1、专题七 立体几何一、单项选择题1.（滨州二模2）在正方体中，设直线与直线AD所成的角为，直线与平面所成的角为，则（ ）A. B. C. D. 2.（德州三模3）已知圆锥的底面直径为，母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角为（ ）A. B. C. D. 3.（淄博二模4）若圆台的上、下底面面积分别为4，16则圆台中截面的面积为（）A10B8C9D84.（烟台适应性练习二3）若圆柱的高为8，体积为，则此圆柱的表面积为ABCD5.（菏泽二模4）民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知.底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体
2、部分的高，则这个陀螺的表面积是（ ）A. B. C. D. 6.（济宁二模5）一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为ABCD7.（烟台适应性练习一、枣庄三模3）若圆锥的母线长为，侧面积为，则其体积为（ ）A. B. C. D. 8.（聊城三模4）几何原本是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为，圆锥的底面圆周和顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ）A. B. C. D. 9.（临沂三模5）战国时期的铜镞是一种兵器，其由两部分组成，前段是高为3cm、底面边长为2cm的正三棱锥，后段
3、是高为1cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积为（ ）A. B. C. D. 10.（济宁三模7）若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（ ）A. B. C. D. 11.（烟台适应性练习二7）如图，在三棱锥中，若三棱锥的内切球的表面积为，则此三棱锥的体积为ABCD12.（威海5月模拟7）已知圆柱的高和底面半径均为4，为上底面圆周的直径，点P是上底面圆周上的一点且，是圆柱的一条母线，则点P到平面的距离为（ ）A. 4B. C. 3D. 13.（青岛二模7）九章算术中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几
4、同体，如图，羡除中，底面是正方形，平面，其余棱长都为1，则这个几何体的外接球的体积为ABCD14.（聊城二模6）已知某圆锥的侧面积等于底面的3倍，直线是底面所在平面内的一条直线，则该直线与母线所成的角的余弦值的取值范围为（ ）A. B. C. D. 15.（泰安三模8）如图，已知三棱柱的底面是等腰直角三角形，底面ABC，ACBC2，点D在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥D-ABC的外接球表面积的最大值为（ ）A. B. 24C. D. 16.（泰安二模8）已知A，B两点都在以PC为直径的球O的球面上，ABBC，ABBC4，若球O的体积为，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为（ ）A. B.
5、C. D. 二、多项选择题17.（淄博二模9）已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且m，n，m，n，给出下列四个论断：；mn；m；n以其中三个论断为条件，剩余论断为结论组成四个命题，其中正确的命题是（）ABCD18.（日照三模10）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则19.（威海5月模拟10）已知是两个不同的平面，m、n是平面及外两条不同的直线，给出四个论断：，则正确的是( )A. B. C. D. 20.（青岛二模10）已知正方体，动点在线段上，则下述正确的是ABC平面D平面21.（滨州二模12）在边长
6、为4的正方形ABCD中，如图1所示，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把，和折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥，如图2所示，则下列结论中正确的是（ ）A. B. 三棱锥的体积为4C. 三棱锥外接球的表面积为D. 过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的取值范围为22.（临沂二模12）如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，点M在上，且，P为线段上的点，则( )A. 平面B. 当P为的中点时，直线AP与平面ABC所成角的正切值为C. 存在点P，使得D. 存在点P，使得三棱锥的体积为23.（潍坊二模11）已知四面体ABCD的4个顶点都在球O(
