1、20222022 年年高高考数学复习专题(一)考数学复习专题(一)第第 4 4 讲讲 导数的简单应用导数的简单应用 【考情分析】【考情分析】 1.导数的计算和几何意义是高考命题的热点,多以选择题、填空题形式考查,难度较小.2.应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查,难度中等偏上,属综合性问题 【要点提炼】 考点一考点一 导数的几何意义与计算导数的几何意义与计算 1导数的运算法则 (1)f(x)g(x)f(x)g(x) (2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x) (3)fxgxfxgxfxgxgx2(g(x)0) 2导数的几何意义 (1)函数在某点的导数
2、即曲线在该点处的切线的斜率 (2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同 (3)切点既在切线上,又在曲线上 【典例】1 (1)已知函数 f(x)的导函数为 f(x),且满足关系式 f(x)x23xf(2)ln x,则 f(2)的值为( ) A.74 B74 C.94 D94 (2)(2019 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中, 点 A 在曲线 yln x 上, 且该曲线在点 A 处的切线经过点(e,1)(e 为自然对数的底数),则点 A 的坐标是_ 【拓展训练】1 (1)直线 2xy10 与曲线 yaexx 相切,则 a 等于( ) Ae B2e C1 D2 (2)若函数 yf(x)的图象上
3、存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称 yf(x)具有 T性质下列函数中具有 T 性质的是( ) Aysin x Byln x Cyex Dyx3 【要点提炼】 考点二考点二 利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数单调性的关键 (1)在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域 (2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认 (3)已知函数单调性求参数范围,要注意导数等于零的情况 【热点突破】【热点突破】 【典例】2 已知 f(x)a(xln x)2x1x2,aR R.讨论 f(x)的单调性 【拓展训练】 2 (1)已知定义在R R上的函
4、数f(x)的导函数为f(x), 对任意x(0, ), 有f(x)sin xf(x)cos x,且 f(x)f(x)0,设 a2f 6,b 2f 4,cf 2,则( ) Aabc Bbca Cacb Dcb0,a1),对任意 x1,x20,1,不等式|f(x1)f(x2)| aln ae4 恒成立,则 a 的取值范围为( ) A.12,e B2,e Ce,) D(e,) 【拓展训练】3 (1)若 x1e是函数 f(x)ln xkx 的极值点,则函数 f(x)ln xkx有( ) A极小值2 B极大值2 C极小值1 D极大值1 (2)已知点M在圆C: x2y24y30上, 点N在曲线y1ln x上
5、, 则线段MN的长度的最小值为_ 专题训练专题训练 一、单项选择题 1(2020全国)函数 f(x)x42x3的图象在点(1,f(1)处的切线方程为( ) Ay2x1 By2x1 Cy2x3 Dy2x1 2若函数 f(x)x2ax1x在12, 上是增函数,则 a 的取值范围是( ) A1,0 B1,) C0,3 D3,) 3已知函数 f(x)满足 f(x)f(1)ex1f(0)x12x2,则 f(x)的单调递增区间为( ) A(,0) B(,1) C(1,) D(0,) 4设函数 f(x)定义在区间(0,)上,f(x)是函数 f(x)的导函数,f(x)xln xf(x)0,则不等式ln xfx
6、0 的解集是( ) A.13, B(1,) C.0,13 D(0,1) 5若对x1,x2(m,),且 x1x2,都有x1ln x2x2ln x1x2x11,则 m 的最小值是( ) 注:(e 为自然对数的底数,即 e2.718 28) A.1e Be C1 D.3e 6 已知直线 l 既是曲线 C1: yex的切线, 又是曲线 C2: y14e2x2的切线, 则直线 l 在 x 轴上的截距为( ) A2 B1 Ce2 De2 二、多项选择题 7(2020唐山模拟)设函数 f(x)exln x,则下列说法正确的是( ) Af(x)的定义域是(0,) B当 x(0,1)时,f(x)的图象位于 x
