1、第第 2222 章二次函数章二次函数 1 某网店打出促销广告： 最潮新款球鞋 20 双， 每双售价 240 元 若一次性购买不超过 10 双时， 售价不变；若一次性购买超过 10 双时，每多买 1 双，则购买的所有球鞋的售价均降低 10 元已知该球鞋进价是每双 120 元，设某顾客一次性购买该款球鞋 x 双时，该网店获利 y 元 （1）求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）当顾客一次性购买多少双时，该网店从中获利最多？ 2抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于 A（2，0） ，B（6，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，3） （1）求抛物线的表达式； （2）点
2、 D 是抛物线上一点，且DBC 的角平分线在 x 轴上，点 M 是 y 轴上一点，若ADM 是以 AD 为腰的等腰三角形，求出点 M 的坐标 3已知，如图，二次函数 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C（0，6）且经过点（1，10） （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）求ABC 的面积，并写出 y0 时 x 的取值范围 4如图，在 RtABC 中，B90，AB6cm，BC10cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 移动，速度为 1cm/s；点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 移动，速度为 2cm/s，点
3、 P、Q 分别从点 A、B 同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动 （1）几秒时，PQ 的长度为 3cm？ （2）几秒时，PBQ 的面积为 8cm2？ （3）当 t（0t5）为何值时，四边形 APQC 的面积最小？并求这个最小值 5已知抛物线 yx22mx9（m 为常数） （1）当 m2 时，求抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）当 m1 时，求抛物线顶点到 x 轴的最小距离 （3）当 m0 时，点 A，B 为该抛物线上的两点（非 y 轴上的点） ，顶点为 D，直线 AD 的解析式为 y1k1x+b1，直线 BD 的解析式为 y2k2x+b2，若 k1k25，求直线 AB 与 y
4、轴的交点坐标 6在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+kx2k 的顶点为 N （1）若此抛物线过点 A（3，1） ，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，若抛物线与 y 轴交于点 B，连接 AB，C 为抛物线上一点，且满足 CACB，求点 C 的坐标； （3）已知点 M（，0） ，且无论 k 取何值，抛物线都经过定点 H，当MHN60时，求抛物线的解析式 7在平面直角坐标系 xOy 中（如图） ，已知抛物线 yx2bx+c 经过 A（1，2） 、B（0，1）两点 （1）求抛物线的表达式及顶点 P 的坐标； （2）将抛物线 yx2bx+c 向左平移（+1）个单位，设平移后的抛物线顶点为点 P
5、 求BPP 的度数； 将线段 PB 绕点 B 按逆时针方向旋转 150 后， 点 P落在点 M 处， 点 N 是平移后的抛物线上的一点，当MNB 的面积为 1 时，求点 N 的坐标 8学校体育节即将来临， 为了满足全体师生锻炼的需要，学校超市以每件 50 元的价格购进一种体育用品，销售中发现这种体育用品每天的销售量 y（件）与每件的销售价格 x（元）近似满足一次函数关系，其图象如图所示，且销售这种体育用品不会亏本 （1）求出 y 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围 （2） 求该超市每天销售这种体育用品的销售利润w与x之间的函数关系式并求出当销售价格x为何值时，销售利润 w 的值最大，
6、最大值是多少？ （3）在网格坐标系中画出 w 关于 x 的函数的大致图象，再利用图象分析每件体育用品的销售价格在什么范围内时，每天的销售利润在 400 元以上 9已知一个二次函数的图象经过 A（1，0） 、B（3，0） 、C（0，3）三点，顶点为 D （1）求这个二次函数的解析式； （2）求经过 A、D 两点的直线的表达式； （3）设 P 为直线 AD 上一点，且以 A、P、C、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P 的坐标 10如图，抛物线 yax2+bx+2 与 x 轴交于 A（2，0） ，B（1，0）两点，与 y 轴交于点 C，连接 BC，D为第一象限内抛物线上一动点，过点 D 作 D
