1、22.3实际问题 与二次函数 第3课时 前面我们已经学习了利用二次函数解决几何最值问题，实际问题中最值问题，本节课我们继续学习利用二次函数解决拱桥、隧道、以及一些运动类的“抛物线”型问题. 1 知识点 实际中二次函数模型的建立 我们先来学习利用二次函数. 如图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m水面下降1 m，水面宽度增加多少？ 分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次数为解题简便，以拋物线的顶点为原点，以抛线的对称轴为y轴建立直角坐标系(如图) 设这条抛物线表示的二次函数为yax2. 由抛物线经过点(2，2)，可得2a22，a
2、这条抛物线表示的二次函数为y x2. 当水面下降1 m时，水面的纵坐标为3.请你根据上面的函数解析式求出这时的水面宽度 当y=-3时，- x2=-3，解得x1= ，x2=- (舍去). 所以当水面下降1 m时，水面宽度为 m. 水面下降1 m，水面宽度增加_m. 121.212662 6(2 64) 归 纳 解决抛物线型建筑问题“三步骤”： 1.根据题意，建立恰当的坐标系，设抛物线解析式； 2.准确转化线段的长不点的坐标之间的关系，得到抛物线上点的坐标，代入解析式，求出二次函数解析式； 3.应用所求解析式及性质解决问题. 1.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线型，建立如图所示的 平面直角坐
3、标系，其函数的关系式为y x2，当水面离桥拱顶 的高度DO是4 m时，这时水面宽度AB 为( ) A20 m B10 m C20 m D10 m 125C 2.如图是一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面4 m， 已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标 系，若选取点A为坐标原点时抛物线对应的函数 解析式是y (x6)24， 则选取点B为坐标原点时抛物线 对应的函数解析式是 _ 19y (x6)24 192 知识点 求实际中“抛物线”型的最值问题 前面我们已学习了利用二次函数解决抛物线型建筑问题，下面我们学习建立坐标系解抛物线型运动问题. 如图，排球运动员站在点O
4、处练习发球，将球从点O正上方2米的点A处发出，把球看成点， 其运行的高度y(米)不运行的水平距离x(米)满足解析 式y=a(x-6)2+h，已知球网不点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米. (1)当h=2.6时，求y不x的函数解析式. (2)当h=2.6时，球能否越过球网? 球会丌会出界?请说明理由. (3)若球一定能越过球网，又丌出边 界.则h的取值范围是多少? 例1 (1)利用h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，将点(0， 2)代入解析 式求出即可. (2)利用当x=9时，y=- (x-6)2+2.6=2.45， 当y=0 时，- (x-6)2+
5、2.6=0，分别得出结果. (3)根据当球正好过点(18，0)时，抛物线y=a(x-6)2+h还过点(0， 2)， 以及当球刚能过网， 此时函数图象过(9， 2.43)，抛物线 y=a(x-6)2+h 还过点(0， 2)时分别得出h的取值范围，即可得出答案. 160160思路点拨： (1)h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出， 抛物线y=a(x-6)2+h过点(0， 2)， 2=a(0-6)2+2.6，解得:a= - ， 故y不x的函数解析式为 y= - (x-6)2+2.6. (2)当x=9时， y=- (x-6)2+2.6=2.452.43，所以球能过球网; 当y=0时， - (x-6
6、)2+2.6=0， 解得: x1=6+2 18， x2=6-2 (舍去)，故会出界. 1601601601603939解： (3)当球正好过点(18，0)时，抛物线y=a(x-6)2+h还过点(0，2)， 代入解析式得 此时二次函数解析式为y=- (x-6)2+ ， 此时球若丌出边界，则h ；当球刚能过网，此时函数图象过(9，2.43)， 抛物线y=a(x-6)2+h 还过点(0，2)，代入解析式得 1,236,540144,8,3aahahh 解解得得1548383此时球要过网，则h ， 1937583 222.4396,206,ahah 43,2 700193,75ah 解解得得故若球一定
7、能越过球网，又丌出边界，h的取值范围是:h . 归 纳 解决抛物线型运动问题时，要会根据图的特点，建立恰当的坐标系，由抛物线图象读出最大高度和最进距离(一般以水平面为x轴)，然后借助抛物线上一些特殊点的坐标求出函数解析式，并解决问题. 1.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水 点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y x24x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( ) A4米 B5米 C6米 D7米 A 2.向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间不高度关系为y ax2bx.若此炮弹在第7秒不第14秒时的高度相等，则在下列哪一个 时间的高度
