2022年中考数学一轮复习《第4讲反比例函数》讲义(含答案)尖子专用

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资源描述

1、 第第 4 讲讲 反比例函数反比例函数 知识点 1 反比例函数的概念及用待定系数法求反比例 1反比例函数的概念 一般地,函数xky (k 是常数,k0)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成1 kxy的形式。自变量 x 的取值范围是 x0 的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数。 2反比例函数解析式的确定 由于在反比例函数xky 中,只有一个待定系数,因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标,即可求出 k 的值,从而确定其解析式。 【典例】【典例】 例 1(2019 秋诸城市期末)若函数 ym2+31是反比例函数,则 m 例 2(2020 秋兴国县期末)已知函数 y(k+2)25是

2、反比例函数,则 k 例 3(2020 秋雁塔区校级期中)已知 M(a+4,2)和 N(2,2)是同一个反比例函数图象上的两个点,求a 的值以及这个反比例函数的表达式 例 4(2020 秋永定区期中)已知 y 是 x 的反比例函数,并且当 x2 时,y4 (1)求 y 关于 x 的函数解析式; (2)当 x6 时,求 y 的值 【随堂练习】【随堂练习】 1 (2020新田县一模)若函数 y(m2)25是反比例函数,则 m 2 (2020柘城县模拟)已知函数 y(m+1)22是反比例函数,则 m 的值为 3 (2020 春丽水期末)已知反比例函数 y=(k0) ,当 x3 时,y4 (1)求 y

3、关于 x 的函数表达式; (2)当 y43且 y0 时,求自变量 x 的取值范围 4 (2020 春徐州期末)已知 y 是 x 的反比例函数,且当 x4 时,y1, (1)求 y 与 x 之间的函数表达式; (2)求当3x 12时,y 的取值范围; (3)求当 x1 时,y 的取值范围 知识点 2 反比例的图象及其性质 (1)反比例函数的图象 反比例函数的图象是双曲线,有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限,它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量 x0,函数 y0,所以,它的图象不 x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达丌到坐标轴。 (2)反

4、比例函数的性质 【典例】 例 1 (2020 秋锦江区校级期中) 如图是三个反比例函数的图象的分支, 其中 k1, k2, k3的大小关系是 例 2(2020 秋金塔县期末)如图,关于 x 的函数 ykxk 和 y= (k0) ,它们在同一坐标系内的图象大致是( ) A B C D 【随堂练习】 1 (2020 秋岳阳期中)已知函数 y(m2)210是反比例函数,且当 x0 时,y 随 x 的增大而减小,则 m 的值是 2 (2020广西)在同一平面直角坐标系中,函数 ykx+k 与 y=(k0)的图象可能是( ) A B C D 知识点 3 一次函数与反比例函数的综合应用 1.求反比例函数不

5、一次函数的交点坐标, 把两个函数关系式联立成方程组求解, 若方程组有解则两者有交点,方程组无解,则两者无交点。 2.如果图中直接给出交点坐标,比较函数大小, 根据图象,确定大小关系,要注意分支讨论。 【典例】 例 1(2020 秋乐亭县期末)如图,一次函数 ykx+b 与反比例函数 y=(x0)的图象交于点 A(1,6) ,B(3,n)两点与 x 轴交于点 C (1)求一次函数的表达式; (2)若点 M 在 x 轴上,且AMC 的面积为 6,求点 M 的坐标 (3)结合图形,直接写出 kx+b0 时 x 的取值范围 例 2(2020 秋大东区期末)如图,一次函数的图象 yax+b(a0)与反比

6、例函数 y=(k0)的图象交于点 A(12,4) ,点 B(m,1) (1)求这两个函数的表达式; (2)若一次函数图象与 y 轴交于点 C,点 D 为点 C 关于原点 O 的对称点,点 P 是反比例函数图象上的一点,当 SOCP:SBCD1:3 时,请直接写出点 P 的坐标 【随堂练习】 1 (2020 秋荔湾区期末)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,正比例函数 y2x 与反比例函数 y=的图象交于 A,B 两点,A 点的横坐标为 2,ACx 轴于点 C,连接 BC (1)求反比例函数的解析式; (2)若点 P 是反比例函数 y=图象上的一点,且满足OPC 与ABC 的面积相等,请直接写出