7、EOA 于点 E，与 AC 交于点 F，设点 D 的横坐标为 m （1）求抛物线的表达式； （2）当线段 DF 的长度最大时，求 D 点的坐标； （3） 抛物线上是否存在点 D， 使得以点 O， D， E 为顶点的三角形与BOC 相似？若存在， 求出 m 的值；若不存在，请说明理由 11望谟火龙果是望谟县的特产之一，为铺开销售渠道，当地政府引导果农进行网络销售在试销售期间发现，该种火龙果的月销售量 y（单位：千克）与销售单价 x（单位：元）成一次函数关系，函数图象如图所示，已知该种火龙果的销售成本为 5 元/千克 （1）求 y 关于 x 的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围） ； （2）求
8、销售该种火龙果每月可获得的最大利润； （3）在销售过程中发现，该种火龙果每千克还需要支付 1 元的保鲜成本，若月销售量 y 与销售单价 x 保持 （1） 中的函数关系不变， 当该种火龙果的月销售利润是 105000 元时， 在最大限度减少库存的条件下，求 x 的值 12如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y（x2）2的顶点为 C，与 y 轴正半轴交于点 B，一次函数 ykx+4（k0）图象与抛物线交于点 A、点 B，与 x 轴负半轴交于点 D，若 AB3BD （1）求点 A 的坐标； （2）联结 AC、BC，求ABC 的面积； （3）如果将此抛物线沿 y 轴正方向平移，平移后的图象
9、与一次函数 ykx+4（k0）图象交于点 P，与y 轴相交于点 Q，当 PQx 轴时，试问该抛物线平移了几个单位长度？ 13在校园嘉年华中，九年级同学将对一块长 20m，宽 10m 的场地进行布置，设计方案如图所示阴影区域为绿化区（四块全等的矩形） ，空白区域为活动区，且 4 个出口宽度相同，其宽度不小于 4m，不大于8m设出口长均为 x（m） ，活动区面积为 y（m2） （1）求 y 关于 x 的函数表达式； （2）当 x 取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？ （3）若活动区布置成本为 10 元/m2，绿化区布置成本为 8 元/m2，布置场地的预算不超过 1850 元，当 x为整数时，
10、请求出符合预算且使活动区面积最大的 x 值及此时的布置成本 14抛物线 yx2+bx+c 经过 A（0，1） 、B（4，3）两点，顶点为点 P，连接 PA，PB （1）求抛物线及直线 AB 的解析式； （2）请你直接写出PAB 的面积； （3）过点 B 作 BCx 轴，垂足为 C，平行于 y 轴的直线交直线 AB 于点 N，交抛物线于点 M，是否存在点 M，使以点 B、点 C、点 M、点 N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 15如图，抛物线 yax2+bx+3（a，b 是常数，且 a0）与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C并且
11、A，B 两点的坐标分别是 A（1，0） ，B（3，0） ，抛物线顶点为 D （1）求出抛物线的解析式； 顶点 D 的坐标为 ； 直线 BD 的解析式为 ； （2）若 E 为线段 BD 上的一个动点，其横坐标为 m，过点 E 作 EFx 轴于点 F，求当 m 为何值时，四边形 EFOC 的面积最大？ （3）若点 P 在抛物线的对称轴上，若线段 PA 绕点 P 逆时针旋转 90后，点 A 的对应点 A恰好也落在此抛物线上，请直接写出点 P 的坐标 16疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测某校统计了学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数 y（单位：人）随时间 x（单位：分钟）的
12、变化情况如图所示，y 可看作是 x 的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为（30，900） ，其中 0 x30校门口有一个体温检测棚，每分钟可检测 40 人 （1）求 y 与 x 之间的函数解析式； （2）校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？ （3）检测体温到第 4 分钟时，为减少排队等候时间，在校门口临时增设一个人工体温检测点已知人工每分钟可检测 12 人，人工检测多长时间后，校门口不再出现排队等待的情况（直接写出结果） 17如图直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线 yx2+6x+3 交 y 轴于点 A，过 A 作 ABx 轴，交抛物线于点 B，连接 OB点 P 为抛物线上 A
