1、第第 1111 讲讲 代几综合代几综合 知识点 1 方程与几何综合题 这类题目大都是一元二次方程与几何的综合，运用根的判别式及根与系数的关系解决与方程的根有关的几何问题.在解题时，要求我们能熟练地将方程的根与几何图形中的条件联系起来，通过方程的性质和几何图形的性质实行转化，数形结合，建立一元二次方程的两根与几何图形之间的联系；同时要根据题意，找到临界值，进行合理的分类讨论. 【典例】 例 1（2020 秋新蔡县期中）已知 x1，x2是关于 x 的一元二次方程 x2+2（m3）x+m2+10 的两个根 （1）当 m 取何值时，原方程有两个不相等的实数根？ （2）若以 x1，x2为对角线的菱形边长
2、是3，试求 m 的值 例2 （2020秋江都区月考） 已知： 平行四边形ABCD的两边AB， AD的长是关于x的方程x2mx+214=0的两个实数根 （1）当 m 为何值时，平行四边形 ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若 AB 的长为 1，那么平行四边形 ABCD 的周长是多少？ 例 3（2020 秋兴庆区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是平行四边形，AD6，若OA、OB 的长是关于 x 的一元二次方程 x27x+120 的两个根，且 OAOB （1）求 OA、OB 的长 （2）若点 E 为 x 轴的正半轴上的点，且 SAOE=163，求经过 D、E 两点的
3、直线解析式 【随堂练习】 1 （2019 秋东台市期中）已知关于 x 的一元二次方程 x22（a+1）x+a2+30 有两个实数根 x1，x2 （1）求实数 a 的取值范围 （2）若等腰ABC 的三边长分别为 x1，x2，6，求ABC 的周长 （3）是否存在实数 a，使 x1，x2恰是一个边长为22的菱形的两条对角线的长？若存在，求出这个菱形的面积；若不存在，说明理由 3 （2020 秋思明区校级月考）已知：平行四边形 ABCD 的两边 AB、CD 的长是关于方程 4x24mx+2m10 的两个实数根 （1）当 m 为何值时，平行四边形 ABCD 是菱形？并求出此时菱形的周长 （2）若 AB2
4、，那么平行四边形 ABCD 的周长是多少？ 4 （2020 秋金水区校级期中）已知：ABCD 的两边 AB，AD 的长是关于 x 的方程 x2mx+2+34=0 的两个实数根 （1）当 m 为何值时，四边形 ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若 AB 的长为 2，那么ABCD 的周长是多少？ 知识点 2 函数与几何综合题 函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型 【典例】 例 1 （2020 秋江岸区校级月考） 如图
5、 1， 直线 y= 34x+6 与 y 轴交于点 A， 与 x 轴交于点 D， AB 平分OAD交 x 轴于点 B （1）求 OB 的长； （2）如图 2，G，F 是直线 AB 上的两点（点 E 在点 F 上方） ，若DEF 是以 FG 为斜边的等腰直角三角形，求点 F 的坐标； （3） 如图 3， 点 P 是直线 AB 上点， 点 Q 是直线 AD 上的动点， 点 G 是 x 轴上的动点， 且以点 P、 Q、 D、G 为顶点的四边形是菱形，直接写出点 G 的坐标 例 2（2020 秋太原期末）如图，在同一平面直角坐标系中，直线 yx+2 和双曲线 y=8相交于 A、B 两点 （1）连结 AO
6、、BO，求出AOB 的面积 （2）已知点 E 在双曲线 y=8上且横坐标为 1，作 EF 垂直于 x 轴垂足为 F，点 H 是 x 轴上一点，连结EH 交双曲线于点 I，连结 IF 并延长交 y 轴于点 G，若点 G 坐标为（0，85） ，请求出 H 点的坐标 （3）已知点 M 在 x 轴上，点 N 是平面内一点，以点 O、E、M、N 为顶点的四边形是菱形，请你直接写出 N 点的坐标 例 3（2020 秋绥棱县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yax22x+c 与直线 ykx+b 都经过A（0，3） ，D（3，0）两点，该抛物线的顶点为 C （1）求此抛物线和直线 AB 的解析式；