7、点 P 的坐标 2 (2020 秋会宁县期末)点 A 是双曲线 =与直线 yx(k+1)在第二象限的交点,AB 垂直 x 轴于点 B,且 SABO=32; (1)求两个函数的表达式; (2)求直线与双曲线的交点坐标和AOC 的面积 3 (2020 秋新华区月考) 已知反比例函数 y=(x0) 的图象与一次函数 y= 12x+4 的图象交于 A (2, b)和 B(6,n)两点 (1)求 k 和 n 的值; (2)若点 C(x,y)也在反比例函数 y=(x0)图象上,求当 2x6 时,函数值 y 的取值范围; (3)直接写出关于 x 的不等式(x0)12x+4 的解集 知识点 4 反比例函数与几

8、何的综合应用 1、反比例函数 = 中的比例系数 k 的几何意义及其应用 反比例函数 = 中的比例系数 k 的几何意义是:过双曲线上任意一点作 x 轴、y 轴的垂线,两垂线不坐标轴围成的矩形的面积等于| |; 或以该点、 垂足不坐标原点为顶点的直角三角形的面积等于12| |。 | |越大,图象越远离坐标原点,反之亦然。 2、 运用 k 的几何意义解决反比例函数中有关面积的问题, 往往能化繁为简、 化难为易。 主要题目类型如下: 、已知面积,求 k(或求反比例函数表达式) 、已知反比例函数表达式(即已知 k),求面积。 、过双曲线(两分支)上任意一点,作两坐标(或一条坐标)轴的垂线,该点不垂足、坐

9、标原点构成矩形(或直角三角形)面积的大小。 【典例】 例 1(2020 秋兰州期末)如图,一次函数 ykx+b(k0)与反比例函数 = 的图象在第一象限交于 A、B 两点,A 点的坐标为(m,4) ,B 点的坐标为(3,2) ,连接 OA、OB,过 B 作 BDy 轴,垂足为 D,交 OA 于 C若 OCCA, (1)求一次函数和反比例函数的表达式; (2)求AOB 的面积; (3)在直线 BD 上是否存在一点 E,使得AOE 是以 AO 为直角边的直角三角形,直接写出所有可能的E 点坐标 例 2(2020 秋昌图县期末)如图,一次函数 y1kx+b 的图象与反比例函数 y2=6的图象交于 A

10、(2,m) ,B(n,1)两点,连接 OA,OB (1)求这个一次函数的表达式; (2)求OAB 的面积; (3)问:在直角坐标系中,是否存在一点 P,使以 O,A,B,P 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 【随堂练习】 1 (2020 秋太原期末)如图,在同一平面直角坐标系中,直线 yx+2 和双曲线 y=8相交于 A、B 两点 (1)连结 AO、BO,求出AOB 的面积 (2)已知点 E 在双曲线 y=8上且横坐标为 1,作 EF 垂直于 x 轴垂足为 F,点 H 是 x 轴上一点,连结EH 交双曲线于点 I,连结 IF 并延长交 y 轴于点

11、 G,若点 G 坐标为(0,85) ,请求出 H 点的坐标 (3)已知点 M 在 x 轴上,点 N 是平面内一点,以点 O、E、M、N 为顶点的四边形是菱形,请你直接写出 N 点的坐标 综合运用 1(2020 秋岳麓区校级月考) 当 k0 时, 函数 y=与 ykx 在同一平面直角坐标系内的大致图象是 ( ) A B C D 2 (2020 秋舞阳县期末)关于反比例函数 = 3的图象的性质,下面说法正确的是( ) Ay 随 x 的增大而减小 By 随 x 的增大而增大 C在每个象限内,y 随 x 的增大而减小 D在每个象限内,y 随 x 的增大而增大 3 (2020霍林郭勒市校级模拟)如果反比

12、例函数 =2(a 是常数)的图象在第一、三象限,那么 a 的取值范围是 4(2020 春越秀区校级期中) 一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y=的图象在第一象限交于点 A (3,2) ,与 y 轴的负半轴交于点 B,且 OB4 (1)求函数 y=和 ykx+b 的解析式; (2)请利用两个函数的完整图象,直接写出不等式kx+b 的解集 5 (2020 春新蔡县期末)如图,已知一次函数 yx+2 与反比例函数 y=的图象交于 A,B 两点,与 x轴交于点 M,且点 A 的横坐标是2,B 点的横坐标是 4 (1)求反比例函数的解析式; (2)求AOM 的面积; (3)根据图象直接写出反比例