13、B 上方的一个点，连接 PA，作 PQAB 垂足为 H，交 OB 于点 Q （1）求 AB 的长； （2）当APQB 时，求点 P 的坐标； （3）当APH 面积是四边形 AOQH 面积的 2 倍时，求点 P 的坐标 18如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx22x 经过坐标原点，与 x 轴正半轴交于点 A，该抛物线的顶点为 M，直线 yx+b 经过点 A，与 y 轴交于点 B，连接 OM （1）求 b 的值及点 M 坐标 （2）将直线 AB 向下平移，得到过点 M 的直线 ymx+n，且与 x 轴负半轴交于点 C，取点 D（2，0） ，连接 DM，此时发现ADMACM 是个常数，请写出这个常
14、数，并证明 （3）点 E 是线段 AB 上一动点，点 F 是线段 OA 上一动点，连接 EF，线段 EF 的延长线与线段 OM 交于点 G，当BEF2BAO 时，是否存在点 E，使得 3GF4EF？若存在，直接写出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由 19如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yx2+bx+c 与直线 AB 相交于 A，B 两点，其中 A（1，2） ，B（3，2） （1）求抛物线的函数表达式； （2） 点 E 为直线 AB 下方抛物线上任意一点， 连接 AE， BE， 求EAB 面积的最大值及此时点 E 的坐标； （3）点 D 为抛物线对称轴上的一点，当以点 A，B，D 为顶点
15、的三角形为等腰三角形时，直接写出点 D的坐标 20如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A（2，0） ，B（4，0）两点 （）求抛物线的解析式； （）若抛物线交 y 轴于点 C，在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得QAC 的周长最小？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （）在抛物线第二象限的图象上是否存在一点 P，使得PBC 的面积最大？若存在，请直接写出点 P的坐标和PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 1 某网店打出促销广告： 最潮新款球鞋 20 双， 每双售价 240 元 若一次性购买不超过 10 双时， 售价不变；
16、若一次性购买超过 10 双时，每多买 1 双，则购买的所有球鞋的售价均降低 10 元已知该球鞋进价是每双 120 元，设某顾客一次性购买该款球鞋 x 双时，该网店获利 y 元 （1）求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）当顾客一次性购买多少双时，该网店从中获利最多？ 【分析】 （1）根据题意，可以写出 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）根据题意和（1）中的结果，可以得到两种情况下获得的最大利润，然后比较大小，即可解答本题 【解答】解： （1）由题意可得， 当 0 x10 时，y（240120）x120 x， 当 10 x20 时，y2
17、4012010（x10）x10 x2+220 x， 由上可得，y 与 x 的函数关系式为 y； （2）当 0 x10 时，y120 x， 当 x10 时，y 取得最大值 1200， 当 10 x20 时，y10 x2+220 x10（x11）2+1210， 当 x11 时，y 取得最大值 1210， 12001210， 当 x11 时，该鞋店获利最多， 答：当顾客一次性购买 11 双时，该鞋店获利最多 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答 2抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于 A（2，0） ，B（6，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，3）
