1、 2022 年湖北省武汉市青山区中考数学备考试卷（一）年湖北省武汉市青山区中考数学备考试卷（一） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑。个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑。 1 （3 分）2 的相反数是（ ） A B C2 D2 2 （3 分）不透明的袋子中装有 3 个白球和 1 个黑球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出2 个球，下列事件是必然事件的是（ ） A2 个球都是白球 B2
2、 个球都是黑球 C2 个球中有白球 D2 个球中有黑球 3 （3 分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 4 （3 分）计算（3a3）2的结果是（ ） A9a5 B9a5 C9a6 D6a6 5 （3 分）如图所示的几何体的主视图是（ ） A B C D 6 （3 分）小明想在 2 个“冰墩墩”和 1 个“雪容融”里随机选取两个吉祥物作为冬奥会纪念品，小明选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”的概率是（ ） A B C D 7（3 分）增删算法统宗 记载：“有个学生资性好， 一部孟子三日了， 每日增添一倍多， 问君每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部孟子 ，每
3、天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知孟子一书共有 34685 个字，设他第一天读 x 个字，则下面所列方程正确的是（ ） Ax+2x+4x34685 Bx+2x+3x34685 Cx+2x+2x34685 Dx+x+x34685 8 （3 分）甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所走路程的比为2：3，甲、乙两车离 AB 中点 C 的路程 y（千米）与甲车出发时间 t（时）的关系图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A乙车的速度为 90 千米/时 Ba 的值为 Cb 的值为 150 D当甲、乙车相距 30 千米时，甲行走了h 或h 9
4、（3 分）如图，将O 沿弦 AB 折叠得到所在圆的切线交O 于点 C，若O 的半径为 1，当 AC 取最大值时，则弦 AB 的长是（ ） A1 B C D2 10 （3 分）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点 P（m，n） ，则代数式的值是（ ） A B C2022 D2022 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）计算的结果是 12 （3 分）在某学校开展的艺术作品征集活动中，五个班上交的作品数量（单位：件）分别为：46，45， 49，42，50，则这组数据的中位数是 13 （3 分）已知点 A（1，y1
5、） ，B（3，y2）在双曲线（m 为常数）上，则 y1 y2（填“”或“”或“” ） 14 （3 分）如图，小亮为了测量校园里教学楼 AB 的高度，将测角仪 CD 竖直放置在与教学楼水平距离为18m 的地面上，若测角仪的高度为 1.5m，测得教学楼的顶部 A 处的仰角为 30，则教学楼的高度是 15 （3 分）已知抛物线 yax2+bx+c（a0，且 a，b，c 为常数）过点（1，0）和点（0，2） ，且顶点在第二象限，下列结论：a0；A（x1，y1） ，B（x2，y2）在抛物线上，当 x1x21 时，y1y2；若 b2a，则 ax2+bx+c0 的解集为3x1；设 pab+c，则整数 p 的
6、不同取值有 3 个其中正确的结论有 16 （3 分）如图 1，等腰 RtABC 中，点 P 为 BC 边上的任意一点，且APD45，PD 交 AB 于点 D设BPx，BDy，如图 2，是 y 关于 x 的函数图象，则顶点 M 的坐标为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 72 分） ，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤分） ，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （8 分）解不等式组，请按下列步骤完成解答： 解： （1）解不等式，得： ； （2）解不等式，得： ； （3）把不等式和的解集在如下的数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集是 1
