1、 2022 年广东省广州市增城区中考数学模拟试卷年广东省广州市增城区中考数学模拟试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，共 30 分） 1. 下列式子正确的是( ) A. 16 = 4 B. (4)2= 4 C. 16 = 4 D. 16 = 4 2. 下列图形是中心对称图形，但不是轴对称图形的( ) A. 平行四边形 B. 正方形 C. 矩形 D. 菱形 3. 下列运算中，正确的是( ) A. 2 + 3 = 5 B. 2 ( + ) = C. ( + )2= 2+ 2 D. 2 3= 6 4. 如图，在平面直角坐标系内，正方形中的顶点，的坐标分别是(0,0)，(2,0)，且，两点关于轴对称
2、，则点对应的坐标是( ) A. (1,1) B. (1,1) C. (1,2) D. (2,2) 5. 甲、乙两班举行跳绳比赛，参赛选手每分钟跳绳的次数经统计计算后填入下表： 班级 参加人数 中位数 方差 平均次数 甲 35 169 6.32 155 乙 35 171 4.54 155 某同学根据上表分析得出如下结论：甲、乙两班学生跳绳成绩的平均水平相同，乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟跳绳次数 170为优秀)，甲班的成绩的波动情况比乙班的成绩的波动大上述结论正确的是( ) A. B. C. D. 6. 某单位为节省经费，在两个月内开支从每月2500元降到1600元，若平均每月降低开支
3、的百分率为，则下列方程符合题意的是( ) A. 2500(1 )2= 1600 B. 1600(1 )2= 2500 C. 2500(1 + )2= 1600 D. 1600(1 + )2= 2500 7. 如图，要测量凉亭到河岸的距离，在河岸相距200米的，两点，分别测得 = 30， = 60，则凉亭到河岸的距离为( ) A. 100米 B. 1003米 C. 200米 D. 2003米 8. 若实数、满足等式| 2| + 4 = 0，且、恰好是等腰 的两条边的边长，则 的周长是( ) A. 6 B. 8 C. 6或8 D. 以上都不对 9. 如图五角星的五个角的和是( ) 第 2 页，共
4、25 页 A. 360 B. 180 C. 90 D. 60 10. 如图， 四边形为菱形， /， 交的延长线于点， 交于点，且： = 1：2.则下列结论： ； = ； = ；：四边形= 1：10.其中正确结论的个数是( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共 6 小题，共 18 分） 11. 已知关于的分式方程:1;1= 1的解为正数，则的取值范围是_ 12. 把多项式2 8 + 16分解因式的结果为_ 13. 如图，在 中， = 90， = 4， = 3.若以所在直线为轴，把 旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于_ 14. 如图，若点与点是反比例
5、函数 =( 0)的图象上的两点，过点作 轴于点， 轴于点，过点作 轴于点， 轴于点，设矩形的面积为1，矩形的面积为2，则1与2的大小关系为：1 _ 2(填“”，“=”或“ 90)沿对角线开， 得到 和 操作发现 将图1中的 以为旋转中心，按时针方向旋转角，使 = .得到如图2所示的 ，分别延长和交于点，则四边形的形状是菱形； 创新小组将图1中的 以为旋转中心，按逆时针方向旋转角使 = 2，到如图3所示的 ，连接、，得到四边形，发现它是矩形； 缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中 = 13， = 10，然后提出一个问题：将 沿着射线方向平移， 得到 ， 连接， 使四边形恰好为正方形，
6、则的值为_ 16. 如图，在正方形中，点，分别在，上，且 = ， = 2，连接， ，垂足为点，连接，则tan的值是_ 三、计算题（本大题共 1 小题，共 12 分） 17. 解下列二元一次方程组：(1)2 5 = 21 = (2)2 + = 6 =12 + 1 (3) = 2 + 3 = 3 7 (4) 3 = 15 9 = 13 四、解答题（本大题共 8 小题，共 60 分） 第 4 页，共 25 页 18. 正方形中，点为正方形内的点， 绕着点按逆时针方向旋转90后与 重合 (1)如图，若正方形的边长为2， = 1， = 3，求证：/ (2)如图， 若点为正方形对角线上的点(点不与点、 重