18、（1）求抛物线的表达式； （2）点 D 是抛物线上一点，且DBC 的角平分线在 x 轴上，点 M 是 y 轴上一点，若ADM 是以 AD 为腰的等腰三角形，求出点 M 的坐标 【分析】 （1）运用待定系数法即可求得答案； （2）根据角平分线定义得出DBACBA，进而推出BOCBOC（ASA） ，得出 C（0，3） ，利用待定系数法求得直线 BC的解析式为 yx+3，联立方程组求解得 D（4，5） ，设 M（0，t） ，由ADM 是以 AD 为腰的等腰三角形，可得 AMAD 或 DMAD，分两种情况分别建立方程求解即可得出答案 【解答】解： （1）设抛物线解析式为 ya（x+2） （x6） ，把
19、 C（0，3）代入得：12a3， 解得：a， y（x+2） （x6）x2x3， 故该抛物线解析式为 yx2x3； （2）设 BD 交 y 轴于点 C， DBC 的角平分线在 x 轴上， DBACBA， BOCBOC90，OBOB， BOCBOC（ASA）， OCOC3， C（0，3） ，如图， 设直线 BC的解析式为 ykx+n， 则， 解得：， 直线 BC的解析式为 yx+3， 由x2x3x+3， 解得：x16，x24， D（4，5） ， 设 M（0，t） ， A（2，0），B（6，0）， AM2（20）2+（0t）2t2+4， DM2（40）2+（5t）2t210t+41， AD2（2+4
20、）2+（05）229， ADM 是以 AD 为腰的等腰三角形， AMAD 或 DMAD， 当 AMAD 时，AM2AD2， t2+429， 解得：t5， 当 t5 时，直线 DM 的解析式为 yx5，点 A（2，0）在直线 DM 上，A、D、M 不能构成三角形， M（0，5）； 当 DMAD 时，DM2AD2， t210t+4129， 解得：t5， M（0，5）或（0，5+）； 综上所述，点 M 的坐标为（0，5）或（0，5）或（0，5+） 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，等腰三角形性质，两点间距离公式等，难度适中，解题关键是运用分类讨论思想，避免漏解 3已知，如图
21、，二次函数 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C（0，6）且经过点（1，10） （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）求ABC 的面积，并写出 y0 时 x 的取值范围 【分析】 （1）直接利用待定系数法将已知点代入得出方程组求出答案； （2）直接利用配方法求出抛物线顶点坐标和对称轴即可； （3）直接利用三角形面积求法得出答案，并根据函数图象得出 x 的取值范围 【解答】解： （1）二次函数 yx2+bx+c 的图象经过点（0，6） 、B（1，10） ， ， 解这个方程组，得， 该二次函数的解析式是 yx2+5x+6； （
22、2）yx2+5x+6（x）2+ 顶点坐标是（，） ； 对称轴是直线 x； （3）二次函数 yx2+5x+6 的图象与 x 轴交于 A，B 两点， x2+5x+60， 解这个方程得：x11，x26， 即二次函数 yx2+5x+6 与 x 轴的两个交点的坐标为 A（1，0） ，B（6，0） ABC 的面积 SABCABOC|6（1）|621； 由图象可知，当 y0 时，1x6 【点评】此题主要考查了抛物线与 x 轴的交点以及待定系数法求二次函数解析式等知识，正确得出二次函数解析式是解题关键 4如图，在 RtABC 中，B90，AB6cm，BC10cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 移
23、动，速度为 1cm/s；点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 移动，速度为 2cm/s，点 P、Q 分别从点 A、B 同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动 （1）几秒时，PQ 的长度为 3cm？ （2）几秒时，PBQ 的面积为 8cm2？ （3）当 t（0t5）为何值时，四边形 APQC 的面积最小？并求这个最小值 【分析】 （1）设运动时间为 t 秒，分别用 t 的代数式表示出线段 PB，BQ 的长度，利用勾股定理列出方程即可求解； （2）利用（1）中的方法，利用三角形的面积公式列出方程即可求解； （3）利用（1）中的方法求得四边形 APQC 的面积，利用二次函数的性质
24、即可求解 【解答】解：设运动时间为 t 秒时，PQ 的长度为 3cm， 依题意得：APtcm，BQ2tcm， PB（6t）cm B90， PB2+BQ2PQ， ， 解得：t3 或（负数不合题意，舍去） t3 3 秒时，PQ 的长度为 3cm； （2）设运动时间为 t 秒时，PBQ 的面积为 8cm2， 依题意得：APtcm，BQ2tcm，0t5， PB（6t）cm PBQ 的面积为 8cm2， （6t）2t8 解得：t2 或 4 2 或 4 秒时，PBQ 的面积为 8cm2 （3）四边形 APQC 的面积 SABCSPBQ ABBCBQPB 610（6t）2t t26t+30 （t3）2+21