7、8 （8 分）如图，E 在四边形 ABCD 的边 CD 的延长线上，连接 BE 交 AD 于 F，已知AC，1+2180，求证：ABCD 19 （8 分）某校对全校 900 名学生就安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式进行调查，并根据收集到的信息进行统计， 绘制了下面两幅尚不完整的统计图， 请根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有 人，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 ； （3）若没有达到“了解”或“基本了解”的同学必须重新接受安全教育请根据上述调查结果估计我校学生中必须重新接受安全教育的总人数大约为多少人？ 20
8、（8 分）如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 与边 BC 交于点 D，过点 D 作O 的切线交AC 于点 E （1）求证：DEAC； （2）若 AB6，tanBAC2，求 DE 的长 21 （8 分）如图，在 77 的正方形网格中，A，B，C，E 均为小正方形的顶点，用无刻度的直尺画图，保留画图痕迹 （1）将线段 AB 绕点 A 逆时针旋转 90得到线段 AM； （2）在 AB 上画点 T，使 BT4AT； （3）在 BC 上画点 F（不与点 C 重合） ，使 EFEC； （4）在 AC 上画点 N，使 tanABN 22 （10 分）红星公司销售一种成本为 40 元/件的产品
9、，若月销售单价不高于 50 元，一个月可售出 5 万件；月销售单价每涨价 1 元，月销售量就减少 0.1 万件其中月销售单价不低于成本设月销售单价为 x（单位：元） ，月销售量为 y（单位：万件） （1）直接写出 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？ （3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售 1 件产品便向大别山区捐款 a 元已知该公司捐款当月的月销售单价不高于 70 元，月销售最大利润是 78 万元，求 a 的值 23 （10 分）已知ABC 和DEC 都为等腰三角形，ABAC，DED
10、C，BACEDCn （1）当 n60 时， 如图 1，当点 D 在 AC 上时，请直接写出 BE 与 AD 的数量关系： ； 如图 2，当点 D 不在 AC 上时，判断线段 BE 与 AD 的数量关系，并说明理由； （2）当 n90 时， 如图 3，探究线段 BE 与 AD 的数量关系，并说明理由； 当 BEAC，AB3，AD1 时，请直接写出 DC 的长 24 （12 分）如图，边长为 5 的正方形 OABC 的两边在坐标轴上，以点 M（0，4）为顶点的抛物线经过点 N（4，0） ，点 P 是抛物线上第一象限内一动点，过点 P 作 PFBC 于点 F，点 E（0，3） ，连接 PE （1）求
11、抛物线的解析式； （2）在点 P 运动过程中，PEPF 的值是否改变，若改变，求其取值范围；若不改变，求出其值； （3）在点 P 运动过程中，当EPF60时，求点 P 的坐标； 连接 EF，当EPF60时，把PEF 沿 y 轴平移（限定点 E 在射线 MO 上） ，并使抛物线与PEF 的边始终有两个交点，直接写出点 P 的纵坐标 n 的取值范围 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正
12、确答案的代号涂黑。个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑。 1 （3 分）2 的相反数是（ ） A B C2 D2 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数 【解答】解：2 的相反数是 2， 故选：C 【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数 2 （3 分）不透明的袋子中装有 3 个白球和 1 个黑球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出2 个球，下列事件是必然事件的是（ ） A2 个球都是白球 B2 个球都是黑球 C2 个球中有白球 D2 个球中有黑球 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可 【解答】解：A、2 个球都是白球，是随
13、机事件，不符合题意； B、2 个球都是黑球，是随机事件，不符合题意； C、2 个球中有白球，是必然事件，符合题意； D、2 个球中有黑球，是随机事件，不符合题意； 故选：C 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下，一定发生的事件 不可能事件是指在一定条件下， 一定不发生的事件， 不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 3 （3 分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A不是中心对称图形，故本选项不合题意； B不是中心对称图形，故本选项不合题意；