7、（2）设点 P 是直线 AB 下方抛物线上的一动点，当PAB 面积大时，试求出点 P 的坐标，并求出PAB面积的最大值； （3）设直线 AB 与该抛物线的对称轴交于点 E，在射线 EB 上是否存在一点 M，过点 M 作 x 轴的垂线交抛物线于点 N，使点 M、N、C、E 是平行四边形的四个顶点？若存在，试求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 【随堂练习】 1 （2020 春和平区校级月考）如图，直线 l1：ykx+b 分别交 x 轴、y 轴于点 B（4，0） 、N，直线 l2：y2x1 分别交 x 轴、y 轴于点 M、A，l1，l2交点 P 的坐标（m，2） ，请根据图象所提供的信息解答下
8、列问题： （1）当 x 时，kx+b2x1； （2）不等式 kx+b0 的解集是 ； （3）在平面内是否存在一点 H，使得以 A，B，P，H 四点组成的四边形是平行四边形若存在，直接写出点 H 的坐标，若不存在，说明理由 2 （2020 秋简阳市 月考）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 yx+b 的图象经过点 A（2，0） ，与反比例函数 y=的图象交于点 B（a，4）和点 C （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若点 P 在 y 轴上，且PBC 的面积等于 6，求点 P 的坐标； （3）设 M 是直线 AB 上一点，过点 M 作 MNx 轴，交反比例函数 y=的图象于点
9、 N，若 A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求点 M 的坐标 3 （2020 秋潮阳区期末）如图，抛物线 y= 12x2+2x+52与 x 轴相交于 A，B 两点，点 B 在点 A 的右侧，与y 轴相交于点 C （1）求点 A，B，C 的坐标； （2）在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC 的值最小，求点 P 的坐标； （3）点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A，C，M，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 综合运用 1 （2020 春张家港市期末）已知关于 x 的一元二次方程 x2（2k+1）x+k2+k0
10、 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若ABC 的两边 AB，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边 BC 的长为 5，当ABC 是直角三角形时，求 k 的值 2 （2020 秋城关区校级月考）如图，直线 y= 12 + 4与坐标轴分别交于点 A、B，与直线 yx 交于点 C，在如图线段 OA 上， 动点 Q 以每秒 1 个单位长度的速度从点 O 出发向点 A 做匀速运动，同时动点 P 从点A 出发向点 O 做匀速运动，当点 P，Q 其中一点停止运动时，另一点也停止运动分别过点 P、Q 做 x轴的垂线，交直线 AB、OC 于点 E，F，连接 EF若运动时间为 t 秒，在运动过程中四
11、边形 PEFQ 总为矩形（点 P、Q 重合除外） （1）求点 P 运动的速度是多少？ （2）当 t 为多少秒时，矩形 PEFQ 为正方形？ （3）当 t 为多少秒时，矩形 PEFQ 的面积 S 最大？并求出最大值 3 （2020 秋南召县期中）如图，在直角坐标系中，点 C 在第一象限，CBx 轴于 B，CAy 轴于 A，且AC、BC 的长恰好是一元二次方程 m29m+180 的两根（ACBC） ；反比例函数1=刚好过点 C （1）直接写出 k ，直线 AB 的函数表达式 y2 ； （2） 直线 lx 轴， 并从 y 轴出发， 以每秒 1 个单位的速度向 x 轴正方向运动， 交反比例函数图象于点
12、 D，交 AC 于点 E，交直线 AB 于点 F，当直线 l 运动到经过点 B 时，停止运动，设运动时间 t（秒） 问是否存在这样的 t 值，使四边形 DFBC 为平行四边形？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由； 4 （2020 秋成都期中）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 ymx+1 与双曲线 y=（k0）相交于点A，B，已知点 B（a，2） ，点 C 在 x 轴正半轴上，点 D（2，3） ，连接 OA，OD，DC，AC，四边形AODC 为菱形 （1）求 k 和 m 的值； （2）请直接写出：当 x 取何值时，反比例函数值大于一次函数值？ （3）设 P 是 y 轴上一动点，且
