1、20222022 年年高高考数学复习专题（一）考数学复习专题（一）第第 4 4 讲讲 导数的简单应用导数的简单应用 【考情分析】【考情分析】 1.导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题 【要点提炼】 考点一考点一 导数的几何意义与计算导数的几何意义与计算 1导数的运算法则 (1)f(x)g(x)f(x)g(x) (2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x) (3)fxgxfxgxfxgxgx2(g(x)0) 2导数的几何意义 (1)函数在某点的导数
2、即曲线在该点处的切线的斜率 (2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同 (3)切点既在切线上，又在曲线上 【典例】1 (1)已知函数 f(x)的导函数为 f(x)，且满足关系式 f(x)x23xf(2)ln x，则 f(2)的值为( ) A.74 B74 C.94 D94 (2)(2019 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中， 点 A 在曲线 yln x 上， 且该曲线在点 A 处的切线经过点(e，1)(e 为自然对数的底数)，则点 A 的坐标是_ 【拓展训练】1 (1)直线 2xy10 与曲线 yaexx 相切，则 a 等于( ) Ae B2e C1 D2 (2)若函数 yf(x)的图象上
3、存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 yf(x)具有 T性质下列函数中具有 T 性质的是( ) Aysin x Byln x Cyex Dyx3 【要点提炼】 考点二考点二 利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数单调性的关键 (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域 (2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认 (3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况 【热点突破】【热点突破】 【典例】2 已知 f(x)a(xln x)2x1x2，aR R.讨论 f(x)的单调性 【拓展训练】 2 (1)已知定义在R R上的函
4、数f(x)的导函数为f(x)， 对任意x(0， )， 有f(x)sin xf(x)cos x，且 f(x)f(x)0，设 a2f 6，b 2f 4，cf 2，则( ) Aabc Bbca Cacb Dcb0，a1)，对任意 x1，x20,1，不等式|f(x1)f(x2)| aln ae4 恒成立，则 a 的取值范围为( ) A.12，e B2，e Ce，) D(e，) 【拓展训练】3 (1)若 x1e是函数 f(x)ln xkx 的极值点，则函数 f(x)ln xkx有( ) A极小值2 B极大值2 C极小值1 D极大值1 (2)已知点M在圆C： x2y24y30上， 点N在曲线y1ln x上
5、， 则线段MN的长度的最小值为_ 专题训练专题训练 一、单项选择题 1(2020全国)函数 f(x)x42x3的图象在点(1，f(1)处的切线方程为( ) Ay2x1 By2x1 Cy2x3 Dy2x1 2若函数 f(x)x2ax1x在12， 上是增函数，则 a 的取值范围是( ) A1,0 B1，) C0,3 D3，) 3已知函数 f(x)满足 f(x)f(1)ex1f(0)x12x2，则 f(x)的单调递增区间为( ) A(，0) B(，1) C(1，) D(0，) 4设函数 f(x)定义在区间(0，)上，f(x)是函数 f(x)的导函数，f(x)xln xf(x)0，则不等式ln xfx
6、0 的解集是( ) A.13， B(1，) C.0，13 D(0,1) 5若对x1，x2(m，)，且 x1x2，都有x1ln x2x2ln x1x2x11，则 m 的最小值是( ) 注：(e 为自然对数的底数，即 e2.718 28) A.1e Be C1 D.3e 6 已知直线 l 既是曲线 C1： yex的切线， 又是曲线 C2： y14e2x2的切线， 则直线 l 在 x 轴上的截距为( ) A2 B1 Ce2 De2 二、多项选择题 7(2020唐山模拟)设函数 f(x)exln x，则下列说法正确的是( ) Af(x)的定义域是(0，) B当 x(0,1)时，f(x)的图象位于 x
