1、20222022 北京丰台高二（上）期末数学北京丰台高二（上）期末数学试卷试卷 第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 40 分）分） 一选择题共一选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。分。在每小题列出的四个选项中在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项选出符合题目要求的一项。 1直线10 xy 的倾斜角是 A6 B4 C3 D34 2已知向量a(1，1，2)，b(x，2，y)，且ab，则xy A2 B12 C12 D2 3双曲线22143xy的渐近线方程是 A34yx B43yx C32yx D2 33yx 4已知圆1C：221xy与圆2C：22(2)
2、(2)1xy，则圆1C与圆2C的位置关系是 A内含 B相交 C外切 D外离 5在长方体1111ABCDABC D中，M为棱1CC的中点. 若AB uuu ra，AD uuu rb，1AA uuurc，则AMuuuu r等于 A12a+bc B12abc C111222abc D111222abc 6抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件A“正面向上”，则下列说法正确的是 A抛掷硬币 10次，事件A必发生 5次 B抛掷硬币 100次，事件A不可能发生 50 次 C抛掷硬币 1000 次，事件A发生的频率一定等于 0.5 D随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率在 0.5附近波动的幅度较大的可能性小 7
3、对于随机事件 A，B，有下列说法： 如果A，B相互独立，那么()( ) ( )P ABP A P B；如果A，B对立，那么( )1( )P BP A -； 如果A，B互斥，那么()( )( )P ABP AP BU. 其中正确的个数是 A0 个 B1 个 C2 个 D3个 8在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，点E为棱11A B的中点，则点E到平面11BC D的距离为 A2 B22 MD1C1B1A1DCBAABCDA1B1C1D1EC 12 D24 9已知 A(1，0)，B(0，1)两点，点C到点(1，0)的距离为 1，则ABC面积的最大值为 A1 B.32 C.212 D.
4、 2 10已知椭圆M：22221xyab(0)ab，双曲线N：22221xymn(0m ，0)n .设椭圆 M 的两个焦点分别为1F，2F，椭圆 M 的离心率为1e，双曲线 N 的离心率为2e，记双曲线 N 的一条渐近线与椭圆 M 一个交点为 P， 若12PFPF且121| 2|FFPF，则12ee的值为 A312 B. 3 1 C. 2 D. 3 1 第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共共 110 分）分） 二填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25分。 11. 已知a(1，0，1)，b(2，1，1)，则2=ab_ 12. 某社区为了解居民的受教育程度，随机抽取了 1000 名居民进
5、行调查，其结果如下： 受教育程度 研究生 本科及以下 人数 100 900 现从该社区中随机抽取一人，根据表中数据，估计此人具有研究生学历的概率为_ 13. 已知直线l与直线210 xy 平行，且在y轴上的截距为2，则直线l的方程为_ 14. 已知点P (2，a)在抛物线C：24yx上，则点P到抛物线C的焦点的距离为_ 15. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：22ypx，过 M (m，0)(0)m的直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点.若OAOB，则mp_. 三解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16.（本小题 14 分） 如图，在棱长为
6、 1的正方体1111ABCDABC D中，点M为线段1BC的中点. （）求证：11ACBC； （）求线段1AM的长. MABCDA1B1C1D117.（本小题 13 分） 某学校有 4 名北京冬奥志愿者，其中 2名志愿者（记为1A，2A）只参加语言服务，2名志愿者（记为1B，2B）只参加医疗服务. 现采用不放回简单随机抽样的方法，从这 4 名志愿者中抽取 2人. （）写出这个试验的样本空间； （）求抽取的 2人中恰有一人参加语言服务的概率. 18. （本小题 14 分） 已知圆心坐标为(2，1) 的圆C与y轴相切. （）求圆C的方程； （）设直线l：0 xym与圆C交于A，B两点，从条件、条件
7、中选择一个作为已知，求m的值. 条件：2 3AB ；条件：120ACB. 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 19. （本小题 14分） 已知椭圆E：22221(0)xyabab过点 (2，0)，离心率为22. （）求椭圆E的方程； （）设直线2ykx被椭圆C截得的弦长为83，求k的值. 20. （本小题 15 分） 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA底面ABCD，点E为棱PD的中点，1AB ，2ADAP. （）求证：PB平面ACE； （）求平面ACE与平面PAB夹角的余弦值； （III）若F为棱PC的中点，则棱PA上是否存在一点G，使得PC 平面EFG.