7、合)， 试猜想： 2+ 2= 22是否成立？如果成立，请加以证明；如果不成立，试举一反例说明 19. 如图，点(3,2)和点(,)都在反比例函数 =( 0)的图象上 (1)求该反比例函数的解析式； (2)当 = 4，求直线的解析式； (3)当 3时，过点作 轴，垂足为，过点作 轴，垂足为，直线交轴于点，试说明四边形是平行四边形 20. 为了解某小区某月家庭用水量的情况，从该小区随机抽取部分家庭进行调查，以下是根据调查数据绘制的统计图表的一部分： 分组 家庭用水量/吨 家庭数/户 0 4.0 4 4.0 6.5 13 6.5 9.0 9.0 .5 11.5 14.0 3 根据以上信息，解答下列问
8、题： (1)本次调查的家庭数为_户； (2)补全统计表； (3)扇形图中，扇形的圆心角的度数为_； (4)若该小区共有1000户家庭，请估计该月用水量不超过9.0吨的家庭数 21. 如图，、是以为直径的圆上两点，且 = 45，过点作/ (1)请判断直线与圆的位置关系，并说明理由； (2)若圆的半径为132，sin =1213，求得长； (3)过点作 ，垂足为，直接写出线段、之间的数量关系_ 22. 如图，已知 = 120，射线从位置出发，以每秒2的速度按顺时针方向向射线旋转；与此同时，射线以每秒6的速度，从位置出发按逆时针方向向射线旋转，到达射线后又以同样的速度按顺时针方向返回，当射线第 6
9、页，共 25 页 返回并与射线重合时，两条射线同时停止运动设旋转时间为() (1)当 = 2时，求的度数 (2)当 = 40时，求的值 (3)在旋转过程中，是否存在的值，使得 =12？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 23. 如图，点(4,0)，以点为圆心、2为半径的圆与轴交于点，.已知抛物线 =162+ + 过点和，与轴交于点 (1)求抛物线的函数关系式并求点的坐标 (2)点(8,)在抛物线 =162+ + 上， 点为此抛物线对称轴上一个动点，求 + 最小值 (3)是过点的 的切线，点是切点，且与轴交于点，求切点的坐标 24. 如图，二次函数 = 2+ 3的图象经过点(2,3)和(1,
10、278)，与轴从左至右分别交于点、，点为抛物线的顶点 (1)求二次函数的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在这样的点，使得 的周长最小？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由 (3)连接，若点为线段上的一动点(点不与点、点重合)，过点作轴的垂线交线段于点，当点以1个单位/的速度从点向点运动时，设运动时间为，四边形的面积为，求与之 间的函数关系及自变量的取值范围，并求出的最值 (4)若点在抛物线上， 且以点、 、 为顶点的三角形是直角三角形， 请直接写出所有符合条件的点的坐标(不需要计算过程) 第 8 页，共 25 页 答案和解析答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、16 = 4，
11、故这个选项错误； B、(4)2= 4，故选项错误； C、16 = 4，故选项正确； D、16 = 4，故选项错误 故选： 根据平方根和算术平方根的定义对各选分析判断后利用排除法 本题主要考查了平方根和算术平方根的定义，熟记平方根和算术平方根的定义是解题的关键 2.【答案】 【解析】解：.平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项符合题意； B.正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意； C.矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意； D.菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意 故选： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 本题考查中心对
12、称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180后与原图重合 3.【答案】 【解析】解：、2和3不是同类项，不能合并，故选项错误； B、2 ( + ) = 2 = ，故正确； C、应为( + )2= 2+ 2 + 2，故选项错误； D、应为2 3= 5，故选项错误 故选 B 根据合并同类项的法则，去括号法则，完全平方公式，同底数幂的乘法的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解 此题主要考查了整式的运算能力，对于相关的整式运算法则要求学生很熟练，才能正确求出结果 4.【答案】 【