7、轴下方 Cf(x)存在单调递增区间 Df(x)有且仅有两个极值点 8已知 f(x)ex2x2有且仅有两个极值点,分别为 x1,x2(x1x2),则下列不等式中正确的有(参考数据:ln 20.693 1,ln 31.098 6)( ) Ax1x2114 Cf(x1)f(x2)0 三、填空题 9已知函数 f(x)x2ax3 在(0,1)上为减函数,函数 g(x)x2aln x 在(1,2)上为增函数,则 a 的值等于_ 10已知函数 f(x)x1exax 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是_ 11(2020北京市第 171 中学模拟)已知函数 f(x)e2x3,g(x)14ln x2,若 f(
8、m)g(n)成立,则 nm的最小值为_ 12已知函数 f(x)mx22x2ex,m1,e,x1,2,g(m)f(x)maxf(x)min,则关于 m 的不等式 g(m)4e2的解集为_ 四、解答题 13设函数 f(x)ax32x2xc(a0) (1)当 a1,且函数 f(x)的图象过点(0,1)时,求函数 f(x)的极小值; (2)若 f(x)在(,)上无极值点,求 a 的取值范围 14已知函数 f(x)ln xa2x2ax(aR R) (1)当 a1 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在区间(1,)上是减函数,求实数 a 的取值范围 20222022 年年高高考数学复习
9、专题(一)考数学复习专题(一)第第 4 4 讲讲 导数的简单应用导数的简单应用 【考情分析】【考情分析】 1.导数的计算和几何意义是高考命题的热点,多以选择题、填空题形式考查,难度较小.2.应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查,难度中等偏上,属综合性问题 【要点提炼】 考点一考点一 导数的几何意义与计算导数的几何意义与计算 1导数的运算法则 (1)f(x)g(x)f(x)g(x) (2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x) (3)fxgxfxgxfxgxgx2(g(x)0) 2导数的几何意义 (1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率 (2)曲
10、线在某点的切线与曲线过某点的切线不同 (3)切点既在切线上,又在曲线上 【典例】1 (1)已知函数 f(x)的导函数为 f(x),且满足关系式 f(x)x23xf(2)ln x,则 f(2)的值为( ) A.74 B74 C.94 D94 【答案】 B 【解析】 f(x)x23xf(2)ln x, f(x)2x3f(2)1x, 令 x2,得 f(2)43f(2)12, 解得 f(2)74. (2)(2019 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中, 点 A 在曲线 yln x 上, 且该曲线在点 A 处的切线经过点(e,1)(e 为自然对数的底数),则点 A 的坐标是_ 【答案】 (e,1) 【解
11、析】 设 A(x0,ln x0),又 y1x, 则曲线 yln x 在点 A 处的切线方程为 yln x01x0(xx0), 将(e,1)代入得,1ln x01x0(ex0), 化简得 ln x0ex0,解得 x0e, 则点 A 的坐标是(e,1) 易错提醒 求曲线的切线方程要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的差异,过点 P 的切线中,点 P 不一定是切点,点 P 也不一定在已知曲线上,而在点 P 处的切线,必以点 P 为切点 【拓展训练】1 (1)直线 2xy10 与曲线 yaexx 相切,则 a 等于( ) Ae B2e C1 D2 【答案】 C 【解析】 设切点为(n,a
12、enn),因为 yaex1, 所以切线的斜率为 aen1, 切线方程为 y(aenn)(aen1)(xn), 即 y(aen1)xaen(1n), 依题意切线方程为 y2x1, 故 aen12,aen1n1,解得 a1,n0. (2)若函数 yf(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称 yf(x)具有 T性质下列函数中具有 T 性质的是( ) Aysin x Byln x Cyex Dyx3 【答案】 A 【解析】 对函数 ysin x 求导,得 ycos x,当 x0 时,该点处切线 l1的斜率 k11,当 x时,该点处切线 l2的斜率 k21,所以 k1k21,
