1、2022年江苏省中考真题分类汇编8：图形的性质一、解答题1（2022江苏宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、均为格点【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段、，相交于点并给出部分说理过程，请你补充完整：解：在网格中取格点，构建两个直角三角形，分别是ABC和CDE在RtABC中，在RtCDE中， ，所以所以=因为 = =90，所以 + =90，所以 =90，即(1)【拓展应用】如图是以格点为圆心，为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点P，使=，写出作法，并给出证明：(2)【拓展应用】如图是以格点为
2、圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦上找出一点P使=，写出作法，不用证明2（2022江苏常州）（现有若干张相同的半圆形纸片，点是圆心，直径的长是，是半圆弧上的一点（点与点、不重合），连接、(1)沿、剪下，则是_三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；(2)分别取半圆弧上的点、和直径上的点、已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为的菱形请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；(3)经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点，一定存在线段上的点、线段上的点和直径上的点、，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为的菱形小明的猜想是否正确？请说
3、明理由3（2022江苏常州）如图，点在射线上，如果绕点按逆时针方向旋转到，那么点的位置可以用表示(1)按上述表示方法，若，则点的位置可以表示为_；(2)在（1）的条件下，已知点的位置用表示，连接、求证：4（2022江苏常州）在四边形中，是边上的一点若，则点叫做该四边形的“等形点”(1)正方形_“等形点”（填“存在”或“不存在”）；(2)如图，在四边形中，边上的点是四边形的“等形点”已知，连接，求的长；(3)在四边形中，EH/FG若边上的点是四边形的“等形点”，求的值5（2022江苏宿迁）如图，在平行四边形中，点，分别是边，的中点求证：6（2022江苏泰州）如图，线段DE与AF分别为ABC的中位
4、线与中线(1)求证：AF与DE互相平分；(2)当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由7（2022江苏泰州）已知：ABC中，D 为BC边上的一点.(1)如图，过点D作DEAB交AC边于点E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的长；(2)在图，用无刻度的直尺和圆规在AC边上做点F，使DFA=A；（保留作图痕迹，不要求写作法）(3)如图，点F在AC边上，连接BF、DF，若DFA=A，FBC的面积等于，以FD为半径作F，试判断直线BC与F的位置关系，并说明理由.8（2022江苏泰州）如图，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l
5、上，且AB=7，EF=10，BC5. 点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒(1)如图2，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；(2)在点B运动的过程中，当 AD、BC都与半圆O相交，设这两个交点为G、H连接OG，OH.若GOH为直角，求此时t的值.9（2022江苏无锡）如图，ABC为锐角三角形(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使DACACB，且；（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若，则四边形ABCD的面积为 （如需画草图，请使用试卷中的图2）10（2022江苏无锡）如图，已知四边
6、形ABCD为矩形，点E在BC上，将ABC沿AC翻折到AFC，连接EF(1)求EF的长；(2)求sinCEF的值11（2022江苏无锡）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交O于点E，连接CE(1)求证；(2)当时，求CE的长12（2022江苏无锡）如图，在ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF求证：(1)DOFBOE；(2)DE=BF13（2022江苏扬州）如图1，在中，点在边上由点向点运动（不与点重合），过点作，交射线于点(1)分别探索以下两种特殊情形时线段与的数量关系，并说明理由；点在
7、线段的延长线上且；点在线段上且(2)若当时，求的长；直接写出运动过程中线段长度的最小值14（2022江苏扬州）如图，为的弦，交于点，交过点的直线于点，且(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，求的长15（2022江苏宿迁）如图，某学习小组在教学楼的顶部观测信号塔底部的俯角为30，信号塔顶部的仰角为45已知教学楼的高度为20m，求信号塔的高度（计算结果保冒根号）16（2022江苏扬州）如图，在中，分别平分，交于点(1)求证：；(2)过点作，垂足为若的周长为56，求的面积17（2022江苏苏州）如图，AB是的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点EF是AB延长线上的一点，且(1)