13、解析】解： ，两点关于轴对称 和互相垂直平分 = 2 = 2 点在第四象限 点的坐标为：(1,1) 故选 B 因为正方形，所以和互相垂直平分，易知 = 2，则 = 2，而点在第四象限，所以点的坐标为：(1,1) 本题考查了对角线的性质：正方形的对角线相等且互相垂直平分，是基础知识要熟练掌握 5.【答案】 【解析】解：根据表中的平均数可知：甲、乙两班学生跳绳成绩的平均水平相同，正确； 从中位数上可以看出乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟跳绳次数 170为优秀)，正确； 从方差上可以看出甲班的成绩的波动情况比乙班的成绩的波动大，正确 故选 A 根据平均数，中位数，方差的意义针对每一个选项作出
14、判断即可 此题主要考查了平均数，中位数，方差的意义，关键是掌握差是反映一组数据的波动大小的一个量; 方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好 6.【答案】 【解析】解：原开支为2500元，平均每月降低的百分率为， 第一个月的开支为2500 (1 )元， 第二个月的开支为2500 (1 ) (1 ) = 2500 (1 )2元， 可列方程为2500(1 )2= 1600， 故选 A 新开支=原开支 (1 平均每月降低的百分率)2，把相关数值代入即可求解 第 10 页，共 25 页 本题考查求平均变化率的方法若设变化前的量为，变化后的量为，平均
15、变化率为，则经过两次变化后的数量关系为(1 )2= 7.【答案】 【解析】解：过作 ， = 30， = 60， = 30， = = 200米， ， = 90， = 30， =12 = 100米， = 3 = 1003米， 故选： 过作 ，根据三角形内角与外角的关系可得 = 30，再根据等角对等边可得 = ，然后再计算出的度数，进而得到长，最后利用勾股定理可得答案 此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是证明 = ，掌握直角三角形的性质：30角所对直角边等于斜边的一半 8.【答案】 【解析】解： | 2| + 4 = 0， 又 | 2| 0， 4 0， 2 = 0， 4 = 0， 解得： = 2
16、， = 4， 当2是等腰三角形的底时，4，4，2能构成三角形，周长为10， 当4是底时，2，2，4不能构成三角形 故选： 利用非负数的性质求出，的值，再分两种情形讨论即可 本题考查等腰三角形的性质， 非负数的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题 9.【答案】 【解析】解：如图： 4 = 5 + 6；1 = 2 + 3，1 + 4 + 7 = 180， 2 + 3 + 5 + 6 + 7 = 180， 故五角星的五个角的和为180 故选： 利用三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，可把五角星的五个角组合为一个三角形的内角和，故五角星的五个角的
17、和为180 本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系 10.【答案】 【解析】解：四边形为菱形， = ， = ， = ， ()；故正确； = ， = ， = ， ()， = ，故正确； /， = ， = ， = ， = ， = ；故正确； 连接交于， = ， ： = 1：2， 第 12 页，共 25 页 = = ， 设= ， = = 3， = 4， = = 4， 四边形= 10， ：四边形= 1：10，故正确； 故选： 根据菱形的性质得到 = ， = ，根据全等三角形的判定定理得到 ()；故正确； 根据全等三角形的性质得到 = ， = ， 根据全等三角形的
18、性质得到 = ，故正确；根据等腰三角形的性质得到 = ，等量代换得到 = ；故正确；连接交于，推出 = = ，设= ，求得四边形= 10，于是得到结论 本题考查了全等三角形的判定和性质，菱形的性质，平行线的性质，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键 11.【答案】 0，且1 2 1、1 2 1， 解得： 12且 0， 故答案为： 0，且1 2 1、1 2 1，解之可得答案 本题主要考查分式方程的解，根据分式方程的解为正数得出关于的不等式是解题的关键 12.【答案】( 4)2 【解析】解：2 8 + 16 = ( 4)2 故答案为：( 4)2 直接利用完全平方公式分解因式得出答案 此题
19、主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键 13.【答案】15 【解析】解：由已知得，母线长 = 5，底面圆的半径为3， 圆锥的侧面积是 = = 5 3 = 15 故答案为：15 运用公式 = (其中勾股定理求解得到的母线长为5)求解 本题考查了圆锥的计算，要学会灵活的运用公式求解 14.【答案】= 【解析】解：点与点是反比例函数 =( 0)的图象上的两点，过点作 轴于点， 轴于点，过点作 轴于点， 轴于点， 1= |，2= |， 1= 2， 故答案为= 根据反比例函数系数的几何意义即可得出结论 此题考查了反比例函数系数的几何意义，关键是掌握 =( 0)图象中任取一点，过这一个点