13、OAP 的面积等于菱形 OACD 的面积，求点 P 的坐标 5 （2020 秋九龙县期末）如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点 P 到 x 轴的距离是 4，抛物线与 x轴相交于 O、M 两点，OM4；矩形 ABCD 的边 BC 在线段的 OM 上，点 A、D 在抛物线上 （1）求这条抛物线的解析式； （2）设 D（m，n） ，矩形 ABCD 的周长为 l，写出 l 与 m 的关系式，并求出 l 的最大值； （3）点 E 在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否还存在点 F，使得以 E、F、O、M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，写出 F 点的坐标 第第 1111 讲讲 代几综合代几综合 知
14、识点 1 方程与几何综合题 这类题目大都是一元二次方程与几何的综合，运用根的判别式及根与系数的关系解决与方程的根有关的几何问题.在解题时，要求我们能熟练地将方程的根与几何图形中的条件联系起来，通过方程的性质和几何图形的性质实行转化，数形结合，建立一元二次方程的两根与几何图形之间的联系；同时要根据题意，找到临界值，进行合理的分类讨论. 【典例】 例 1（2020 秋新蔡县期中）已知 x1，x2是关于 x 的一元二次方程 x2+2（m3）x+m2+10 的两个根 （1）当 m 取何值时，原方程有两个不相等的实数根？ （2）若以 x1，x2为对角线的菱形边长是3，试求 m 的值 【解答】解： （1）
15、由题意得2（m3）24（m2+1）3224m， 要使方程有两个不相等的实数根，需要0， 即 3224m0，解得 m43， 即 m43时，方程有两个不相等的实数根 （2）x1，x2是关于 x 的一元二次方程 x2+2（m3）x+m2+10 的两个根， x1+x22（m3） ，x1x2m2+1 x1，x2为菱形的对角线， x1，x2互相垂直并且平分， （12x1）2+（12x2）23， x12+x2212， （x1+x2）22x1x212， （x1+x2）22x1x212， 2（m3）22（m2+1）12， m212m+110， 解得，m11，m211 m43， m211 不合题意，舍去， m 的
16、值为 1 【方法总结】 此题考查了根的判别式，一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系： 当0 时，方程有两个不相等的两个实数根； 当0 时，方程有两个相等的两个实数根； 当0 时，方程无实数根 也考查了菱形的性质，勾股定理以及根与系数的关系 例2 （2020秋江都区月考） 已知： 平行四边形ABCD的两边AB， AD的长是关于x的方程x2mx+214=0的两个实数根 （1）当 m 为何值时，平行四边形 ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若 AB 的长为 1，那么平行四边形 ABCD 的周长是多少？ 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是菱形， ABA
17、D 又AB、AD 的长是关于 x 的方程 x2mx+214=0 的两个实数根， （m）24（214）（m1）20， m1， 当 m 为 1 时，四边形 ABCD 是菱形 当 m1 时，原方程为 x2x+14=0，即（x12）20， 解得：x1x2=12， 菱形 ABCD 的边长是12 （2）把 x1 代入原方程，得：1m+214=0， 解得：m=32 将 m=32代入原方程，得：x232x+12=0， 解得 x1 或12， 方程的另一根 AD=12， ABCD 的周长是 2（1+12）3 【方法总结】 本题考查了根与系数的关系、根的判别式、平行四边形的性质以及菱形的判定与性质，解题的关键是：（
18、1）根据菱形的性质结合根的判别式，找出关于 m 的一元二次方程； （2）根据根与系数的关系结合方程的一根求出方程的另一根 例 3（2020 秋兴庆区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是平行四边形，AD6，若OA、OB 的长是关于 x 的一元二次方程 x27x+120 的两个根，且 OAOB （1）求 OA、OB 的长 （2）若点 E 为 x 轴的正半轴上的点，且 SAOE=163，求经过 D、E 两点的直线解析式 【解答】解： （1）方程 x27x+120， 因式分解得： （x3） （x4）0， 解得：x13，x24， OA、OB 的长是关于 x 的一元二次方程 x27x+