14、 C不是中心对称图形，故本选项不合题意； D是中心对称图形，故本选项符合题意 故选：D 【点评】 本题考查了中心对称图形的概念， 中心对称图形是要寻找对称中心， 旋转 180 度后与原图重合 4 （3 分）计算（3a3）2的结果是（ ） A9a5 B9a5 C9a6 D6a6 【分析】根据幂的乘方与积的乘方求解判断即可 【解答】解： （3a3）2（3）2 （a3）29a6， 故选：C 【点评】此题考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键 5 （3 分）如图所示的几何体的主视图是（ ） A B C D 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案 【解答】解：从正
15、面看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，第三层左边一个小正方形， 故选：B 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图 6 （3 分）小明想在 2 个“冰墩墩”和 1 个“雪容融”里随机选取两个吉祥物作为冬奥会纪念品，小明选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”的概率是（ ） A B C D 【分析】画树状图，共有 6 种等可能的结果，小明选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”结果有 4 种，再由概率公式求解即可 【解答】解：根据题意画图如下： 共有 6 种等可能的情况数，其中选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”的有 4 种， 则小明选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融
16、”额概率是 故选：C 【点评】此题考查的是用树状图法求概率树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 7（3 分）增删算法统宗 记载：“有个学生资性好， 一部孟子三日了， 每日增添一倍多， 问君每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部孟子 ，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知孟子一书共有 34685 个字，设他第一天读 x 个字，则下面所列方程正确的是（ ） Ax+2x+4x34685 Bx+2x+3x34685 Cx+2x+2x34685 Dx+x+x
17、34685 【分析】设他第一天读 x 个字，根据题意列出方程解答即可 【解答】解：设他第一天读 x 个字，根据题意可得：x+2x+4x34685， 故选：A 【点评】此题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程 8 （3 分）甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所走路程的比为2：3，甲、乙两车离 AB 中点 C 的路程 y（千米）与甲车出发时间 t（时）的关系图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A乙车的速度为 90 千米/时 Ba 的值为 Cb 的值为 150 D当甲、乙车相距 30 千米时，
18、甲行走了h 或h 【分析】由两车相遇时甲、乙所走路程的比为 2：3 及两车相遇所用时间，即可求出 A、B 两地之间的距离， 可判断 C 正确； 由乙车的速度相遇时乙车行驶的路程两车相遇所用时间， 即可求出乙车的速度，可判断 A 正确；求出甲车的速度，再根据时间两地之间路程的一半甲车的速度，即可求出 a 值，C正确；设出发 xh 甲、乙车相距 30 千米，分两种情况列方程解答即可得 D 错误，据此即可得出结论 【解答】解：由已知得：A、B 两地之间的距离为 302（）300（千米） ， 出发时， 甲、 乙两车离 AB 中点 C 的路程是 3002150 （千米） ， 即 b150， 故 C 正确
19、， 不符合题意； 乙车的速度为（150+30）290（千米/小时） ，故 A 正确，不符合题意； 而甲车的速度为（15030）260（千米/小时） ， a 的值为 15060，故 B 正确，不符合题意； 设出发 xh，甲、乙车相距 30 千米， 根据题意得： （90+60）x30030 或（90+60）x300+30， 解得：x或 x，故 D 错误，符合题意 故选：D 【点评】本题考查了一次函数的应用，观察函数图象，结合数量关系，逐一分析四个选项的正误是解题的关键 9 （3 分）如图，将O 沿弦 AB 折叠得到所在圆的切线交O 于点 C，若O 的半径为 1，当 AC 取最大值时，则弦 AB 的
