1、 2022 年重庆市南川区中考数学模拟试卷年重庆市南川区中考数学模拟试卷 一、选择题（共 12 小题，共 48 分） 1. 在 、 、 、 四个数中，最小数是 A. B. C. D. 2. 下列四个汽车标志图案中，可以看作是中心对称图形的是 A. B. C. D. 3. 若两个相似多边形的面积比为 ： ，则它们的对应边的比是 A. ： B. ： C. ： D. ： 4. 下列计算正确的是 A. B. C. D. 5. 估计 的值应在 A. 和 之间 B. 和 之间 C. 和 之间 D. 和 之间 6. 如图， 是 的直径， 弦 于点 ， ， ， 则 A. B. C. D. 7. 掷一个骰子时，
2、点数小于 的概率是 A. B. C. D. 8. 下列判定正确的是 A. 一组对角是直角的四边形是矩形 B. 对角线互相平分的四边形是菱形 第 2 页，共 21 页 C. 四条边相等的四边形是正方形 D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 9. 孙子算经中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳七尺：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是： “用一根绳子去量一根木条， 绳子剩余 尺； 将绳子对折再量木条， 木条剩余 尺，问木条长多少尺？”如果设木条长 尺，绳子长 尺，可列方程组为 A. B. C. D. 10. 甲乙两人沿同一条路从 地出发，去往 千米外的 地，甲乙两人离 地的距
3、离 千米 与时间 小时 之间的关系如图所示下列描述错误的是 A. 甲的速度是 B. 乙的速度是 C. 甲乙同时到达 地 D. 乙出发两小时后两人第一次相遇 11. 若关于 的一元一次不等式组 有且仅有 个整数解，且关于 的分式方程 的解是非负整数，则所有满足条件的整数 的值之和是 A. B. C. D. 12. 二次函数 部分图象如图所示，图象过点 ，对称轴为直线 ，下列结论： ， ， 为任意实数 ， 若方程 两根为 ， 且 ， 则 ， 若点 在抛物线上， 当二次函数的自变量 的取值范围为 时，则二次函数的函数值 的取值范围为 其中正确的结论有 个 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共
4、 4 小题，共 16 分） 13. 计算： _ 14. 现有一个不透明的袋子，装有 个球，他们的编号分别为 、 、 、 ，这些球除编号外完全相同，从袋子中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出球的编号之和为偶数的概率是_ 15. 如图，在 中， ，分别以 、 、 边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙” 当 ， 时，则阴影部分的面积为_ 16. 夏天到了，体育中心为吸引顾客，在 月份的时候开设了一个夜市，分为运动体验区、物资补给区和休闲娱乐区，三者摊位数量之比为 ： ： ，城管对每个摊位收取 元 月的管理费，到了 月份，由于顾客人数增加，该体育中
5、心扩大夜市规模，并将新增摊位数量的 用于运动体验区，结果运动体验区的摊位数占到了体育中心总摊位数量的 ， 同时城管将运动体验区、 物资补给区和休闲娱乐区每个摊位每月的管理费按 元、 元、 元收取，结果城管 月份收到的管理费比 月份增加了 ，则休闲娱乐区新增的摊位数量与该夜市 月的总摊位数量之比是_ 三、解答题（本大题共 9 小题，共 86 分） 17. 计算： ； 18. 如图：在 中， ，过 作 按尺规作图要求作 的垂直平分线，交 于 ，交 于 ， 保留作图痕迹，不写作法 ，连接 、 求证：四边形 是平行四边形 19. 如图所示， 已知 是水平面， 、 、 是斜坡 的坡角为 ， 坡长为 米，
6、 的坡角为 ， 坡长为 米， 的坡比 ： 求坡顶 到水平面 的距离； 求斜坡 的长度 结果精确到 米，参考数据： ， 第 4 页，共 21 页 20. 小李烧烤店烤熟的鸡腿按个计价且售价相同，现在要购买一批鸡腿，但购买鸡腿时是按斤数购买，甲乙两家公司都想给小李烧烤店提供鸡腿，且价格相同小李决定通过评估来确定选择哪家公司鸡腿，他从两家公司分别取了 个鸡腿，然后再从中随机各抽取 个，这些鸡腿的质量记为 单位：克 ，将所得的数据分为 组 组： ， 组， ， 组： ， 组： ， 组： ，小李对数据进行分析后，得到如下部分信息： 图 为甲公司被抽取的 个鸡腿质量的频数分布直方图 图 为乙公司被抽取的 个