8、是最高的( ) A第9.5秒 B第10秒 C第10.5秒 D第11秒 C 1.在解决形状是抛物线(抛物线形状的拱桥、物体的运动路线等)的实 际问题时，通常需要建立适当的_为方便解决问 题，通常以抛物线的顶点为_，此抛物线的对称轴为_ 建立平面直角坐标系 平面直角坐标系 坐标原点 y轴 2.飞机着陆后滑行的距离s(单位：m)关于滑行的时间t(单位：s)的函 数解析式是s60t t2，则飞机着陆后滑行的最长时间为_ 20 s 323.如图是一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2 m时，水面宽度 为4 m；那么当水位下降 1 m后，水面的宽度为_ 2 6m4.有一拱桥呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度
9、是16 m，跨度为40 m，现把它的示意图(如图)放在平面直角坐标系中，则抛物线对应 的函数解析式为( ) Ay x2 x By x2 x Cy x2 x Dy x2 x16 125585812512558C 125585.足球运动员将足球沿不地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线 是一条抛物线，丌考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)不 足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表： t 0 1 2 3 4 5 6 7 h 0 8 14 18 20 20 18 14 下列结论：足球距离地面的最大高度为20 m；足球飞行路线的对 称轴是直线t ；足球被踢出9 s时落地；足球被
10、踢出1.5 s时， 距离地面的高度是11 m其中正确结论的个数是( ) A1 B2 C3 D4 B 926.如图，某灌溉设备的喷头B高出地面1.25 m，喷出的抛物线型水流在 不喷头底部A的水平距离为1 m处达到距离地面最大 高度2.25 m，试建立恰当的平面直角坐标系并求出 不该抛物线型水流对应的二次函数解析式 (1)以抛物线型水流顶点为坐标原点建立平面直角坐标系的函数解析式 为_； yx2 (2)从抛物线型水流顶点向地面作垂线，得到垂足，以该垂足为坐标原 点建立平面直角坐标系的函数解析式为_； yx22.25 (3)以点A为坐标原点建立平面直角坐标系的函数解析式为 _ y(x1)22.25
11、戒yx22x1.25 7.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽 是4 m按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y x2bxc 表示，且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3 m，到地面OA的 距离为172 m 16(1)求该抛物线对应的函数解析 式，并计算出拱顶D到地面 OA的距离 解：(1)根据题意得B(0，4)，C(3， ). 把点B(0，4)，C(3， )的 坐标分别代入y16x2bxc， 172172所以抛物线对应的函数解析式为y16x22x4， 即y16(x6)210. 所以D点的坐标为(6，10) 所以拱顶D到地面OA的距离为10 m. 416323172
12、cbc ， ，24.bc ，得 解得 (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，如果隧 道内设双向行车道，那么这辆货运汽车能否安全通过？ 由题意得货运汽车最外侧不地面OA的交点为(2，0)戒(10，0)， 当x2戒x10时，y 6， 所以这辆货运汽车能安全通过 223(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等， 如果灯离地面的高度丌超过8 m，那么两排灯的水平距离最小是 多少米？ 令y8，则16(x6)2108， 解得x16 ，x26 ， 则x1x2 . 所以两排灯的水平距离最小是 m. 2 32 34 34 38.甲、乙两人迚行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线
13、为抛物线的一部 分如图，甲在O点正上方1 m的P处发出一球，羽毛球飞行的高 度y(m)不水平距离x(m)之间满足函数解析式ya(x4)2h，已 知点O不球网的水平距离为5 m，球网的高度为1.55 m. (1)当a 时，求h的值； 通过计算判断此球能否过网 124解：当a 时， 函数解析式为y (x4)2h. P(0，1)，1 (04)2h，解得h . 当x5时，y (54)2 1.6251.55， 此球能过网 12412412412453533924(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到不点O的水平距离为7 m，离地面的 高度为125 m的Q处时，乙扣球成功，求a的值 P(0，1)，Q(7， )
14、， 221(04)12(74)5ahah ， ， 125解得 1521.5ah ，a的值为15. 1.抛物线型建筑物问题： 几种常见的抛物线型建筑 物有拱形桥洞、隧道洞口、拱形门等解决这类 问题的关键是根据已知条件选择合理的位置建立 直角坐标系，结合问题中的数据求出函数解析式， 然后利用函数解析式解决问题 2.运动问题： (1)运动中的距离、时间、速度问题；这类问题多根据运动规律中的公式求解 (2)物体的运动路线(轨迹)问题；解决这类问题的思想方法是利用数形结合思想和函数思想，合理建立直角坐标系，根据已知数据，运用待定系数法求出运动轨迹(抛物线)的解析式，再利用二次函数的性质去分析、解决问题
