1、微分方程 第七章 yxfy求已知, )( 积分问题积分问题 yy求及其若干阶导数的方程已知含, 微分方程问题微分方程问题 推广 微分方程的基本概念 第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 引例引例 几何问题几何问题 物理问题物理问题 引例引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的 切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 引例引例2. 列车在平直路上以 的速度行驶, 制动时 获得加速度 求制动后列车的运动规律. 说明说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才 能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 . 常微分方程 偏微分方程 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程微分方程
2、. 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 (本章内容) 0),()(nyyyxF),() 1()(nnyyyxfy( n 阶显式微分方程) 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 一般地 , n 阶常微分方程的形式是 的阶阶. 分类 或 ,00ts200ddtts引例2 4 . 022ddxy 使方程成为恒等式的函数. 通解通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程 ) 1(00) 1(0000)(,)(,)(nnyxyyxyyxy 确定通解中任意常数的条件. n 阶方程的初始条件初始条件( (或初值条件或初值条件) ): 的阶数相同. 特解特解 xxy2dd21xy引例1 Cxy2212
3、2 . 0CtCts通解: tts202 . 0212 xy特解: 微分方程的解解 不含任意常数的解, 定解条件定解条件 其图形称为积分曲线积分曲线. . 例例1. 验证函数 是微分方程 的解, ,0Axt00ddttx的特解 . 解解: )cossin(212t kCt kCk这说明 tkCtkCxsincos21是方程的解 . 是两个独立的任意常数, ),(21为常数CC利用初始条件易得: 故所求特解为 tkAxcos故它是方程的通解. 并求满足初始条件 求所满足的微分方程 . 例例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q PQxyox解解: 如图所示, 令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标 即 02 xyy点 P(x, y) 处的法线方程为 且线段 PQ 被 y 轴平分,