7、轴下方 Cf(x)存在单调递增区间 Df(x)有且仅有两个极值点 8已知 f(x)ex2x2有且仅有两个极值点，分别为 x1，x2(x1x2)，则下列不等式中正确的有(参考数据：ln 20.693 1，ln 31.098 6)( ) Ax1x2114 Cf(x1)f(x2)0 三、填空题 9已知函数 f(x)x2ax3 在(0,1)上为减函数，函数 g(x)x2aln x 在(1,2)上为增函数，则 a 的值等于_ 10已知函数 f(x)x1exax 有两个极值点，则实数 a 的取值范围是_ 11(2020北京市第 171 中学模拟)已知函数 f(x)e2x3，g(x)14ln x2，若 f(
8、m)g(n)成立，则 nm的最小值为_ 12已知函数 f(x)mx22x2ex，m1，e，x1,2，g(m)f(x)maxf(x)min，则关于 m 的不等式 g(m)4e2的解集为_ 四、解答题 13设函数 f(x)ax32x2xc(a0) (1)当 a1，且函数 f(x)的图象过点(0,1)时，求函数 f(x)的极小值； (2)若 f(x)在(，)上无极值点，求 a 的取值范围 14已知函数 f(x)ln xa2x2ax(aR R) (1)当 a1 时，求函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)在区间(1，)上是减函数，求实数 a 的取值范围 20222022 年年高高考数学复习
9、专题（一）考数学复习专题（一）第第 4 4 讲讲 导数的简单应用导数的简单应用 【考情分析】【考情分析】 1.导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题 【要点提炼】 考点一考点一 导数的几何意义与计算导数的几何意义与计算 1导数的运算法则 (1)f(x)g(x)f(x)g(x) (2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x) (3)fxgxfxgxfxgxgx2(g(x)0) 2导数的几何意义 (1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率 (2)曲
10、线在某点的切线与曲线过某点的切线不同 (3)切点既在切线上，又在曲线上 【典例】1 (1)已知函数 f(x)的导函数为 f(x)，且满足关系式 f(x)x23xf(2)ln x，则 f(2)的值为( ) A.74 B74 C.94 D94 【答案】 B 【解析】 f(x)x23xf(2)ln x， f(x)2x3f(2)1x， 令 x2，得 f(2)43f(2)12， 解得 f(2)74. (2)(2019 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中， 点 A 在曲线 yln x 上， 且该曲线在点 A 处的切线经过点(e，1)(e 为自然对数的底数)，则点 A 的坐标是_ 【答案】 (e,1) 【解
11、析】 设 A(x0，ln x0)，又 y1x， 则曲线 yln x 在点 A 处的切线方程为 yln x01x0(xx0)， 将(e，1)代入得，1ln x01x0(ex0)， 化简得 ln x0ex0，解得 x0e， 则点 A 的坐标是(e,1) 易错提醒 求曲线的切线方程要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的差异，过点 P 的切线中，点 P 不一定是切点，点 P 也不一定在已知曲线上，而在点 P 处的切线，必以点 P 为切点 【拓展训练】1 (1)直线 2xy10 与曲线 yaexx 相切，则 a 等于( ) Ae B2e C1 D2 【答案】 C 【解析】 设切点为(n，a
12、enn)，因为 yaex1， 所以切线的斜率为 aen1， 切线方程为 y(aenn)(aen1)(xn)， 即 y(aen1)xaen(1n)， 依题意切线方程为 y2x1， 故 aen12，aen1n1，解得 a1，n0. (2)若函数 yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 yf(x)具有 T性质下列函数中具有 T 性质的是( ) Aysin x Byln x Cyex Dyx3 【答案】 A 【解析】 对函数 ysin x 求导，得 ycos x，当 x0 时，该点处切线 l1的斜率 k11，当 x时，该点处切线 l2的斜率 k21，所以 k1k21，
