1、第二章第二章函数函数 一、单项选择题一、单项选择题( (本大题共本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分) ) 1函数yx21的值域是( ) A0，) B1，) C(0，) D(1，) 2下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的为( ) Ayx1 Byx3 Cy1x4 Dyx|x| 3已知函数yf(x)的部分x与y的对应关系如下表： x 3 2 1 0 1 2 3 4 y 3 2 1 0 0 1 2 3 则ff(4)( ) A1 B2 C3 D3 4已知幂函数f(x)x的图象过点2，12，则函数g(x)(x2)f(x)在区间12，1 上的最小值是( ) A
2、1 B2 C3 D4 5已知函数f(x1)x23，则f(2)的值是( ) A2 B6 C1 D0 6已知函数f(x)(m1)x2(m2)xm27m12 为偶函数，则m的值是( ) A1 B2 C3 D4 7如图，点P在边长为 1 的正方形边上运动，设M是CD的中点，则当P沿ABCM运动时，点P经过的路程x与APM的面积y之间的函数yf(x)的图像大致是( ) 8已知定义在 R R 上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)且在区间0,2上是增函数，则( ) Af(1)f(3)f(4) Bf(4)f(3)f(1) Cf(3)f(4)f(1) Df(1)f(4)f(3) 二、多项选择题(本大题共 4
3、 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分) 9下列幂函数中，其图象过点(0,0)，(1,1)，且为偶函数的是( ) Ayx12 Byx2 Cyx14 Dyx4 10若奇函数f(x)在3,7上是增函数，且最小值是 1，则它在7，3上( ) A是增函数 B最大值是1 C是减函数 D最小值是1 11已知f(x)32|x|，g(x)x22x，F(x) gx若fxgxfx若fxgx，则F(x)( ) A最小值1 B最大值为 72 7 C无最小值 D无最大值 12已知f(x)是定义在0，)上的函数，
4、根据下列条件，可以断定f(x)是增函数的是( ) A对任意x0，都有f(x1)f(x) B对任意x1，x20，)，且x1x2，都有f(x1)f(x2) C对任意x1，x20，)，且x1x20，都有f(x1)f(x2)0 D对任意x1，x20，)，且x1x2，都有fx1fx2x1x20 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13函数f(x) 42x1x1的定义域是_ 14已知f(x) 2x，x0，fx，x0，则f43f43等于_ 15已知幂函数f(x)x的图象经过点(9,3)，则f12_22_，函数f1x1 的定义域为_ 16设1,2,3，1，则使yx为奇函数且在(0，
5、)上单调递增的的值为_ 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 10 分)已知函数f(x)axb，且f(1)2，f(2)1 (1)求f(m1)的值； (2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明 18(本小题满分 12 分)已知函数f(x)3axa1(a1) (1)若a0，求f(x)的定义域； (2)若f(x)在区间(0,1上单调递减，求实数a的取值范围 19(本小题满分 12 分)某商品在近 30 天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为P t20，0t25，t100，25t30(tN N*) 设商品的日销售量Q(件
6、)与时间t(天)的函数关系为Q40t(0t30，tN N*)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大时是第几天 20(本小题满分 12 分)已知二次函数f(x)的最小值为 1，且f(0)f(2)3 (1)求f(x)的解析式； (2)若f(x)在区间2a，a1上不单调，求实数a的取值范围 21(本小题满分 12 分)如果函数yf(x)(xD)满足： f(x)在D上是单调函数； 存在闭区间a，bD，使f(x)在区间a，b上的值域也是a，b 那么就称函数yf(x)为闭函数 试判断函数yx22x在1，)内是否为闭函数如果是闭函数，那么求出符合条件的区间a，b；如果不是闭函数，请说明理由
7、22 (本小题满分 12 分)已知函数yxtx有如下性质： 如果常数t0， 那么该函数在(0，t)上是减函数，在t，)上是增函数 (1)已知f(x)4x212x32x1，x0,1， 利用上述性质， 求函数f(x)的单调区间和值域； (2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)x2a， 若对任意x10,1， 总存在x20,1，使得g(x2)f(x1)成立，求实数a的值 第二章第二章函数函数 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1函数yx21的值域是( B ) A0，) B1，) C(0，) D(1，) 解析 由题