19、120 的两个根，且 OAOB， OA4，OB3； （2）过 D 作 DFx 轴，交 x 轴于点 F， 由平行四边形 ABCD，易得ABODCF， DFAO4，CFOB3， AD6， BCOB+OCOC+CF6，即 OF6， D（6，4） ， 点 E 为 x 轴的正半轴上的点，且 SAOE=163， 设 E（e，0） ，即 OEe， 124e=163，即 e=83，即 E（83，0） ， 设直线 DE 解析式为 ykx+b， 把 E 与 D 坐标代入得：5 + = 485 + = 0， 解得： =2017 = 3217 则直线 DE 解析式为 y=2017x3217 【方法总结】 此题考查了解
20、一元二次方程因式分解法，待定系数法求一次函数解析式，以及平行四边形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键 【随堂练习】 1 （2019 秋东台市期中）已知关于 x 的一元二次方程 x22（a+1）x+a2+30 有两个实数根 x1，x2 （1）求实数 a 的取值范围 （2）若等腰ABC 的三边长分别为 x1，x2，6，求ABC 的周长 （3）是否存在实数 a，使 x1，x2恰是一个边长为22的菱形的两条对角线的长？若存在，求出这个菱形的面积；若不存在，说明理由 【解答】解： （1）根据题意得4（a+1）24（a2+3）8a80， 所以 a1； （2）当 x1x2，0，则 a1，方程变形为 x
21、24x+40，解得 x1x22，而 2+26，不符合三角形三边的关系，舍去； 当 x16 或 x26，把 x6 代入方程 x22（a+1）x+a2+30 得 3612（a+1）+a2+30，解得 a13，a29， 当 a3 时，方程化为 x28x+120，解得 x2 或 6，三角形三边为 6、6、2，则ABC 的周长为 6+6+214； 当 a9 时，方程化为 x220 x+840，解得 x14 或 6，而 6+614，不符合三角形三边的关系，舍去； 所以ABC 的周长为 14； （3）存在 x1+x22（a+1） ， x1x2a2+3， 14x12+14x22（22）2， （x1+x2）22
22、x1x222， 即 4（a+1）22（a2+3）88， 整理得 a2+4a450，解得 a15，a29（舍去） ， 当 a5，方程化为 x212x+280，则 x1x228，所以这个菱形的面积=122814 3 （2020 秋思明区校级月考）已知：平行四边形 ABCD 的两边 AB、CD 的长是关于方程 4x24mx+2m10 的两个实数根 （1）当 m 为何值时，平行四边形 ABCD 是菱形？并求出此时菱形的周长 （2）若 AB2，那么平行四边形 ABCD 的周长是多少？ 【解答】解： （1）平行四边形 ABCD 是菱形， ABCD， 16m244（2m1）0，解得 m1m21， 方程化为
23、4x24x+10，解得 x1x2=12， 菱形的周长为 412=2， 即当 m 为 1 时，平行四边形 ABCD 是菱形，此时菱形的周长为 2； （2）把 x2 代入方程 4x24mx+2m10 得 168m+2m10，解得 m=52， 此时方程化为 2x25x+20， AB+CD=52， 平行四边形 ABCD 的周长252=5 4 （2020 秋金水区校级期中）已知：ABCD 的两边 AB，AD 的长是关于 x 的方程 x2mx+2+34=0 的两个实数根 （1）当 m 为何值时，四边形 ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若 AB 的长为 2，那么ABCD 的周长是多少？ 【解答
24、】解： （1）四边形 ABCD 是菱形， ABAD 又AB、AD 的长是关于 x 的方程 x2mx+2+34=0 的两个实数根， （m）24（2+34）（m1）240， m1 或 m3， 当 m1 时，AB+AD10，ABAD=140，故 m1 舍去， 当 m 为 3 时，四边形 ABCD 是菱形 当 m3 时，原方程为 x23x+94=0， 解得：x1x2=32， 菱形 ABCD 的边长是32 （2）把 x2 代入原方程，得：42m+2+34=0， 解得：m=196 将 m=196代入原方程，得：x2196x+73=0， 方程的另一根 AD=732=76， ABCD 的周长是 2（2+76）
25、=193 故答案为193 知识点 2 函数与几何综合题 函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型 【典例】 例 1 （2020 秋江岸区校级月考） 如图 1， 直线 y= 34x+6 与 y 轴交于点 A， 与 x 轴交于点 D， AB 平分OAD交 x 轴于点 B （1）求 OB 的长； （2）如图 2，G，F 是直线 AB 上的两点（点 E 在点 F 上方） ，若DEF 是以 FG 为斜边的等腰直角三角形，求点 F 的坐标；