25、， 当 t3 时，四边形 APQC 的面积最小，最小值为 21 【点评】本题主要考查了勾股定理，二次函数的极值，一元二次方程分应用，本题是动点问题，利用 t代数式表示出相应线段的长度是解题的关键 5已知抛物线 yx22mx9（m 为常数） （1）当 m2 时，求抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）当 m1 时，求抛物线顶点到 x 轴的最小距离 （3）当 m0 时，点 A，B 为该抛物线上的两点（非 y 轴上的点） ，顶点为 D，直线 AD 的解析式为 y1k1x+b1，直线 BD 的解析式为 y2k2x+b2，若 k1k25，求直线 AB 与 y 轴的交点坐标 【分析】 （1）将 m2 代入抛物
26、线解析式中，并且配方得出 yx24x9（x2）213，即可得出结论； （2）用 m 表达抛物线到 x 轴的距离，根据二次函数的最值可得结论； （3）求出直线 AD 的解析式为 y1k1x9，直线 BD 的解析式为 y2k2x9，设 A（x1，x129） ，B（x2，x229） ，得出 k1k2x1x25，设直线 AB 的解析式为 ykx+b，由题意可得 x1，x2是方程 x29kx+b的两根，求出 b4，则可得出答案 【解答】解： （1）当 m2 时，得出 yx24x9（x2）213， 抛物线的对称轴为直线 x2，顶点坐标为（2，13） ； （2）抛物线的解析式为 yx22mx9（xm）2m2
27、9， 抛物线的顶点坐标为（m，m29） ， 抛物线顶点到 x 轴的距离为 h|m29|m2+9， 当 m1 时，h 随 m 的增大而增大， 当 m1 时，h 的最小值为 1+910； 抛物线顶点到 x 轴的最小距离为 10； （3）由题意可得，当 m0 时，抛物线的解析式为 yx29， D（0，9） ， 直线 AD 的解析式为 y1k1x9，直线 BD 的解析式为 y2k2x9， 设 A（x1，x129），B（x2，x229）， k1x9x129，k2x9x229， 解得，x1k1，x2k2， k1k2x1x25， 设直线 AB 的解析式为 ykx+b， 由题意可得 x1，x2是方程 x29k
28、x+b 的两根， 化简得，x2kx9b0， x1x29b5， 解得 b4， 直线 AB 与 y 轴的交点坐标为（0，4） 【点评】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，直线与抛物线的交点问题等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键 6在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+kx2k 的顶点为 N （1）若此抛物线过点 A（3，1） ，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，若抛物线与 y 轴交于点 B，连接 AB，C 为抛物线上一点，且满足 CACB，求点 C 的坐标； （3）已知点 M（，0） ，且无论 k 取何值，抛物线都经过定点 H，当MHN60时，求抛物线的
29、解析式 【分析】 （1）把 A（3.1）代入 yx2+kx2k 即可求解 （2）根据题意作图，求出直线 AB 的解析式，再表示出 E 点坐标，联立直线 CE 的解析式与抛物线的解析式可求解 （3） 先求出定点 H， 过 H 点做 HIx 轴， 根据题意求出MHI30， 再根据题意分情况即可求出答案 【解答】解：（1）把 A（3.1）代入 yx2+kx2k， 得93k2k1 解得 k2， 抛物线的解析式为 yx22x+4； （2）如图 1， 设直线 AB 的解析式为 ykx+b，把 A（3，1） ， （0，4）代入得到， ， 解得， 直线 AB 的解析式为 yx+4， 作 AB 的中垂线交 AB
30、 于点 E，交抛物线于点 C， E（，） ， 直线 CE 的解析式为 yx+1， ， x， C（，）或（，） （3）由 yx2+kx2kk（x2）x2， 当 x20 时，x2，y4， 无论 k 取何值，抛物线都经过定点 H（2，4） ， 二次函数的顶点 N（，2k） ， 如图 2 中，过点 H 作 HIx 轴于 I，分别过 H， N 作 y 轴， x 轴的垂线交于点 G，若2 时， 则 k4， M（2，0），H（2，4）， MI，HI4， tanMHI， MHI30， MHN60， NHI30， 即GNH30， 由图可知，tanGNH， 解得 k4+2或 4（不合题意舍弃） 如图 3 中，过点