7、O为球心)的球面上，ABC为等边三角形，M为平面ABC内的动点，AB=BD=2，AD=，且ACBD，则A平面ACD平面ABCB球心O为ABC的中心C直线OM与CD所成的角最小为D若动点M到点B的距离与到平面ACD的距离相等，则点M的轨迹为抛物线的一部分24.（枣庄二调11）如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60，则（ ）A. B. C. 四边形的面积为D. 平行六面体的体积为25.（泰安二模11）已知等边三角形ABC的边长为6，M，N分别为AB，AC的中点，如图所示，将AMN沿MN折起至，得到四棱锥，则在四棱锥中，下列说法正确的是（ ）A. 当四棱锥的体积最
8、大时，二面角为直二面角B. 在折起过程中，存在某位置使BN平面C. 当四棱锥体积的最大时，直线与平面MNCB所成角的正切值为D. 当二面角的余弦值为时，的面积最大26.（菏泽二模12）将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，下列结论正确的有（ ）A. 存在某个位置，使直线BD与平面ABC所成的角为45B. 当二面角为时，三棱锥的体积为C. 当平面ACD平面ABC时，异面直线AB与CD的夹角为60D. O为AC的中点，当二面角为时，三棱锥外接球的表面积为27.（聊城三模12）在直四棱柱中，所有棱长均2，P为的中点，点Q在四边形内（包括边界）运动，下列结
9、论中正确的是（ ）A. 当点Q在线段上运动时，四面体的体积为定值B. 若平面，则AQ的最小值为C. 若的外心为M，则为定值2D. 若，则点Q的轨迹长度为28.（德州三模12）如图，在正三棱柱中，P为线段上的动点，且，则（ ）A. 存在，使得B. 当时，三棱锥的外接球表面积为C. 当时，异面直线和所成角的余弦值为D. 过且与直线AB和直线所成角都是的直线有三条29.（聊城二模12）用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高椭圆的面积等于长半轴与短
10、半轴长之积的倍，已知某圆柱的底面半径为2，用与母线成45角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项正确的是（ ）A. 底面椭圆的离心率为B. 侧面积为C. 在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为D. 底面积为30.（德州二模11）某地举办数学建模大赛，本次大赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图，已知球的表面积为16，托盘由边长为8的等边三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠面成，如图，则下列结论正确的是（ ）A. 直线AD与平面DEF所成的角为B. 经过三个顶点A，B，C的球的截面圆的面积为C. 异面直线AD与CF所成角的余弦值为D. 球上的点到底面DEF的
11、最大距离为31.（省实验中学5月模拟12）在棱长为1的正方体中，M是线段上的动点，则下列结论中正确的是（ ）A. 存在点M，使得平面B. 存在点M，使得三棱锥的体积是C. 存在点M，使得平面交正方体的截面为等腰梯形D. 若，过点M做正方体的外接球的截面，则截面面积的最小值为32.（济南二模12）在棱长为1的正方体中，E，F，G分别为线段，CD，CB上的动点（E，F，G均不与点C重合），则下列说法正确的是（ ）A. 存在点E，F，G，使得平面EFGB. 存在点E，F，G，使得C. 当平面EFG时，三棱锥与C-EFG体积之和的最大值为D. 记CE，CF，CG与平面EFG所成的角分别为，则33.（济
12、宁二模12）在棱长为1的正方体中，点是的中点，点，在底面四边内（包括边界），平面，点到平面的距离等于它到点的距离，则A点的轨迹的长度为B点的轨迹的长度为C长度的最小值为D长度的最小值为三、填空题34.（枣庄二调14）如图，等腰与矩形所在平面垂直，且，则四棱锥的外接球的表面积为_35.（济南二模15）在高为2的直三棱柱中，ABAC，若该直三棱柱存在内切球，则底面ABC周长的最小值为_.36.（潍坊三模16）已知正方体的棱长为1，空间一动点满足，且，则_，点的轨迹围成的封闭图形的面积为_37.（日照三模16）如图所示，二面角的平面角的大小为，是上的两个定点，且，满足与平面所成的角为，且点在平面上的