26、 （3） 如图 3， 点 P 是直线 AB 上点， 点 Q 是直线 AD 上的动点， 点 G 是 x 轴上的动点， 且以点 P、 Q、 D、G 为顶点的四边形是菱形，直接写出点 G 的坐标 （2，0）或（143，0）或（33，0）或（811，0） 【解答】解： （1）对于直线 y= 34x+6，令 x0，得到 y6，可得 A（0，6） ， 令 y0，得到 x8，可得 D（8，0） ， ACAO6，OD8，AD= 2+ 2=10， CDADAC4，设 BCOBx，则 BD8x， 在 RtBCD 中，BC2+CD2BD2， x2+42（8x）2， x3， B（3，0） ， 故 OB3； （2）设直
27、线 AB 的解析式为 ykx+6， B（3，0） ， 3k+60， k2， 直线 AB 的解析式为 y2x+6， 作 GMx 轴于 M，FNx 轴于 N， DFG 是等腰直角三角形， DGFD，12，DMGFND90， DMGFND（AAS） ， GMDN，DMFN，设 GMDNm，DMFNn， G、F 在直线 AB 上， 则：m2（8n）+6，n2（8m）+6， 解得：m2，n6 F（6，6） ； （3）点 D（8，0） ，设点 G（x，0） ，Q（m，34m+6） ，P（n，2n+6） ， 当以点 P、Q、D、G 为顶点的四边形是菱形时，yPyQ，即34m+62n+6） ，则 3m8n，
28、当点 P 在点 Q 的左侧时， GPQD，过点 P 作 PHx 轴于 H， 在 RtAOD 中，tanADO=34，则 cosADO=45=cosHGD， 则 GP=45=54（nx） ， 以点 P、Q、D、G 为顶点的四边形是菱形， PQGD，GDGP， 则 mn8x，|8x|=54（nx）， 联立并解得：x2 或143； 当点 Q 在点 P 的右侧时， 同理可得：mnx8， 联立并解得 x33 或811， 综上，点 G 的坐标为（2，0）或（143，0）或（33，0）或（811，0） ， 故答案为（2，0）或（143，0）或（33，0）或（811，0） 【方法总结】 本题考查一次函数综合题
29、、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题 例 2（2020 秋太原期末）如图，在同一平面直角坐标系中，直线 yx+2 和双曲线 y=8相交于 A、B 两点 （1）连结 AO、BO，求出AOB 的面积 （2）已知点 E 在双曲线 y=8上且横坐标为 1，作 EF 垂直于 x 轴垂足为 F，点 H 是 x 轴上一点，连结EH 交双曲线于点 I，连结 IF 并延长交 y 轴于点 G，若点 G 坐标为（0，85） ，请求出 H 点的坐标 （3）已知点 M 在 x 轴上，点 N 是
30、平面内一点，以点 O、E、M、N 为顶点的四边形是菱形，请你直接写出 N 点的坐标 【解答】解： （1）如图 1 中，设 AB 交 y 轴于 C 由 =8 = + 2，解得 = 2 = 4或 = 4 = 2， A（2，4） ，B（4，2） ， 直线 AB 交 y 轴于 C（0，2） ， SAOBSAOC+SOCB=1222+12246 （2）如图 2 中， 由题意 E（1，8） ，F（1，0） ， G（0，85） ， 直线 FG 的解析式为 y=85x85， 由 =8 =85 85，解得 =1+212 =4+4215或 =1212 =44215， I（1:212，;4:4215） ， 直线 E
31、H 的解析式为 y=44215x+36+4215 令 y0，解得 x=21+32， H（21:32，0） （3）如图 3 中， E（1，8） ， OE= 12+ 82= 65， 当 OM1是菱形的对角线时，E，N1关于 x 轴对称，可得 N1（1，8） 当 OM 为菱形的边时，可得 N2（1+65，8） ，N4（165，8） 当 OE 为菱形的对角线时，连接 M3N3交 OE 于 T，EN3交 y 轴于 P M3N3OE， OTM390， POETM3O， sinPOEsinOM3T， 165=6523， OM3=652， M3（652，0） ， TN3TM3，T（12，4） ， 可得 N3（