13、所以 l1l2；对函数 yln x 求导，得 y1x恒大于 0，斜率之积不可能为1； 对函数 yex求导， 得 yex恒大于 0， 斜率之积不可能为1； 对函数 yx3求导，得 y3x2恒大于等于 0，斜率之积不可能为1. 【要点提炼】 考点二考点二 利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数单调性的关键 (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域 (2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认 (3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况 【热点突破】【热点突破】 【典例】2 已知 f(x)a(xln x)2x1x2，aR R.讨论 f(
14、x)的单调性 【解析】 f(x)的定义域为(0，)， f(x)aax2x22x3ax22x1x3. 若 a0，当 x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增， x(1，)时，f(x)0，f(x)ax1x3x2ax2a. (1)当 0a1， 当 x(0,1)或 x2a， 时，f(x)0，f(x)单调递增， 当 x1，2a时，f(x)2 时，02a0，f(x)单调递增，当 x2a，1 时，f(x)0，f(x)单调递减 综上所述，当 a0 时，f(x)在(0,1)内单调递增，在(1，)内单调递减； 当 0a2 时，f(x)在0，2a内单调递增，在2a，1 内单调递减，在(1，)内单调递增 易错提醒
15、 (1)在求单调区间时“定义域优先” (2)弄清参数对 f(x)符号的影响，分类讨论要不重不漏 【拓展训练】 2 (1)已知定义在R R上的函数f(x)的导函数为f(x)， 对任意x(0， )， 有f(x)sin xf(x)cos x，且 f(x)f(x)0，设 a2f 6，b 2f 4，cf 2，则( ) Aabc Bbca Cacb Dcb0， 所以函数 g(x)在区间(0，)上是增函数， 因为 f(x)f(x)0， 即 f(x)f(x)，g(x)fxsin xfxsin x， 所以函数 g(x)是偶函数， 所以 g6g4g2g2， 代入【解析】式得到 2f 6 2f 4f 2， 故 ab
16、1 时，ln x0，要使 f(x)0 恒成立， 则 xa0 恒成立 xa1a，1a0，解得 a1； 当 0 x1 时，ln x0，要使 f(x)0 恒成立， 则 xa0 恒成立， xa0， 因为函数 f(x)ex(m1)ln x2(m1)x1 恰有两个极值点， 所以函数 f(x)exm1x2(m1)(x0)有两个不同的变号零点 令 exm1x2(m1)0， 等价转化成xex12xm1(x0)有两个不同的实数根， 记 h(x)xex12x， 所以 h(x)xex12xxex12x12x2 ex2x1x112x2， 当 x0，12时，h(x)0， 此时函数 h(x)在此区间上单调递增， 当 x12
17、，1 时，h(x)0， 此时函数 h(x)在此区间上单调递增， 当 x(1，)时，h(x)m1，即em1， 整理得 m0，a1)，对任意 x1，x20,1，不等式|f(x1)f(x2)| aln ae4 恒成立，则 a 的取值范围为( ) A.12，e B2，e Ce，) D(e，) 【答案】 C 【解析】 依题意，得 aln ae40, 因为 f(x)axln aex1ln a(ax1)ln aex1， 当 a1 时，对任意的 x0,1，ax10，ln a0，ex10，恒有 f(x)0；当 0a1 时，对任意 x0,1，ax10，ln a0，函数 f(x)单调递增； 当 x1e， 时，f(x
18、)0)， 令 f(t)|CN|2，则 f(t)t2(1ln t)2(t0)， 所以 f(t)2t2(1ln t)1t2t2ln t1t. 令(t)t2ln t1(t0)， 易知函数(t)在(0，)上单调递增，且(1)0， 所以当 0t1 时，f(t)1 时，f(t)0， 所以 f(t)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增， 所以 f(t)minf(1)2. 因为|MN|CN|1 21， 所以线段 MN 的长度的最小值为 21. 专题训练专题训练 一、单项选择题 1(2020全国)函数 f(x)x42x3的图象在点(1，f(1)处的切线方程为( ) Ay2x1 By2x1 Cy2x3 D