13、函数值大于一次函数值时 x 的取值范围 6 (2020 秋通川区校级月考)已知:如图,一次函数 y2x+10 的图象与反比例函数 y=的图象相交于A、B 两点(A 在 B 的右侧) ,点 A 横坐标为 4 (1)求反比例函数解析式及点 B 的坐标; (2)观察图象,直接写出关于 x 的不等式2x+100 的解集; (3)反比例函数图象的另一支上是否存在一点 P,使PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 第第 4 讲讲 反比例函数反比例函数 知识点 1 反比例函数的概念及用待定系数法求反比例 1反比例函数的概念 一般地,函数xky

14、 (k 是常数,k0)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成1 kxy的形式。自变量 x 的取值范围是 x0 的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数。 2反比例函数解析式的确定 由于在反比例函数xky 中,只有一个待定系数,因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标,即可求出 k 的值,从而确定其解析式。 【典例】【典例】 例 1(2020新宾县四模)下列函数是 y 关于 x 的反比例函数的是( ) Ay=1+1 By=12 Cy= 12 Dy= 2 【解答】解:A、y=1+1是 y 与 x+1 成反比例,故此选项不合题意; B、y=12,是 y 与 x2成反比例,不符合反比例函数的

15、定义,故此选项不合题意; C、y= 12,符合反比例函数的定义,故此选项符合题意; D、y= 2是正比例函数,故此选项不合题意 故选:C 【方法总结】【方法总结】 此题主要考查了反比例函数的定义,正确把握定义是解题关键 例 2(2020 春甘南县期中)下列各选项中,两个量成反比例关系的是( ) A正方形的边长和面积 B圆的周长一定,它的直径和圆周率 C速度一定,路程和时间 D总价一定,单价和数量 【解答】解:A、正方形的面积(边长)2,两个量不成反比例函数,故此选项不合题意; B、圆的周长 C2r,周长一定,圆周率一定,不成反比例函数,故此选项不合题意; C、路程速度 时间,速度一定,路程和时

16、间成正比例关系,故此选项不合题意; D、总价单价 数量,总价一定,单价和数量成反比例关系,故此选项符合题意; 故选:D 【方法总结】【方法总结】 此题主要考查了反比例函数定义,关键是掌握形如 y=(k 为常数,k0)的函数称为反比例函数 例 3(2020上海)已知反比例函数的图象经过点(2,4) ,那么这个反比例函数的解析式是( ) Ay=2 By= 2 Cy=8 Dy= 8 【解答】解:设反比例函数解析式为 y=, 将(2,4)代入,得:4=2, 解得 k8, 所以这个反比例函数解析式为 y= 8, 故选:D 【方法总结】【方法总结】 本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式,用待定系数法求

17、反比例函数的解析式要注意: (1)设出含有待定系数的反比例函数解析式 y=(k 为常数,k0) ; (2)把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式,得到待定系数的方程; (3)解方程,求出待定系数; (4)写出解析式 例 4(2020和平区模拟)已知 y 是 x 的反比例函数,并且当 x2 时,y6,则 y 关于 x 的函数解析式为( ) Ay=112 By=3 Cy3x Dy=12 【解答】解:设 y=, x2,y6, 6=2,解得 k12, y 关于 x 的函数解析式为 y=12 故选:D 【方法总结】【方法总结】 本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式:先设出含有待定系数的反比例

18、函数解析式 y=(k 为常数,k0) ,然后把一组已知的对应值代入求出 k,从而得到反比例函数解析式 【随堂练习】【随堂练习】 1 (2020 春泰兴市月考)下列函数:yx2,y=3,yx1,y=2+1,y 是 x 的反比例函数的个数有( ) A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【解答】解:yx2,y=3,yx1,y=2+1,y 是 x 的反比例函数的是:y=3,yx1,共 2 个 故选:C 2 (2020复兴区一模)下列关系式中,y 是 x 反比例函数的是( ) Ay=13x By= 3 Cy3x2 Dy6x+1 【解答】解:A、不是反比例函数,故此选项错误; B、是反比例函数,故此选项