20、长是（ ） A1 B C D2 【分析】如图，设的圆心为 O，连接 AO，OO交 AB 于 F只要证明AOO是等腰直角三角形即可解决问题 【解答】解：如图，设的圆心为 O，连接 AO，OO交 AB 于 F 当 AC 取最大值时，AC 是O 的直径， 又AC 是切线， CAO90， OAAO，OOAB， OAFFAO45， OA1， AFOAcos45， AB 故选：B 【点评】本题考查翻折变换、切线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题，属于中考常考题型 10 （3 分）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点 P（m，n） ，则代数式的值是（ ） A B
21、C2022 D2022 【分析】将点 P（m，n）分别代入与，得出 nm+，mn674 ，把 nm+代入 mn674，整理得出 m2m+674 ，把变形为，将代入计算即可 【解答】解：直线与双曲线交于点 P（m，n） ， nm+，n， mn674 ， 把 nm+代入 mn674， 得 m（m+）674， m2+m674， m2m+674 ， 故选：B 【点评】 本题考查了函数图象上点的坐标特征， 分式的化简求值， 得到 mn674 以及 m2m+674是解题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）计算的结
22、果是 7 【分析】根据二次根式的性质计算即可.|a| 【解答】解：|7|7 故答案为：7 【点评】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的基本性质是解答本题的关键 12 （3 分）在某学校开展的艺术作品征集活动中，五个班上交的作品数量（单位：件）分别为：46，45，49，42，50，则这组数据的中位数是 46 【分析】根据中位数的定义求解即可 【解答】解：将这组数据重新排列为 42，45，46，49，50， 所以这组数据的中位数为 46， 故答案为：46 【点评】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数如果
23、这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数 13 （3 分）已知点 A（1，y1） ，B（3，y2）在双曲线（m 为常数）上，则 y1 y2（填“”或“”或“” ） 【分析】根据题意可知，km2+10，则在每一象限内，y 随 x 的增大而减小，由此可得出 y1和 y2的大小 【解答】解：km2+10， 在每一象限内，y 随 x 的增大而减小， 13， y1y2 故答案为： 【点评】此题主要考查了反比例函数的性质对于反比例函数 y，当 k0 时，在每一个象限内，函数值 y 随自变量 x 的增大而减小；当 k0 时，在每一个象限内，函数值 y 随自变量 x 增大而增大 14
24、（3 分）如图，小亮为了测量校园里教学楼 AB 的高度，将测角仪 CD 竖直放置在与教学楼水平距离为18m 的地面上，若测角仪的高度为 1.5m，测得教学楼的顶部 A 处的仰角为 30，则教学楼的高度是 19.5m 【分析】作 DEAB 于 E，根据正切的定义求出 AE，解答即可 【解答】解：作 DEAB 于 E， 在 RtADC 中，tanADE， AEDEtanADE1818， ABAE+EB18+1.519.5（m） ， 故答案为：19.5m 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键 15 （3 分）已知抛物线 yax2+
25、bx+c（a0，且 a，b，c 为常数）过点（1，0）和点（0，2） ，且顶点在第二象限，下列结论：a0；A（x1，y1） ，B（x2，y2）在抛物线上，当 x1x21 时，y1y2；若 b2a，则 ax2+bx+c0 的解集为3x1；设 pab+c，则整数 p 的不同取值有 3 个其中正确的 结论有 【分析】由抛物线经过点（1，0）和点（0，2） ，且顶点在第二象限，可得抛物线开口向下从而判断，由抛物线开口方向和对称轴位置可判断，由 b 与 a 的关系及抛物线的对称性可得抛物线与 x 轴的两个交点坐标，进而判断，由抛物线经过点（1，0）和点（0，2）可得 c 的值及 a 与 b 的数量关系，