19、y2x1 【答案】 B 【解析】 f(1)121，切点坐标为(1，1)， f(x)4x36x2， 所以切线的斜率为 kf(1)4136122， 切线方程为 y12(x1)，即 y2x1. 2若函数 f(x)x2ax1x在12， 上是增函数，则 a 的取值范围是( ) A1,0 B1，) C0,3 D3，) 【答案】 D 【解析】 由条件知 f(x)2xa1x20 在12， 上恒成立，即 a1x22x 在12， 上恒成立，函数 y1x22x 在12， 上为减函数，y0. g(x)为增函数， 又 g(0)0，当 x0 时，g(x)0，即 f(x)0， 即 f(x)在(0，)上单调递增 4设函数 f
20、(x)定义在区间(0，)上，f(x)是函数 f(x)的导函数，f(x)xln xf(x)0，则不等式ln xfx0 的解集是( ) A.13， B(1，) C.0，13 D(0,1) 【答案】 B 【解析】 构造新函数 g(x)ln xf(x)， 则 g(1)0，g(x)1xf(x)ln xf(x) 因为 f(x)xln xf(x)0，又 x0， 所以1xf(x)ln xf(x)0， 所以 g(x)0，所以函数 g(x)ln xf(x)在(0，)上单调递增 而ln xfx0 可化为 ln xf(x)0， 等价于 g(x)g(1)，解得 x1， 所以不等式ln xfx0 的解集是(1，) 5若对
21、x1，x2(m，)，且 x1x2，都有x1ln x2x2ln x1x2x11，则 m 的最小值是( ) 注：(e 为自然对数的底数，即 e2.718 28) A.1e Be C1 D.3e 【答案】 C 【解析】 由题意，当 0mx1x2时， 由x1ln x2x2ln x1x2x11， 等价于 x1ln x2x2ln x1x2x1， 即 x1ln x2x1x2ln x1x2， 故 x1(ln x21)x2(ln x11)， 故ln x21x2ln x11x1， 令 f(x)ln x1x，则 f(x2)x1m0， 故 f(x)在(m，)上单调递减， 又由 f(x)ln xx2，令 f(x)1，
22、故 f(x)在(1，)上单调递减，故 m1. 6 已知直线 l 既是曲线 C1： yex的切线， 又是曲线 C2： y14e2x2的切线， 则直线 l 在 x 轴上的截距为( ) A2 B1 Ce2 De2 【答案】 B 【解析】 设直线 l 与曲线 C1：yex相切于点11,exx ，与曲线 C2：y14e2x2相切于点x2，14e2x22， 由 yex，得11|exx xy ， 由 y14e2x2，得2221|e2x xyx ， 直线 l 的方程为111eexxyxx 或 y14e2x2212e2x2(xx2)， 则1112222221221ee,211eeee,42xxxxxxx解得 x
23、1x22， 直线 l 的方程为 ye2e2(x2)， 令 y0，可得 x1， 直线 l 在 x 轴上的截距为 1. 二、多项选择题 7(2020唐山模拟)设函数 f(x)exln x，则下列说法正确的是( ) Af(x)的定义域是(0，) B当 x(0,1)时，f(x)的图象位于 x 轴下方 Cf(x)存在单调递增区间 Df(x)有且仅有两个极值点 【答案】 BC 【解析】 由题意知，函数 f(x)满足 x0，ln x0，解得 x0 且 x1，所以 f(x)的定义域为(0,1)(1，)，故 A 不正确；f(x)exln x，当 x(0,1)时，ex0，ln x0，所以 f(x)0)，则 g(x
24、)1x1x2，所以当 x0 时，g(x)0，函数 g(x)单调递增，g(1)0110，所以 f(x)0 在定义域上有解，所以函数 f(x)存在单调递增区间，故 C 正确；函数 yf(x)只有一个零点 x0，且 x01，当 x(0,1)(1，x0)时，f(x)0，函数单调递增，所以函数 f(x)只有一个极小值点，故 D 不正确 8已知 f(x)ex2x2有且仅有两个极值点，分别为 x1，x2(x1x2)，则下列不等式中正确的有(参考数据：ln 20.693 1，ln 31.098 6)( ) Ax1x2114 Cf(x1)f(x2)0 【答案】 AD 【解析】 由题意得 f(x)ex4x， 则
25、f1414e10, f1212e20, f(2)e28ln 3，所以 f940， 从而14x112，2x294，所以 x1x21. 因为 f(2ln 3)98ln 30，所以 x2g(2ln 3)g(2.2) 0.881， 所以 f(x1)f(x2)0. 三、填空题 9已知函数 f(x)x2ax3 在(0,1)上为减函数，函数 g(x)x2aln x 在(1,2)上为增函数，则 a 的值等于_ 【答案】 2 【解析】 函数 f(x)x2ax3 在(0,1)上为减函数， a21，得 a2. 又g(x)2xax， 依题意得 g(x)0 在(1,2)上恒成立， 2x2a 在(1,2)上恒成立，a2.