31、 H 作 HIx 轴于 I，分别过 H，N 作 y 轴，x 轴的垂线交于点 G 若2，则 k4， 同理可得，MHI30， MHN60， NHHI， 即2k4， 解得 k4（不符合题意舍弃） 若2，则 N，H 重合，不符合题意舍弃， 综上所述，抛物线的解析式为 yx2+（4+2）x（8+4） 【点评】本题考查二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题 7在平面直角坐标系 xOy 中（如图） ，已知抛物线 yx2bx+c 经过 A（1，2） 、B（0，1）两点 （1）求抛物线的表达式及顶点 P 的坐标； （2）将抛
32、物线 yx2bx+c 向左平移（+1）个单位，设平移后的抛物线顶点为点 P 求BPP 的度数； 将线段 PB 绕点 B 按逆时针方向旋转 150 后， 点 P落在点 M 处， 点 N 是平移后的抛物线上的一点，当MNB 的面积为 1 时，求点 N 的坐标 【分析】 （1）根据题意待定系数法求解析式即可，然后化为顶点式即可求得顶点 P 的坐标； （2）连接 PP，则 PPy 轴，设交点为 D，则 D（0，2） ，根据平移求得点 P的坐标，进而即可求得BPP 的度数， 根据题意可知 BMx 轴且 BMBP2，根据MNB 的面积为 1，求出点 N 的纵坐标，再把点 N 的纵坐标代入平移后的抛物线解析
33、式即可求得点 N 的横坐标 【解答】解：（1）将 A（1，2）、B（0，1）代入 yx2bx+c 得， ， 解得：， yx22x1（x1）22， 抛物线的表达式为 yx22x1，顶点 P 坐标为（1，2） ； （2）将抛物线向左平移（+1）个单位，则平移后的顶点 P的坐标为（11，2） ，即（，2） ， PP在一条平行于 x 轴的直线上， PPy 轴， 设 PP与 y 轴的交点为 D，如图，连接 BP， tanBPP， BPP30； BPP30， PBD90BPP903060， BM 是 BP绕 B 点逆时针方向旋转 150得到的， 即PBMPBD+9060+90150， BMx 轴， BMB
34、P2， 设MNB 中 BM 边所对应的高为 h， 则 SMNBBMh2h1， h1， 点 N 的纵坐标为11，即 0 或2， 又平移后的抛物线表达式为 y（x+）22， 当 y2 时， （x+）222， 解得：x， 当 y0 时，即（x+）220， 解得：x， 点 N 的坐标为（，2）或（+，0）或（，0） 【点评】本题考查了二次函数图象与平移变换，待定系数法求解析式，面积问题，勾股定理解直角三角形，旋转的性质，根据题意作出图形是解题的关键 8学校体育节即将来临， 为了满足全体师生锻炼的需要，学校超市以每件 50 元的价格购进一种体育用品，销售中发现这种体育用品每天的销售量 y（件）与每件的销
35、售价格 x（元）近似满足一次函数关系，其图象如图所示，且销售这种体育用品不会亏本 （1）求出 y 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围 （2） 求该超市每天销售这种体育用品的销售利润w与x之间的函数关系式并求出当销售价格x为何值时，销售利润 w 的值最大，最大值是多少？ （3）在网格坐标系中画出 w 关于 x 的函数的大致图象，再利用图象分析每件体育用品的销售价格在什么范围内时，每天的销售利润在 400 元以上 【分析】 （1）设出一次函数的一般表达式 mkx+b，将（0，100） （100，0）代入即可求出； （2） 根据等量关系 “销售利润 （销售价格购进价格） 销售量” 列出函数
36、表达式， 再求最大值即可； （3）画出图象可得答案 【解答】解： （1）设出一次函数的一般表达式 ykx+b，将（0，100） （100，0）代入得： ， 解得 即 yx+100（50 x100）； （2）由于每件商品的利润为 x50， 所以每天的利润为：w（x50） （x+100）x2+150 x5000（x75）2+625， 则当 x75 时，w 取得最大值 625， 答：销售价格为 75 元销售利润最大，最大值为 625 元； （3）如图， 所以每件体育用品的销售价格 x 为 60 x90 时，每天的销售利润在 400 元以上 【点评】本题考查了二次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次
37、函数解析式二次函数的关系式的求解，比较简单，根据获利每件商品的利润销售量是解题的关键 9已知一个二次函数的图象经过 A（1，0） 、B（3，0） 、C（0，3）三点，顶点为 D （1）求这个二次函数的解析式； （2）求经过 A、D 两点的直线的表达式； （3）设 P 为直线 AD 上一点，且以 A、P、C、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P 的坐标 【分析】 （1）将点 A（1，0） 、B（3，0） 、C（0，3）代入 yax2+bx+c，即可求解； （2）求出 D（2，1） ，再由待定系数法求直线的解析式即可； （3） （3）设 P（t，t+1） ，分三种情况讨论：当 AB 为平行四边