13、射影在的内部（包括边界），则点的轨迹的长度等于_38.（日照二模16）在棱长为3的正方体中，已知点P为棱上靠近点的三等分点，点Q为棱CD上一动点.若M为平面与平面ABCD的公共点，且点M在正方体的表面上，则所有满足条件的点M构成的区域面积为_.39.（烟台适应性练习一、枣庄三模16）鲁班锁是我国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中的榫卯结构，其内部的凹凸部分啮合十分精巧图1是一种鲁班锁玩具，图2是其直观图它的表面由八个正三角形和六个正八边形构成，其中每条棱长均为若该玩具可以在一个正方体内任意转动（忽略摩擦），则此正方体表面积的最小值为_ 40.（临沂三模16）如图，AB是圆锥底面圆O的直径，圆
14、锥的母线，则此圆锥外接球的表面积为_；E是其母线PB的中点，若平面过点E，且平面，则平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，此时该抛物线的焦点F到底面圆心O的距离为_41.（潍坊二模16）根据高中的解析几何知识，我们知道平面与圆锥面相交时，根据相交的角度不同可以是三角形、圆、椭圆、抛物线、双曲线如图，AB是圆锥底面圆O的直径，圆锥的母线PA=2，AB=2，E是其母线PB的中点若平面过点E，且平面，则平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，此时抛物线的焦点F到底面圆心O的距离为_；截面把圆锥分割成两部分，在两部分内部，分别在截面的上方作一个半径最大的球M，在截面下方作一个半径
15、最大的球N，则球M与球N的半径的比值为_(第1个空2分，第2个空3分)42.（济南三模16）在四面体ABCD中，已知，记四面体ABCD外接球的球心到平面ABC的距离为，四面体内切球的球心到点A的距离为，则的值为_四、解答题43.（济宁二模18）如图，在三棱台中，底面为等边三角形，平面，且为的中点（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值44.（济南二模19）在底面为正三角形的三棱柱中，平面ABC平面，.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.45.（淄博二模19）如图所示，已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，侧棱PAPC3，PBPD，过点A的平面与侧棱P
16、B，PD，PC相交于点E，F，M，且满足：PEPF，PM1（1）求证：直线PC平面AMF；（2）求平面MDB与平面AEMF所成二面角的正弦值46.（临沂二模19）如图，AB是圆柱底面圆O的直径，、为圆柱的母线，四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形，且，E、F分别为、的中点（1）证明：EF平面ABCD；（2）求平面OEF与平面夹角的余弦值47.（泰安二模19）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，且DAB60，PDAD，PD平面ABCD，M为BC中点，（1）求证：平面DMN平面PAD；（2）当取何值时，二面角BDNM的余弦值为48.（枣庄二调19）已知正方体中，点E，F分别是棱，的中
17、点，过点作出正方体的截面，使得该截面平行于平面（1）作出该截面与正方体表面的交线，并说明理由；（2）求与该截面所在平面所成角的正弦值（截面：用一个平面去截一个几何体，平面与几何体的表面的交线围成的平面图形）49.（滨州二模20）20. 如图，在四棱锥中，底面，底面是等腰梯形，E是PB上一点，且（1）求证：平面；（2）已知平面平面，求二面角的余弦值50.（潍坊二模18）如图，线段AC是圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的点，AC=2，BC=1，底面ABC，M是PB上的动点，且，N是PC的中点(1)若时，记平面AMN与平面ABC的交线为，试判断直线与平面PBC的位置关系，并加以证明；(2)若平面P
18、BC与平面ABC所成的角为，点M到平面PAC的距离是，求的值51.（泰安三模19）如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在AB上，AE2EB2，且DEAB，沿DE将折起，使点A到达点F的位置，且（1）求证：平面BFC平面BCDE；（2）若直线DF与平面BCDE所成的角的正切值为，求平面DEF与平面DFC的夹角的余弦值52.（聊城二模20）如图，在四棱锥中，平面，是等边三角形，（1）若，求证：平面；（2）若二面角为30，求直线与平面所成的角的正弦值53.（潍坊三模20）如图所示，已知平行六面体中，侧面底面，为线段的中点（1）证明：平面；（2）已知二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值54.
