1、常系数非齐次线性微分方程 第九节 型)()(xPexfmxxxPexflxcos)()(型sin)(xxPn一、一、 二、二、 )(xfyqypy ),(为常数qp二阶常系数线性非齐次微分方程 : 根据解的结构定理 , 其通解为 Yy *y非齐次方程特解 齐次方程通解 求特解的方法 根据 f (x) 的特殊形式 , 的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法待定系数法 )(xQex )()2(xQp)()(2xQqp)(xPemx一、一、 型)()(xPexfmx 为实数 , )(xPm设特解为 , )(*xQeyx其中 为待定多项式 , )(xQ )()(*xQxQ
2、eyx )()(2)(*2xQxQxQeyx 代入原方程 , 得 (1) 若 不是特征方程的根, 则取 从而得到特解 形式为 . )(*xQeymx为 m 次多项式 . Q (x) 为 m 次待定系数多项式 (2) 若 是特征方程的单根 , 为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若 是特征方程的重根 , ,02 p)(xQ 则是 m 次多项式, 故特解形式为 xmexQxy)(*2小结小结 对方程, )2, 1, 0()(*kexQxyxmk此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . )(xQ )(xPm)()(2xQqp即 即 当 是特征方程的 k 重根 时, 可设 特解 例例1. 的一个特
3、解. 解解: 本题 而特征方程为 不是特征方程的根 . 设所求特解为 代入方程 : 比较系数, 得 31,110bb于是所求特解为 0,0例例2. 的通解. 解解: 本题 特征方程为 ,0652 rr其根为 对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 xebxbxy210)(*比较系数, 得 1,2110bb因此特解为 .)1(*221xexxy代入方程得 xbbxb01022所求通解为 .)(2221xexx ,2二、二、 型xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(ximexPxf)()()(ximexP)()(第二步第二步 求出如下两个方程的特解 ximexPyqypy)()( yq
4、ypy分析思路: 第一步第一步 将 f (x) 转化为 第三步第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步第四步 分析原方程特解的特点 ximexP)()(第一步第一步 利用欧拉公式将 f (x) 变形 xexf)(ixPxPnl2)(2)(xie)(ixPxPnl2)(2)(xie)(ximexPxf)()()(ximexP)()(ximexP)()(ximexP)()(则令,maxlnm )(xPl2xixiee)(xPnieexixi2 第二步第二步 求如下两方程的特解 i是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), ximkexQxy)(1)()(次多项式为mxQm故 ximexP
5、yqypy)(111)()()( 等式两边取共轭 : ximexPyqypy)(111)(1y这说明为方程 的特解 . ximexPyqypy)()( ximexPyqypy)()( 设 则 有 特解: 第三步第三步 求原方程的特解 利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 : 11*yyy xkexximximeQeQ原方程 yqypy xxPxxPenlxsin)(cos)(xkex)sin(cosxixQm)sin(cosxixQm xkexxRmcosxRmsinmmRR,其中均为 m 次多项式 . 第四步第四步 分析 的特点yxRxRexyyymmxksincos11因 11
6、yy*yy所以mmRR,因此均为 m 次实 多项式 . 11yyy本质上为实函数 , 11yy小小 结结: xxPxxPenlxsin)(cos)(对非齐次方程 yqypy ),(为常数qpxRxRexymmxksincos*则可设特解: 其中 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), i上述结论也可推广到高阶方程的情形. 例例4. 的一个特解 . 解解: 本题 特征方程 , 2, 0故设特解为 不是特征方程的根, 代入方程得 xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,)(xxPl, 0)(xPn比较系数 , 得 9431,da于是求得一个特解 13
7、 a043cb03 c043ad0cb例例5. 的通解. 解解: 特征方程为 , 092r其根为 对应齐次方程的通解为 比较系数, 得 因此特解为 )3sin33cos5(*xxxy代入方程: xaxb3sin63cos6所求通解为 为特征方程的单根 , )3sin33cos5(xxx因此设非齐次方程特解为 内容小结内容小结 xmexPyqypy)(. 1 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根, xmkexQxy)(*则设特解为 sin)(cos)(. 2xxPxxPeyqypynlx 为特征方程的 k (0, 1 )重根, ixkexy*则设特解为 sin)(cos)(xxRxxRmm3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形. 思考与练习思考与练习 时可设特解为 xy *xbxacos)(*yxdxcxbxa2sin)(2cos)(xek2时可设特解为 提示提示: xdcxsin)(1 . (填空) 设 sin)(cos)(xxRxxRmm
