1、北京市丰台区2021-2022学年高二上期中数学练习试卷（A）一、选择题：共10小题，每小题4分 1. 与向量(1，-3,2)平行的一个向量的坐标为()A. (1,3,2)B. (-1，-3,2)C. (-1,3，-2)D. (1，-3，-2)2. 若直线过两点和，则直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，点在平面内射影的坐标为（ ）A. B. C. D. 4. 已知，若，则实数的值为（ ）A B. C. D. 5. 箱子中有5件产品，其中有2件次品，从中随机抽取2件产品，设事件=“至少有一件次品”，则的对立事件为（ ）A. 至多两件次品B. 至多一件次品C. 没
2、有次品D. 至少一件次品6. 如图，在四面体中，两两垂直，已知，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）A. B. C D. 7. 袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中3个红球，1个黄球，从中随机抽取2个球，则抽取出的2个球恰好是1个红球1个黄球的概率是（ ）A. B. C. D. 8. 过点，且横、纵截距相等的直线方程为（ ）A. 或B. 或C. 或D. 或9. 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则A. B. C. D. 10. 已知直线：，直线不经过第二象限，则的取值范围是（ ）A. B. C. D
3、. 第II部分（非选择题共110分）二、填空题：每小题5分，共25分11. 已知点，点，向量，则点的坐标为_12. 已知，直线与直线平行，则的值为_13. 已知直线过点，点，则点到直线的距离是_14. 正方体中，分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_.15. 已知正方体的棱长为，给出下列四个命题：；点到面的距离为；点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，则的取值范围是其中正确结论的序号是_三、解答题：共6小题，共85分16. 已知向量，（1）求；（2）求；（3）若（），求的值17. 从两个黑球（记和）、两个红球（记为和）从中有放回地任意抽取两球（1）用集合的形式写出试验的样本空间；（2
4、）求抽到的两个球都是黑球的概率18. 已知直线过点，直线：（1）若，求直线的方程；（2）若直线与轴和直线围成的三角形的面积为，求直线的方程19. 在如图所示的多面体中，且，且，且，平面，（1）求证：；（2）求平面与平面夹角余弦值20. 甲乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响（1）求甲乙各投球一次，比赛结束的概率；（2）求甲获胜的概率21. 设为正整数，集合对于集合中的任意元素和，记（1）当时，若，求和的值；（2）当时，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素
5、，写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由北京市丰台区2021-2022学年高二上期中数学练习试卷（A）一、选择题：共10小题，每小题4分 1. 与向量(1，-3,2)平行的一个向量的坐标为()A. (1,3,2)B. (-1，-3,2)C. (-1,3，-2)D. (1，-3，-2)【答案】C【解析】【详解】试题分析：（-1,3，-2）=-由向量共线性质可知答案C2. 若直线过两点和，则直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用直线上两点坐标表示斜率，再利用斜率和倾斜角的关系，即得解【详解】由题意，设直线的斜率为，倾斜角为故由于，故故选：B3. 在空间直角坐
6、标系中，点在平面内射影的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据射影的概念，由点在平面内射影的轴方向坐标变为，其它方向坐标不变即可得解.【详解】点在平面内的射影，即向平面作垂线，垂足为射影，故轴和轴方向的坐标不变，轴方向坐标变为，故射影的坐标.故选：A4. 已知，若，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由，得，从而可得答案.【详解】解：因为，所以，即，解得故选：A.5. 箱子中有5件产品，其中有2件次品，从中随机抽取2件产品，设事件=“至少有一件次品”，则的对立事件为（ ）A. 至多两件次品B. 至多一件次品C. 没有次品D. 至少一件
7、次品【答案】C【解析】【分析】利用对立事件的定义，分析即得解【详解】箱子中有5件产品，其中有2件次品，从中随机抽取2件产品，可能出现：“两件次品”，“一件次品，一件正品”，“两件正品”三种情况根据对立事件的定义，事件=“至少有一件次品”其对立事件为：“两件正品”，即”没有次品“故选：C6. 如图，在四面体中，两两垂直，已知，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用三线垂直建立空间直角坐标系，将线面角转化为直线的方向向量和平面的法向量所成的角，再利用空间向量进行求解.【详解】以，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示），则，设平面的一个法
8、向量为，则，即，令，则，所以平面的一个法向量为；设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.故选：D.7. 袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中3个红球，1个黄球，从中随机抽取2个球，则抽取出的2个球恰好是1个红球1个黄球的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别求出从有4个大小质地完全相同的球的袋子中随机抽取2个球和抽取出的2个球恰好是1个红球1个黄球的基本事件的个数，再根据古典概型公式即可得解.【详解】解：从有4个大小质地完全相同的球的袋子中随机抽取2个球有种情况，抽取出的2个球恰好是1个红球1个黄球有，所以抽取出的2个球恰好是1个红球1个黄球的概率
9、是.故选：B.8. 过点，且横、纵截距相等的直线方程为（ ）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】D【解析】【分析】求出直线过原点和直线不过原点时，对应直线的方程即可【详解】解：当直线过原点时，直线的斜率为，则直线方程为；当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得，所求的直线方程为，综上知，所求直线方程为或故选：D.9. 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】试题分析：记“系统发生故障、系统发生故障”分别为事件、，“任意时刻恰有一个系统不发生故障”为事