19、（烟台适应性练习二19）如图，和都垂直于平面，且（1）若为的中点，求证：平面；（2）若，与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值55.（德州三模20）已知底面ABCD为菱形的直四棱柱，被平面AEFG所截几何体如图所示.（1）若，求证：；（2）若，三棱锥GACD的体积为，直线AF与底面ABCD所成角的正切值为，求锐二面角的余弦值.56.（日照三模19）如图，在斜三棱柱中，侧面侧面，M为上的动点.（1）当M为的中点时，证明：；（2）求与平面所成角的正弦值的取值范围.57.（临沂三模19）在正方体中，E为的中点，过的平面截此正方体，得如图所示的多面体，F为棱上的动点（1）点H在棱BC上，当时，平面
20、，试确定动点F在棱上的位置，并说明理由；（2）若，求点D到平面AEF的最大距离58.（菏泽二模20）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，的面积是的面积的倍（1）证明：平面PAD平面ABCD；（2）若E为BC的中点，F为线段PE上的任意一点，当DF与平面PBC所成角的正弦值最大时，求平面FAD与平面ABCD所成角的正切值59.（德州二模20）九章算术是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，是算经十书中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系在九章算术商功篇中提到“阳马”这一几何体，是指底面为矩形，有一条侧
21、棱垂直于底面的四棱锥，现有“阳马”，底面为边长为2的正方形，侧棱面，E、F为边、上的点，点M为AD的中点（1）若，证明：面PBM面PAF；（2）是否存在实数，使二面角的大小为？如果不存在，请说明理由；如果存在，求此时直线与面所成角的正弦值60.（威海5月模拟18）如图所示，在等边中，分别是上的点，且，是的中点，交于点以为折痕把折起，使点到达点的位置，连接（1）证明：；（2）设点在平面内的射影为点，若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值61.（日照二模19）如图，等腰梯形ABCD中，现以AC为折痕把折起，使点B到达点P的位置，且.（1）证明：平面平面ADC；（2）若M为PD上一点，且三棱锥
22、的体积是三棱锥体积的2倍，求二面角的余弦值.62.（济南三模19）如图1，正方形ABCD中，E，F分别为边BC，AD的中点，将四边形EFDC沿直线EF折起，使得平面平面ABEF如图2，点M，N分别满足，（1）求证：平面BMN；（2）求平面AFM与平面BMN夹角的余弦值63.（济宁三模19）如图1，在平行四边形中，以对角线为折痕把折起，使点到达图2所示点的位置，且.（1）求证：；（2）若点在线段上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.64.（聊城三模20）已知四边形ABCD为平行四边形，E为CD的中点，AB=4，为等边三角形，将三角形ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置，且平面平面ABCE.（1
23、）求证：；（2）试判断在线段PB上是否存在点F，使得平面AEF与平面AEP的夹角为45.若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由.65.（烟台适应性练习一、枣庄三模19）如图，在平行六面体中，底面，（1）证明：；（2）设点为线段上一点（异于D，），当为何值时，平面与平面夹角的余弦值最大？66.（青岛二模20）如图，为圆锥的顶点，为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径，母线，是的中点，四边形为正方形（1）设平面平面；证明：；（2）设为的中点，是线段上的一个点，当与平面所成角最大时，求的长参考答案专题七 立体几何一、单项选择题1.【答案】C【解析】在正方体中，因为，所以直线与直线AD所成的角，因为
24、平面，所以为在平面上的射影，所以直线与平面所成的角，又平面，所以，所以，即，故选：C.2.【答案】C【解析】由题设，底面周长，而母线长为，根据扇形周长公式知：圆心角.故选：C.3.【答案】C【解析】根据题意知，圆台的上、下底面半径分别为，所以圆台的轴截面是上底为，下底为的等腰梯形，因为圆台的中截面平行于上下底，且与上下底等距离，所以这个截面圆在圆台轴截面上截得的直径是等腰梯形的中位线，根据梯形中位线公式，得该截面圆的直径等于（+），所以该中截面圆的半径为，所以中截面面积为：9，故选：C4.【答案】C【解析】设圆柱的底面半径为，圆柱的高为8，体积为，解得，此圆柱的表面积故选：5.【答案】C【解析