8、求证：为的切线；(2)连接BD，取BD的中点G，连接AG若，求AG的长18（2022江苏苏州）如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为E，AE与CD交于点F(1)求证：；(2)若，求的度数19（2022江苏宿迁）如图，在中， =45，以为直径的与边交于点(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，求图中阴影部分的面积20（2022江苏扬州）【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？【初步尝试】如图1，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；【问题联想】如图2，已知线段，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以为斜边
9、的等腰直角三角形；【问题再解】如图3，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）21（2022江苏连云港）【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放其中，【问题探究】小昕同学将三角板绕点B按顺时针方向旋转(1)如图2，当点落在边上时，延长交于点，求的长(2)若点、在同一条直线上，求点到直线的距离(3)连接，取的中点，三角板由初始位置（图1），旋转到点、首次在同一条直线上（如图3），求点所经过的路径长(4)如图4，为的中点，则在旋转过程中，点到直线的距离的最
10、大值是_22（2022江苏连云港）如图，四边形为平行四边形，延长到点，使，且(1)求证：四边形为菱形；(2)若是边长为2的等边三角形，点、分别在线段、上运动，求的最小值参考答案1(1)；见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）取格点，作射线交于点P，则根据垂径定理可知，点P即为所求作；（2）取格点I，连接MI交AB于点P，点P即为所求作利用正切函数证得FMI=MNA，利用圆周角定理证得B=MNA，再推出PAMMAB，即可证明结论(1)解：【操作探究】在网格中取格点，构建两个直角三角形，分别是ABC和CDE在RtABC中，在RtCDE中，所以所以=因为 = =90，所以 + =90，所以 =90
11、，即故答案为：；取格点，作射线交于点P，点P即为所求作；(2)解：取格点I，连接MI交AB于点P，点P即为所求作；证明：作直径AN，连接BM、MN，在RtFMI中，在RtMNA中，所以FMI=MNA，B=MNA，AMP=B，PAM=MAB，PAMMAB， ，=【点睛】本题考查作图-应用与设计，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题2(1)直角(2)见详解(3)小明的猜想错误，理由见详解【解析】【分析】（1）AB是圆的直径，根据圆周角定理可知ACB=90，即可作答；（2）以A为圆心，AO为半径画弧交O于点E，再以E为圆心，EO为半径
12、画弧交于O点F连接EF、FO、EA，G、H点分别与A、O点重合，即可；（3）过C点作，交AB于点G，连接CO，根据，可得，即有，则可求得，依据，NQ=4，可得GC=OC=6，即可判断(1)如图，AB是O的直径，ACB=90，ACB是直角，即ABC是直角三角形，故答案为：直角，(2)以A为圆心，AO为半径画弧交O于点E，再以E为圆心，EO为半径画弧交于O点F连接EF、FO、EA，G、H点分别与A、O点重合，即可，作图如下：由作图可知AE=EF=FH=HG=OA=AB=6，即四边形EFHG是边长为6cm的菱形；(3)小明的猜想错误，理由如下：如图，菱形MNQP的边长为4，过C点作，交AB于点G，连
13、接CO，在菱形MNQP中MN=QN=4，AB=12，MN=4，BN=BC-CN，NQ=4，GC=6，AB=12，OC=6，OC=GC，显然若C点靠近A点时，要满足GC=OC=6，此时的G点必在BA的延长线上，P点在线段AB上，直线GC必与直线PM相交，这与相矛盾，故小明的猜想错误【点睛】本题考查了圆周角定理、尺规作图、菱形的性质、平行的性质等知识，掌握菱形的性质以及平行的性质求得GC=OC是解答本题的关键3(1)(3,37)(2)见解析【解析】【分析】（1）根据点的位置定义，即可得出答案；（2）画出图形，证明AOABOA（SAS），即可由全等三角形的性质，得出结论(1)解：由题意，得A(a,n
14、)，a=3,n=37，A(3,37)，故答案为：(3,37)；(2)证明：如图，B(3,74)，AOA=37，AOB=74，OA= OB=3，AOB=AOB-AOA=74-37=37，OA=OA，AOABOA（SAS），AA=AB【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，新定义，旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键4(1)不存在，理由见详解(2)(3)1【解析】【分析】（1）根据“等形点”的概念，采用反证法即可判断；（2）过A点作AMBC于点M，根据“等形点”的性质可得AB=CD=，OA=OC=5，OB=7=OD，设MO=a，则BM=BO-MO=7-a，在RtABM和RtAOM
