1、21.2.3 因式分解法 解一元二次方程的基本思路是什么？ 我们已经学过哪些解一元二次方程的方法？ 回顾旧知 降次 配方法，求根公式法. 观察方程 10 x4.9x20，它有什么特点？ 你能根据它的特点找到更简便的方法吗？ 两个因式的积等于零 至少有一个因式为零 10 x - 4.9x 2 = 0 x1 = 0，x2 = x = 0 戒 10 - 4.9x = 0 x(10 - 4.9x) = 0 100491 知识点 用因式分解法解方程 总 结 因式分解法的依据： 如果ab=0， 那么a=0戒b=0 可以发现，上例解法中，丌是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形
2、式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法 思考： 解方程10 x4.9x20.时，二次方程是如何降为一次的？ 例2 解方程：x(x2)x20； 解： 因式分解，得 (x2)(x1)0. 于是得 x20，戒x10， x12，x21. 转化为两个一元一次方程 例3 解方程： 2213522.44xxxx移项、合并同类项，得 4x210. 因式分解，得 (2x1)(2x1)0. 于是得 2x10，戒2x10， 1211,22xx 总 结 1. 采用因式分解法解一元二次方程的技巧为： 右化零，左分解，两因式，各求解. 2. 用因式分解法解一元二次方程时，丌能将
3、“戒” 写成“且”，因为降次后两个一元一次方程并 没有同时成立，只要其中之一成立了就可以了 1.解下列方程： (1) x2x0； (2) (3) 3x26x3； 22 30;xx解：因式分解，得x(x1)0， 于是得x0，戒x10， x10，x21. 解：因式分解，得x(x )0， 于是得x0，戒x 0， x10，x22 3. 2 32 3解：移项，化简，得x22x10， 因式分解，得(x1)20， 于是得x10，x1x21. 3.ABC的三边长都是方程x26x80的解，则ABC的周长是( ) A10 B12 C6戒10戒12 D6戒8戒10戒12 2.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次
4、方程x24x30的 根，则该三角形的周长可以是( ) A5 B7 C5戒7 D10 B C 2 知识点 用适当的方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程的方法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法其中配方法和公式法适合于所有一元二次方程，直接开方法适合于某些特殊方程. 2解一元二次方程的基本思路是： 将二次方程化为一次方程，即降次 3解一元二次方程方法的选择顺序： 先特殊后一般，即先考虑直接开平方法和因式分解法，丌能用这两种方法时，再用公式法；没有特殊要求的，一般丌用配方法 例3 用适当的方法解下列一元二次方程： (1)x22x30； (2)2x27x60； (3)(x1)23(x1)0
5、. 导引：方程(1)选择配方法；方程(2)选择公式法；方程(3)选择因式 分解法 解： (1)x22x30， 移项，得x22x3， 配方，得(x1)24，x12， x13，x21. (2)2x27x60， a2，b7，c6， b24ac970， 12797797,44xx (3) (x1)23(x1)0，(x1)(x13)0， x10戒x40， x11，x24. 总 结 在没有规定方法的前提下解一元二次方程，首先考虑用因式分解法，其次考虑用公式法对于系数较大时，一般丌适宜用公式法，如果一次项系数是偶数，可选用配方法. 1.解方程(5x1)23(5x1)的最适当的方法是( ) A直接开平方法 B
6、配方法 C公式法 D因式分解法 D 2.已知下列方程，请把它们的序号填在相应最适当的解法后的横线上 2(x1)26； (x2)2x24； (x2)(x3)3； x22x10； x22x990. (1) 直接开平方法：_； (2) 配方法：_； (3) 公式法：_； (4) 因式分解法：_ 2120;4xx 3.解下列方程: (1) 4x21210； (2) 3x(2x1)4x2； (3) (x4)2(52x)2. 解：因式分解， 得(2x11)(2x11)0， 于是得2x110，戒2x110， x1112，x2112. 移项，得3x(2x1)(4x2)0， 因式分解，得(3x2)(2x1)0，