19、正确; C、不是反比例函数,故此选项错误; D、不是反比例函数,故此选项错误; 故选:B 3 (2020铜山区二模)反比例函数 y=经过点(2,3) ,则 k 的值是( ) A2 B3 C5 D6 【解答】解:反比例函数 y=经过点(2,3) ,则有 3=2, k6 故选:D 4 (2020 春嘉兴期末)已知反比例函数的图象经过点(1,3) ,则这个反比例函数的表达式为( ) Ay= 3 By=3 Cy=13 Dy= 13 【解答】解:设该反比例函数的解析式为:y=(k0) 把(1,3)代入,得 3=1, 解得 k3 则该函数解析式为:y=3 故选:B 知识点 2 反比例的图象及其性质 (1)

20、反比例函数的图象 反比例函数的图象是双曲线,有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限,它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量 x0,函数 y0,所以,它的图象不 x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达丌到坐标轴。 (2)反比例函数的性质 【典例】 例 1(2020 秋南开区期末)已知 k10k2,则函数 yk1x 和 y=2的图象在同一平面直角坐标系中大致位置是( ) A B C D 【解答】解:k10k2, 函数 yk1x 的经过第二、四象限,反比例和 y=2的图象分布在第一、三象限 故选:B 【方法总结】 本题考查了反比例函数的图象:反比例

21、函数 y=(k0)为双曲线,当 k0 时,图象分布在第一、三象限;当 k0 时,图象分布在第二、四象限也考查了一次函数图象 例 2(2020 秋沈河区期末)已知反比例函数 y= 6,下列说法中正确的是( ) A该函数的图象分布在第一、三象限 B点(2,3)在该函数图象上 Cy 随 x 的增大而增大 D该图象关于原点成中心对称 【解答】解:A反比例函数 y= 6中60, 该函数的图象在第二、四象限,故本选项不符合题意; B把(2,3)代入 y= 6得:左边3,右边3,左边右边, 所以点(2,3)不在该函数的图象上,故本选项不符合题意; C反比例函数 y= 6中60, 函数的图象在每个象限内,y

22、随 x 的增大而增大,故本选项不符合题意; D反比例函数 y= 6的图象在第二、四象限,并且图象关于原点成中心对称,故本选项符合题意; 故选:D 【方法总结】 本题考查了反比例函数的图象和性质,能熟记反比例函数的性质是解此题的关键 【随堂练习】 1 (2020 秋瓜州县期末)若反比例函数 y=3的图象在某象限内,y 随着 x 的增大而减小,则 m 的取值范围是 m3 【解答】解:反比例函数 y=3的图象在某象限内,y 随着 x 的增大而减小, 3m0, 解得:m3 故答案为:m3 2 (2020 秋南山区校级期末)在同一平面直角坐标系中,函数 yk(x1)与 y=的大致图象( ) A B C

23、D 【解答】解:分两种情况: 当 k0 时,函数 yk(x1)的图象经过一三四象限,y=的图象分布在一三象限; 当 k0 时,函数 yk(x1)的图象经过一二四象限,y=的图象分布在二四象限; 故选:B 知识点 3 一次函数与反比例函数的综合应用 1.求反比例函数不一次函数的交点坐标, 把两个函数关系式联立成方程组求解, 若方程组有解则两者有交点,方程组无解,则两者无交点。 2.如果图中直接给出交点坐标,比较函数大小, 根据图象,确定大小关系,要注意分支讨论。 【典例】 例 1 (2020 秋乾安县期末)如图,一次函数 yx3 的图象与反比例函数 =(k0)的图象交于点 A 与点 B(a,4)

24、 (1)求反比例函数的表达式; (2)根据图象,直接写出不等式 3的解集 【解答】解: (1)将 B(a,4)代入一次函数 yx3 中得:a1, B(1,4) , 将 B(1,4)代入反比例函数 =(k0)中得:k4, 反比例函数的表达式为 =4; (2)解 =4 = 3得 = 1 = 4或 = 4 = 1, 点 A(4,1) , 从图象看,不等式x3 的解集为 0 x4 或 x1 【方法总结】 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题,待定系数法求反比例函数的表达式,函数与不等式的关系,数形结合是解题的关键 例 2 (2020 秋松山区期末)如图,直线 y=12x 与双曲线 y=(k0)

25、交于 A、B 两点,且点 A 的横坐标为 4 (1)求 k 的值; (2)若双曲线 y=(k0)上一点 C 的纵坐标为 8,求AOC 的面积 (3)若12x0,直接写出 x 的取值范围 【解答】解: (1)点 A 的横坐标为 4,点 A 在直线 y=12x 上, 点 A 的纵坐标为 y=1242,即 A(4,2) 又点 A(4,2)在双曲线 y=上, k248; (2)点 C 在双曲线 y=8上,且点 C 纵坐标为 8, C(1,8) 如图,过点 C 作 CMx 轴于 M,过点 A 作 ANx 轴于 N SCOMSAON=82=4, SAOCS四边形CMNA=12(|yA|+|yC|)(|xA