38、形的对角线时，t1+34，则 P（4，3） ；当 AC 为平行四边形的对角线时，13+t，则 P（2，3） ；当 AP 为平行四边形的对角线时，t+13，则 P（2，1） ，此时不能构成平行四边形 【解答】解：（1）设 yax2+bx+c， 将点 A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入 yax2+bx+c， ， 解得， yx2+4x3； （2）yx2+4x3（x2）2+1， D（2，1） ， 设直线 AD 的解析式为 ykx+b， ， 解得， yx1； （3）设 P（t，t1） ， 当 AB 为平行四边形的对角线时，t1+34， P（4，3） ； 当 AC 为平行四边形的对角线时，13+
39、t， t2， P（2，3）； 当 AP 为平行四边形的对角线时，t+13， t2， P（2，1） ， 此时3+01+0， P（2，1）不符合题意； 综上所述：P 点的坐标为（4，3）或（2，3） 【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键 10如图，抛物线 yax2+bx+2 与 x 轴交于 A（2，0） ，B（1，0）两点，与 y 轴交于点 C，连接 BC，D为第一象限内抛物线上一动点，过点 D 作 DEOA 于点 E，与 AC 交于点 F，设点 D 的横坐标为 m （1）求抛物线的表达式； （2）当线段 DF 的长度最大时，求
40、D 点的坐标； （3） 抛物线上是否存在点 D， 使得以点 O， D， E 为顶点的三角形与BOC 相似？若存在， 求出 m 的值；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）直接利用待定系数法即可得到答案； （2）先求得点 C 的坐标，再求直线 AC 的表达式，设点 D 的横坐标为 m，则点 D（m，m2+m+2） ，再得 DF 的表达式即可得到答案； （3）利用相似三角形的性质可得方程式，求解可得答案 【解答】解： （1）因为 yax2+bx+2 过点 A（2，0） 、B（1，0） ， 则， 解得：， 故抛物线的表达式为：yx2+x+2； （2）对于 yx2+x+2，令 x0，则 y2， 点 C
41、（0，2） ， 设直线 AC 的解析式为 ykx+b，由直线过点 A、C 的坐标得， ， 解得， 直线 AC 的表达式为：yx+2， 设点 D 的横坐标为 m，则点 D（m，m2+m+2） ， 点 F（m，m+2）， DFm2+m+2（m+2）m2+2m（m1）2+1， 10， DF 有最大值，此时 m1， 点 D（1，2） ； （3）存在，理由： 点 D（m，m2+m+2） （m0） ，则 OEm，DEm2+m+2， 以点 O，D，E 为顶点的三角形与BOC 相似， 当DOEBCO，即时， 2， 解得：m1 或2（舍去）， 同理当DOECBO 时， m， 故 m，或 m1 【点评】此题考查的
42、是待定系数法求解析式、二次函数的最值问题、相似三角形的性质等知识，利用待定系数法求得解析式是解决此题关键 11望谟火龙果是望谟县的特产之一，为铺开销售渠道，当地政府引导果农进行网络销售在试销售期间发现，该种火龙果的月销售量 y（单位：千克）与销售单价 x（单位：元）成一次函数关系，函数图象如图所示，已知该种火龙果的销售成本为 5 元/千克 （1）求 y 关于 x 的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围） ； （2）求销售该种火龙果每月可获得的最大利润； （3）在销售过程中发现，该种火龙果每千克还需要支付 1 元的保鲜成本，若月销售量 y 与销售单价 x 保持 （1） 中的函数关系不变， 当该
43、种火龙果的月销售利润是 105000 元时， 在最大限度减少库存的条件下，求 x 的值 【分析】 （1）根据函数图象和图象中的数据可以求得 y 与 x 的函数解析式； （2）根据题意和（1）中的关系式，求出利润 W 与 x 的关系式，利用二次函数的性质可以求得 W 的最大值； （3）根据题意列出一元二次方程，解方程可得答案 【解答】解： （1）设 y 与 x 的函数关系式为 ykx+b， 由题意得， 解得， 即 y 与 x 的函数解析式是 y20000 x+220000； （2）设销售火龙果的月利润为 W 元，由题意可得， W（x5） （20000 x+220000） 20000 x2+320
