1、 丰台区高二数学期末考试试题 1 / 9 丰台区丰台区 2020202020202121 学年度高二第一学期期末练习数学试卷学年度高二第一学期期末练习数学试卷 第一部分第一部分 （选择题 共 40 分） 一、选择题一、选择题共共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1已知(23)A,，(1 0)B ,，则直线AB的倾斜角为 （A） 6 （B） 3 （C） 3 （D） 6 2过点(1 2),且与直线290 xy平行的直线方程是 （A）20 xy （B）230 xy （C）25
2、0 xy （D）240 xy+ 3已知等比数列 n a满足 1 1a ， 4 8a ，则 7 a等于 (A) 32 (B) 32 (C) 64 (D) 64 4抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 A=“第一枚硬币正面朝上” ，事件 B=“第二枚硬币反面朝上” ， 则 A 与 B 的关系为 (A) 互斥 (B) 相互对立 (C) 相互独立 (D) 相等 5已知平面，的法向量分别为=( 1 2 4)=(1 2)x , , ,ab，若，则x的值为 (A) 10 (B) 10- (C) 1 2 (D) 1 2 6. 已知圆 1: C 22 1xy与圆 2 :C 22 870 xyy，则圆 1 C与圆 2
3、C的位置关系是 (A) 相离 (B) 相交 (C) 内切 (D) 外切 7. 如图，在三棱锥OABC中，D是BC的中点，若=OAa，=OBb，=OCc， 则AD等于 (A) abc (B) abc (C) 11 + 22 abc (D) 11 22 abc 8已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，准线为l，点M在抛物线C 上，点N在准线l上，且MNl.若| 8MF ，60MFN，则p的值为 (A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 1 9已知等差数列 n a是无穷数列，若 12 0aa，则数列 n a的前n项和 n S (A) 无最大值，有最小值 (B) 有最大值，无最小值 (
4、C) 有最大值，有最小值 (D) 无最大值，无最小值 丰台区高二数学期末考试试题 2 / 9 10已知点M在椭圆 22 1 189 xy 上运动，点N在圆 22 (1)1xy上运动，则|MN的最大值为 (A) 119 (B) 1 2 5 (C) 5 (D) 11 2 第二部分第二部分 （非选择题 共 60 分） 二、填空题二、填空题共共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分 11椭圆 2 2 1 9 x y的离心率是_ 12已知圆 222 (0)(3)(1)rxyr与x轴相切，则r _ 13已知直线20 xy与圆 22 3xy交于A，B两点，则|AB _ 14对于数列 n
5、 a，若点() () n n an * N,都在函数( )2xf x 的图象上，则数列 n a的前 4 项和 4 S _ 15已知双曲线 2 2 :1 3 x Cy，则C的右焦点的坐标为_；C的焦点到其渐近线的距离为_ 16. 如果数列 n a满足 21 1 nn nn aa k aa （k为常数） ， 那么数列 n a 叫做等比差数列，k叫做公比差 给 出下列四个结论： 若数列 n a满足 1 2 n n a n a ，则该数列是等比差数列； 数列2 n n是等比差数列； 所有的等比数列都是等比差数列； 存在等差数列是等比差数列. 其中所有正确结论的序号是_. 注：本题给出的结论中，有多个符
6、合题目要求.全部选对得 4 分，不选或错选得 0 分，其他得 2 分. 三、解答题三、解答题共共 4 小题，共小题，共 36 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 17.（本小题共（本小题共 9 分）分） 如图，已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，M为 1 AA的中点 （）求证： 1 A B平面 1 MCD； （）求平面 1 MCD与平面 11 C CD夹角的余弦值 丰台区高二数学期末考试试题 3 / 9 18.（本小题共（本小题共 9 分）分） 已知等差数列 n a满足 234 417aaa, （）求数列 n a的通项公式； （）