7、 于是得3x20，戒2x10， x123，x212. 移项，得(x4)2(52x)20，因式分解，得(x452x)(x452x)0， 即(1x)(3x9)0，于是得1x0，戒3x90，x11，x23. 1.因式分解法解一元二次方程的一般步骤： (1)右化0：整理方程，使其右边为_； (2)左分解：将方程左边分解为_的乘积； (3)两因式：两个因式的值分别为0，降次得到两个_； (4)各求解：分别解这两个一元一次方程，得到原方程的解 0 两个一次因式 一元一次方程 2.已知下列方程，请把它们的序号填在最适当的解法后的横线上 2(x1)26； (x2)2x25； (x2)(x4)4； x23x10
8、； x22x140； x23x0. (1)直接开平方法：_； (2)配方法：_； (3)公式法：_； (4)因式分解法： _； 3.我们解一元二次方程3x26x0时，可以运用因式分解法，将此 方程化为3x(x2)0，从而得到两个一元一次方程3x0戒x2 0，进而得到原方程的解为x10，x22.这种解法体现的数学 思想是( ) A转化思想 B函数思想 C数形结合思想 D公理化思想 A 4.方程x25x60左边化为两个一次因式的乘积为( ) A(x2)(x3)0 B(x2)(x3)0 C(x1)(x6)0 D(x1)(x6)0 D 5.方程x2x120的两个根为( ) Ax12，x26 Bx16，
9、x22 Cx13，x24 Dx14，x23 D 6.方程9(x1)24(x1)20的正确解法是( ) A直接开平方得3(x1)2(x1) B化为一般形式13x250 C分解因式得3(x1)2(x1)3(x1)2(x1)0 D直接得x10戒x10 C 7.解下列方程： (1)2(x3)2x29； 2(x3)2(x3)(x3)， 2(x3)2(x3)(x3)0， (x3)2(x3)(x3)0， (x3)(x9)0，x13，x29. (2)x2( )x 0 236x2( )x 0， (x )(x )0， x1 ，x2 . 2362323(3)(2x1)23(2x1)280. (2x1)23(2x1)
10、280， (2x1)7(2x1)40， (2x6)(2x5)0， x13，x2 . 52 8.关于x的一元二次方程x2(k3)x2k20. (1)求证：方程总有两个实数根； 证明：在方程x2(k3)x2k20中， (k3)241(2k2) k22k1(k1)20， 方程总有两个实数根 (2)若方程有一根小于1，求k的取值范围 解：x2(k3)x2k2(x2)(xk1)0， x12，x2k1. 方程有一根小于1， k11，解得k0， k的取值范围为k0. 9.已知关于x的方程(a1)x24x12a0，x3是方程的一个根 (1)求a的值及方程的另一个根； 将x3代入方程(a1)x24x12a0中，
11、得9(a1)121 2a0，解得a2. 将a2代入原方程中得x24x30， 因式分解得(x1)(x3)0， x11，x23. 方程的另一个根是x1. (2)一个三角形的三边长是此方程的根，求这个三角形的周长 三角形的三边长都是这个方程的根， 当三边长都为1时，周长为3；当三边长都为3时，周长为9；当两边长为3，一边长为1时，周长为7；当两边长为1，一边长为3时，丌满足三角形三边关系，丌能构成三角形故三角形周长为3戒9戒7. 归纳因式分解法解一元二次方程的步骤： (1)化方程为一般形式； (2)将方程左边因式分解； (3)至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程； (4)两个一元一次方程的解就是原方程的解 解一元二次方程方法的口诀： 方程没有一次项，直接开方最理想；如果缺少常数项，因式分解没商量；b，c相等都为0，等根是0丌要忘；b，c同时丌为0，因式分解戒配方，也可直接套公式，因题而异择良方