15、中，利用勾股定理即可求出AM，则在RtAMC中利用勾股定理即可求出AC；（3）根据“等形点”的性质可得OF=OH，OE=OG，EOF=GOH，再根据，可得EOF=OEH，GOH=EHO，即有OEH=OHE，进而有OE=OH，可得OF=OG，则问题得解(1)不存在，理由如下：假设正方形ABCD存在“等形点”点O，即存在OABOCD，在正方形ABCD中，点O在边BC上，ABO=90，OABOCD，ABO=CDO=90，CDDO，CDBC，O点在BC上，DO与BC交于点O，假设不成立，故正方形不存在“等形点”；(2)如图，过A点作AMBC于点M，如图，O点是四边形ABCD的“等形点”，OABOCD，
16、AB=CD，OA=OC，OB=OD，AOB=COD，OA=5，BC=12，AB=CD=，OA=OC=5，OB=BC-OC=12-5=7=OD，AMBC，AMO=90=AMB，设MO=a，则BM=BO-MO=7-a，在RtABM和RtAOM中，即，解得：，即，MC=MO+OC=，在RtAMC中，即AC的长为；(3)如图，O点是四边形EFGH的“等形点”，OEFOGH，OF=OH，OE=OG，EOF=GOH，EOF=OEH，GOH=EHO，根据EOF=GOH有OEH=OHE，OE=OH，OF=OH，OE=OG，OF=OG，【点睛】本题考查了全等三角形的性质、勾股定理、正方形的性质、平行的性质等知识
17、，充分利用全等三角形的性质是解答本题的关键5证明见解析【解析】【分析】利用是平行四边形，得到，再证明，即可证明是平行四边形，利用平行四边形的性质即可得到【详解】证明：是平行四边形，点，分别是边，的中点，是平行四边形，【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，解题的关键是证明是平行四边形6(1)见解析(2)AF=BC，理由见解析【解析】【分析】（1）易知点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，所以线段DF与EF也为ABC的中位线，由中位线定理证得四边形ADFE是平行四边形，因为平行四边形的对角线相互平分，此题可证；（2）根据对角线相等的平行四边形是矩形，结合已知条件可知，当AF=BC时，平行四边
18、形ADFE为矩形(1)证明：线段DE与AF分别为ABC的中位线与中线，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，线段DF与EF也为ABC的中位线，DFAC，EFAB，四边形ADFE是平行四边形，AF与DE互相平分(2)解：当AF=BC时，四边形ADFE为矩形，理由如下：线段DE为ABC的中位线，DE=BC，由（1）知四边形ADFE为平行四边形，若ADFE为矩形，则AF=DE，当AF=BC时，四边形ADFE为矩形【点睛】此题考查了中位线定理，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质；解题的关键是数形结合，熟练运用上述知识7(1)2(2)图见详解(3)直线BC与F相切，理由见详解【解析】【分析】（1
19、）由题意易得，则有，然后根据相似三角形的性质与判定可进行求解；（2）作DTAC交AB于点T，作TDF=ATD，射线DF交AC于点F，则点F即为所求；（3）作BRCF交FD的延长线于点R，连接CR，证明四边形ABRF是等腰梯形，推出AB=FR，由CFBR，推出，推出CDDF，然后问题可求解(1)解：DEAB，AB=5，BD=9，DC=6，；(2)解：作DTAC交AB于点T，作TDF=ATD，射线DF交AC于点F，则点F即为所求；如图所示：点F即为所求，(3)解：直线BC与F相切，理由如下：作BRCF交FD的延长线于点R，连接CR，如图，DFA=A，四边形ABRF是等腰梯形，FBC的面积等于，CD
20、DF，FD是F的半径，直线BC与F相切【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定是解题的关键8(1)(2)8或9秒【解析】【分析】(1)通过计算当t=2.5时EB=BO，进而得到MBEMBO，判断出MEO为等边三角形得到EOM=60，然后根据弧长公式求解；(2)通过判定GAOHBO，然后利用全等三角形的性质分析求解(1)解：设BC与O交于点M，如下图所示：当t=2.5时，BE=2.5，EF=10，OE=EF=5，OB=2.5，EB=OB，在正方形ABCD中，EBM=OBM=90，且MB=MB，MBE
21、MBO(SAS)，ME=MO，ME=EO=MO，MOE是等边三角形，EOM=60，(2)解：连接GO和HO，如下图所示：GOH=90，AOG+BOH=90，AOG+AGO=90，AGO=BOH，在AGO和OBH中，AGOBOH(AAS)，AG=OB=BE-EO=t-5，AB=7，AE=BE-AB=t-7，AO=EO-AE=5-(t-7)=12-t，在RtAGO中，AG2+AO2=OG2，(t-5)2+(12-t)2=52，解得：t1=8，t2=9，即t的值为8或9秒【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，弧长公式的计算，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定(一线三垂直模型)，结合勾股定理列方程