32、632，8） ， 综上所述，满足条件的点 N 的坐标为（1，8）或（1+65，8）或（165，8）或（632，8） 【方法总结】 本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会根据一次函数，利用方程组确定交点坐标，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题 例 3（2020 秋绥棱县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yax22x+c 与直线 ykx+b 都经过A（0，3） ，D（3，0）两点，该抛物线的顶点为 C （1）求此抛物线和直线 AB 的解析式； （2）设点 P 是直线 AB 下方抛物线上的一动点，当PAB 面积大
33、时，试求出点 P 的坐标，并求出PAB面积的最大值； （3）设直线 AB 与该抛物线的对称轴交于点 E，在射线 EB 上是否存在一点 M，过点 M 作 x 轴的垂线交抛物线于点 N，使点 M、N、C、E 是平行四边形的四个顶点？若存在，试求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）抛物线 yax22x+c 经过 A（0，3） ，B（3，0）两点， 9 6 + = 0 = 3， 解得 = 1 = 3， 抛物线的解析式为 yx22x3， 直线 ykx+b 经过 A（0，3） ，B（3，0）两点， = 33 + = 0， 解得 = 1 = 3， 直线 AB 的解析式为 yx3； （
34、2）如图 1， 作 PQy 轴交直线 AB 于点 Q， 设 P（m，m22m3） ，则 Qm，m3） ， PQm3（m22m3）m2+3m， SPAB=123（m2+3m） = 32m2+92m = 32（m32）2+278， 当 m=32时，PAB 面积有最大值，最大值是278，此时 P 点坐标为（32，154） （3）存在，理由如下： yx22x3（x1）24， 抛物线的顶点 C 的坐标为（1，4） ， CEy 轴， E（1，2） ， CE2， 如图 2，若点 M 在 x 轴下方，四边形 CEMN 为平行四边形，则 CEMN， 设 M（a，a3） ，则 N（a，a22a3） ， MNa3（
35、a22a3）a2+3a， a2+3a2， 解得：a2，a1（舍去） ， M（2，1） ， 如图 3，若点 M 在 x 轴上方，四边形 CENM 为平行四边形，则 CEMN， 设 M（a，a3） ，则 N（a，a22a3） ， MNa22a3（a3）a23a， a23a2， 解得：a=3+172，a=3172（舍去） ， M（3:172，;3:172） ， 综合可得 M 点的坐标为（2，1）或（3:172，;3:172） ， 【方法总结】 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数求最值问题，平行四边形的性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解决问题是本题的关键 【随堂练习】 1
36、 （2020 春和平区校级月考）如图，直线 l1：ykx+b 分别交 x 轴、y 轴于点 B（4，0） 、N，直线 l2：y2x1 分别交 x 轴、y 轴于点 M、A，l1，l2交点 P 的坐标（m，2） ，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）当 x 1.5 时，kx+b2x1； （2）不等式 kx+b0 的解集是 x4 ； （3）在平面内是否存在一点 H，使得以 A，B，P，H 四点组成的四边形是平行四边形若存在，直接写出点 H 的坐标，若不存在，说明理由 【解答】解： （1）将点 P 的坐标代入 y2x1 得，22m1，解得 m1.5，故点 P（1.5，2） ， 从图象看，当 x1
37、.5 时，kx+b2x1， 故答案为：1.5； （2）从图象看，不等式 kx+b0 的解集是 x4， 故答案为 x4； （3）直线 l2：y2x1 交 y 轴于点 A，故点 A（0，1） ， 设点 H（s，t） ， 当 AB 是边时， 点 A 向右平移 4 个单位向上平移 1 个单位得到点 B，同样点 P（H）向右平移 4 个单位向上平移 1 个单位得到 H（P） ， 则 1.54s 且 21t，解得 = 5.5 = 3或 = 2.5 = 1， 故点 H 的坐标为（5.5，3）或（2.5，1） ； 当 AB 是对角线时， 由中点公式得：12（0+4）=12（s+1.5）且12（1+0）=12（