8、若存在，求线段AG的长；若不存在，请说明理由. FEDCBAP21. （本小题 15 分） 已知椭圆E：22221(0)xyabab的短半轴长为 1，焦距为2 3. （）求椭圆 E的方程； （）设椭圆 E 的右顶点为 A，过点 P (4，0)且斜率为(0)k k 的直线交椭圆 E 于不同的两点 B，C，直线 AB，AC分别与直线4x 交于点 M，N. 求|PM|+|PN|的取值范围. 2022 北京丰台高二（上）期末数学 参考答案 2022. 01 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B
9、D C D A D D B C A 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 11(0，1，3) 12110 1322yx 143 152 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16.（本小题 14 分） 解：（）以D为原点，DA，DC，1DD所在直线分别 为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐 标系，则1A(1，0，1)，C(0，1，0)， B(1，1，0)，1C(0，1，1)， 所以1uuu u rAC(1，1，1)，1uuuu rBC(1，0
10、，1). 因为11( 1) ( 1) 1 0( 1) 10AC BC uuu u r uuuu r， 所以11ACBC. 7 分 （）因为点M是1BC的中点，由（）可知M(12，1，12)，所以1uuuurAM(12，1，12)， 从而22211161222AM uuuur. 14 分 17.（本小题 13 分） 解：（）这个试验的样本空间为 zyxD1C1B1A1DCBAM121112212212() () () () () ()， ， ， ， ， ，AAABABABABBB.5 分 （）设事件M“抽取的 2人中恰有一人参加语言服务”， 则11122122() () () ()， ， ， ，
11、MABABABAB. 所以42()63P M . 13分 18.（本小题 14 分） 解:（）因为圆C与y轴相切，所以r=2， 又因为圆C的圆心坐标为点(2，1)， 所以圆C的方程为22(2)(1)4xy. 6分 （）选择条件：2 3AB 作为条件，由题意2CACB， 所以圆心C到直线l的距离为22()12ABCA ， 所以2 111 1m ， 解得21m 或21. 14 分 选择条件：120ACB作为条件，2CACB， 可知圆心C到直线l的距离为22()12ABCA ， 所以2 111 1m ，解得21m 或21. 19.（本小题 14 分） 解：（）依题意得222222.acaabc, 解
12、得422abc,. 所以椭圆 E的方程为22142xy. 6分 （）设直线与椭圆 E的交点为A(1x，1y)，B(2x，2y). 由222142ykxxy,得，22(12)4 20kxkx， 所以1224 2012kxxk,， 依题意知2221212128()()| 13ABxxyyxxk, 所以224 281123kkk， 所以2222() (1)129kkk，所以4220kk, 所以21k ,所以1k . 14分 20.（本小题 15 分） 解：（）因为底面ABCD是矩形，所以ABAD. 因为PA平面ABCD，所以PAAB， PAAD.以A为原点，AB，AD，AP 所在直线分别为x轴、y轴
13、，z轴，建立 如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)， B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)， P(0，0，2)，E(0，1，1)， 所以uuu rAC(1，2，0)，uuu rAE(0，1，1)， uuu rPB(1，0，2). 设平面ACE的法向量为n(x，y，z)，则00.ACAEuuu ruuu r,nn 所以200.xyyz,取1y ，则2x ，1z . 所以n(2，1，1)是平面ACE的一个法向量. 因为0PBuuu rn，且PB 平面ACE， 所以PB/平面ACE. 6 分 （）由（）可知ABAD，PAAD， 又因为PAABAI，所以AD 平面PAB. 所以
14、uuu rAD(0，2，0)是平面PAB的一个法向量. 设平面ACE与平面PAB的夹角为， 则26coscos626ADADAD uuu ruuu ruuu r,nnn. 所以平面ACE与平面PAB夹角的余弦值为66. 11 分 （）因为F为PC的中点，所以F(12，1，1)，所以uuu rEF(12，0，0). 又因为uuu rPC(1，2，2)，所以102EF PCuuu r uuu r， 所以EF与PC不垂直. 而EF 平面EFG， 所以棱PA上不存在点G，使得PC 平面EFG. 15 分 21.（本小题 15 分） zyxPABCDEF解：（）依题意知222122 3.bcabc, 解
15、得213abc, 所以椭圆 E的方程为2241xy 5 分 （）由（）知A(2，0)， 设直线BC的方程为(4)(0)yk xk， 由224)1(4xyyk x,得2222(1 4)326440kxk xk， 2 2222(32)4(1 4)(644)16(1 12)kkkk， 由0 得2112k ，且20k . 设B(1x，1y)，C(2x，2y)，1222xx,， 则22121222326441414kkxxx xkk,， 设M(4，m)，N(4，n)依题意有1122ymx，2222ynx 因为21212(4)(4)0y ykxx，所以0mn . 所以121222| | | |22yyPMPNmnmnxx 12122 (4)2 (4)|22k xk xxx 1212124|4 1|2()4xxkx xxx 222222324114|4 1|64432|241414kkkkkkkk 因为2112k ，且20k ，所以12 3|k， 15分 所以|PM|+|PN|的取值范围是 (2 3，).