8、意知，函数yx21的定义域为 R R，则x211，y1 2下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的为( A ) Ayx1 Byx3 Cy1x4 Dyx|x| 解析 A 中函数为非奇非偶函数，B 中函数为奇函数，C 中函数为偶函数，D 中函数为奇函数，故选 A 3已知函数yf(x)的部分x与y的对应关系如下表： x 3 2 1 0 1 2 3 4 y 3 2 1 0 0 1 2 3 则ff(4)( D ) A1 B2 C3 D3 解析 由图表可知，f(4)3，ff(4)f(3)3 4已知幂函数f(x)x的图象过点2，12，则函数g(x)(x2)f(x)在区间12，1 上的最小值是( C ) A1
9、B2 C3 D4 解析 由已知得 212， 解得1， g(x)x2x12x在区间12，1 上单调递增，则g(x)ming123，故选 C 5已知函数f(x1)x23，则f(2)的值是( B ) A2 B6 C1 D0 解析 解法一：令x12，则x3， f(2)3236 解法二：令x1t，则xt1， f(t)(t1)23t22t2， f(2)222226 6已知函数f(x)(m1)x2(m2)xm27m12 为偶函数，则m的值是( B ) A1 B2 C3 D4 解析 由题意得m20，m2 7如图，点P在边长为 1 的正方形边上运动，设M是CD的中点，则当P沿ABCM运动时，点P经过的路程x与A
10、PM的面积y之间的函数yf(x)的图像大致是( A ) 解析 根据题可得，当 0 x1 时，SAPM121x12x； 当 1x2 时，SAPMS梯形ABCMSABPSPCM121121121(x1)1212(2x)14x34； 当 2x52时，SAPMS梯形ABCMS梯形ABCP12112112(1x2)112x54， yf(x) 12xx，14x34x，12x542x52. 根据函数解析式，结合图形，可知选项 A 符合，故选 A 8已知定义在 R R 上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)且在区间0,2上是增函数，则( D ) Af(1)f(3)f(4) Bf(4)f(3)f(1) Cf(
11、3)f(4)f(1) Df(1)f(4)f(3) 解析 因为f(x)是 R R 上的奇函数，所以f(0)0， 又f(x)满足f(x4)f(x)，则f(4)f(0)0， 又f(x)f(x)且f(x4)f(x)， 所以f(3)f(3)f(14)f(1)， 又f(x)在区间0,2上是增函数，所以f(1)f(0)， 即f(1)0，所以f(1)f(1)0，f(3)f(1)0，可得f(1)f(4)f(3)，故选 D 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分) 9下列幂函数
12、中，其图象过点(0,0)，(1,1)，且为偶函数的是( BD ) Ayx12 Byx2 Cyx14 Dyx4 解析 由题设知该幂函数为偶函数，且幂指数大于 0，故选 BD 10若奇函数f(x)在3,7上是增函数，且最小值是 1，则它在7，3上( AB ) A是增函数 B最大值是1 C是减函数 D最小值是1 解析 奇函数在对称区间上的单调性相同，最值互为相反数yf(x)在7，3上有最大值1 且为增函数故选 AB 11已知f(x)32|x|，g(x)x22x，F(x) gx若fxgxfx若fxgx，则F(x)( BC ) A最小值1 B最大值为 72 7 C无最小值 D无最大值 解析 作出F(x)
13、的图象，如图实线部分，知有最大值而无最小值，且最大值不是 3，故选 BC 12已知f(x)是定义在0，)上的函数，根据下列条件，可以断定f(x)是增函数的是( CD ) A对任意x0，都有f(x1)f(x) B对任意x1，x20，)，且x1x2，都有f(x1)f(x2) C对任意x1，x20，)，且x1x20，都有f(x1)f(x2)0 D对任意x1，x20，)，且x1x2，都有fx1fx2x1x20 解析 根据题意，依次分析选项：对于选项 A，对任意x0，都有f(x1)f(x)，不满足函数单调性的定义， 不符合题意； 对于选项 B， 当f(x)为常数函数时， 对任意x1，x20，)， 都有f
14、(x1)f(x2)， 不是增函数， 不符合题意； 对于选项 C， 对任意x1，x20， )，且x1x20，都有f(x1)f(x2)0，符合题意；对于选项 D，对任意x1，x20，)，设x1x2，若fx1fx2x1x20，必有f(x1)f(x2)0，则函数在0，)上为增函数，符合题意 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13函数f(x) 42x1x1的定义域是_x|x2 且x1_ 解析 由题意得 42x0 x10， 解得x2 且x1， 函数f(x)的定义域为x|x2 且x1 14已知f(x) 2x，x0，fx，x0，则f43f43等于_4_ 解析 f(x) 2x，x0