13、所以 l1l2;对函数 yln x 求导,得 y1x恒大于 0,斜率之积不可能为1; 对函数 yex求导, 得 yex恒大于 0, 斜率之积不可能为1; 对函数 yx3求导,得 y3x2恒大于等于 0,斜率之积不可能为1. 【要点提炼】 考点二考点二 利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数单调性的关键 (1)在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域 (2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认 (3)已知函数单调性求参数范围,要注意导数等于零的情况 【热点突破】【热点突破】 【典例】2 已知 f(x)a(xln x)2x1x2,aR R.讨论 f(
14、x)的单调性 【解析】 f(x)的定义域为(0,), f(x)aax2x22x3ax22x1x3. 若 a0,当 x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增, x(1,)时,f(x)0,f(x)ax1x3x2ax2a. (1)当 0a1, 当 x(0,1)或 x2a, 时,f(x)0,f(x)单调递增, 当 x1,2a时,f(x)2 时,02a0,f(x)单调递增,当 x2a,1 时,f(x)0,f(x)单调递减 综上所述,当 a0 时,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,)内单调递减; 当 0a2 时,f(x)在0,2a内单调递增,在2a,1 内单调递减,在(1,)内单调递增 易错提醒
15、 (1)在求单调区间时“定义域优先” (2)弄清参数对 f(x)符号的影响,分类讨论要不重不漏 【拓展训练】 2 (1)已知定义在R R上的函数f(x)的导函数为f(x), 对任意x(0, ), 有f(x)sin xf(x)cos x,且 f(x)f(x)0,设 a2f 6,b 2f 4,cf 2,则( ) Aabc Bbca Cacb Dcb0, 所以函数 g(x)在区间(0,)上是增函数, 因为 f(x)f(x)0, 即 f(x)f(x),g(x)fxsin xfxsin x, 所以函数 g(x)是偶函数, 所以 g6g4g2g2, 代入【解析】式得到 2f 6 2f 4f 2, 故 ab
16、1 时,ln x0,要使 f(x)0 恒成立, 则 xa0 恒成立 xa1a,1a0,解得 a1; 当 0 x1 时,ln x0,要使 f(x)0 恒成立, 则 xa0 恒成立, xa0, 因为函数 f(x)ex(m1)ln x2(m1)x1 恰有两个极值点, 所以函数 f(x)exm1x2(m1)(x0)有两个不同的变号零点 令 exm1x2(m1)0, 等价转化成xex12xm1(x0)有两个不同的实数根, 记 h(x)xex12x, 所以 h(x)xex12xxex12x12x2 ex2x1x112x2, 当 x0,12时,h(x)0, 此时函数 h(x)在此区间上单调递增, 当 x12
17、,1 时,h(x)0, 此时函数 h(x)在此区间上单调递增, 当 x(1,)时,h(x)m1,即em1, 整理得 m0,a1),对任意 x1,x20,1,不等式|f(x1)f(x2)| aln ae4 恒成立,则 a 的取值范围为( ) A.12,e B2,e Ce,) D(e,) 【答案】 C 【解析】 依题意,得 aln ae40, 因为 f(x)axln aex1ln a(ax1)ln aex1, 当 a1 时,对任意的 x0,1,ax10,ln a0,ex10,恒有 f(x)0;当 0a1 时,对任意 x0,1,ax10,ln a0,函数 f(x)单调递增; 当 x1e, 时,f(x
18、)0), 令 f(t)|CN|2,则 f(t)t2(1ln t)2(t0), 所以 f(t)2t2(1ln t)1t2t2ln t1t. 令(t)t2ln t1(t0), 易知函数(t)在(0,)上单调递增,且(1)0, 所以当 0t1 时,f(t)1 时,f(t)0, 所以 f(t)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增, 所以 f(t)minf(1)2. 因为|MN|CN|1 21, 所以线段 MN 的长度的最小值为 21. 专题训练专题训练 一、单项选择题 1(2020全国)函数 f(x)x42x3的图象在点(1,f(1)处的切线方程为( ) Ay2x1 By2x1 Cy2x3 D