26、根据a0，b0 可判断 p 的取值范围，从而判断 【解答】解：抛物线过点（1，0）和点（0，2） ，且顶点在第二象限， 抛物线开口向下， a0，正确 由题意得抛物线对称轴在 y 轴左侧， x1 时，y 随 x 增大而减小， 当 x1x21 时，y1y2，正确 若 b2a，则抛物线对称轴为直线 x1， 抛物线与 x 轴另一交点坐标为（3，0） ， ax2+bx+c0 的解集为3x1，正确 抛物线经过点（0，2） ， c2， 将（1，0）代入 yax2+bx+2 得 0a+b+2， ba2， b0，a0， a20， 2a0， pab+cab+22a+4， 0p4， p 可能为 1，2，3，正确 故
27、答案为： 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系 16 （3 分）如图 1，等腰 RtABC 中，点 P 为 BC 边上的任意一点，且APD45，PD 交 AB 于点 D设BPx，BDy，如图 2，是 y 关于 x 的函数图象，则顶点 M 的坐标为 （2，2） 【分析】证明出BPDCAP，再利用 表示出 x 与 y 的函数关系式 【解答】解：ABC 为等腰直角三角形； BC45APD，BCBA4 ， 又B+BDP+BPD180， BDP+BPD135， BPD+APD+CPA180， BPD+APC135， BDPAPC， BC
28、，BPDAPC， BPDCAP， ， 又BPxBDy， PC4 x， ， 得 yx （4 x）， 顶点 M（2，2） 故答案为： （2，2） 【点评】本题考查了一线三等角的相似模型以及二次函数的图象，属于中等题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 72 分） ，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤分） ，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （8 分）解不等式组，请按下列步骤完成解答： 解： （1）解不等式，得： x2 ； （2）解不等式，得： x3 ； （3）把不等式和的解集在如下的数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集是 2x3 【分析
29、】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集 【解答】解： （1）解不等式，得：x2； （2）解不等式，得：x3； （3）把不等式和的解集在如下的数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集是2x3， 故答案为：x2，x3，2x3 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 18 （8 分）如图，E 在四边形 ABCD 的边 CD 的延长线上，连接 BE 交 AD 于 F，已知AC，1+2180，求证：ABCD 【分析】根据“
30、同旁内角互补，两直线平行”得到 ADBC，根据平行线的性质推出A3，即可判定 ABCD 【解答】证明：1+2180， ADBC， 3C， AC， A3， ABCD 【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“同旁内角互补，两直线平行”及“内错角相等，两直线平行”是解题的关键 19 （8 分）某校对全校 900 名学生就安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式进行调查，并根据收集到的信息进行统计， 绘制了下面两幅尚不完整的统计图， 请根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有 60 人，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 90 ； （
31、3）若没有达到“了解”或“基本了解”的同学必须重新接受安全教育请根据上述调查结果估计我校学生中必须重新接受安全教育的总人数大约为多少人？ 【分析】 （1）由了解很少的有 30 人，占 50%，可求得接受问卷调查的学生数，总人数减去其它了解程度的人数求得“了解”的人数可补全条形图； （2）用 360乘“基本了解”人数所占比例可得； （3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案 【解答】解： （1）接受问卷调查的学生共有 3050%60 人， 则“了解”的人数为 60（15+30+10）5 人， 补全图形如下： 故答案为：60； （2）扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 36090，
32、故答案为：90； （3）900600（人） ， 答：估计我校学生中必须重新接受安全教育的总人数大约为 600 人 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答 20 （8 分）如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 与边 BC 交于点 D，过点 D 作O 的切线交 AC 于点 E （1）求证：DEAC； （2）若 AB6，tanBAC2，求 DE 的长 【分析】 （1） 连接 OD， 如图， 利用圆周角定理得到ADB90， 再利用等腰三角形的性质得 BDCD，证得 OD 为ABC 的中位线得到 OD