25、】由题意可得圆锥体的母线长为，所以圆锥体的侧面积为，圆柱体的侧面积为，圆柱的底面面积为，所以此陀螺的表面积为（），故选：C6.【答案】A【解析】设圆锥的度面半径为，母线长为，圆锥的高为，内切球的半径为，其轴截面如图所示，设为内切球的球心为，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，所以，得，即，所以，所以，因为，所以，所以，得，所以圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为故选：7.【答案】D【解析】设圆锥的底面半径为，高为，则，可得，则，因此，该圆锥的体积为. 故选：D.8.【答案】B【解析】设球半径为，圆锥的底面半径为，若一个直角圆锥的侧面积为，设母线为，则，所以直角圆锥的侧面积为：，可得：，圆锥的高
26、，由，解得：，所以球的体积等于，故选：B9.【答案】A【解析】由题意，铜镞的直观图如图所示，三棱锥的体积，因为圆柱的底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，所以圆柱的底面圆的半径，所以圆柱的体积所以此铜镞的体积为，故选：A.10.【答案】C【解析】如图：分别为底面中心，为的中点，为的中点设正六棱柱的底面边长为若正六棱柱有内切球，则，即内切球的半径，即外接球的半径则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为 故选：C11.【答案】D【解析】连接，并延长交底面于点，连接，并延长交于，在三棱锥中，三棱锥是正四面体，是的重心，平面，三棱锥的内切球的表面积为，解得球的半径，设，则，解得，此三棱锥的体积为故选
27、：12.【答案】D【解析】由题可得，因为，所以，因为平面，且，所以，因为，所以，所以，设点P到平面的距离为，则，解得.故选：D.13.【答案】B【解析】连接，交于点，取中点，则面，取中点，连接，作，由题意可得，则，则，则，又，即，即这个几何体的外接球的球心为，半径为1，则这个几何体的外接球的体积为，故选：14.【答案】A【解析】设底面圆的半径为，母线长为，因为圆锥的侧面积等于底面的3倍，所以，即，因为直线与直线所成角的范围为，所以当直线与底面圆相切时，直线与母线所成角最大为，则该直线与母线所成的角的余弦值的最小值为；当直线过底面圆的圆心时，由线面角的定义可知，此时直线与母线所成角最小，则该直线
28、与母线所成的角的余弦值的最大值为，即该直线与母线所成的角的余弦值的取值范围为.故选：A15.【答案】B【解析】因为为等腰直角三角形，ACBC2，所以外接圆的圆心为的中点， 且连接与的中点，则，所以平面，设球的球心为，由球的截面性质可得在上，设，半径为，因为，所以，所以，又所以，因为，所以，所以三棱锥D-ABC的外接球表面积的最大值为，故选：B.16.【答案】A【解析】如图，取中点，连接，由可得是的外心，则平面，又，由得，即，又，分别是中点，以为轴建立空间直角坐标系，则，与平行的向量，故异面直线PB与AC所成角的余弦值为.故选：A.二、多项选择题17.【答案】AC【解析】m，n，m，n对于A，由
29、，m，得m，又mn，n，故A正确；对于B，由，m，n，可得mn或m与n相交或m与n异面，故B错误；对于C，由，n，得n，又mn，则m，故C正确；对于D，由mn，m，n，可得或与相交，故D错误故选：AC18.【答案】AD【解析】A. 若，则，所以该选项正确；B. 若，则或或或与斜交，所以该选项错误；C 若，则或，所以该选项错误；D. 若，则，所以该选项正确. 故选：AD19.【答案】AC【解析】对于A，若，则m，又，mn，故A正确；对于B，若，则n，有，与平行或相交，故B错误；对于C，若，则m，又，n，n，故C正确；对于D，若，则n，又，则m与平行或相交，故D错误故选：AC20.【答案】BD【解
30、析】正方体，动点在线段上，如图，对于，当与重合时，当与不重合时，与不平行，故错误；对于，平面，平面，故正确；对于，当与重合时，与所成角为，与平面不垂直，故错误；对于，平面平面，平面，平面，故正确故选：21.【答案】ACD【解析】由题意，将三棱锥补形为边长为2,2,4的长方体，如图所示：对A：因为，所以平面，所以，故选项A正确；对B：因为M为BE的中点，所以，故选项B错误；对C：三棱锥外接球即为补形后长方体的外接球，所以外接球的直径，所以三棱锥外接球的表面积为，故选项C正确；对D：过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面为圆，其中最大截面为过球心O的大圆，此时截面圆的面积为，最小截面为过点M垂直于球