19、y2x1 【答案】 B 【解析】 f(1)121,切点坐标为(1,1), f(x)4x36x2, 所以切线的斜率为 kf(1)4136122, 切线方程为 y12(x1),即 y2x1. 2若函数 f(x)x2ax1x在12, 上是增函数,则 a 的取值范围是( ) A1,0 B1,) C0,3 D3,) 【答案】 D 【解析】 由条件知 f(x)2xa1x20 在12, 上恒成立,即 a1x22x 在12, 上恒成立,函数 y1x22x 在12, 上为减函数,y0. g(x)为增函数, 又 g(0)0,当 x0 时,g(x)0,即 f(x)0, 即 f(x)在(0,)上单调递增 4设函数 f
20、(x)定义在区间(0,)上,f(x)是函数 f(x)的导函数,f(x)xln xf(x)0,则不等式ln xfx0 的解集是( ) A.13, B(1,) C.0,13 D(0,1) 【答案】 B 【解析】 构造新函数 g(x)ln xf(x), 则 g(1)0,g(x)1xf(x)ln xf(x) 因为 f(x)xln xf(x)0,又 x0, 所以1xf(x)ln xf(x)0, 所以 g(x)0,所以函数 g(x)ln xf(x)在(0,)上单调递增 而ln xfx0 可化为 ln xf(x)0, 等价于 g(x)g(1),解得 x1, 所以不等式ln xfx0 的解集是(1,) 5若对
21、x1,x2(m,),且 x1x2,都有x1ln x2x2ln x1x2x11,则 m 的最小值是( ) 注:(e 为自然对数的底数,即 e2.718 28) A.1e Be C1 D.3e 【答案】 C 【解析】 由题意,当 0mx1x2时, 由x1ln x2x2ln x1x2x11, 等价于 x1ln x2x2ln x1x2x1, 即 x1ln x2x1x2ln x1x2, 故 x1(ln x21)x2(ln x11), 故ln x21x2ln x11x1, 令 f(x)ln x1x,则 f(x2)x1m0, 故 f(x)在(m,)上单调递减, 又由 f(x)ln xx2,令 f(x)1,
22、故 f(x)在(1,)上单调递减,故 m1. 6 已知直线 l 既是曲线 C1: yex的切线, 又是曲线 C2: y14e2x2的切线, 则直线 l 在 x 轴上的截距为( ) A2 B1 Ce2 De2 【答案】 B 【解析】 设直线 l 与曲线 C1:yex相切于点11,exx ,与曲线 C2:y14e2x2相切于点x2,14e2x22, 由 yex,得11|exx xy , 由 y14e2x2,得2221|e2x xyx , 直线 l 的方程为111eexxyxx 或 y14e2x2212e2x2(xx2), 则1112222221221ee,211eeee,42xxxxxxx解得 x
23、1x22, 直线 l 的方程为 ye2e2(x2), 令 y0,可得 x1, 直线 l 在 x 轴上的截距为 1. 二、多项选择题 7(2020唐山模拟)设函数 f(x)exln x,则下列说法正确的是( ) Af(x)的定义域是(0,) B当 x(0,1)时,f(x)的图象位于 x 轴下方 Cf(x)存在单调递增区间 Df(x)有且仅有两个极值点 【答案】 BC 【解析】 由题意知,函数 f(x)满足 x0,ln x0,解得 x0 且 x1,所以 f(x)的定义域为(0,1)(1,),故 A 不正确;f(x)exln x,当 x(0,1)时,ex0,ln x0,所以 f(x)0),则 g(x
24、)1x1x2,所以当 x0 时,g(x)0,函数 g(x)单调递增,g(1)0110,所以 f(x)0 在定义域上有解,所以函数 f(x)存在单调递增区间,故 C 正确;函数 yf(x)只有一个零点 x0,且 x01,当 x(0,1)(1,x0)时,f(x)0,函数单调递增,所以函数 f(x)只有一个极小值点,故 D 不正确 8已知 f(x)ex2x2有且仅有两个极值点,分别为 x1,x2(x1x2),则下列不等式中正确的有(参考数据:ln 20.693 1,ln 31.098 6)( ) Ax1x2114 Cf(x1)f(x2)0 【答案】 AD 【解析】 由题意得 f(x)ex4x, 则
25、f1414e10, f1212e20, f(2)e28ln 3,所以 f940, 从而14x112,2x294,所以 x1x21. 因为 f(2ln 3)98ln 30,所以 x2g(2ln 3)g(2.2) 0.881, 所以 f(x1)f(x2)0. 三、填空题 9已知函数 f(x)x2ax3 在(0,1)上为减函数,函数 g(x)x2aln x 在(1,2)上为增函数,则 a 的值等于_ 【答案】 2 【解析】 函数 f(x)x2ax3 在(0,1)上为减函数, a21,得 a2. 又g(x)2xax, 依题意得 g(x)0 在(1,2)上恒成立, 2x2a 在(1,2)上恒成立,a2.