7、若数列 n b满足 1 2b ， 再从 1 2 nn bb ； 1 2 nn bb ； 1nn bb 这三个条件中任选一个作 为已知，求数列 nn ab的前n项和 n T. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 19.（本小题共（本小题共 8 分）分） 2020 年是我国 5G 网络建设的加速之年.截至 2020 年底，中国已建成全球最大的 5G 网络.为了切 实推动移动网络质量提升，不断改善用户体验，中国信通院受工信部委托，定期在全国范围内开展重 点场所移动网络质量专项测评.其中一项测评内容是在每座受测城市中挑选一条典型路段，以评估当地 5G 网络发展水平.其中 5 座受测城市的
8、 5G 综合下载速率（单位：Mbps）数据如下表： 城市城市 路段路段 5G 综合下载速率综合下载速率( (单位：单位：Mbps) ) 福州 五四路 708.92 广州 大学城外/中/内环 817.13 哈尔滨 红军街 630.34 杭州 环城东路 882.60 成都 二环高架 916.02 （）从以上 5 座城市中随机选取 2 座城市进行分析，求选取的 2 座城市“5G 综合下载速率”都大于 800 Mbps 的概率； （）甲、乙两家 5G 网络运营商分别从以上 5 座城市中随机选取 1 座城市考察（甲、乙的选取互不影 丰台区高二数学期末考试试题 4 / 9 响） ，求甲、乙两家运营商中恰有
9、 1 家选取的城市“5G 综合下载速率”大于 800 Mbps 的概率. 20.（本小题共（本小题共 10 分）分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy ab ab 过点( 2 0)A ,，且2ab. （）求椭圆的方程； （） 设O为原点， 过点(1 0)C ,的直线l与椭圆交于P,Q两点， 且直线l与x轴不重合， 直线AP,AQ 分别与y轴交于M,N两点.求证：| |OMON为定值. 参考答案及评分参考 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D C B D C B A B 二、填空题共 6 小题，每小题 4
10、分，共 24 分 11 2 2 3 121 132 1430 15(2 0) 1, ; 16 三、解答题共 4 小题，共 36 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 17. （本小题 9 分） 解： （）如图建立空间直角坐标系Axyz. 因为正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，M是 1 AA 的中点， 所以(0 0 0)A , ,，(2,2,0)C，(0 2 0)D , ,，(0 0 1)M, ,， 1(0 2 2) D, , 1(0 0 2) A, ,，(2 0 0)B, ,. 1 (0,2,1)MD ，(2,2, 1)MC . 设平面 1 MCD的法向量为( , , )x
11、 y zu， 丰台区高二数学期末考试试题 5 / 9 则 1 0 0 MD MC ， ， u u 即 20 220 yz xyz . 令1y ，则2z ，2x ，所以( 21 2) ,u. 因为 1 (2 02)AB , ,， 所以 1 2 ( 2)0 1( 2) ( 2)0AB u. 因为 1 AB 平面 1 MCD， 所以 1 A B平面 1 MCD. 6 分 （）由（）知，平面 1 MCD的法向量( 21 2) ,u， 又平面 11 C CD的法向量为(0,2,0)AD . 设平面 1 MCD与平面 11 C CD的夹角为， 则 | cos= |cos| | | = AD AD AD ,
12、 u u u 21 = 323 ， 所以平面 1 MCD与平面 11 C CD夹角的余弦值为 1 3 . 9 分 18. （本小题 9 分） 解： （）设等差数列 n a的公差为d. 由 2 34 4 17 a aa ，可得 1 1 4 2517 ad ad . 解得 1 13ad，. 所以 1 (1)32 n aandn. 4 分 （）选： 由 1 2b ， 1 2 nn bb 可得0 n b ， 1 2 n n b b ， 所以 n b是等比数列，公比2q . 所以 1 1 2 nn n bbq . 丰台区高二数学期末考试试题 6 / 9 所以 1212 ()() nnn Taaabbb