31、心O与M连线的圆，此时截面圆半径，截面圆的面积为，所以过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的取值范围为，故选项D正确，故选：ACD.22.【答案】BD【解析】对于A，假设平面，则AC，易知AC，故AC平面，故ACBC，这与ACB=60矛盾，故假设不成立，故A错误；对于B，当P为的中点时，取BC中点为N，连接PN、AN，易知PN，平面ABC，则PN平面ABC，故PAN即为AP与平面ABC所成角，则tanPAN=，故B正确；对于C，取BC中点为N，连接AN、NM，由ANBC，AN知AN平面，故ANCP，若，ANAM=A，则CP平面AMN，则CPMN，过C作CGMN交于G，则CPCG，即PCG
32、=90，易知PCG不可能为90，故不存在P使得，故C错误；对于D，取BC中点为N，连接AN，易知AN平面，AN=，若三棱锥的体积为，则，故存在P使时，三棱锥的体积为，故D正确故选：BD23.【答案】A,B,D【解析】设ABC的中心为G，取AC的中点E，连接BE，DE，则BEAC. 因为ACBD，BEBD=B，所以AC平面BDE，则ACDE，又ABC为等边三角形，AB=BD=2，AD=2，所以AE=1，DE=1，BE=3，DE2+BE2=BD2，即DEBE，又BEAC，ACDE=E，BE平面ADC，BE平面ABC，平面ACD平面ABC，A符合题意；又GE=33，GB=GA=GC=233GD=GE
33、2+DE2=13+1=233，故G为四面体ABCD的外接球的球心，即球心O为ABC的中心，B符合题意；当OMAC时，DCA为直线OM与CD所成的角，由上知DCA=43，C不符合题意；由平面ACD平面ABC可知，动点M到平面ACD的距离即动点M到直线AC的距离，由抛物线的定义可知，点M的轨迹为抛物线的一部分，D符合题意. 故答案为：ABD.24.【答案】ABD【解析】，则，故，A正确；，故，B正确；连接，则，即，同理，故四边形为矩形，面积为，C错误；过作面，易知在直线上，过作于，连接，由得面，易得，故，故平行六面体的体积为，D正确.故选：ABD.25.【答案】ACD【解析】如图，取中点，易得，由
34、于四边形的面积为定值，要使四棱锥的体积最大，即高最大，当面时，此时高为最大，二面角为直二面角，A正确；若BN平面，则，又，则，又，故不成立，即不存在某位置使BN平面，B错误；由上知，当四棱锥体积的最大时，即二面角为直二面角，面，此时直线与平面MNCB所成角即为，易得四边形为等腰梯形，取中点，易得，且，故，又，故，C正确；如图，取中点，易得，取中点，易得，故即为二面角的平面角，即，故，又，解得，又，故，又，此时为等腰直角三角形，面积最大为，故D正确. 故选：ACD.26.【答案】ACD【解析】A.当平面平面时，取的中点，连接，平面，为直线BD与平面ABC所成的角，是等腰直角三角形，故A正确；B.
35、，平面，且，平面，平面平面，且交于，点在平面的射影落在上，点到平面的距离，三棱锥的体积，故B错误；C.取的中点，连接，则，所以或其补角是异面直线AB与CD的夹角，根据A的证明可知，且，所以是等边三角形，故C正确；D.由条件可知平面，且，所以可以将四棱锥补成底面是菱形的直棱柱因为四边形是菱形，且，所以点是底面外接圆的圆心，取侧棱的中点，则是四棱柱外接球的球心，连结，所以四棱锥外接球的半径，外接球的表面积，故D正确.故选：ACD27.【答案】ABD【解析】对于A，因为，又因为面， 面，所以面，所以直线到平面的距离相等，又的面积为定值，故A正确；对于B，取的中点分别为，连接，则易证明：，面，面，所以
36、面，又因为，面，面，所以面，所以平面面，面，所以平面当时，AQ有最小值，则易求出，所以重合，所以则AQ的最小值为，故B正确；对于C，若的外心为M，过作于点，则.故C错误；对于D，过作于点，易知平面，在上取点，使得，则，所以若，则在以为圆心，2为半径的圆弧上运动，又因为所以，则圆弧等于，故D正确.故选：ABD.28.【答案】BD【解析】对于A，过P作交于Q，连，依题意，对任意位置的点P，则， 为等腰三角形，为锐角，即不垂直于，也不垂直于，A不正确；对于B，当时，过点P作与底面平行的正三棱柱的截面，则三棱柱是棱长为1的正三棱柱，它与三棱锥有相同的外接球，球心到平面的距离，的外接圆半径，则球半径，于
37、是得三棱锥的外接球表面积为，B正确；对于C，当时，记此时点P为，过作交于D，连，则是异面直线和所成的角或其补角，而，在中，由余弦定理得：，C不正确；对于D，因，则过点与直线AB和直线都成角的问题转化为过点与直线AB和直线都成角的问题，显然的平分线所在与直线AB和都成角，在由直线与确定的平面内将绕点B旋转，旋转过程中的每一位置的直线与直线AB和都成角，当时，由旋转方向的不同，这样的直线有2条，此时，过点与直线AB和直线所成角都是的直线有2条，的邻补角平分线所在与直线AB和都成角，在由直线与确定的平面内将绕点B旋转，旋转过程中的每一位置的直线与直线AB和都成角，当时，由旋转方向的不同，这样的直线有