26、|xc|)15 (3)若12x0,则 x 的取值范围是 0 x4 【方法总结】 此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题,其知识点有:坐标与图形性质,三角形、梯形的面积,以及待定系数法,熟练掌握待定系数法是解本题的关键 【随堂练习】 1 (2020 秋永吉县期末)如图,一次函数 ykx+b(k0)的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A,B 两点,且与反比例函数 y=(m0)的图象在第一象限相交于 C 点,作 CDx 轴于 D 点若 OA2, OD1.5OA,CD2OA (1)求反比例函数的解析式; (2)OAB 的面积为 85 【解答】解: (1)OA2,OD1.5OA,CD2OA OD3,C4

27、, C(3,4) , 点 C 反比例函数 y=(m0)的图象上, m3412, 反比例函数为 y=12; (2)CDx 轴于 D 点 CDOB, =,即4=22+3, OB=85, OAB 的面积为12285=85, 故答案为85 2 (2020 秋沈阳期末) 如图, 一次函数 ykx+1 的图象与反比例函数 =8 的图象交于点 A (2, a) ,点 B 为 x 轴正半轴上一点,过 B 作 x 轴的垂线交反比例函数的图象于点 C,交一次函数的图象于点 D (1)求 a 的值及一次函数 ykx+1 的表达式; (2)若 BD10,求ACD 的面积 【解答】解: (1)把点 A(2,a)代入反比

28、例函数 =8 得,a=82=4, 点 A(2,4) ,代入 ykx+1 得,42k+1, 解得 k=32 一次函数的表达式为 =32 + 1; (2)BD10, D 的纵坐标为 10, 把 y10 代入 =32 + 1得,x6, OB6, 当 x6 代入 y=8得,y=43,即 BC=43, CDBDBC1043=263, SACD=12263(62)=523 3 (2020越秀区一模) 如图所示, 一次函数 yk1x+8 的图象与坐标轴分别相交于点 A,B 与反比例 y=2函数的图象相交于 C,D过点 C 作 CEy 轴,垂足为 E,且 CE2 (1)求 4k1k2的值; (2)若 CD2A

29、C,求反比例函数的解析式 【解答】解: (1)CE2, C 点的横坐标为2, 当 x2 时,yk1x+82k1+8; 当 x2 时,y=2= 22, 2k1+8= 22 4k1k216; (2)作 DFy 轴于 F,如图, CEDF, =, 而 CD2AC, 2=13,解得 DF6, 当 x6 时,yk1x+86k1+8; 当 x6 时,y=2= 26 6k1+8= 26, 36k1k248, 4k1k216; k11,k212, 反比例函数解析式为 y= 12 知识点 4 反比例函数与几何的综合应用 1、反比例函数 = 中的比例系数 k 的几何意义及其应用 反比例函数 = 中的比例系数 k

30、的几何意义是:过双曲线上任意一点作 x 轴、y 轴的垂线,两垂线不坐标轴围成的矩形的面积等于| |; 或以该点、 垂足不坐标原点为顶点的直角三角形的面积等于12| |。 | |越大,图象越远离坐标原点,反之亦然。 2、 运用 k 的几何意义解决反比例函数中有关面积的问题, 往往能化繁为简、 化难为易。 主要题目类型如下: 、已知面积,求 k(或求反比例函数表达式) 、已知反比例函数表达式(即已知 k),求面积。 、过双曲线(两分支)上任意一点,作两坐标(或一条坐标)轴的垂线,该点不垂足、坐标原点构成矩形(或直角三角形)面积的大小。 【典例】 例 1 (2020 秋简阳市 月考) 如图, 在平面

31、直角坐标系 xOy 中, 一次函数 yx+b 的图象经过点 A (2, 0) ,与反比例函数 y=的图象交于点 B(a,4)和点 C (1)求一次函数和反比例函数的表达式; (2)若点 P 在 y 轴上,且PBC 的面积等于 6,求点 P 的坐标; (3)设 M 是直线 AB 上一点,过点 M 作 MNx 轴,交反比例函数 y=的图象于点 N,若 A,O,M,N为顶点的四边形为平行四边形,求点 M 的坐标 【解答】解: (1)一次函数 yx+b 的图象经过点 A(2,0) , b2, 直线解析式为 yx+2, 点 B(a,4)在直线 yx+2 上, 4a+2, a2, 点 B(2,4) , 反