38、t+2） ，解得 = 2.5 = 3， 故点 H 的坐标为（2.5，3） 综上，点 H 的坐标为（5.5，3）或（2.5，1）或（2.5，3） 2 （2020 秋简阳市 月考）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 yx+b 的图象经过点 A（2，0） ，与反比例函数 y=的图象交于点 B（a，4）和点 C （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若点 P 在 y 轴上，且PBC 的面积等于 6，求点 P 的坐标； （3）设 M 是直线 AB 上一点，过点 M 作 MNx 轴，交反比例函数 y=的图象于点 N，若 A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求点 M 的坐标 【解答】
39、解： （1）一次函数 yx+b 的图象经过点 A（2，0） ， b2， 直线解析式为 yx+2， 点 B（a，4）在直线 yx+2 上， 4a+2， a2， 点 B（2，4） ， 反比例函数 y=的图象过点 B（2，4） ， k248， 反比例函数解析式为 y=8； （2）如图 1，设直线 AB 与 y 轴交于点 D，点 P 坐标为（0，p） ， 直线 AB 与 y 轴交于点 D， 点 D（0，2） ， 联立方程得： = + 2 =8， 解得： = 2 = 4，或 = 4 = 2， C（4，2） ， SPBCSBPD+SPDC=12| 2| 2 +12| 2| | 4| = 6， p0 或 4
40、， P（0，0）或（0，4） ； （3）如图 2，设 M（m2，m） ，则 N（8，） ， 以 A，O，M，N 为顶点的四边形为平行四边形，MNOA，OA2， MNOA2， 8 ( 2) = 2， = 22或 = 2 23， 点 M 坐标为（22 2，22）或（22 2，22）或（23，2 + 23）或（23，2 23） 3 （2020 秋潮阳区期末）如图，抛物线 y= 12x2+2x+52与 x 轴相交于 A，B 两点，点 B 在点 A 的右侧，与y 轴相交于点 C （1）求点 A，B，C 的坐标； （2）在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC 的值最小，求点 P 的坐标； （3）点
41、M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A，C，M，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）当 x0 时，则 y=52， C（0，52） ， 当 y0 时，12x2+2x+52=0， 化简，得 x24x50， 解得，x1 或 x5， A（1，0） ，B（5，0） ； （2）如图，连接 BC，交对称轴于点 P，连接 AP 点 A 和点 B 关于抛物线的对称轴对称， APPB， 要使 PA+PC 的值最小，则应使 PB+PC 的值最小， BC 与对称轴的交点，使得 PA+PC 的值最小 设 BC 的解析式为 ykx+b
42、 将 B（5，0） ，C（0，52）代入 ykx+b， 得 =525 + = 0， = 12 =52， 直线 BC 的解析式为 y= 12x+52 抛物线的对称轴为直线 x=2122=2 当 x2 时，y= 122+52=32， P（2，32） ； （3）设点 M（m，0） ，N（n，12n2+2n+52） ， 由（1）知，A（1，0） ，C（0，52） ， 当 AC 与 MN 是对角线时， AC 与 MN 互相平分， 12（0+52）=12（12n2+2n+52） ， 解得，n0（舍）或 n4， N（4，52） ， 当 AM 与 CN 是对角线时，AM 与 AN 互相平分， 12（m1）=1
43、2n，120=12（12n2+2n+52+52） ， 解得，n214， N（2+14，52）或（214，52） ， 当 AN 与 CM 是对角线时，AN 与 CM 互相平分， 12（12n2+2n+52）=12（0+52） ， 解得，n0（舍）或 n4， N（4，52） ， 即：以点 A，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形时，点 N 的坐标为（4，52）或（2+14，52）或（214，52） ， 综合运用综合运用 1 （2020 春张家港市期末）已知关于 x 的一元二次方程 x2（2k+1）x+k2+k0 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若ABC 的两边 AB，AC 的长是这
44、个方程的两个实数根，第三边 BC 的长为 5，当ABC 是直角三角形时，求 k 的值 【解答】 （1）证明：（2k+1）24（k2+k）10， 方程有两个不相等的实数根 （2）解：x2（2k+1）x+k2+k0，即（xk）x（k+1）0， 解得：x1k，x2k+1 当 BC 为直角边时，k2+52（k+1）2， 解得：k12； 当 BC 为斜边时，k2+（k+1）252， 解得：k13，k24（不合题意，舍去） 答：k 的值为 12 或 3 2 （2020 秋城关区校级月考）如图，直线 y= 12 + 4与坐标轴分别交于点 A、B，与直线 yx 交于点 C，在如图线段 OA 上， 动点 Q 以