20、向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值| 15.【答案】7113或40913 【解析】解：如图 作 于点，作 于点， = = =12 =12 10 = 5 在 中， = 2 2= 12， 第 14 页，共 25 页 在 和 中， = ， = = 90 =，即12=1013 解得 =12013， = ， ， = 2 = 2 12013=24013， 当四边形恰好为正方形，分两种情况： 点在边上， = 13 =24013 13 =7113 点在的延长线上， = + 13 =40913 综上所述，的值为7113或40913 首先求出的长，分别利用点在边上，点在的延长线上，求出的值 此题主
21、要考查了几何变换综合以及相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及矩形的判定方法等知识，正确利用相似三角形的判定与性质得出的长是解题关键 16.【答案】13 【解析】 【分析】 本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质解决本题的关键是把求的正切值转化为的正切值 延长交的延长线于点，如图，设正方形的边长为3，利用正方形的性质得 = = ， = = 3， 再证明 得到 = = 3， 则可判断为斜边上的中线， 所以 = ，于是得到 = ，然后在 中利用正切的定义
22、求出tan即可得到tan的值 【解答】 解：延长交的延长线于点，如图， 设正方形的边长为3， = ， = 2， = = ， = = 3， ， = 90， + = 180， 而 + = 180， = ， 而 = ， = ， 在 和 中 = = = ， ， = = 3， 在 中， = = 3， 为斜边上的中线， = ， = ， 在 中，tan =3=13， tan =13 故答案为13 17.【答案】解：(1)2 5 = 21 = 把代入，得2 + 5 = 21， 第 16 页，共 25 页 解得 = 3， 把 = 3代入，得 = 3， 方程组的解为 = 3 = 3； (2)2 + = 6 =12
23、 + 1 把代入，得2 +12 + 1 = 6， 解得 = 2， 把 = 2代入，得 = 1 + 1 = 2， 方程组的解为 = 2 = 2； (3) = 2 + 3 = 3 7 把代入，得2 + 3 = 3 7， 解得 = 2， 把 = 2代入，得 = 1， 方程组的解为 = 2 = 1； (4) 3 = 15 9 = 13 由 3，得3 9 = 3， 由 ，得2 = 16， 解得 = 8， 把 = 8代入，得8 3 = 1， 解得 = 3， 方程组的解为 = 8 = 3 【解析】用代入法解二元一次方程组时，要从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代
24、数式表示出来用加减法解二元一次方程组时，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数根据代入消元法或加减消元法解二元一次方程组即可 本题主要考查了解二元一次方程组，解决问题的关键是掌握运用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组 18.【答案】(1)证明： 绕着点按逆时针方向旋转90后与 重合 = = 1， = = 90， = 在 中， 2+ 2= 12+ (3)2= 4， 2= 22= 4 2+ 2= 2 = 90， + = 180， /； (2)解：2+ 2= 22成立； 理由： 是正方形的角平分线， = = 45， = 45
25、 + 45 = 90， 2+ 2= 2， 绕着点按逆时针方向旋转90后与 重合， = ， = 90， 22= 2， 2+ 2= 22 【解析】(1)由条件可以得出 是直角三角形，就有 = 90，由旋转可得 = = 90，就有 + = 180，从而得出结论 (2)利用正方形的性质以及旋转的性质得出 = 90，进而利用勾股定理得出2+ 2= 22 本题考查了正方形的性质，勾股定理、勾股定理的逆定理的运用，旋转的性质，平行线的判定，在解答的过程中要注意旋转过程中的不变量的运用 19.【答案】解：(1) 点(3,2)在反比例函数 =( 0)的图象上， = 3 2 = 6， =6； (2) 点(,)都在
