1、常系数 第七节 齐次线性微分方程 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根 转化 二阶常系数齐次线性微分方程: xrey 和它的导数只差常数因子, 代入得 0)(2xre qprr02qrpr称为微分方程的特征方程特征方程, 1. 当 042 qp时, 有两个相异实根 方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为 xrxreCeCy2121( r 为待定常数 ), 所以令的解为 则微分 其根称为特征根特征根. 2. 当 042 qp时, 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解 设另一特解 ( u (x) 待定) 代入方程得: 1xre)(1urup0uq)2(2
2、11ururu 是特征方程的重根 0 u取 u = x , 则得 ,12xrexy 因此原方程的通解为 xrexCCy1)(210)()2(1211 uqrprupru3. 当 042 qp时, 特征方程有一对共轭复根 这时原方程有两个复数解: xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解: )(21211yyy)(21212yyyixexcosxexsin因此原方程的通解为 )sincos(21xCxCeyx小结小结: ),(0为常数qpyqypy ,02qrpr特征方程: xrxreCeCy2121实根 xr
3、exCCy1)(21)sincos(21xCxCeyx特 征 根 通 解 以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . 若特征方程含 k 重复根 若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项 则其通解中必含 对应项 )(01) 1(1)(均为常数knnnnayayayay特征方程: 0111nnnnararar推广推广: 例例1. 032 yyy求方程的通解. 解解: 特征方程 , 0322 rr特征根: ,3,121rr因此原方程的通解为 例例2. 求解初值问题 0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解: 特征方程 0122rr有重根 ,121 rr因此原方程的通解为
4、tetCCs)(21利用初始条件得 , 41C于是所求初值问题的解为 22C例例3. 的通解. 解解: 特征方程 , 052234rrr特征根: irrr21, 04,321因此原方程通解为 xCCy21)2sin2cos(43xCxCex例例4. . 0)4()5( yy解方程解解: 特征方程: , 045rr特征根 : 1, 054321rrrrr原方程通解: 1CyxC223xC34xCxeC5(不难看出, 原方程有特解 ), 132xexxx02)(22222rr例例5. . )0(0dd444wxw解方程解解: 特征方程: 即 0)2)(2(2222rrrr其根为 ),1(22,1i
5、r)1(24,3ir方程通解 : xew2)2sin2cos(21xCxCxe2)2sin2cos(43xCxC例例6. .02)4( yyy解方程解解: 特征方程: 01224rr0)1(22r即特征根为 则方程通解 : 内容小结内容小结 ),(0为常数qpyqypy 特征根: 21, rr(1) 当 时, 通解为 xrxreCeCy212121rr (2) 当 时, 通解为 xrexCCy1)(2121rr (3) 当 时, 通解为 )sincos(21xCxCeyxir2 , 1可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 . 思考与练习思考与练习 求方程 的通解 . 答案答案: :0a通解为 xCCy21:0a通解为 xaCxaCysincos21:0a通解为 xaxaeCeCy21Ex: 为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程, 并求其通解 . 解解: 根据给定的特解知特征方程有根 : 因此特征方程为 2) 1( r0)4(2r即 04852234rrrr故所求方程为 其通解为
