第二十二章二次函数 单元试卷(含答案)2022-2023学年人教版数学九年级上册

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1、 第第 2222 章二次函数章二次函数 一、单选题一、单选题 1下列函数中是二次函数的是( ) A = 1 B =12 C = ( 2)2 2 D = ( 1) 2用长为 2 米的绳子围成一个矩形,它的一边长为 x 米,设它的面积为 S 平方米,则 S 与 x 的函数关系为( ) A正比例函数关系 B反比例函数关系 C一次函数关系 D二次函数关系 3设 A( 2 , 1 ) ,B( 1 , 2 ) ,C(3, 3 )是抛物线 = 2+ 1 上的三点,则 1 , 2 , 3 的大小关系为( ) A2 1 3 B1 3 2 C3 2 1 D3 1 2 4二次函数 y3(x1)22 图象的顶点坐标是

2、( ) A(2,1) B(2,1) C(1,2) D(1,2) 5抛物线 = 2, = 32+ 1, = 22 3 共有的性质是( ) A开口向上 B都有最高点 C对称轴是 轴 D 随 的增大而减小 6二次函数 yx 3x1 的图象的顶点在( ) A第四象限 B第三象限 C第二象限 D第一象限 7对于二次函数 yx2 4x 1 的图象,下列叙述正确的是( ) A开口向下 B对称轴为直线 x2 C顶点坐标为( 2, 5) D当 x2 时,y 随 x 增大而减小 8抛物线 yax2+bx+c(a0)的部分图象如图所示,关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 的解分别为x1,x2,则 x1+x

3、2的值为( ) A2 B1 C1 D2 9已知二次函数 = ( 1)( 2)与轴的交点是 (1, 0) 和 (3, 0) , 关于的方程( 1)( 2) = (其中 0)的两个解分别是1和 5,关于的方程( 1)( 2) = (其中0 )也有两个整数解,这两个整数解分别是( ) A1 和 4 B2 和 5 C0 和 4 D0 和 5 10如图,四边形 ABCD 中,AB=AD,CEBD,CE= 12BD若 ABD 的周长为 20cm,则 BCD 的面积 S(cm2)与 AB 的长 x(cm)之间的函数关系式可以是( ) A =142 10 + 100 B = 22 40 + 200 C = 2

4、 20 + 100 D = 2+ 20 + 100 二、填空题二、填空题 11若二次函数 y2x23 的图象上有两个点 A(1,m),B(2,n),则 m n(填“”) 12如果抛物线 = 2+ 1的对称轴是轴,那么顶点坐标为 13如果抛物线 = 2+ + 4的顶点在轴上,那么常数 m 的值是 14二次函数 yax2+bx+c(a0)的图象如图所示,则关于 x 的方程 ax2+bx+c0(a0)的解为 15某件商品的销售利润 y(元)与商品销售单价 x(元)之间满足 = 2+ 6 7,不考虑其他因素,销售一件该商品的最大利润为 元 三、解答题三、解答题 16若函数 y=(a-1)x(b+1)+

5、x2+1 是二次函数,试讨论 a、b 的取值范围。 17在同一坐标系中,画出函数 y12x2,y22(x2)2与 y32(x2)2的图象,并说明 y2,y3的图象与y12x2的图象的关系 18用配方法把二次函数 = 22+ 6 + 4 化为 = ( + )2+ 的形式,再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 19把抛物线 yax2+bx+c 先向右平移 3 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度,所得抛物线是 yx23x+5,求 a+b+c 的值 20用配方法把二次函数 y 12 x24x+5 化为 ya(xm)2+k 的形式,并写出该函数图象的顶点坐标. 21已知二次函数 y=kx2

6、2x1 的图像与 x 轴有两个不同的交点,求实数 k 的取值范围 22如图,拱门的地面宽度为 200 米,两侧距地面高 150 米处各有一个观光窗,两窗的水平距离为 100米,求拱门的最大高度. 23某商家销售一款商品,该商品的进价为每件 80 元,现在的售价为每件 145 元,每天可销售 40 件.商场规定每销售一件需支付给商场管理费 5 元,通过市场调查发现,该商品单价每降 1 元,每天销售量增加 2 件.若每件商品降价 x 元,每天的利润为 y 元,请完成以下问题的解答. ()用含 x 的式子表示:每件商品的售价为 元;每天的销售量为 件; ()求出 y 与 x 之间的函数关系式,并求出

7、售价为多少时利润最大?最大利润是多少元? 答案解析答案解析 1 【答案】D 【知识点】二次函数的定义 【解析】【解答】解:A、 = 1是一次函数,不是二次函数,故 A 不符合题意; B、 =12函数关系式不是整式,不是二次函数,故 B 不符合题意; C、 = ( 2)2 2= 2 4 + 4 2= 4 + 4, 是一次函数, 不是二次函数, 故 C 不符合题意; D、 = ( 1) = 2 是二次函数,故 D 符合题意; 故答案为:D 【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可。 2 【答案】D 【知识点】二次函数的定义 【解析】【解答】解:设矩形的一边长为 x 米,则另一边长为222米, 则 =

