1、北京市丰台区2021年高二上期中数学练习试卷（B）一、选择题：共10小题，每小题4分.1. 直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 2. 已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为（ ）A. B. C. D. 3. 已知向量，若与共线，则实数值为（ ）A. B. C. 1D. 24. 同时抛掷2枚质地均匀的硬币，则“两枚硬币均为正面向上”的概率是（ ）A. B. C. D. 5. 如图，若直线，的斜率分别为，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 6. 如图，在长方体中，化简（ ）A. B. C. D. 7. 某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“只有一次中靶”互斥而不对立的是
2、（ ）A. 至少一次中靶B. 至多一次中靶C 至多两次中靶D. 两次都中靶8. 如图，已知正方体的棱长为1，设，则（ ）A 1B. C. D. 29. 已知向量，若向量共面，则实数的值为（ ）A B. C. 1D. 310. 已知某工厂生产某种产品的合格率为0.9，现采用随机模拟的方法估计4件产品中至少有3件为合格品的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定0表示不是合格品，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示是合格品；再以每4个随机数为一组，代表4件产品.经随机模拟产生了如下20组随机数：1426，8445，0231，4271，1019，9639，3718，1434，5422，
3、38012386，1601，1613，1769，6509，1040，5336，2937，9507，4983据此估计，4件产品中至少有3件是合格品的概率为（ ）A. B. C. D. 第II部分（非选择题 共110分）二、填空题：每小题5分，共25分.11. 已知直线经过点，且与轴垂直，则直线的方程为_.12. 在空间直角坐标系中，点在坐标平面内射影的坐标为_.13. 已知事件A与互斥，且，则_，_.14. 如图，已知四面体的所有棱长都等于2，点，分别为，的中点，则_.15. 洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源.传说古代有神龟出于洛水，其甲壳上刻有图案，如左下图.结构为戴九履一，左三右七，二四为
4、肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15，洛书九宫格对照表如下图，若从五个阳数中随机抽取三个数.（1）试验的样本空间包含_个样本点；（2）使得这三个数之和等于15概率是_.492357816三、解答题：共6小题，共85分.16. 已知ABC的三个顶点分别为A(3,0)，B(2,1)，C(2,3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边的垂直平分线所在直线方程17. 1.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋子中依次不放回地摸出2个球.（1）写出试验的样本空间；（2）求摸出的2
5、个球颜色相同的概率.18. 已知向量，（1）求；（2）求；（3）若（），求的值19. 某单位响应“创建国家森林城市”的号召，栽种了甲、乙两种大树各两棵.设甲、乙两种大树的成活率分别为和，两种大树成活与否互不影响.（1）求甲种大树成活两棵的概率；（2）求甲种大树成活一棵的概率；（3）求甲、乙两种大树一共成活三棵的概率.20. 在直三棱柱中，点，分别为，的中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成的角；（3）求点到平面的距离.21. 如图，在四棱锥中，底面，/，点为的中点，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角；（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.北京
6、市丰台区2021年高二上期中数学练习试卷（B）一、选择题：共10小题，每小题4分.1. 直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设直线的倾斜角为，由直线的方程可得其斜率，则有，结合的范围即可得答案.【详解】解：根据题意，设直线的倾斜角为，因直线的方程为，故其斜率，则有，又由，则，故选：B.2. 已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设与直线平行的直线l的方程为，再把点代入即可解得即可求出结果【详解】设与直线平行的直线l的方程为，把点代入可得，解得因此直线l的方程为故选：A3. 已知向量，若与共线，则实数