33、AC，由 DE 为切线得到 ODDE，即可得到 DEAC； （2）设 AC 交O 于 F，连接 BF，由圆周角定理得到AFB90，在 RtABF 中，根据三角函数的定义和勾股定理求得 BF4，证得 DE 是BCF 的中位线，根据三角形中位线的性质即可求出 DE 【解答】 （1）证明：连接 OD，AD，如图， 线段 AB 为O 的直径， ADB90， ABAC， BDCD， AOBO， OD 为ABC 的中位线， ODAC， DE 为切线， ODDE， DEAC； （2）解：设 AC 交O 于 F，连接 BF， 线段 AB 为O 的直径， AFB90， 在 RtABF 中，tanBAC2， BF
34、2AF， AB2AF2+BF2，AB6， AF2+（2AF）262， 解得 AF2， BF4， 由（1）知，BDCD，DEAC， DEBF， E 是 CF 的中点， DE 是BCF 的中位线， DEBF2 【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，三角形中位线的性质，熟练掌握切线的性质是解决问题的关键 21 （8 分）如图，在 77 的正方形网格中，A，B，C，E 均为小正方形的顶点，用无刻度的直尺画图，保留画图痕迹 （1）将线段 AB 绕点 A 逆时针旋转 90得到线段 AM； （2）在 AB 上画点 T，使 BT4AT； （3）在 BC 上画点 F（不与点 C
35、重合） ，使 EFEC； （4）在 AC 上画点 N，使 tanABN 【分析】 （1）根据圆心画出图形即可 （2）利用平行线分线段成比例定理把线段 AB 分成 4：1，即可解决问题 （3）作线段 AFBC 于点 F，点 F 即为所求作 （4）如图，点 N 即为所求作 【解答】解： （1）如图，线段 AM 即为所求作 （2）如图，点 T 即为所求作 （3）如图，点 F 即为所求作 （4）如图，点 N 即为所求作 【点评】本题考查作图旋转变换，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题 22 （10 分）红星公司销售一种成本为 40 元/件的产品，若月销售单价不
36、高于 50 元，一个月可售出 5 万件；月销售单价每涨价 1 元，月销售量就减少 0.1 万件其中月销售单价不低于成本设月销售单价为 x（单位：元） ，月销售量为 y（单位：万件） （1）直接写出 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？ （3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售 1 件产品便向大别山区捐款 a 元已知该公司捐款当月的月销售单价不高于 70 元，月销售最大利润是 78 万元，求 a 的值 【分析】 （1）根据题意写出销售量和销售单价之间的关系式即可； （2）根据销售量和销售单
37、价之间的关系列出销售利润和单价之间的关系式求最值即可； （3）根据（2）中的函数和月销售单价不高于 70 元/件的取值范围，确定 a 值即可 【解答】解： （1）由题知，当 40 x50 时，y5， 当 50 x100 时，y5（x50）0.1100.1x， y 与 x 之间的函数关系式为：y； （2）设月销售利润为 z，由题知， 当 40 x50 时，x50 时利润最大， 此时 z（5040）550（万元） ， 当 50 x100 时，z（x40）y（x40） （100.1x）0.1x2+14x4000.1（x70）2+90， 当 x70 时，z 有最大值为 90 万元， 即当月销售单价是
38、70 元时，月销售利润最大，最大利润是 90 万元； （3）由题知，利润 z（x40a） （100.1x）0.1x2+（14+0.1a）x40010a， 此函数的对称轴为：直线 x70+0.5a70， 当月销售单价是 70 元时，月销售利润最大， 即（7040a）（100.170）78， 解得 a4， a 的值为 4 【点评】本题主要考查一次函数性质和二次函数的性质及方程的应用，熟练应用二次函数求最值是解题的关键 23 （10 分）已知ABC 和DEC 都为等腰三角形，ABAC，DEDC，BACEDCn （1）当 n60 时， 如图 1，当点 D 在 AC 上时，请直接写出 BE 与 AD 的