26、反比例函数 =( 0)的图象上， = 6， 当 = 4时， =32， (4,3232)， 第 18 页，共 25 页 设直线的解析式为： = + ， 把点(3,2)和(4,32)代入得：3 + = 24 + =32， 解得： = 12 =72， 直线的解析式为： = 12 +72； (3)如图，把(,)代入 =6得 =6， (6,)， 把，点坐标代入 = + 得， = 3， = 2 + ， 直线解析式为 = 3 + 2 + ， (6+ 3,0)， 又因为 轴， (6,0)， = = 3， 因为 轴， ， = 3， = ， 四边形是平行四边形 【解析】(1)把点的坐标代入可得的值； (2)先求点
27、的坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式； (3)先证明/，再根据解析式求的长，可得 = = 3，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得结论 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、平行四边形的判定及利用参数求点的坐标和线段的长，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质是关键 20.【答案】50 64.8 【解析】解：(1)本次调查的家庭数为：13 26% = 50(户)； 故答案为：50； (2)6.5 9.0的家庭数为：50 30% = 15(户)， 9.0 .5的家庭数为：50 4 13 15 6 3 = 9(户)， 补全统计表如下： 分组 家庭用水量/吨 家庭数/户 0 4.0
28、4 4.0 6.5 13 6.5 9.0 15 9.0 .5 9 11.5 14.0 3 (3)扇形的圆心角的度数为：360 950= 64.8； 故答案为：64.8； (4)根据题意得： 1000 4:13:1550= 640(户)， 答：估计该月用水量不超过9.0吨的家庭数有640户 (1)组的户数除以其所占的百分比即可求得总户数； (2)用总户数乘以6.5 9.0所占的百分比，求出组的户数，再用总户数减去其他组的户数，求出组的户数，从而补全统计表； (3)用360乘以所占的百分比即可； (4)计算调查户中用水量不超过9.0吨的百分比，再乘以小区内的家庭数就可以算出 本题考查了扇形统计图、
29、统计表，解题的关键是要明确题意，找出所求问题需要的条件 21.【答案】 + = 2 【解析】解：(1)直线与圆相切； 理由如下：连接， 第 20 页，共 25 页 = 45， = 2 = 90， /， = = 90，即 ， 直线与圆相切； (2) 为圆的直径， = 90， = ， = sin =1213， 圆的半径为132， = 13， 又 =1213， = 12； (3)过作 ，交的延长线于点，连接， 是圆的直径， = 90， = 45， = = 45， 平分， ， ， = ， 四边形为正方形， = = ， = = 90， = ， ()， = ， + = + = 2 = 2， 故答案为： +
30、 = 2 (1)连接，根据切线的判定方法得出结论； (2)通过圆周角定理进行转换，然后利用直角三角形解得； (3)作 ，连接，先证明平分，再结合角平分线的定义可得四边形为正方形，即可得 = = ，根据证明 ，可得 = ，从而根据线段间的和差关系即可得出结论 本题考查了圆周角定理、切线的判定、锐角三角形、全等三角形的判定和性质等，知识点多但难度不大，熟练掌握上述基本知识是解题的关键 22.【答案】解：(1)当 = 2时， = 2 = 4， = 6 = 12， = = 120 4 12 = 104， 即的度数为104 (2)与相遇时间为120 (2 + 6) = 15(秒)， 与重合时间为120
31、6 = 20(秒)， 与停止运动的时间为20 + 20 2 (6 2) = 20 + 10 = 30(秒)， 当0 15时， 根据题意，得2 + 40 + 6 = 120， 解得 = 10； 当15 20时， 根据题意，得2 + 6 = 120 + 40， 解得 = 20； 当20 30时， 根据题意，得2 = 6 120 + 40， 解得 = 20(不合题意，舍去) 综上所述，当 = 40时，的值为10或20； (3)当0 15时， 根据题意，得120 8 =12(120 6)， 解得 = 12； 当15 20时， 根据题意，得2 (120 6) =12(120 6)， 解得 =18011；