26、a2. 10已知函数 f(x)x1exax 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是_ 【答案】 1e,0 【解析】 设 f(x)的导数为 f(x),因为函数 f(x)x1exax 有两个极值点,所以方程 f(x)xexa0 有两个不相等的实数根,令 g(x)xex,则 g(x)xex的图象与直线 ya 有两个不同交点,又 g(x)1xex, 由 g(x)1xex0 得 x1, 所以当 x0, 即 g(x)xex单调递增; 当 x1 时, g(x)0 时,g(x)xex0,所以作出函数 g(x)的简图如图所示, 因为 g(x)xex的图象与直线 ya 有两个不同交点,所以 0a1e,即1ea0)
27、, 则 m32ln k2,142e,kn 令 h(k)nm142ekln k232, 所以 h(k)142ek12k,h(k)在(0,)上为增函数, 且 h140, 当 k0,14时,h(k)0, 所以 h(k)142ekln k232在0,14上单调递减,在14, 上单调递增, 所以 h(k)minh1412ln 2, 即 nm 的最小值为12ln 2. 12已知函数 f(x)mx22x2ex,m1,e,x1,2,g(m)f(x)maxf(x)min,则关于 m 的不等式 g(m)4e2的解集为_ 【答案】 24e,e 【解析】 由 f(x)mx22x2ex, 得 f(x)2mx2exmx2
28、2x2exex2 2mx2mx22x2exmx222mx4ex mx2x2ex, m1,e,x1,2, f(x)0, 函数 f(x)在区间1,2上单调递增, f(x)maxf(2)4m2e2,f(x)minf(1)me, g(m)f(x)maxf(x)min 4m2e2me4m2mee2, 令4m2mee24e2,得 m24e, 又 m1,e,m24e,e . 故不等式 g(m)4e2的解集为24e,e . 四、解答题 13设函数 f(x)ax32x2xc(a0) (1)当 a1,且函数 f(x)的图象过点(0,1)时,求函数 f(x)的极小值; (2)若 f(x)在(,)上无极值点,求 a
29、的取值范围 【解析】 f(x)3ax24x1. (1)函数 f(x)的图象过点(0,1)时,有 f(0)c1. 当 a1 时,f(x)x32x2x1, f(x)3x24x1, 由 f(x)0,解得 x1; 由 f(x)0,解得13x0,f(x)0 恒成立的充要条件是(4)243a10,即 1612a0,解得 a43. 显然,f(x)0 不恒成立, 综上,a 的取值范围为43, . 14已知函数 f(x)ln xa2x2ax(aR R) (1)当 a1 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在区间(1,)上是减函数,求实数 a 的取值范围 【解析】 (1)当 a1 时,f(x)
30、ln xx2x, 其定义域是(0,), f(x)1x2x12x2x1x. 令 f(x)0,即2x2x1xx12x1x0, 解得 x12或 x1. x0,x1. 当 0 x0;当 x1 时,f(x)0, f(x)在区间(0,)上为增函数,不符合题意; 当 a0 时,f(x)0)等价于(2ax1)(ax1)0(x0),即 x1a. 此时 f(x)的单调递减区间为1a, . 依题意,得 1a1,a0,解得 a1; 当 a0 时,f(x)0)等价于(2ax1)(ax1)0(x0),即 x12a. 此时 f(x)的单调递减区间为12a, , 12a1,a0,解得 a12. 综上所述,实数 a 的取值范围是,121,) 方法二 f(x)ln xa2x2ax,x(0,), f(x)2a2x2ax1x. 由 f(x)在(1,)上是减函数,可得 g(x)2a2x2ax10 在(1,)上恒成立 当 a0 时,10,不符合题意; 当 a0 时,可得 14a14或a14或a0,a1或a12,a1 或 a12. 实数 a 的取值范围是,121,)