13、(1 32)2(1 2 ) 21 2 n nn 2 1 3 22 2 n nn . 9 分 选： 由 1 2b ， 1 2 nn bb 可得0 n b ， 1 1 2 n n b b ， 所以 n b是等比数列，公比 1 2 q . 所以 112 1 11 2 ( )( ) 22 nnn n bbq . 所以 1212 ()() nnn Taaabbb 1 2(1 ( ) ) (1 32) 2 1 2 1 2 n nn 2 2 31 ( )4 22 n nn . 选： 由 1 2b ， 1nn bb 可得0 n b ， 1 1 n n b b ， 所以 n b是等比数列，公比1q ， 所以 1
14、1 1 2 ( 1) nn n bbq . 所以 1212 ()() nnn Taaabbb (1 32)2(1 ( 1) ) 21 ( 1) n nn 2 32 ( 1) 2 n nn . 19. （本小题 8 分） 解： （）5 座城市中“5G 综合下载速率”大于 800 Mbps 的有 3 座，设为 123 A A A, “5G 综合下载速率”不大于 800 Mbps 的有 2 座，设为 12 B B,. 随机选取 2 座城市所有可能为： 12 A A， 13 A A， 11 AB， 12 A B， 23 A A， 21 A B， 22 A B， 31 A B, 32 A B, 丰台区高
15、二数学期末考试试题 7 / 9 12 B B共 10 种. 其中 2 座城市“5G 综合下载速率”都大于 800 Mbps 的有 12 A A， 13 A A， 23 A A共 3 种. 设两个城市“5G 综合下载速率”都大于 800 Mbps 为事件M， 所以 3 () 10 P M . 4 分 （）设甲选取的城市“5G 综合下载速率”大于 800 Mbps 为事件C，乙选取的城市“5G 综合下 载速率” 大于 800 Mbps 为事件D， 恰有 1 家运营商选取的城市 “5G 综合下载速率” 大于 800 Mbps 为事件N. 依题意，事件 3 ( )() 5 P CP D， 所以()()
16、P NP CDCD ()()P CDP CD ( ) ()( ) ()P C P DP C P D 3223 5555 12 25 . 8 分 20. （本小题 10 分） 解： （）因为椭圆过点( 2,0)A ， 所以2a . 因为2ab， 所以1b . 所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y. 3 分 （）当直线l斜率不存在时，直线l的方程为1x . 不妨设此时 3 (1,) 2 P， 3 (1,) 2 Q， 所以直线AP的方程为 3 (2) 6 yx，即 3 (0,) 3 M. 直线AQ的方程为 3 (2) 6 yx ，即 3 (0,) 3 N. 所以 1 | |= 3 OMON. 丰
17、台区高二数学期末考试试题 8 / 9 当直线l斜率存在时，设直线l的方程为(1)yk x， 由 2 2 (1) 1 4 yk x x y ， 得 2222 (41)8440kxk xk. 依题意，0 . 设 11 (,)P x y， 22 (,)Q xy，则 2 12 2 8 41 k xx k ， 2 12 2 44 41 k x x k . 又直线AP的方程为 1 1 (2) 2 y yx x ， 令0 x ，得点M的纵坐标为 1 1 2 2 M y y x ，即 1 1 2 (0,) 2 y M x . 同理，得 2 2 2 (0,) 2 y N x . 所以| |=OMON 12 12 4 (2)(2) y y xx 2 12 12 4(1)(1) (2)(2) kxx xx 2 1212 1212 4() 1 2()4 kx xxx x xxx 22 2 22 22 22 448 4(1) 4141 4416 +4 4141 kk k kk kk kk 2222 222 4(44841) 44+16164 kkkk kkk 2 2 12 36 k k 1 3 . 综上，| |OMON为定值，定值为 1 3 . 10 分 （若用其他方法解（若用其他方法解题题，请请酌情酌情给给分）分） 丰台区高二数学期末考试试题 9 / 9