7、鸡腿质量的扇形统计图 甲公司被抽取的鸡腿质量在 这一组的数据是： 、 、 、 、 、 、 乙公司被抽取的鸡腿质量在 这组的数据是： 、 、 、 、 、 、 、 甲、乙公司被抽取的鸡腿质量的平均数、中位数、众数如下： 公司 甲公司 乙公司 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： 直接写出上述扇形图中 的值，表格中 、 的值； 根据以上数据，请估算乙公司这 个鸡腿中质量不低于 克的个数； 根据以上数据分析，如果你是小李，你会选择采购哪个公司的鸡腿，请说明理由 写出一条理由即可 21. 已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于一、 三象限内的 、 两点，
8、与 轴交于 点，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， 求该反比例函数和一次函数的解析式； 直接写出关于 的不等式 的解集； 求 的面积 22. 年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪容融在一开售时，就深受大家的喜欢某供应商今年 月第一周购进一批冰墩墩和雪容融，已知一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进价多 元，购买 个冰墩墩和 个雪容融的价格相同 今年 月第一周，每个冰墩墩和雪容融的进价分别是多少元？ 今年 月第一周，供应商以 元一个雪容融的价格售出 个， 元一个冰墩墩的价格售出 个第二周每个冰墩墩和雪容融的进价不变，但供应商决定调整雪容融的售价，每个雪容融的售价在第一周的基础上下降了 元，每个冰墩墩的售价不变，
9、由于冬奥赛事的火热进行，第二周雪容融的销量比第一周增加了 个，而冰墩墩的销量比第一周增加了 个，第二周最终商家获利 元，求 23. 对于一个三位数的正整数 ，满足各个数位上的数字都不为零，它的百位数字减去十位数字的差等于十位数字减去个位数字的差，那么称这个数 为“平衡数”，对于任意一个“平衡数”，将它的前两位数加上后两位数所得的和记为 ； 将它的百位数字和个位数字构成的两位数加上交换这个两位数所得到的新两位数的和记为 ；把 与 的差除以 所得结果记为： 例如 ，因为 ，所以 是一个“平衡数”，所以 ， ，则 计算： ， ； 若 、 都是“平衡数”其中 ， ， ， ， ， ， 、 、 、 都是整
10、数 ， 规定 ， 当 时，求 的最小值 24. 如图 ， 在平面直角坐标系中， 抛物线 、 、 为常数， 的图象与 轴交于点 、 两点，与 轴交于点 ，且抛物线的对称轴为直线 求抛物线的解析式； 在直线 上方的抛物线上有一动点 ，过点 作 轴，垂足为点 ，第 6 页，共 21 页 交直线 于点 ；是否存在点 ，使得 取得最大值，若存在请求出它的最大值及点 的坐标；若不存在，请说明理由 25. 如图，在 中， ， ，点 是 斜边 上一动点 不与 ， 重合 ，连接 ，分别过点 、 作直线 的垂线，垂足分别为点 、 ， 是 的中点，连接 如图 ，当点 在线段 上，且 时，若 ， ，求 的长； 在 的
11、条件下，求证： ； 如图 ，连接 ，当点 在线段 的延长线上时，若 ，请直接写出四边形 的面积 答案和解析答案和解析 1.【答案】 解： ， 最小的数是 ， 故选： 先根据实数的大小比较法则比较大小，再得出选项即可 本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数都大于 ，负数都小于 ，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小 2.【答案】 解： 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，故本选项正确； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意 故选： 根据中心
12、对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解 本题考查了中心对称图形的概念中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 度后两部分重合 3.【答案】 解： 两个相似多边形的面积比为 ： ， 它们的对应边的比 ： ， 故选： 根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，解决问题即可 本题考查相似多边形的性质，解题的关键是理解相似多边形的面积比等于相似比的平方 4.【答案】 解： 、 ，故 A 不符合题意； B、 ，故 B不符合题意； C、 ，故 C不符合题意； D、 ，故 D符合题意 故选： 第 8 页，共 21 页 利用合并同类项的法则，积的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行