38、2条，此时，过点与直线AB和直线所成角都是的直线只有1条，即直线，综上得过且与直线AB和直线所成角都是的直线有三条，D正确.故选：BD29.【答案】ABD【解析】不妨过斜圆柱的最高点和最低点作平行于圆柱底面的截面圆，夹在它们之间的是圆柱，如图，矩形是圆柱的轴截面，平行四边形是斜圆柱的过底面椭圆的长轴的截面，由圆柱的性质知，则，设椭圆的长轴长为，短轴长为，则，所以离心率为，A正确；，垂足为，则，易知，又，所以斜圆柱侧面积为，B正确；，椭圆面积为，D正确；由于斜圆锥的两个底面的距离为6，而圆柱的底面直径为4，所以斜圆柱内半径最大的球的半径为2，球表面积为，C错故选：ABD30.【答案】AC【解析】
39、根据图形的形成可知，三点在底面上的投影分别是三边中点，如图所示，对于A，面，就是直线AD与平面DEF所成的角，是等边三角形，A正确；对于B，与全等且所在平面平行，截面圆就是的外接圆与的外接圆相同，由题意知的边长为，其外接圆半径为 ，圆的面积，B错误；对于C，由上述条件知，且，而且，四边形是平行四边形，所以是异面直线AD与CF所成的角（或其补角）.又,，C正确；对于D，由上述条件知，设是球心，球半径为，由，解得：，则是正四面体，棱长为，设为的中心，如图：则面，又面， ，又 球上的点到底面DEF的最大距离为，D错误。故选：AC.31.【答案】AC【解析】对于A：连接,如图示：由正方体的几何特征可得
40、.又因为面,面,所以面.同理可证：面.又，所以平面平面.令平面,则/平面,所以存在点M,使得平面.故A正确；对于B：,所以不存在点M,使得三棱锥的体积是.故B错误；对于C：因为/平面,所以平面交平面的交线与平行.如图示：取AB中点E，取BB1的中点F，连接EF.因为且，所以且.又,所以四边形为等腰梯形.记平面交直线于M，则存在点M,使截面为等腰梯形.故C正确；对于D：当且仅当M为截面圆的圆心时,截面圆的面积最小.由正方体的几何特征可得该正方体的外接球球心为BD1的中点,且半径为，所以最小截面的半径此时截面面积为.故D错误.故选：AC32.【答案】ACD【解析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系
41、，设，对于A，因为平面，平面，所以，又因，所以平面，又平面，所以，当时，此时，要使平面EFG，只需即可，则，则，即，当时，故存在点E，F，G，使得平面EFG，故A正确；对于B，则，要使，只需要即可，则，故，因为，所以，所以，所以不存在点E，F，G，使得，故B错误；对于C，因为平面EFG，所以，则，则，所以，要使最大，则，此时，所以体积之和的最大值为，故C正确；对于D，由B，则，因为，所以到平面的距离满足，所以，所以，所以，故D正确.故选：ACD.33.【答案】BCD【解析】对于，对的中点，连接，则，平面，平面，又平面，平面，平面平面，又点在底面四边形内（包含边界），平面，点的轨迹为线段，点的轨
42、迹的长度是，故错误；对于，连接，在底面上，解得，点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，如图，点的轨迹的长度为，故正确；对于，过点作于，交点的轨迹于，此时的长度就是长度的最小值， ，解得，长度的最小值为，故正确；对于，点到平面的距离等于它到点的距离，由正方体的特点得点到直线的距离等于点到平面的距离，点到直线的距离等于它到点的距离，根据抛物线的定义知点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，以的中点为坐标原点，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图，则， 0，直线的方程为，直线的方程为，则抛物线的方程为，设直线平行且与抛物线相切的直线的方程为，联立，整理得，解得，直线的方程为，则直线与直线的距离为，直线与直线的距离为，故正确故选：三、填空题34.【答案】【解析】连接，交于点，取的中点，连接，因为，所以，因为等腰与矩形所在平面垂直，平面平面，所以平面，连接，则因为等腰和矩形中，所以，所以，所以，所以，所以点为四棱锥的外接球的球心，则球的半径为所以四棱锥的外接球的表面积为，故答案：35.【答案】【解析】因为直三棱柱的高为2，设内切球的半径为，所以，所以，又因为ABAC，所以设，所以.，因为，所以 ABC周长的最小值即为面积的最小值，而，当且仅当 “”时取等.当时，底面ABC周长最小，所以，所以，所以此时ABC周长的最小值：.故答案为：.