10、件，则，解得，故选B考点：对立事件与独立事件的概率10. 已知直线：，直线不经过第二象限，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分析可得直线过定点，结合图像可知临界状态为经过原点和斜率不存在，数形结合即得解【详解】由题意，令，可得直线过定点如图所示，经过的直线，且不经过第二象限，临界状态为经过原点和斜率不存在当经过原点时，故的取值范围是故选：C第II部分（非选择题共110分）二、填空题：每小题5分，共25分11. 已知点，点，向量，则点的坐标为_【答案】【解析】【分析】设点，求出，再根据，列出方程，即可得解.【详解】解：设点，则，因为，即，所以，解得，所以点的坐
11、标为.故答案为：.12. 已知，直线与直线平行，则的值为_【答案】【解析】【分析】利用直线一般方程的平行公式，计算即得解【详解】由题意，直线与直线平行，故，解得当时，两直线为：，不重合故的值为故答案为：13. 已知直线过点，点，则点到直线的距离是_【答案】【解析】【分析】求出直线的方向向量及，进而求出，再根据点到直线的距离为即可得解.【详解】解：直线的方向向量，则，又，所以，所以点到直线的距离为.故答案为：.14. 正方体中，分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_.【答案】【解析】【分析】分别取的中点G，H，连接，易知，得到是异面直线与所成角，然后在中，利用余弦定理求解.详解】如图所示
12、：分别取的中点G，H，连接，则，所以是异面直线与所成角，设正方体棱长为2，则，由余弦定理得，.故答案为：15. 已知正方体的棱长为，给出下列四个命题：；点到面的距离为；点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，则的取值范围是其中正确结论的序号是_【答案】【解析】【分析】根据空间向量的线性运算结合正方体的结构特征即可判断；根据空间向量基本定理及向量数量积的运算律即可判断；求出三棱锥的体积，利用等体积法即可求出点到面的距离，从而判断；证明，可得平面，从而可得点的轨迹为线段，即可判断.【详解】解：在正方体中，故正确；因为，则，故正确；设点到面的距离为，则，又，则，所以，所以，即点到面的距离为，故错误；
13、对于，连接，在正方体中，平面，又平面，所以，因为，所以平面，又平面，所以，同理，又，所以平面，又平面，所以，因为点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，所以点的轨迹为线段，所以的取值范围是，故正确.故答案为：.三、解答题：共6小题，共85分16. 已知向量，（1）求；（2）求；（3）若（），求的值【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示即可得解；（2）求出，再根据空间向量模的坐标表示即可得解；（3）由，可得，再根据数量积的运算律即可得解.【小问1详解】解：；【小问2详解】解：；【小问3详解】解：因为，所以，即，解得.17. 从两个黑球（记为和）、两个红球（记
14、为和）从中有放回地任意抽取两球（1）用集合的形式写出试验的样本空间；（2）求抽到的两个球都是黑球的概率【答案】（1）答案见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据题意，列出样本空间所有可能的情况即可；（2）列出抽到两个球都是黑球的所有可能情况，利用古典概型的概率公式计算即可【小问1详解】试验的样本空间；【小问2详解】设事件“抽到两个黑球”，则对于有放回简单随机抽样，因为样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型因此所以抽到的两个球都是黑球的概率为18. 已知直线过点，直线：（1）若，求直线的方程；（2）若直线与轴和直线围成的三角形的面积为，求直线的方程【答案】（1） （2）或【解
15、析】【分析】（1）由题意，根据垂直关系可求得直线斜率，结合直线方程的点斜式即得解；（2）分直线斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线：，用表示面积，求解即可【小问1详解】设直线的斜率为，直线的斜率为因为，所以又因为，所以又因为直线过点直线的方程为，即【小问2详解】若直线斜率不存在，则直线：此时，直线与轴和直线围成的三角形面积为，符合题意若直线斜率存在，设直线的斜率为设直线：，与轴交点为点令，解得所以点坐标为直线与直线的交点为点因为直线与轴和直线围成的三角形面积为即即，可求得则直线的方程为综上：直线的方程为或19. 在如图所示的多面体中，且，且，且，平面，（1）求证：；（2）求平
16、面与平面夹角的余弦值【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，如图所示，以为坐标原点建立空间直角坐标系，证明即可得证；（2）求出平面与平面的法向量，再利用向量法即可得解.【小问1详解】证明：因为平面，平面，平面，所以，且，因为，如图所示，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，所以，所以；【小问2详解】，设平面的法向量为，则，即，令，有，设平面的法向量为，则，即，令，有，设平面和平面的夹角为，所以平面和平面夹角的余弦值为20. 甲乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次
17、投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响（1）求甲乙各投球一次，比赛结束的概率；（2）求甲获胜的概率【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）设事件“甲在第次投篮投中”，设事件“乙在第次投篮投中”， 记“甲乙各投球一次，比赛结束”为事件，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式，即得解（2）记“甲获胜”为事件，由题意，根据概率的加法公式和独立事件的概率公式，即得解【小问1详解】设事件“甲在第次投篮投中”，其中设事件“乙在第次投篮投中”，其中则，其中记“甲乙各投球一次，比赛结束”为事件，事件与事件相互独立根据事件独立性定义得：甲乙各投球一次，比赛结束的概率为【小问2详解】记“甲获胜”为事件，事件、事件、事件彼此互斥根据概率的加法公式和事件独立性定义得：甲获胜的概率为21. 设为正整数，集合对于集合中的任意元素和，记（1）当时，若，求和的值；（2）当时，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由【答案】（1）， （2）B=；理由见解析【解析】【分析】（1）根据所给定义计算可得；（2）根据所给定义及集合的运算性质计算可得；【小问1详解】解：因为，所以，【小问2详解】解：设；则对于中的不同元素，经验证，所以中至多1个元素属于B，所以集合B中至多5个元素取满足条件此时集合B=所以集合B中至多有5个元素