7、的值为（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】根据空间向量共线有，结合向量的坐标即可求的值.【详解】由题设，有，则，可得.故选：D4. 同时抛掷2枚质地均匀的硬币，则“两枚硬币均为正面向上”的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】同时掷两枚质地均匀的硬币，利用列举法求出基本事件有4种，出现两枚正面朝上包含的基本事件只有1种，由此能求出出现两枚正面朝上的概率【详解】解：同时掷两枚质地均匀的硬币，基本事件有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共4种，出现两枚正面朝上包含的基本事件只有1种：（正，正），则两枚硬币均为正面向上的概率.故选：A5
8、. 如图，若直线，的斜率分别为，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先观察出直线的倾斜角的大小关系，再利用判断出斜率的大小关系.【详解】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，从图中可以看出，因为，其中，所以故选：C6. 如图，在长方体中，化简（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.【详解】解：如图： ，故选：A.7. 某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“只有一次中靶”互斥而不对立的是（ ）A. 至少一次中靶B. 至多一次中靶C. 至多两次中靶D. 两次都中靶【答案】D【解析】【分析】事件A和B
9、互斥而不对立所需要的条件是且，一一验证A、B、C、D四个选项，选出答案.【详解】设“只有一次中靶”为事件A设“至少一次中靶”为事件B，则事件B包含：“有一次中靶”和“有两次中靶”两种情况，显然，不互斥，A选项错误；设“至多一次中靶”为事件C，则事件C包含事件：“有一次中靶”和“有零次中靶”，显然，不互斥，B选项错误；设“至多两次中靶”为事件D，则事件D包含事件：“有两次中靶”，“有一次中靶”和“有零次中靶”，显然，不互斥，C选项错误；设“两次都中靶”为事件E，则，满足互斥而不对立所需要的条件，故选项D正确.故选：D8. 如图，已知正方体的棱长为1，设，则（ ）A. 1B. C. D. 2【答案
10、】A【解析】【分析】先计算，再根据正方体的性质，结合向量数量积的运算求解即可；【详解】解：根据向量的加法法则得，因为正方体的边长为1，为体对角线，所以，所以在直角三角形中，所以故选：A9. 已知向量，若向量共面，则实数的值为（ ）A. B. C. 1D. 3【答案】B【解析】【分析】根据题意：存在实数使得，再根据坐标运算解方程求解即可.【详解】解：因为向量共面，所以存实数使得，即所以，解得故选：B10. 已知某工厂生产某种产品的合格率为0.9，现采用随机模拟的方法估计4件产品中至少有3件为合格品的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定0表示不是合格品，1，2，3，4，5，6，7，
11、8，9表示是合格品；再以每4个随机数为一组，代表4件产品.经随机模拟产生了如下20组随机数：1426，8445，0231，4271，1019，9639，3718，1434，5422，38012386，1601，1613，1769，6509，1040，5336，2937，9507，4983据此估计，4件产品中至少有3件是合格品的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据古典概型公式计算概率【详解】设“4件产品中至少有3件为合格品”为事件A， 20组随机数中，从左到右，第二行第六列的1040包含两个0，即4件产品中有2件不合格，不在事件A中，其余均在A中，所以A中包含的个数
12、为19，故 故选：D第II部分（非选择题 共110分）二、填空题：每小题5分，共25分.11. 已知直线经过点，且与轴垂直，则直线的方程为_.【答案】#【解析】【分析】由直线过点及与x轴的垂直关系，直接写出直线的方程.【详解】由题设，直线过且与轴垂直，则直线的方程为.故答案为：12. 在空间直角坐标系中，点在坐标平面内射影的坐标为_.【答案】【解析】【分析】根据空间直角坐标系中，点在坐标平面上射影点的坐标特点，即可确定在平面内射影坐标.【详解】点在平面内射影，只需即可，在平面内射影的坐标为.故答案为：13. 已知事件A与互斥，且，则_，_.【答案】 . 0.6# . 0.9#【解析】【分析】利
13、用对立事件的概率之和为1进行求解；互斥事件A与的概率加法公式【详解】因为事件与是对立事件，且，所以；因为事件A与互斥，所以故答案为：0.6，0.914. 如图，已知四面体的所有棱长都等于2，点，分别为，的中点，则_.【答案】1【解析】【分析】由中位线定理得 ，再由向量的数量积定义计算可得答案.【详解】解：因为四面体ABCD的每条棱长都等于2，点，分别为，的中点，则 ，所以，故答案为：1.15. 洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源.传说古代有神龟出于洛水，其甲壳上刻有图案，如左下图.结构为戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和