8、 222= 2+ 则 S 与 x 的函数关系为二次函数关系 故答案为:D 【分析】设矩形的一边长为 x 米,则另一边长为222米,根据矩形的面积公式可得 = 222=2+ ,即可得到答案。 3 【答案】A 【知识点】二次函数 y=ax2 的性质 【解析】【解答】解:当 = 2 时, 1= 2+ 1 = (2)2+ 1 = 3 , 当 = 1 时, 2= 2+ 1 = (1)2+ 1 = 0 , 当 = 3 时, 3= 2+ 1 = 32+ 1 = 8 , 所以 2 1 3 故答案为:A 【分析】把三个点的坐标代入抛物线解析式分别计算得出1,2,3,再进行大小比较即可。 4 【答案】D 【知识点

9、】二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象 【解析】【解答】解:y=3(x-1)2+2, 抛物线顶点为(1,2) 故答案为:D 【分析】二次函数 y=a(x-h)2+k(a0)的顶点坐标为(h,k) ,据此解答即可. 5 【答案】C 【知识点】二次函数 y=a(x-h)2+k 的性质 【解析】【解答】解:在 y=-x2中,a=-10,可知其开口向下,对称轴为 y 轴,有最高点,x0 时,y随 x 增大而增大,x0 时, y 随 x 的增大而减小; 在 y=-3x2+1 中,a=-30,可知其开口向下,对称轴为 y 轴,有最高点,x0 时 y 随 x 增大而增大,x0 时, y 随 x 的增大而

10、减小; 在 y=2x2-3 中,a=20,可知其开口向上,对称轴为 y 轴,有最低点,x0 时,y 随 x 的增大而减小,x0 时,y 随 x 的增大而增大; 三抛物线共有的性质是对称轴为 y 轴. 故答案为:C. 【分析】y=ax2,当 a0 时,开口向下,对称轴为 y 轴,有最高点,x0 时,y 随 x 的增大而增大,x0 时,y 随 x 的增大而减小;y=ax2+b,当 a0 时,开口向上,对称轴为 y 轴,有最低点,x0 时,y 随 x 的增大而减小,x0 时,y 随 x 的增大而增大. 6 【答案】C 【知识点】点的坐标与象限的关系;二次函数 y=ax2+bx+c 与二次函数 y=a

11、(x-h)2+k 的转化 【解析】【解答】解: = 2 3 + 1 = ( +32)2+134, 顶点坐标为(32,134), 顶点在第二象限, 故答案为:C 【分析】根据二次函数的解析式求出顶点坐标为(32,134),再求解即可。 7 【答案】B 【知识点】二次函数 y=ax2+bx+c 的图象;二次函数 y=ax2+bx+c 的性质 【解析】【解答】解:y=x2-4x-1=(x-2)2-5, 抛物线的开口向上,对称轴为直线 x=2,顶点坐标为(2,-5) ,当 x2 时,y 随 x 增大而增大, ACD 错误,B 正确. 故答案为:B. 【分析】先把抛物线的解析式化为顶点式,得出抛物线的开

12、口向上,对称轴为直线 x=2,顶点坐标为(2,-5) ,当 x2 时,y 随 x 增大而增大,逐项进行判断,即可得出答案. 8 【答案】D 【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用 【解析】【解答】解:关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 的解分别为 x1,x2, 抛物线与 x 轴两交点坐标(x1,0) , (x2,0) ,令 x1x2, 根据图像得 x2=1, 抛物线的对称轴为 x=-1, 1+22= 1, 1+ 2= 2 故答案为:D 【分析】先求出抛物线的对称轴为 x=-1,再求出1+22= 1,最后计算求解即可。 9 【答案】C 【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合

13、应用 【解析】【解答】解:二次函数 y=a(x-x1) (x-x2)与 x 轴的交点是(1,0)和(3,0) , 二次函数的对称轴方程为:x=2, 又关于 x 的方程 a(x-x1) (x-x2)=m(其中 m0)的两个解分别是-1 和 5, 二次函数 y=a(x-x1) (x-x2)开口向上(远离对称轴的点纵坐标变大) , 又x 的方程 a(x-x1) (x-x2)=n 也有两个整数解, 可得直线 y=n 在 x 轴和直线 y=m 之间, 两个整数解为 0 和 4. 故答案为:C. 【分析】根据二次函数与 x 轴的交点坐标,可求出二次函数的对称轴为 x=2,根据题意可得直线 y=n在 x 轴

14、和直线 y=m 之间,据此可得结论. 10 【答案】C 【知识点】二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【解答】解: AB=AD, ABD 的周长为 20cm,设 = , = 20 2, =12, =12(20 2) = 10 , , =12 =12(20 2)(10 ) = 2 20 + 100, 故答案为:C 【分析】 用含 x 的表示方法表示出 = 20 2, =12(20 2) = 10 ,再利用三角形的面积公式列出方程 = 2 20 + 100即可。 11 【答案】 【知识点】二次函数 y=ax2 的性质 【解析】【解答】 因点 A(1, m), (2,)在函数的图象上, 则有 =