45、每秒 1 个单位长度的速度从点 O 出发向点 A 做匀速运动，同时动点 P 从点A 出发向点 O 做匀速运动，当点 P，Q 其中一点停止运动时，另一点也停止运动分别过点 P、Q 做 x轴的垂线，交直线 AB、OC 于点 E，F，连接 EF若运动时间为 t 秒，在运动过程中四边形 PEFQ 总为矩形（点 P、Q 重合除外） （1）求点 P 运动的速度是多少？ （2）当 t 为多少秒时，矩形 PEFQ 为正方形？ （3）当 t 为多少秒时，矩形 PEFQ 的面积 S 最大？并求出最大值 【解答】解： （1）直线 y= 12x+4 与坐标轴分别交于点 A、B， x0 时，y4，y0 时，x8， 点
46、A（8，0） ，点 B（0，4） ， BO4，AO8， =12， 当 t 秒时，QOFQt，则 EPt， EPBO， =12， AP2t， 动点 Q 以每秒 1 个单位长度的速度从点 O 出发向点 A 做匀速运动， 点 P 运动的速度是每秒 2 个单位长度； （2）如图 1，当 PQPE 时，矩形 PEFQ 为正方形， OQFQt，PA2t， QP8t2t83t， 83tt， 解得：t2； 如图 2，当 PQPE 时，矩形 PEFQ 为正方形， OQt，PA2t， OP82t， QPt（82t）3t8， t3t8， 解得：t4， 综上所述：当 t2 或 4 时，矩形 PEFQ 为正方形； （3
47、）如图 1，当 Q 在 P 点的左边时， OQt，PA2t， QP8t2t83t， S矩形PEFQQPQF（83t） t8t3t2， 当 t= 82(3)=43时， S矩形PEFQ的最大值=4(3)0644(3)=163， 如图 2，当 Q 在 P 点的右边时， OQt，PA2t， 2t8t， t83， QPt（82t）3t8， S矩形PEFQQPQF（3t8） t3t28t， 当点 P、Q 其中一点停止运动时，另一点也停止运动， 83t4， t4 时，S矩形PEFQ的最大值3428416， 综上所述，当 t4 时，S矩形PEFQ的最大值16 3 （2020 秋南召县期中）如图，在直角坐标系中
48、，点 C 在第一象限，CBx 轴于 B，CAy 轴于 A，且AC、BC 的长恰好是一元二次方程 m29m+180 的两根（ACBC） ；反比例函数1=刚好过点 C （1）直接写出 k 18 ，直线 AB 的函数表达式 y2 12x+3 ； （2） 直线 lx 轴， 并从 y 轴出发， 以每秒 1 个单位的速度向 x 轴正方向运动， 交反比例函数图象于点 D，交 AC 于点 E，交直线 AB 于点 F，当直线 l 运动到经过点 B 时，停止运动，设运动时间 t（秒） 问是否存在这样的 t 值，使四边形 DFBC 为平行四边形？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由； 【解答】解： （1）AC
49、、BC 的长恰好是一元二次方程 m29m+180 的两根， AC6，BC3， CBx 轴于 B，CAy 轴于 A， C（6，3） ，A（0，3） ，B（6，0） ， 函数1=刚好过点 C， k18； 设直线 AB 的函数表达式 y2ax+b， 6 + = 0 = 3， 解得： = 12 = 3， 直线 AB 的函数表达式为：2= 12 + 3， 故答案为：18，12x+3； （2）不存在 t，使得四边形 DFBC 为平行四边形 理由：由题可得 xDxFt， 则=18，= 12 + 3， = =18 (12 + 3) =18+12 3 当 DFBC 时，18+12 3 = 3， 整理得：t212
50、t+360， 解得：t1t26， 此时 DF 与 CB 重合， 不存在 t，使得四边形 DFBC 为平行四边形 4 （2020 秋成都期中）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 ymx+1 与双曲线 y=（k0）相交于点A，B，已知点 B（a，2） ，点 C 在 x 轴正半轴上，点 D（2，3） ，连接 OA，OD，DC，AC，四边形AODC 为菱形 （1）求 k 和 m 的值； （2）请直接写出：当 x 取何值时，反比例函数值大于一次函数值？ （3）设 P 是 y 轴上一动点，且OAP 的面积等于菱形 OACD 的面积，求点 P 的坐标 【解答】解： （1）连接 AD，与 x 轴交于点