44、000 x1100000 20000（x8）2+180000， 200000， 当 x8 时，W 最大是 180000， 最大利润是 180000 元； （3）由题意得， （x51） （20000 x+220000）105000， 解得 x17.5，x29.5 单价最低销量最大， 在最大限度减少库存的条件下，x7.5 【点评】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答 12如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y（x2）2的顶点为 C，与 y 轴正半轴交于点 B，一次函数 ykx+4（k0）图象与抛物线交于点 A、点
45、 B，与 x 轴负半轴交于点 D，若 AB3BD （1）求点 A 的坐标； （2）联结 AC、BC，求ABC 的面积； （3）如果将此抛物线沿 y 轴正方向平移，平移后的图象与一次函数 ykx+4（k0）图象交于点 P，与y 轴相交于点 Q，当 PQx 轴时，试问该抛物线平移了几个单位长度？ 【分析】 （1）作 AEx 轴与点 E，则 BOAE，先通过抛物线解析式求出点 B 坐标，通过 AB3BD 可得点 A 纵坐标，将其代入二次函数解析式求解 （2）作 CFy 轴交 AB 于点 F，由 SABCSBCF+SACF求解 （3）设抛物线向上平移 m 个单位，则点 Q 坐标为（0，4+m） ，根据
46、抛物线的对称性可得点 Q 坐标，进而求解 【解答】解： （1）作 AEx 轴与点 E，则 BOAE， 将 x0 代入 y（x2）2得 y4， 点 B 坐标为（0.4） AB3BD， ， AE4BO16， 将 y16 代入 y（x2）2得 16（x2）2， 解得 x6 或 x2（舍）， 点 A 坐标为（6，16） （2）作 CFy 轴交 AB 于点 F， 将（6，16）代入 ykx+4 得 166k+4， 解得 k2， y2x+4， 将 x2 代入 y2x+4 得 y8， 点 F 坐标为（2，8） ， FC8， SABCSBCF+SACFFC（xCxB）+FC（xAxC）8（20）+8（62）2
47、4 （3）设抛物线向上平移 m 个单位，则点 Q 坐标为（0，4+m） ， 由题意可得 P，Q 关于对称轴对称， 点 P 坐标为（4，4+m） ， 将（4，4+m）代入 y2x+4 得 4+m8+4， 解得 m8， 该抛物线平移了 8 个单位 【点评】 本题考查二次函数的综合应用， 解题关键是掌握二次函数的性质， 掌握二次函数与方程的关系 13在校园嘉年华中，九年级同学将对一块长 20m，宽 10m 的场地进行布置，设计方案如图所示阴影区域为绿化区（四块全等的矩形） ，空白区域为活动区，且 4 个出口宽度相同，其宽度不小于 4m，不大于8m设出口长均为 x（m） ，活动区面积为 y（m2） （
48、1）求 y 关于 x 的函数表达式； （2）当 x 取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？ （3）若活动区布置成本为 10 元/m2，绿化区布置成本为 8 元/m2，布置场地的预算不超过 1850 元，当 x为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的 x 值及此时的布置成本 【分析】 （1）根据活动区域的面积等于矩形的面积减去绿化区的面积，可得 y 与 x 的关系式； （2）根据二次函数的增减性可得结论； （3）根据列方程即可得到结论 【解答】解： （1）根据题意得：y20104 200（20 x） （10 x） 200200+30 xx2 x2+30 x， y 与 x 的函数关系式为
49、yx2+30 x（4x8） ； （2）由（1）知：yx2+30 x（x15）2+225， 10， 当 x15 时，y 随 x 的增大而增大， 4x8， 当 x8 时，y 有最大值，最大值为 176， 当 x 取 8m 时，活动区面积最大，最大面积是 176m2； （3）设布置场地所用费用为 w 元， 则 w10（x2+30 x）+8200（x2+30 x） 10 x2+300 x+1600+8x2240 x 2x2+60 x+1600， 令 w1850， 2x2+60 x+16001850， 解得：x25 或 x5， 4x8， 4x5， 活动区域面积为 yx2+30 x，10，对称轴为直线 x
50、15， 当 x5 时，活动区面积最大，此时的布置成本为 1850 元 【点评】 本题考查了二次函数的应用， 此题关键是求得短边的长度， 再利用矩形的面积求得各部分面积，进一步列不等式（组）解决问题 14抛物线 yx2+bx+c 经过 A（0，1） 、B（4，3）两点，顶点为点 P，连接 PA，PB （1）求抛物线及直线 AB 的解析式； （2）请你直接写出PAB 的面积； （3）过点 B 作 BCx 轴，垂足为 C，平行于 y 轴的直线交直线 AB 于点 N，交抛物线于点 M，是否存在点 M，使以点 B、点 C、点 M、点 N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不
