1、13.3.2 等边三角形 第2课时 思考1 等边三角形是轴对称图形，若沿着其中一条对称轴折叠，能产生什么特殊图形？ 思考2 这个特殊的直角三角形相比一般的直角三角形有什么丌同之处，它有什么特殊性质？ 1 知识点 含30角的直角三角形的性质 活动 用两个全等的含30角的直角三角尺，你能拼出怎样的三角形？能拼出等边三角形吗？请说说你的理由 A B D C A B C D 问题 你能借助这个图形，找到含30角的直角ABC 的直角边BC 不斜边AB 之间有什么数量关系吗？ A B D C 猜想 在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一卉. 已知：如图，在RtABC 中，C
2、=90，A =30. 求证：BC = AB 12在ABC 中， C =90，A =30， B =60 延长BC 到D，使BD =AB， 连接AD， 则ABD 是等边三角形 A B C D 证明： 等边三角形的性质可知，AC也是BD 边上的中线， BC = BD = AB 1212在直角三角形中，如果有一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一卉. 定理： 例1 图13. 3-9是屋架设计图的一部分，点 D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC， AB = 7.4m，A = 30立柱 BC， DE 要多长. 解： DEAC，BCAC，A30， BC= AB ， DE = AD. B
3、C= 7.4=3.7(m). 又AD= AB， DE= AD= 3.7=1.85(m). 答：立柱BC的长是3.7m ， DE的长是1.85m. 121212121212总 结 利用含30角的直角三角形的性质，关键有两个元素： 一是30的角；二是直角三角形根据这两个元素可建立直角三角形中斜边不直角边之间的关系 1.如图，在RtABC中，C90，A30，ABBC12 cm， 则AB等于( ) A6 cm B7 cm C8 cm D9 cm C 2.如图，已知在ABC中，ABAC，C30，ABAD，则下列关 系式正确的为( ) ABDCD BBD2CD CBD3CD DBD4CD B 2 知识点
4、含30角的直角三角形性质的应用 例2 如图，某货轮于上午8时20分从A处出发，此时观测到海岛B的方位为北偏东60，该货轮以每小时30海里的速度向东航行到C处，此时观测到海岛B的方位为北偏东30，继续向东航行到D处，观测到海岛B的方位为北偏西30.当货轮到达C处时恰好不海岛B相距60海里，求该货轮到达C，D处的时间 导引：说明ABC是等腰三角形及BCD是等边 三角形是解决本题的关键 解：由已知，得BAC906030， ACB9030120，BCDBDC60， ABCBCDBAC30， CBD180BCDBDC60， ABCBAC30， ACBC60 海里， 货轮从A处到C处所需时间为60302(
5、小时) CBDBCDBDC 60， BCD是等边三角形， CDBC60海里， 货轮从C处到D处所需时间为60302(小时)， 货轮 从A处到D处所需时间为224(小时) 答：该货轮到达C处的时间是上午10时20分，到达D处的时间是中午12时20分 总 结 本题运用建模思想，把实际问题转化为等边三角形和等腰三角形模型，从而利用等边三角形、等腰三角形及方位角的有关知识解决问题 1.如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于 横梁AD，AB8 m， A30，则立柱BC的长度为( ) A4 m B8 m C10 D16 m A 2.如图是某商场一楼不二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别 表示一楼
6、、二楼地面的水平线，ABC150，BC的长是8 m，则 乘电梯从点B到点C上升的高度h是( ) A3 m B4 m C5 m D6 m B 1.在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于 _ 斜边的一卉 2.如图，在RtABE中，A90，B60， BE10，D是线段AE上的一动点，过点D作 CD交BE于点C，并使得CDE30，则CD 长度的取值范围是_ 0CD5 3.实际中有关测量的应用，常常要涉及建立直角三角形模型问题，用 _三角形的性质解决实际问题 直角 4.如图，某轮船于上午11时30分在A处观测海岛B在北偏东60方向，该 轮船以每小时10 n mile的速度向东航行到
7、C处，在C处观测到海岛B在 北偏东30方向，继续向东航行到D处，在 D处观测到海岛B在北偏西30方向，当轮船 到达C处时恰不海岛B相距20 n mile.则轮船 到达C处的时间为_， 到达D处的时间为_ 13时30分 15时30分 5.已知在RtABC中，CD是斜边AB上的高，B30，CD2 cm， 则BC的长是( ) A2 cm B4 cm C8 cm D16 cm B 6.ABC中，A:B:C1:2:3，则BC:AB等于( ) A2:1 B1:2 C1:3 D2:3 B 7.如图，在ABC中，ABAC，BAC120，D为BC的中点，DE AC于点E.若AE2，则EC的长为( ) A2 B4
8、 C6 D8 C 8.如图，在ABC中，ACB90，B15，DE垂直平分AB，交BC 于点E，垂足为点D.若BE6 cm，则AC等于( ) A6 cm B5 cm C4 cm D3 cm D 9.小明用测角仪器量出上山的路的坡角(斜坡不水平面的夹角)为30，他又 测得上山沿坡路登上山顶共需走2 000 m，于是他知道这座山高( ) A500 m B1 000 m C1 200 m D1 500 m B 10.如图，一棵大树在一次强台风中离地面5 m处折断倒下，倒下部分 不地面成30角，这棵大树在折断前的高度为( ) A10 m B15 m C25 m D30 m B 11.如图，已知在ABC中
9、，ABAC，D为BC边的中点，过点D作DE AB，DFAC，垂足分别为E，F. (1)求证DEDF； 证明：DEAB，DFAC，BEDCFD90. ABAC，BC. D是BC的中点， BDCD. 在BED和CFD中， BEDCFD，BC，BDCD， BEDCFD(AAS) DEDF. (2)若A60，BE1，求ABC的周长 解：ABAC，A60， ABC为等边三角形B60. BED90，BDE30. BE BD. BE1，BD2.BC2BD4. ABC的周长为12. 1212.如图，等边ABC的边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DEBC 于点E，过点E作EFAC于点F. (1)若AD2，求
10、AF的长； 解：由题意知ABBCAC8，BAC60. BDABAD826，BDE906030， BE BD3. EC835. FEC906030， FC5 . AF8 . 12125252112(2)当AD取何值时，DEEF? 当DEEF时，易证BDECEF， BECF，BDCE. CF CE，BE CE. 又BECE8， CE .BD .AD .即当AD 时，DEEF. 12163121638383定理 在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一卉 利用含30角的直角三角形的性质求有关线段的长： 依据：直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一卉 用途：求线段长度和证明线段倍分关系 作法：当图形中含有30角时，通过作垂线构造含有30角的直角三角形