22、是解题关键9(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）先作DACACB，再利用垂直平分线的性质作，即可找出点D；（2）由题意可知四边形ABCD是梯形，利用直角三角形的性质求出AE、BE、CE、AD的长，求出梯形的面积即可(1)解：如图，点D为所求点(2)解：过点A作AE垂直于BC，垂足为E，DACACB，四边形ABCD是梯形，四边形AECD是矩形，四边形ABCD的面积为，故答案为：【点睛】本题考查作图，作相等的角，根据垂直平分线的性质做垂线，根据直角三角形的性质及勾股定理求线段的长，正确作出图形是解答本题的关键10(1)(2)【解析】【分析】(1)先由可求得的长度，再由角度关系可得，即可求得的长
23、;(2)过F作于，利用勾股定理列方程，即可求出的长度，同时求出的长度，得出答案.(1)设，则，在中，由折叠可知，在中，.(2)过F作FMBC于M，FME=FMC=90，设EM=a,则EC=3-a，在中， ，在中， .【点睛】此题考查了锐角三角函数，勾股定理，矩形的性质，通过添加辅助线构建直角三角形是解题的关键11(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等可得，再由对顶角相等得，故可证明绪论；（2）根据可得由可得出连接AE，可证明，得出 代入相关数据可求出，从而可求出绪论(1)所对的圆周角是，又，；(2)是等边三角形，连接如图， 又，（负值舍去），解得，【点睛】本题主要考查了
24、圆周角定理，相似三角形和判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键12(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，利用ASA即可证明DOFBOE；（2）证明四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点，ABDC，OB=OD，OBE=ODF在BOE和DOF中，BOEDOF（ASA）；(2)证明：BOEDOF，EO=FO，OB=OD，四边形BEDF是平行四边形DE=BF【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，证明三角形全等是解决问的关键13(1)(2)
25、4【解析】【分析】（1）算出各个内角，发现其是等腰三角形即可推出；算出各内角发现其是30的直角三角形即可推出；（2）分别过点A，E作BC的垂线，得到一线三垂直的相似，即，设，利用30直角三角形的三边关系，分别表示出，列式求解a即可；分别过点A，E作BC的垂线，相交于点G，H，证明可得，然后利用完全平方公式变形得出，求出AE的取值范围即可(1)如图：在中，在中，；如图：，在中，；(2)分别过点A，E作BC的垂线，相交于点H，G，则EGDDHA90，GEDGDE90，HDAGDE90，GEDHDA，设，则，在中，AB=6则，在中，则在中，由得，即解得：，（舍）故；分别过点A，E作BC的垂线，相交于
26、点G，H，则EHDAGD90，ADE90，EDH=90-ADGDAG，EHDAGD90，BAC90，C60，B=30，=，故AE的最小值为4.【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的性质，一线三垂直相似模型，垂线段最短，熟练掌握直角三角形的性质，一线三垂直模型，垂线段最短原理是解题的关键14(1)相切，证明见详解(2)6【解析】【分析】（1）连接OB，根据等腰三角形的性质得出，从而求出，再根据切线的判定得出结论；（2）分别作交AB于点M，交AB于N，根据求出OP，AP的长，利用垂径定理求出AB的长，进而求出BP的长，然后在等腰三角形CPB中求解CB即可(1)证明
27、：连接OB，如图所示：，即，为半径，经过点O，直线与的位置关系是相切(2)分别作交AB于点M，交AB于N，如图所示：，【点睛】本题考查了切线的证明，垂径定理的性质，等腰三角形，勾股定理，三角函数等知识点，熟练掌握相关知识并灵活应用是解决此题的关键，抓住直角三角形边的关系求解线段长度是解题的主线思路15（2020）m【解析】【分析】过点A作AECD于点E，则四边形ABDE是矩形，DEAB20m，在RtADE中，求出AE的长，在RtACE中，AEC90，求出CE的长，即可得到CD的长，得到信号塔的高度【详解】解：过点A作AECD于点E，由题意可知，BBDEAED90，四边形ABDE是矩形，DEAB
28、20m， 在RtADE中，AED90，DAE30，DE20m，tanDAE，m，在RtACE中，AEC90，CAE45，ACE是等腰直角三角形， m，CDCEDE（2020）m，信号塔的高度为（2020）m【点睛】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、特殊角的锐角三角函数等知识，借助仰角俯角构造直角三角形与矩形是解题的关键16(1)见详解(2)84【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质证即可求证；（2）作，由即可求解；(1)证明：在中，分别平分，在和中，(2)如图，作，的周长为56，平分，【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、三角形的全等、角
29、平分线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键17(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）方法一：如图1，连接OC，OD由，可得，由是的直径，D是的中点，进而可得，即可证明CF为的切线；方法二：如图2，连接OC，BC设同方法一证明，即可证明CF为的切线；（2）方法一：如图3，过G作，垂足为H设的半径为r，则在RtOCF中，勾股定理求得，证明，得出，根据，求得，进而求得，根据勾股定理即可求得；方法二：如图4，连接AD由方法一，得，D是的中点，可得，根据勾股定理即可求得(1)（1）方法一：如图1，连接OC，OD，是的直径，D是的中点，即CF为的切线方法二：如图2，连接OC，BC设AB是的直径，D