32、比例函数 y=的图象过点 B(2,4) , k248, 反比例函数解析式为 y=8; (2)如图 1,设直线 AB 与 y 轴交于点 D,点 P 坐标为(0,p) , 直线 AB 与 y 轴交于点 D, 点 D(0,2) , 联立方程得: = + 2 =8, 解得: = 2 = 4,或 = 4 = 2, C(4,2) , SPBCSBPD+SPDC=12| 2| 2 +12| 2| | 4| = 6, p0 或 4, P(0,0)或(0,4) ; (3)如图 2,设 M(m2,m) ,则 N(8,) , 以 A,O,M,N 为顶点的四边形为平行四边形,MNOA,OA2, MNOA2, 8 2

33、= 2, = 22或 = 2 23, 点 M 坐标为(22 2,22)或(22 2,22)或(23,2 + 23)或(23,2 23) 【方法总结】 本题是反比例函数综合题,考查了反比例函数的性质,一次函数的性质,待定系数法求解析式,平行四边形的性质等知识,灵活运用这些性质解决问题是本题的关键 例 2(2020 秋龙湖区校级月考)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,矩形 OCBE 的两边在坐标轴上,反比例函数 y=(x0)的图象与 OB,BC 相交于点 A,D,连接 AC,AD (1)若点 A 为矩形 OCBE 的对称中心,则 BD:DC 3 ; (2)若点 A 坐标为(3,2) 求该反比例函

34、数的解析式; 若 SACD=32,设点 C 的坐标为(a,0) ,求线段 BD 的长 【解答】解: (1)设点 B 坐标为(m,n) , 点 A 为矩形 OCBE 的对称中心, 点 A(2,2) , 反比例函数 y=(x0)的图象经过点 A, k=4, 反比例函数的解析式 y=4(x0) , 当 xm 时,y=4, 点 D(m,4) , CD=4, BD=34n, BDCD3, 故答案为:3; (2)点 A(3,2)在反比例函数 y=(x0)的图象上, k326, 反比例函数的关系式为 y=6; 过点 A 作 AEOC,垂足为 E, 设直线 OA 的关系式为 ykx,将 A(3,2)代入得,k

35、=23, 直线 OA 的关系式为 y=23x, 点 C(a,0) ,把 xa 代入 y=23x,得:y=23a,把 xa 代入 y=6,得:y=6, B(a,23a) ,D(a,6) , BC23a,CD=6, SACD=32, 12CDEC=32,即6(a3)=32解得:a6, 经检验,a6 是原方程的解, BC4,CD1, BD3 【方法总结】 本题是反比例函数综合题,考查正比例函数的图象和性质,反比例函数的图象和性质,将点的坐标转化为线段的长,利用方程求出所设的参数,进而求出结果是解决此类问题常用的方法 【随堂练习】 1 (2020 秋武侯区校级期中) 如图, 在平面直角坐标系 xOy

36、中, 一次函数 yx+b 的图象经过点 A (0, 2) ,与反比例函数 y=(x0)的图象交于点 B(1,a) (1)求一次函数和反比例函数的表达式; (2)设 M 是反比例函数 y=(x0)图象上一点,N 是直线 AB 上一点,若以 A、O、M、N 为顶点的四边形是以 AO 为边的平行四边形,求点 N 的坐标 【解答】解: (1)一次函数 yx+b 的图象经过点 A(0,2) , b2, 一次函数的解析式为 yx+2, B(1,a)在一次函数的图象上, a1+23, B(1,3) , 把 B(1,3)代入 y=中,得到 k3, 反比例函数的解析式为 y=3 (2)如图,设 M(m,3) O

37、AMN,OAMN2, N(m,m+2) , |3m2|2, 解得,m2+7或27(舍弃)或3或3(舍弃) , N(2+7,7)或(3,3 +2) 综合运用 1(2020 秋岳麓区校级月考) 当 k0 时, 函数 y=与 ykx 在同一平面直角坐标系内的大致图象是 ( ) A B C D 【解答】解:k0, 函数 y=的图象在第一、三象限,函数 ykx 的图象在第一、三象限且经过原点, 故选:A 2 (2020 秋舞阳县期末)关于反比例函数 = 3的图象的性质,下面说法正确的是( ) Ay 随 x 的增大而减小 By 随 x 的增大而增大 C在每个象限内,y 随 x 的增大而减小 D在每个象限内