39、数量关系： BEAD ； 如图 2，当点 D 不在 AC 上时，判断线段 BE 与 AD 的数量关系，并说明理由； （2）当 n90 时， 如图 3，探究线段 BE 与 AD 的数量关系，并说明理由； 当 BEAC，AB3，AD1 时，请直接写出 DC 的长 【分析】 （1）根据题意当 n60 时，ABC 和DEC 均为等边三角形，根据线段之间的关系易推出BEAD； 通过 SAS 求证ACDBCE，即可找到线段 BE 与 AD 的数量关系； （2）根据已知条件，利用两边对应成比例且夹角相等求证DCAECB 即可找到线段 BE 与 AD 的数量关系； 分两种情形：当点 D 在ABC 外部，根据已
40、知条件，利用两角对应相等求证EFBCFA，再利用相似比结合勾股定理即可算出 EF 的长，进而表示出 EC 的长即可求出 DC 的长当点 D 在ABC 内部时，当点 D 在ABC 内部时，过点 DHAC 于点 H，根据已知条件得出 DH 和 CH，在CDH 中，根据勾股定理求出 CD 的值，综上可得结论 【解答】解： （1）当 n60 时，ABC 和DEC 均为等边三角形， BCAC，ECDC， 又BEBCEC， ADACDC， BEAD， 故答案为：BEAD； BEAD，理由如下： 当点 D 不在 AC 上时， ACBACD+DCB60，DCEBCE+DCB60， ACDBCE， 在ACD 和
41、BCE 中， ， ACDBCE（SAS） ， ADBE； （2）BEAD，理由如下： 当 n90 时，在等腰直角三角形 DEC 中：sin45， 在等腰直角三角形 ABC 中：， ACBACE+ECB45，DCEACE+DCA45， ECBDCA 在DCA 和ECB 中， ， DCAECB， ， BE， DC5 或，理由如下： 当点 D 在ABC 外部时，设 EC 与 AB 交于点 F，如图所示： AB3，AD1 由上可知：ACAB3，BE， 又BEAC， EBFCAF90， 而EFBCFA， EFBCFA， ， AF3BF，而 ABBF+AF3， BF， 在 RtEBF 中：EF， 又CF3
42、EF3， ECEF+CF5（或 EC4EF5） ， 在等腰直角三角形 DEC 中，DCECcos4555 当点 D 在ABC 内部时，过点 D 作 DHAC 于 H AC3，AD1，DAC45 AHDH，CHACAH， CD， 综上所述，满足条件的 CD 的值为 5 或 【点评】本题属于三角形综合大题，考查三角形基本性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，本题熟练掌握三角形的基本性质，能根据题意从易到难逐步推理，能在题干中找到相应条件求证三角形全等或相似是解题的关键 24 （12 分）如图，边长为 5 的正方形 OABC 的两边在坐标轴上，以点 M（0，4）为顶
43、点的抛物线经过点 N（4，0） ，点 P 是抛物线上第一象限内一动点，过点 P 作 PFBC 于点 F，点 E（0，3） ，连接 PE （1）求抛物线的解析式； （2）在点 P 运动过程中，PEPF 的值是否改变，若改变，求其取值范围；若不改变，求出其值； （3）在点 P 运动过程中，当EPF60时，求点 P 的坐标； 连接 EF，当EPF60时，把PEF 沿 y 轴平移（限定点 E 在射线 MO 上） ，并使抛物线与PEF的边始终有两个交点，直接写出点 P 的纵坐标 n 的取值范围 【分析】 （1）设抛物线的解析式为 yax2+4，将点 N（4，0）代入 yax2+4，即可求解； （2）设
44、P（t，t2+4） ，则 F（t，5） ，可求 PFt2+1，PEt2+1，可得 PEPF0； （3）先判断PEF 是等边三角形，则t2+1，求出 t2，即可求 P（2，1） ； 当PEF 沿 y 轴向上平移时，E 点平移到 M 点的过程中，抛物线与PEF 的边始终有两个交点，此时1n2；当PEF 沿 y 轴向下平移时，当 F 点平移到 P 点的过程中，抛物线与PEF 的边始终有两个交点，此时4n1 【解答】解： （1）抛物线的顶点为 M（0，4） ， 设抛物线的解析式为 yax2+4， 将点 N（4，0）代入 yax2+4， a， yx2+4； （2）PEPF 的值不改变，理由如下： 边长为
45、 5 的正方形 OABC 的两边在坐标轴上， A（5，0） ，C（0，5） ，B（5，5） ， 设 P（t，t2+4） ， PFBC， F（t，5） ， PF5+t24t2+1， E（0，3） ， PEt2+1， PEPF0， PEPF 的值不变，始终是 0； （3）PEPF，EPF60， PEF 是等边三角形， EFPE， t2+1， 解得 t212， t2， P 点在第一象限内， t2， P（2，1） ； 当PEF 沿 y 轴向上平移时，E 点平移到 M 点的过程中，抛物线与PEF 的边始终有两个交点， M（0，4） ，E（0，3） ， 1n2； 当PEF 沿 y 轴向下平移时，当 F 点平移到 P 点的过程中，抛物线与PEF 的边始终有两个交点， F（2，5） ， 4n1； 综上所述：4n2，且 n1 时，抛物线与PEF 的边始终有两个交点 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等边三角形的性质，数形 结合解题是关键