15、2 12 3 = 1, = 2 22 3 = 5 所以 mn 【分析】先求出 = 2 12 3 = 1,再求出 = 2 22 3 = 5,最后比较大小即可。 12 【答案】(0,-1) 【知识点】二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象 【解析】【解答】 = 2+ 1中 a=-1,b=b 故 = 2= 2(1)= 0 解得 = 0 故抛物线为 = 2 1 将 = 0代入 = 2 1有 = 02 1 = 1 故顶点坐标为(0,-1) 故答案为: (0,-1) 【分析】根据抛物线的对称轴为 y 轴可得 = 2= 2(1)= 0,求出 b=0,即可得到抛物线的顶点坐标。 13 【答案】 4 【知识点

16、】二次函数 y=ax2+bx+c 的图象 【解析】【解答】 = 2+ + 4 = ( +2)2+ 4 24, 二次函数顶点坐标为(2,4 24) 顶点在 x 轴上, 4 24= 0, = 4 故答案为: 4 【分析】根据二次函数解析式,得出顶点坐标,再根据顶点在 x 轴上,即可得出 m 的值。 14 【答案】x1-1,x25 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 【解析】【解答】解:设二次函数与 x 轴的另一交点的横坐标为 x 由题意得: (x+5) 2=2 解得 x=-1 所以方程 ax2+bx+c0(a0)的解为:x1-1,x25 故答案为:x1-1,x25 【分析】设二次函数

17、与 x 轴的另一交点的横坐标为 x,根据二次函数图象的对称性可求出方程的解。 15 【答案】2 【知识点】二次函数的实际应用-销售问题 【解析】【解答】解: = 2+ 6 7 = ( 3)2+ 2 根据函数图象性质可知在 x=3 时,y 最大且取值为 2 故答案为:2 【分析】将一般式化为顶点式,再利用抛物线的性质求解即可。 16 【答案】解:b+1=2,解得 b=1,a-1+10,解得 a0;b+12,则 b1,b=0 或-1,a 取全体实数当 a=1,b 为全体实数时,y=x2+1 是二次函数 【知识点】二次函数的定义 【解析】【分析】分情况讨论:b+1=2;b+12;当 a=1,b 为全

18、体实数时。分别求解。 17 【答案】解:如图, y2的图象由 y1=2x2的图象向右平移 2 个单位得到; y3的图象由 y1=2x2的图象向左平移 2 个单位得到 【知识点】二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象;二次函数 y=a(x-h)2+k 的性质 【解析】【分析】由图像可知:1= 22向右平移 2 个单位长度可得抛物线2= 2( 2)2;1= 22向左平移 2 个单位长度可得抛物线3= 2( +2)2。 18 【答案】解: = 22+ 6 + 4 , = 2(2 3 +94) + 4 +92 , = 2( 32)2+172= 2 + (32)2+172 , 开口向下,对称轴为直线

19、=32 ,顶点 (32,172) 【知识点】二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象;二次函数 y=a(x-h)2+k 的性质 【解析】【分析】可根据公式 y=( +2)2+424配方;由 a=-2 0 解得:k1 且 k0 实数 k 的取值范围 k1 且 k0 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题;二次函数图象与一元二次方程的综合应用 【解析】【分析】根据题意将该题转化为求一元二次方程根的判别式求解。 22 【答案】解:如图所示,以 CD 所在直线为 x 轴,CD 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系, CD200, 抛物线与 轴的交点为 (100,0) , (100,0) , 设这

20、条抛物线的解析式为 = ( 100)( + 100) , AB100,AB 与 CD 的距离为 150, 点 B 的坐标为(50,150) , 抛物线经过点 (50,150) , 150 = (50 100)(50 + 100) , 解得: = 150 , = 150( 100)( + 100) = 1502+ 200 , 当 = 0 时, 取得最大值,此时 = 200 , 即拱门的最大高度是 200 米. 【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题 【解析】【分析】 以 CD 所在直线为 x 轴, CD 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系, 易得 C (-100,0) ,D(100,0)

21、,B(50,150) ,设抛物线的解析式为 y=a(x-100)(x+100),然后将点 B 坐标代入求出 a的值,得到抛物线的解析式,进而可得拱门的最大高度. 23 【答案】解: (I) (145x) ; () (40+2x) ; (II)根据题意可得:y(145x805) (2x+40) , 2x2+80 x+2400, 2(x20)2+3200, a20, 函数有最大值, 当 x20 时,y 有最大值为 3200 元,此时售价为 14520125 元, 售价为 125 元时利润最大,最大利润是 3200 元. 【知识点】二次函数的实际应用-销售问题 【解析】【解答】解: (I)由题意可知:每件商品的售价为: (145x)元; 每天的销售量为: (40+2x)件; 故答案为:(145x) ,(40+2x) ; 【分析】 (1)利用开始的售价减去降低的钱数即为售价; 首先表示出增加的件数,然后加上 40 即可; (2)根据每天的总利润=每件商品的利润乘以每天的销售数量建立函数关系式,对其进行化简,然后结合二次函数的性质进行求解.

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