26、a2. 10已知函数 f(x)x1exax 有两个极值点，则实数 a 的取值范围是_ 【答案】 1e，0 【解析】 设 f(x)的导数为 f(x)，因为函数 f(x)x1exax 有两个极值点，所以方程 f(x)xexa0 有两个不相等的实数根，令 g(x)xex，则 g(x)xex的图象与直线 ya 有两个不同交点，又 g(x)1xex， 由 g(x)1xex0 得 x1， 所以当 x0， 即 g(x)xex单调递增； 当 x1 时， g(x)0 时，g(x)xex0，所以作出函数 g(x)的简图如图所示， 因为 g(x)xex的图象与直线 ya 有两个不同交点，所以 0a1e，即1ea0)
27、， 则 m32ln k2，142e,kn 令 h(k)nm142ekln k232， 所以 h(k)142ek12k，h(k)在(0，)上为增函数， 且 h140， 当 k0，14时，h(k)0， 所以 h(k)142ekln k232在0，14上单调递减，在14， 上单调递增， 所以 h(k)minh1412ln 2， 即 nm 的最小值为12ln 2. 12已知函数 f(x)mx22x2ex，m1，e，x1,2，g(m)f(x)maxf(x)min，则关于 m 的不等式 g(m)4e2的解集为_ 【答案】 24e，e 【解析】 由 f(x)mx22x2ex， 得 f(x)2mx2exmx2
28、2x2exex2 2mx2mx22x2exmx222mx4ex mx2x2ex， m1，e，x1,2， f(x)0， 函数 f(x)在区间1,2上单调递增， f(x)maxf(2)4m2e2，f(x)minf(1)me， g(m)f(x)maxf(x)min 4m2e2me4m2mee2， 令4m2mee24e2，得 m24e， 又 m1，e，m24e，e . 故不等式 g(m)4e2的解集为24e，e . 四、解答题 13设函数 f(x)ax32x2xc(a0) (1)当 a1，且函数 f(x)的图象过点(0,1)时，求函数 f(x)的极小值； (2)若 f(x)在(，)上无极值点，求 a
29、的取值范围 【解析】 f(x)3ax24x1. (1)函数 f(x)的图象过点(0,1)时，有 f(0)c1. 当 a1 时，f(x)x32x2x1， f(x)3x24x1， 由 f(x)0，解得 x1； 由 f(x)0，解得13x0，f(x)0 恒成立的充要条件是(4)243a10，即 1612a0，解得 a43. 显然，f(x)0 不恒成立， 综上，a 的取值范围为43， . 14已知函数 f(x)ln xa2x2ax(aR R) (1)当 a1 时，求函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)在区间(1，)上是减函数，求实数 a 的取值范围 【解析】 (1)当 a1 时，f(x)
30、ln xx2x， 其定义域是(0，)， f(x)1x2x12x2x1x. 令 f(x)0，即2x2x1xx12x1x0， 解得 x12或 x1. x0，x1. 当 0 x0；当 x1 时，f(x)0， f(x)在区间(0，)上为增函数，不符合题意； 当 a0 时，f(x)0)等价于(2ax1)(ax1)0(x0)，即 x1a. 此时 f(x)的单调递减区间为1a， . 依题意，得 1a1，a0，解得 a1； 当 a0 时，f(x)0)等价于(2ax1)(ax1)0(x0)，即 x12a. 此时 f(x)的单调递减区间为12a， ， 12a1，a0，解得 a12. 综上所述，实数 a 的取值范围是，121，) 方法二 f(x)ln xa2x2ax，x(0，)， f(x)2a2x2ax1x. 由 f(x)在(1，)上是减函数，可得 g(x)2a2x2ax10 在(1，)上恒成立 当 a0 时，10，不符合题意； 当 a0 时，可得 14a14或a14或a0，a1或a12，a1 或 a12. 实数 a 的取值范围是，121，)