32、 当20 30时， 第 22 页，共 25 页 根据题意，得2 (6 120) =12(6 120)， 解得 =1807 综上所述，存在 = 12或18011或1807，使得 =12 【解析】(1)将 = 2代入计算即可求解； (2)先根据相遇问题和追击问题分析计算求得时间节点，然后分0 15，15 20，20 30时，列出方程计算即可求解； (3)分0 15，15 20，20 30时，根据角的相遇问题列方程求解 本题考查一元一次方程的应用，动点问题，解题的关键是理解题意学会由分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型 23.【答案】解：(1)由已知，得(2,0)，(6,0)， 抛物线 =162
33、+ + 过点和， 16 22+ 2 + = 016 62+ 6 + = 0， 解得： = 43 = 2 则抛物线的解析式为 =16243 + 2 故 C(0,2)； (2)如图，抛物线对称轴是 = 4 (8,)在抛物线上， = 2.过点作 轴于点，则(8,0)， = 2， = 6， = 2+ 2= 210 又 (6,0)与(2,0)关于对称轴对称， + 的最小值= = 210 (3)如图，连接和 由已知，得 = = 2 是 的切线， = 90， 在 和 中， = = = ， () = ， = 设 = ， = 4，由题意可得：2+ 4 = (4 )2， 解得： =32， 故 E(32,0)， =
34、52， 过点作 轴，设的函数表达式为： = + 2 将(32,0)代入得： 32 + 2 = 0，解得： = 43， 故 CD的函数关系式为； = 43 + 2， 在 中， = ， =32， = 2， =52， =65，则= 65， 当 = 65时， 43 + 2 = 65， 则43 + 2 = 65， 解得： =125， 故 D(125,65). 【解析】(1)根据题意可知点，的坐标分别为(2,0)，(6,0)，代入函数解析式即可求得抛物线的解析式，即可得点的坐标； (2)根据图象可得 + 的最小值即是的长，所以抛物线对称轴是 = 4.所以(8,)抛物线上，则 = 2.过点作 轴于点，则(8
35、,0)， = 2， = 6，求的的值即可； (3)此题首先要证得/，利用待定系数法求得的解析式，即可求得点坐标 此题考查了二次函数与一次函数以及圆的综合知识，要注意待定系数法求解析式，要注意数形结合思想的应用 24.【答案】解：(1)把点(2,3)和(1,278)代入 = 2+ 3， 得：4 + 2 3 = 3 + 3 = 278 第 24 页，共 25 页 解得： =38 = 34 二次函数的解析式为： =38234 3； (2) =38234 3 =38( 1)2278； 当 = 0时， = 3， (0,3)， 当 = 0时，38234 3 = 0， 解得： = 4或2； (2,0)，(4
36、,0)， 作关于对称轴 = 1的对称点，连接交对称轴于，此时 的周长最小， (2,3)， 易得直线的解析式为： = 34 32， 当 = 1时， = 34 1 32= 94， (1,94)； (3)如图2， (4,0)，(1,278)， 易得的解析式为： =98 92， 由题意得： = ，则 = 4 ， (4 ,98)， =12( + ) =12(4 )(98 + 3) = 9162+34 +6(0 4)； 916 0， 有最大值， = 9162+34 + 6 = 916( 23)2+254， 当 =23时，的最大值是254； (4)如图3，设点(,38234 3)， 当1= 90时， 由勾股
37、定理得： = 5， 12= 12+ 2， ( 4)2+ (38234 3)2= 2+ (38234 3 + 3)2+ 25， 92+ 14 = 0， 解得：1= 0(舍)，2= 149， 1(149,2527)， 当2= 90时，同理可得：( 4)2+ (38234 3)2+ 25 = 2+ (38234 3 + 3)2， 92+ 14 200 = 0， ( 4)(9 + 50) = 0， 1= 4(舍)，2= 509， 2(509,34427)； 综上所述，点的坐标为(149,2527)或(509,34427). 【解析】(1)把(2,3)和(1,278)代入二次函数的解析式中，列方程组可得
38、、的值，写出二次函数的解析式； (2)如图1，在抛物线对称轴上存在一点，使得 周长最小，由题意可知作关于对称轴 = 1的对称点，连接交对称轴于，此时 的周长最小，由待定系数法求得直线的解析式，把 = 1代入即可求得点的纵坐标； (3)利用梯形面积公式可得与之间的函数关系，根据 = 4可得自变量的取值范围，配方成顶点式可得的最大值； (4)分三种情况：其中为直角顶点时不成立，当和为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得的坐标 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法以及待定系数法求一次函数解析式，综合性比较强，需要学生熟练掌握二次函数、一次函数以及梯形的面积的求法等知识点，另外，注意“数形结合”数学思想的应用