15、，fx，x0， f43f431 f13f131 f2323243，f4324383， f43f4343834 15已知幂函数f(x)x的图象经过点(9,3)，则f12_22_，函数f1x1 的定义域为_(0,1_ 解析 幂函数f(x)的图象经过点(9,3)， 所以 39， 所以12， 所以幂函数f(x)x，故f1222，故1x10，解得 0 x1 16设1,2,3，1，则使yx为奇函数且在(0，)上单调递增的的值为_1 或 3_ 解析 当1 时，yx为奇函数，且在 R R 上单调递增，满足题意；当2 时，yx2为偶函数不满足题意；当3 时，yx3为奇函数，且在 R R 上单调递增，满足题意；当
16、1 时，y1x为奇函数，但在(0，)上单调递减，不满足题意 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 10 分)已知函数f(x)axb，且f(1)2，f(2)1 (1)求f(m1)的值； (2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明 解析 (1)由f(1)2，f(2)1，得ab2,2ab1，即a3，b5， 故f(x)3x5， f(m1)3(m1)53m2 (2)f(x)在 R R 上是减函数证明：任取x1x2(x1，x2R R)， 则f(x2)f(x1)(3x25)(3x15)3x13x23(x1x2)，因为x1x2，所以f(x2)
17、f(x1)0， 即函数f(x)在 R R 上单调递减 18(本小题满分 12 分)已知函数f(x)3axa1(a1) (1)若a0，求f(x)的定义域； (2)若f(x)在区间(0,1上单调递减，求实数a的取值范围 解析 (1)当a0 且a1 时， 由 3ax0 得x3a， 即函数f(x)的定义域是，3a (2)当a10， 即a1时， 要使f(x)在(0,1上单调递减， 则需3a10， 此时1a3 当a10，即a1 时，要使f(x)在(0,1上单调递减，则需a0，且 3a10，此时a0 综上所述，所求实数a的取值范围是(，0)(1,3 19(本小题满分 12 分)某商品在近 30 天内每件的销
18、售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为P t20，0t25，t100，25t30(tN N*) 设商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q40t(0t30，tN N*)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大时是第几天 解析 设日销售金额为y元，则yPQ，所以 y t220tt25，tN N*，t2140tt30，tN N* 当 0t25 且tN N*时，y(t10)2900， 所以当t10 时，ymax900 当 25t30 且tN N*时，y(t70)2900， 所以当t25 时，ymax1 125 结合得ymax1 125因此这种商品日销售金额的最大值为 1 1
19、25 元，且在第 25 天日销售金额最大 20(本小题满分 12 分)已知二次函数f(x)的最小值为 1，且f(0)f(2)3 (1)求f(x)的解析式； (2)若f(x)在区间2a，a1上不单调，求实数a的取值范围 解析 (1)由f(0)f(2)知二次函数f(x)关于直线x1 对称，又函数f(x)的最小值为1， 故可设f(x)a(x1)21， 由f(0)3，得a2 故f(x)2x24x3 (2)要使函数不单调，则 2a1a1， 则 0a12 故实数a的取值范围0，12 21(本小题满分 12 分)如果函数yf(x)(xD)满足： f(x)在D上是单调函数； 存在闭区间a，bD，使f(x)在区
20、间a，b上的值域也是a，b 那么就称函数yf(x)为闭函数 试判断函数yx22x在1，)内是否为闭函数如果是闭函数，那么求出符合条件的区间a，b；如果不是闭函数，请说明理由 解析 设x1，x2是1，)内的任意两个不相等的实数，且1x1x2，则有 f(x2)f(x1)(x222x2)(x212x1) (x22x21)2(x2x1)(x2x1)(x1x22) 1x1x2，x2x10，x1x220 (x2x1)(x1x22)0 f(x2)f(x1) 函数yx22x在1，)内是增函数 假设存在符合条件的区间a，b，则有 faa，fbb，即 a22aa，b22bb. 解得 a0，b0或 a0，b1或 a
21、1，b0或 a1，b1. 又1ab， a1b0 函数yx22x在1，)内是闭函数，符合条件的区间是1,0 22 (本小题满分 12 分)已知函数yxtx有如下性质： 如果常数t0， 那么该函数在(0，t)上是减函数，在t，)上是增函数 (1)已知f(x)4x212x32x1，x0,1， 利用上述性质， 求函数f(x)的单调区间和值域； (2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)x2a， 若对任意x10,1， 总存在x20,1，使得g(x2)f(x1)成立，求实数a的值 解析 (1)yf(x)4x212x32x12x142x18，设u2x1，x0,1，1u3，则yu4u8，u1,3由已知性质得，当 1u2，即 0 x12时，f(x)单调递减，所以单调减区间为0，12；当 2u3，即12x1 时，f(x)单调递增，所以单调增区间为12，1；由f(0)3，f(12)4，f(1)113，得f(x)的值域为4，3 (2)g(x)x2a为减函数，故g(x)12a，2a，x0,1由题意知，f(x)的值域是g(x)的值域的子集， 12a4，2a3，a32