38、,y 随 x 的增大而增大 【解答】解:反比例函数 = 3中30, 该函数的图象在第二、四象限,且在每个象限内,y 随 x 的增大而增大, 说法正确的是 D, 故选:D 3 (2020霍林郭勒市校级模拟)如果反比例函数 =2(a 是常数)的图象在第一、三象限,那么 a 的取值范围是 a2 【解答】解:反比例函数 =2(a 是常数)的图象在第一、三象限, 2a0, 解得,a2, 故答案为:a2 4(2020 春越秀区校级期中) 一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y=的图象在第一象限交于点 A (3,2) ,与 y 轴的负半轴交于点 B,且 OB4 (1)求函数 y=和 ykx+b 的解析

39、式; (2)请利用两个函数的完整图象,直接写出不等式kx+b 的解集 【解答】解: (1)把点 A(3,2)代入反比例函数 y=,可得 m6, 反比例函数解析式为 y=6, OB4, B(0,4) , 把点 A(3,2) ,B(0,4)代入一次函数 ykx+b,可得3 + = 2 = 4,解得 = 2 = 4, 一次函数解析式为 y2x4; (2)解 =6 = 2 4得 = 3 = 2或 = 1 = 6, 一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y=的图象的交点为(3,2)和(1,6) , 不等式kx+b 的解集1x0 或 x3 5 (2020 春新蔡县期末)如图,已知一次函数 yx+2 与

40、反比例函数 y=的图象交于 A,B 两点,与 x轴交于点 M,且点 A 的横坐标是2,B 点的横坐标是 4 (1)求反比例函数的解析式; (2)求AOM 的面积; (3)根据图象直接写出反比例函数值大于一次函数值时 x 的取值范围 【解答】解: (1)点 A 的横坐标是2,B 点的横坐标是 4, 当 x2 时,y(2)+24, 当 x4 时,y4+22, A(2,4) ,B(4,2) , 反比例函数 y=的图象经过 A,B 两点, k248, 反比例函数的解析式为 y= 8; (2)一次函数 yx+2 中,令 y0,则 x2, M(2,0) ,即 MO2, AOM 的面积=12OM|yA|=1

41、2244; (3)A(2,4) ,B(4,2) , 由图象可得,反比例函数值大于一次函数值时 x 的取值范围为:2x0 或 x4 6 (2020 秋通川区校级月考)已知:如图,一次函数 y2x+10 的图象与反比例函数 y=的图象相交于A、B 两点(A 在 B 的右侧) ,点 A 横坐标为 4 (1)求反比例函数解析式及点 B 的坐标; (2)观察图象,直接写出关于 x 的不等式2x+100 的解集; (3)反比例函数图象的另一支上是否存在一点 P,使PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形?若存在, 求出所有符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 【解答】解: (1)把 x4 代入

42、y2x+10 得 y2, A(4,2) , 把 A(4,2)代入 y=,得 k428 反比例函数的解析式为 y=8, 解方程组 = 2 + 1 =8,得 = 1 = 8,或 = 4 = 2, 点 B 的坐标为(1,8) ; (2)观察图象得,关于 x 的不等式2x+100 的解集为:1x4 或 x0; (3)存在, 理由:若BAP90, 过点 A 作 AHOE 于 H,设 AP 与 x 轴的交点为 M,如图 1, 对于 y2x+10, 当 y0 时,2x+100,解得 x5, 点 E(5,0) ,OE5 A(4,2) , OH4,AH2, HE541 AHOE, AHMAHE90 又BAP90, AME+AEM90,AME+MAH90, MAHAEM, AHMEHA, =,即21=2, MH4, M(0,0) , 可设直线 AP 的解析式为 ymx, 则有 4m2,解得 m=12, 直线 AP 的解析式为 y=12x, 解方程组 =12 =8,得 = 4 = 2, = 4 = 2, 点 P 的坐标为(4,2) 若ABP90, 同理可得:点 P 的坐标为(16,12) 综上所述:符合条件的点 P 的坐标为(4,2) 、 (16,12)

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