30、是的中点，AB是的直径，即CF为的切线(2)解：方法一：如图3，过G作，垂足为H设的半径为r，则在RtOCF中，解之得，G为BD中点，方法二：如图4，连接AD由方法一，得AB是的直径，D是的中点，G为BD中点，【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键18(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）由矩形与折叠的性质可得，从而可得结论；（2）先证明，再求解， 结合对折的性质可得答案(1)证明：将矩形ABCD沿对角线AC折叠，则，在DAF和ECF中， (2)解：，四边形ABCD是矩形， ， ，【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，
31、矩形的性质，熟练的运用轴对称的性质证明边与角的相等是解本题的关键19(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质与三角形的内角和定理证明 从而可得结论；（2）如图，记BC与的交点为M，连接OM，先证明 再利用阴影部分的面积等于三角形ABC的面积减去三角形BOM的面积，减去扇形AOM的面积即可(1)证明： =45， 即 在上，为的切线(2)如图，记BC与的交点为M，连接OM， ， ， ， ， ， 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，切线的判定，扇形面积的计算，掌握“切线的判定方法与割补法求解不规则图形面积的方法”是解本题的关键20见解析【解析】【分析】【初步尝试】如图1，作
32、AOB的角平分线所在直线即为所求；【问题联想】如图2，先作MN的线段垂直平分线交MN于点O，再以O为圆心MO为半径作圆，与垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点；【问题再解】如图3先作OB的线段垂直平分线交OB于点N，再以N为圆心NO为半径作圆, 与垂直平分线的交点为M，然后以O为圆心，OM为半径作圆与扇形所交的圆弧即为所求【详解】【初步尝试】如图所示，作AOB的角平分线所在直线OP即为所求；【问题联想】如图，先作MN的线段垂直平分线交MN于点O，再以O为圆心MO为半径作圆，与垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点；【问题再解】如图，先作OB的线段垂直平分线交OB于点N，再以N为圆心NO为
33、半径作圆, 与垂直平分线的交点为M，然后以O为圆心，OM为半径作圆与扇形所交的圆弧CD即为所求【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，扇形的面积等知识，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，掌握基本作图方法21(1)(2)(3)(4)【解析】【分析】（1）在RtBEF中，根据余弦的定义求解即可；（2）分点在上方和下方两种情况讨论求解即可；（3）取的中点，连接，从而求出OG=，得出点在以为圆心，为半径的圆上，然后根据弧长公式即可求解；（4）由（3）知，点在以为圆心，为半径的圆上，过O作OHAB于H，当G在OH的反向延长线上时，GH最大，即点到直线的距离的最大，在R
34、tBOH中求出OH，进而可求GH.(1)解：由题意得，在中，(2)当点在上方时，如图一，过点作，垂足为，在中，在中，点、在同一直线上，且，又在中，在中，当点在下方时，如图二，在中，过点作，垂足为在中，综上，点到直线的距离为(3)解：如图三，取的中点，连接，则点在以为圆心，为半径的圆上当三角板绕点B顺时针由初始位置旋转到点、B、首次在同一条直线上时，点所经过的轨迹为所对的圆弧，圆弧长为点所经过的路径长为(4)解：由（3）知，点在以为圆心，为半径的圆上，如图四，过O作OHAB于H，当G在OH的反向延长线上时，GH最大，即点到直线的距离的最大，在RtBOH中，BHO=90，OBH=30，即点到直线的
35、距离的最大值为.【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，弧长公式，解直角三角形等知识，分点在上方和下方是解第（2）的关键，确定点G的运动轨迹是解第（3）（4）的关键.22(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）先根据四边形为平行四边形的性质和证明四边形为平行四边形，再根据，即可得证；（2）先根据菱形对称性得，得到，进一步说明的最小值即为菱形的高，再利用三角函数即可求解(1)证明：四边形是平行四边形，又点在的延长线上，四边形为平行四边形，又，四边形为菱形(2)解：如图，由菱形对称性得，点关于的对称点在上，当、共线时，过点作，垂足为，的最小值即为平行线间的距离的长，是边长为2的等边三角形，在中，的最小值为【点睛】本题考查了最值问题，考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角函数等知识，运用了转化的思想方法将最值问题转化为求菱形的高是解答本题的关键答案第44页，共35页