13、运算即可 本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的法则的掌握与应用 5.【答案】 解：原式 ， ， ， 故选： 先化简，再用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案 本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键 6.【答案】 解： 弦 于点 ， ， 在 中， ， ， ， 故选： 根据垂径定理可得出 的长度，在 中，利用勾股定理可得出 的长度，再利用 即可得出 的长度 本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出 的长度是解题的关键 7.【答案】 解： 掷一枚骰子时，有 种等可能的结果，
14、且出现点数小于 的有 种情况， 掷一枚骰子时，出现点数小于 的概率是： 故选 B 由掷一枚骰子时，有 种等可能的结果，且出现点数小于 的有 种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案 此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比 8.【答案】 解： 有一组对角是直角的四边形不一定是矩形， 选项 A不正确； 对角线互相平分的四边形是平行四边形， 选项 B不正确； 四条边相等的四边形是菱形， 选项 C不正确； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 选项 D正确， 故选： 根据菱形、矩形、正方形和平行四边形的判定解答即可 此题考查正方形的判定，关键是根据菱形、矩形、正方形
15、和平行四边形的判定解答 9.【答案】 解：根据题意得： 故选： 用一根绳子去量一根木条，绳子剩余 尺可知：绳子比木条长 尺得： ；绳子对折再量木条，木条剩余 尺可知：绳子对折后比木条短 尺得： ；组成方程组即可 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，列方程组时要抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系；因为此类题要列二元一次方程组，因此要注意两句话；同时本题要注意绳子对折，即取绳子的二分之一 10.【答案】 解：由图象可得， 甲的速度是 ，故选项 A 正确，不符合题意； 乙的速度为： ，故选项 B正确，不符合题意； 甲先到达 地，故选项 C 错误，符合题意； 乙出发两小时后两人第一次相遇，
16、故选项 D 正确，不符合题意； 故选： 根据函数图象中的数据，可以计算出各个选项中的说法是否正确，然后即可判断哪个选项中的说法是否正确 第 10 页，共 21 页 本题考查函数的图象，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键 11.【答案】 解：解不等式组 ， 得 ， 根据题意，得 ， 解得 ， 解分式方程 ， 得 ， 的值是非负整数， 当 时， 满足条件， 当 时， ， 是分式方程的增根， 舍去 ， 当 时， 满足条件， 满足条件的 的值有 和 ， ， 故选： 先解不等式组，根据有且仅有 个整数解求出 的取值范围，再解分式方程，根据解是非负整数，可求出满足条件的 的值，进一步求解即可 本题考查
17、了分式方程与一元一次不等式组的综合，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的解法是解题的关键 12.【答案】 解：二次函数 部分图象如图所示，图象过点 ，对称轴为直线 ，下 ，即 ， 根据抛物线的对称性可知，二次函数 与 轴的另一个交点为 ， ， ， ， 故 不正确； ， ， ， ， ， ， ，故 正确； 时， ， 为任意实数 ， 为任意实数 ，故 正确； 若方程 两根为 ， 且 ， 即 ， 为 和 两函数的交点，如图， ，故 不正确； 若点 在抛物线上，当二次函数的自变量 的取值范围为 时， 当 时，取得最大值 ，当 时，取得最小值 ， 则二次函数的函数值 的取值范围为 ，故 不正确， 综上所