14、皆为15，洛书九宫格对照表如下图，若从五个阳数中随机抽取三个数.（1）试验的样本空间包含_个样本点；（2）使得这三个数之和等于15的概率是_.492357816【答案】 . 10 . 【解析】【分析】本题考察古典概型，用列举法把所有情况写出来，用古典概型的求概率公式进行求解.【详解】从五个阳数中随机抽取三个数，取法有，故试验的样本空间包含10个样本点，其中当抽到或者时，满足这三个数之和等于15，共2种，故概率为.故答案为：10，三、解答题：共6小题，共85分.16. 已知ABC的三个顶点分别为A(3,0)，B(2,1)，C(2,3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边的垂直平分线所在
15、直线方程【答案】（1）.(2).【解析】【分析】（1）利用点斜式可得：BC边所在直线的方程（2）kDE=2利用斜截式BC边的垂直平分线DE的方程【详解】（1）BC边所在直线的方程为：y1=（x2），化为：x+2y4=0(2) kDE=2BC边的垂直平分线DE的方程为：y=2x+2，即【点睛】本题考查了直线的方程的求法、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题17. 1.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋子中依次不放回地摸出2个球.（1）写出试验的样本空间；（2）求摸出的2个球颜色相同的概
16、率.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）列举法把所有情况写出来，用集合表示，就是试验的样本空间；（2）有古典概率的公式进行计算【小问1详解】试验的样本空间为：【小问2详解】设事件“摸出的两个球的颜色相同”所以，所以18. 已知向量，（1）求；（2）求；（3）若（），求的值【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示即可得解；（2）求出，再根据空间向量的模的坐标表示即可得解；（3）由，可得，再根据数量积的运算律即可得解.【小问1详解】解：；【小问2详解】解：；【小问3详解】解：因，所以，即，解得.19. 某单位响应“创建国家森林城市”的号召，栽种了甲、乙两
17、种大树各两棵.设甲、乙两种大树的成活率分别为和，两种大树成活与否互不影响.（1）求甲种大树成活两棵的概率；（2）求甲种大树成活一棵的概率；（3）求甲、乙两种大树一共成活三棵的概率.【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）结合概率的乘法公式即可求出结果；（2）结合概率加法公式以及乘法公式即可求出结果；（2）分“乙种大树成活一棵”、 “乙种大树成活两棵”、 “甲、乙两种大树一共成活三棵”，三情况求出相应的概率，再结合概率的加法公式即可求出结果.【小问1详解】设事件“甲种大树成活两棵”，则【小问2详解】设事件“甲种大树成活一棵”，则【小问3详解】设事件“乙种大树成活一棵”，则设事件“乙种
18、大树成活两棵”，则设事件“甲、乙两种大树一共成活三棵”， 则20. 在直三棱柱中，点，分别为，的中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成的角；（3）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析 （2） （3）【解析】【分析】以为原点，以，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.（1）先求出相关直线的方向向量，再计算数量积来证明垂直；（2）求出平面的一个法向量，再利用向量夹角公式即可求出夹角；（3）利用点到面的距离公式即可求解.【小问1详解】以为原点，以，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.，；【小问2详解】设平面的法向量为，由令，则，平面的一个法向量为由设直
19、线与平面所成角为直线与平面所成角为；小问3详解】点到平面的距离.21. 如图，在四棱锥中，底面，/，点为的中点，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角；（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，【解析】【分析】（1）以为原点，以，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则可求得平面的一个法向量，可证得，由此可得证；（2）运用面面角的向量求解方法可求得答案；（3）设在线段上存在点，满足（），由线面垂直的条件可求得得结论.【小问1详解】证明：以为原点，以，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，.设平面的法向量为，由，令，则，平面的一个法向量为，由，平面，平面【小问2详解】解：底面，底面，平面，平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则，又由图示得为锐角，平面与平面的夹角为.【小问3详解】解：设在线段上存在点，满足（），若平面，则，所以，解得，所以线段上存在点，使平面，此时.
