为：首平方，尾平方，积的2倍放中央. 4.公式中的字母a，b可以表示数、单项式和多项式. 1.积为二次三项式； 2.积中两项为两数的平方和； 3.另一项是两数积的2倍； (+)2 = 2+2+2 可形象地记为：可形象地记为： 几何意义（面积） a 2 b 2 ab ab a b a+b a+b a 2 ab ab b 2 (a+b) 2 = a 2 + 2ab +
5、b 2 (a+b)2 a2 + 2ab + b2 = 观察下图，用等式表示下图中图形面积的运算： = + + 你能推导两数差的平方公式（a-b）2吗？ 222222()()2 ()()2ababaabbaabb 注意到a-b=a+(-b),也可以利用两数和的平方公式来计算 这样就得到了两数差的平方公式： （a-b)2= . a2-2ab+b2 两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍. (- -)2 = 2- -2+2 可形象地记为：可形象地记为： 几何意义（面积） = - + (a-b)2 = a2 b2 - + 2ab a a b b b b a-b a-b a a b b 观察
6、下图，用等式表示下图中图形面积的运算： 例1 计算：(1)(2x+3y)2；(2)(2a- )2. b2解：(1)(2x+3y)2=(2x)2 +2 2x 3y + (3y)2 =4x2+12xy+9y2. 2b2b(2)(2a+ )2=(2a)2 -2 2a + =4a2 -2ab + 22b24b例题讲解 当二项式各项的符号当二项式各项的符号相同相同时，就用“和”的完全平方式；时，就用“和”的完全平方式； 当二项式各项的符号当二项式各项的符号不同不同时，就用“差”的完全平方式。时，就用“差”的完全平方式。 例2 计算：(1) (3x-2y)2；(2) m.2112解：(1)(3x-2y)2
7、=(3x)2 - 2 3x 2y + (2y)2 =9x2 -12xy+ 4y2. (2)解法1 22221111121112224mmmmm 解法2 222221111111121122224mmmmmm 例3.运用完全平方公式简便计算： (1) 1022； （2） 解： (1)1022=(100+2)2 =10000+400+4 =10404. 2)3229(（2） 解解: 2)3229(（2）原式= 22)31(313023091209002)3130(91880关键是对底数进行变形：关键是对底数进行变形： 4. 运用乘法公式计算: (1) (x+2y-3)(x-2y+3) ; (2)
8、(a+b+c)2 (1)原式=x+(2y3)x-(2y-3) = x2-(2y-3)2 = x2-(4y2-12y+9) = x2-4y2+12y-9. 解: （2）原式 = (a+b)+c2 = (a+b)2+2(a+b)c+c2 = a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac. 第(1)题选用平方差公式进行计算，需要分组. 分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”. 第(2)题要把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算. 5.(1). 若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2. (2). 已知x+y=8,x-
9、y=4,求xy. 解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2(-6)=37； a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43. 解：x+y=8, (x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64; x-y=4, (x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16; 由-，得 4xy=48， xy=12. 解题时常用结论： a2+b2=(a+b)2-2ab =(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2. 当堂练习 1.下列等式中，不成立的是下列等式中，不成立的是( ) A.(3a- -b)2=9a2- -6ab+b2 B.(a+b- -c)2=(c- -a- -b)2 C
10、.(0.5x- -y)2=0.25x2- -xy+y2 D.(x+y)(x- -y)(x2- -y2)=x4- -y4 D 2.判断下列计算是否正确：判断下列计算是否正确： (1).(- -a2- -b)2=a4- -2a2b+b4 ( ) (2).(a- -c)2=- -(c- -a)2 ( ) (3).(x3+2y)(x3- -2y)=x9- -4y2 ( ) (4).(5x- -2y)(2y- -5x)=- -(5x- -2y)2 ( ) 当堂练习 拓展提升拓展提升 3.无论无论x、y取何值时取何值时，代数式代数式 x2 +y2 - -2x+12y+38的值都是的值都是( ) A.正数正
11、数 B.负数负数 C. 零零 D. 非负数非负数 x2 +y2 - -2x+12y+38 A =(x2- -2x+1)+(y2+12y+36)+1 =(x- -1)2+(y+6)2+1 解解: (x- -1)20，(y+6)20 无论无论x、y取何值，代数式的值都是正数取何值，代数式的值都是正数. 1、两数和两数和(差差)的完全平方公式的完全平方公式： 2、注意问题：注意问题： 必须符合必须符合完全平方完全平方公式特征公式特征的代数式才的代数式才能用能用完全平方完全平方和和(差差)公式公式； 完全平方完全平方和和(差差)公式可以公式可以逆用逆用. (a+b)2 =(- -a- -b)2= a2
12、+2ab+b2； (a- -b)2 =(- -a+b)2= a2- -2ab+b2 课堂小结 1.形式不同. 注意完全平方公式和平方差公式的不同： 2.结果不同 完全平方公式的结果是三项， 即：(ab)2=a22ab+b2 平方差公式的结果是两项， 即：(a+b) (a-b) =a2-b2 3.掌握常见的变形和必要时添加括号 课堂小结 思 维 训 练 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”(如图)就是一例，这个三角形给出了(ab)n(n1,2,3,4,5,6)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律例如：在三角形中第三行的三个数1,2,1，恰好对应着 (ab)2a2
13、2abb2展开式中各项的系数；第五行的五个数1,4,6,4,1，恰好对应着 (ab)4a44a3b6a2b24ab3b4展开式中各项的系数等等 有如下三个结论： 当a1，b1时，代数式a44a3b6a2b24ab3b4的值是1； 当a1，b2时，代数式a44a3b6a2b24ab3b4的值是1； 当代数式a443a369a2427a81的值是1时，a的值是2或4. 上述结论中，所有正确结论的序号为( ) A B C D 解析：当a1，b1时，代数式a44a3b6a2b24ab3b4(ab)4(11)216，故错误；当a1，b2时，代数式a44a3b6a2b24ab3b4(ab)4(12)41，故正确；当代数式a443a369a2427a81的值是1时，(a3)41，a2或4，故正确故选D D