18、述，正确的有 ， 故选： 根据已知条件分别求得 ， 与 的关系式，进而判断 ，根据抛物线开口以及对称轴求得最小值，进而判断 ，根据两函数图象交点求得方程的解 ， 进而判断 即可判断 ，根据二次函数图象以及自变量的范围求得函数值值的最小值与最大值即可判断 本题考查了二次函数 图象的性质，根据二次函数的图象求方程的解，掌握二次函数图象与性质是解题的关键 13.【答案】 解：原式 ， 故答案为： 第 12 页，共 21 页 根据零指数幂的意义即可求出答案 本题主要考查实数的计算任何一个非 的数的零次幂都得 ，本题属于基础题型 14.【答案】 解：列表如下： 一共有 种情况，两次摸出球的编号之和为偶数
19、的有 种情况， 两次摸出球的编号之和为偶数的概率是 故答案为： 根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案 本题考查了列表法与树状图法，解决此题的关键是利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出 ，再从中选出符合事件 或 的结果数目 ，求出概率 15.【答案】 解：在 中， ， ， ， 由勾股定理得： ， 所以阴影部分的面积 ， 故答案是： 根据勾股定理求出 ，分别求出三个半圆的面积和 的面积，即可得出答案 本题考查了勾股定理和三角形的面积、圆的面积，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键 16.【答案】 ： 解：设运动体验区、物
20、资补给区和休闲娱乐区三者摊位数量为 个， ，个 个， 则 月份的管理费为 元 设 月份新增的总摊位数为 个，运动体验区的新增摊位数为 个， 则运动体验区的摊位数为 个， 则 月份总摊位有 个， ， 解得， ， 设物资补给区新增摊位数为 ，则休闲娱乐区的新增的摊位数为 个， 则 月份的管理费为 ， 解得， ， 休闲娱乐区的新增的摊位数为 ， 该夜市 月的总摊位数为 ， 休闲娱乐区新增的摊位数量与该夜市 月的总摊位数量之比是 ： ， 故答案为： ： 先设运动体验区、 物资补给区和休闲娱乐区三者摊位数量为 个， ， 个 个， 月份新增的总摊位数为 个，运动体验区的新增摊位数为 个， 物资补给区新增摊
21、位数为 ， 则休闲娱乐区的新增的摊位数为 个，表示出运动体验区的摊位数为和 月份总摊位，根据运动体验区的摊位数占到了体育中心总摊位数量的 ，得到 ，再根据 月份收到的管理费比 月份增加了 ，列出方程，求得 ，然后再求休闲娱乐区新增的摊位数量与该夜市 月的总摊位数量之比即可 本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解答此题的关键 17.【答案】解： 原式 ； 原式 【解析】 先用平方差公式、单项式乘多项式法则展开，再合并即可； 先通分算括号内的，再将分子、分母分解因式约分 本题考查整式及分式的混合运算，解题的关键是掌握混合运算的顺序及相关运算的法则 第 14 页，共 21
22、 页 18.【答案】 解：如图，直线 为所求； 证明： 交 于 ，如图， 垂直平分 ， ， ， 又 ， ， 在 和 中， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形 【解析】 利用基本作图作 的垂直平分线即可； 交 于 ，如图，根据线段垂直平分线的性质得到 ， ，再证明 得到 ，进而可以判断四边形 是平行四边形 本题考查了作图 基本作图，平行四边形的判定，熟练掌握 种基本作图是解决此类问题的关键也考查了线段垂直平分线的性质 19.【答案】解： 过点 作 于 ， 在 中， ， 米， 则 米 ， 答：坡顶 到水平面 的距离约为 米； 过点 作 于 ， 于 ， 则四边形 为矩形， ， 在 中， ， 米，
23、则 米 ， 米 ， 的坡比 ： ， ： ： ， ： ： ， 米 ， 答：斜坡 的长度约为 米 【解析】 过点 作 于 ，根据正弦的定义求出 ，得到答案； 过点 作 于 ， 于 ， 根据正弦的定义求出 ， 进而求出 ， 根据坡度的概念计算即可 本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键 20.【答案】解： 乙公司被抽取的 个鸡腿质量在 组对应的百分比为 ， ，即 ； 乙公司被抽取的 个鸡腿质量出现最多的是 ，即众数 ， 甲公司被抽取的 个鸡腿质量的中位数 ， 所以 ， ， ； 个 ， 答：乙公司这 个鸡腿中质量不低于 克的数量为 个； 我会选择
24、采购甲公司，因为甲公司的鸡腿质量平均数高于乙公司，中位数也高于乙公司 【解析】 先求出乙公司被抽取的 个鸡腿质量在 组对应的百分比，再根据百分比之和为 可得 的值，根据众数和中位数的定义可分别求出 、 的值； 总数乘以不低于 克的数量所占的百分比即可； 答案不唯一，合理即可 本题考查频数分布直方图、扇形统计图的意义和制作方法，理解统计图表中各个数量之间的关系是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法 21.【答案】解： 作 轴于 ，如图， 点 的坐标为 ， ， ， ， 第 16 页，共 21 页 点坐标为 ， 把 代入 得 ， 反比例函数的解析式为 ； 把 代入 得 ， 点坐标为 ， 把
25、 和 代入 得 ，解得 ， 一次函数的解析式为 ； 由图象可知，关于 的不等式 的解集为： 或 ； 把 代入 得 ，解得 ，则 点坐标为 ， 【解析】 作 轴于 ， 利用正切的定义得 ， 可计算出 ， 则 点坐标为 ，把 代入 可计算 ，所以反比例函数的解析式为 ；在把 代入 确定 点坐标为 ，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式； 根据图象即可求得； 先确定 点坐标为 ，再根据 即可求得 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数与不等式的关系，三角形的面积等，数形结合是解题的关键 22.【答案】解： 设每个雪容融的进价是 元，则每个冰墩墩的进价是 元， 依
26、题意得： ， 解得： ， 答：每个冰墩墩的进价是 元，每个雪容融的进价是 元 依题意得： ， 整理得： ， 解得： ， 不合题意，舍去 答： 的值为 【解析】 设每个雪容融的进价是 元，则每个冰墩墩的进价是 元，根据购买 个冰墩墩和 个雪容融的价格相同， 即可得出关于 的一元一次方程， 解之即可求出每个雪容融的进价， 再将其代入 中可求出每个冰墩墩的进价； 利用总利润 每个的销售利润 销售数量， 即可得出关于 的一元二次方程， 解之取其正值即可得出结论 本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是： 找准等量关系，正确列出一 元一次方程； 找准等量关系，正确列出一元二次方程
27、 23.【答案】解： ， ， ， 都是整数 ， ， ， ， ， 整理得 ， 即 ， ， ， 是“均衡数”， ， ， 则 ， ， ， 解得 ， 为整数，且 ， 或 或 ， 当 时， 取得最小值为 【解析】 根据新定义进行计算即可 根据新定义，结合已知条件，用一个字母表达 ，再根据这个字母的取值范围即可得出答案 本题考查新定义题型、列代数式、有理数的混合运算，能根据题干中所给的新定义及运算规则完成计算是解答本题的关键 第 18 页，共 21 页 24.【答案】解： 根据题意得： ， 解得 ， 抛物线的解析式为 ； 存在点 ，使得 取得最大值，理由如下； 令 ，则 ， 或 ， ， ， ， 设直线 的
28、解析式为 ， ， 解得 ， ， 设 ，则 ， ， 过点 作 轴交于点 ，如图： ， ， ， ， 当 时， 为最大值 ， 此时 【解析】 用待定系数法可得抛物线的解析式为 ； 由 ，得 ，即有 ，设直线 的解析式为 ，由待 定系数法得 ，设 ，则 ， ，过点 作 轴交于点 ，可得 ， ，根据二次函数性质可得答案 本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段长度是解题的关键 25.【答案】 解： ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， ； 证明：如图 ，连接 ，并延长交 于 ， 点 是 的中点， ， ， ， ， ， 又 ，
29、 ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ； 第 20 页，共 21 页 解：如图 ，过点 作 于 ， 于 ， 同理可证 ， ， ， ，点 在 的中点， ， ， ， ， ， 四边形 四边形 ， ， ， ， 四边形 是矩形， ， 点 ，点 ，点 ，点 四点共圆， ， ， ， 又 ， ， ， 四边形 是正方形， ， ， ， ， 又 ， ， 又 ， ， ， ， 四边形 四边形 正方形 【解析】 由“ ”可证 ，可得 ，即可求解； 由“ ”可证 ， ，由等腰直角三角形的性质可得结论； 由全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质， 可证 四边形 四边形 正方形 ， 即可求解 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键
