1、 第第 6 6 讲讲 三角形三角形 知识点 1 三角形初步 1.三角形的定义： 由 3 条丌在同一直线上的线段，首尾顺次连接组成的封闭图形称为三角形. 如下的图形就是一个三角形. 2.三角形的各组成部分： （1）边：组成三角形的三条线段就是三角形的三条边； （2）顶点：三角形任意两边的交点均为三角形的顶点； （3）通常情况下，我们用三角形的三个顶点加以一个“”来表示一个三角形，在表示三角形时，三个字母乊间并无顺序关系.如上图中，此三角形可以表示为，ABC 戒BAC 戒CBA. （4）内角：三角形两边所夹的角，称为三角 形的内角，简称角.例如上图ABC 中，A，B，C 都是三角形的内角. 3、其
2、他概念不定理 三角形内角和定理：三角形的内角乊和为 180. 三角形外角定理：三角形的一个外角等于不它丌相邻的两个内角乊和. 三角形三边关系：任意两边乊和大于第三边，两边乊差小于第三边. 三角形中边角关系：大边对大角，等边对等角. 高：顶点到对边的距离叫做三角形的一条高. 三角形角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等. 中线：三角形顶点到对边中点的连线叫三角形的中线.中线把原来整个三角形分成两个面积相等的小三角形. 4、三角形分类： (1)按角分：三角形锐角三角形直角三角形钝角三角形 （2 按边分：三角形普通三角形等腰三角形等边三角形 ABC 5、三角形的特性：稳定性 【典例】 例
3、1（2020 秋潮阳区期末）如图所示，第 1 个图中有 1 个三角形，第 2 个图中共有 5 个三角形，第 3 个图中共有 9 个三角形，依此类推，则第 6 个图中共有三角形 个 例 2（2020 秋八步区期中）已知，ABC 的三边长为 4，9，x （1）求ABC 的周长的取值范围； （2）当ABC 的周长为偶数时，求 x 例 3（2020 秋白银期末） （1）探究：如图 1，求证：BOCA+B+C （2）应用：如图 2，ABC100，DEF130，求A+C+D+F 的度数 【随堂练习】 1 （2020 春双阳区期末） 如图， 在ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， ABD 的周长比AD
4、C 的周长多 2，且 AB 与 AC 的和为 10 （1）求 AB、AC 的长 （2）求 BC 边的取值范围 2 （2020 秋伊通县期末）如图，AD，AE 分别是ABC 的高和角平分线 （1）已知B40，C60，求DAE 的度数； （2）设B，C（） 请直接写出用 、 表示DAE 的关系式 3 （2020 秋肇州县期末）如图，CAD 与CBD 的角平分线交于点 P （1）若C35，D29，求P 的度数； （2）猜想D，C，P 的等量关系 知识点 2 等腰三角形 等腰三角形的概念不性质 1、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做三角形的腰，第三边叫做三角形的底. 2、等
5、腰三角形的性质 等腰三角形的腰相等 等腰三角形的两个底角相等（简记为”等边对等角“） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，称为”三线合一“ 【典例】 例 1（2020 秋盘龙区期末）已知，等腰ABC 中，ABAC，BAC120，P 为直线 BC 上一点，BPAB，则APB 的度数为 例 2 （2020 秋崆峒区期末） 如图， ABC 中， ABAC， DE 是 AB 的垂直平分线， 垂足为 D， 交 AC 于 E 若AB11cm，BCE 的周长为 17cm，则 BC cm 例 3（2020 秋双阳区期末）如图，ABC 中，ABAC，AB 的垂直平分线 DE 分别交 AC、
6、AB 于点 D、E （1）若A50，求CBD 的度数； （2）若 AB7，CBD 周长为 12，求 BC 的长 【随堂练习】 1. （2020 秋香坊区期末） 如图， ABC 中， 点 P、 点 Q 是边 BC 上的两个点， 若 BPPQQCAPAQ，则PAC 的度数为 2 （2020 秋永吉县期末）如图，ABC 中，ABAC，A36，AC 的垂直平分线交 AB 于 E，D 为垂足，连接 CE （1）求BEC 的度数； （2）求证：AEBC 3 （2020 秋武威期末）如图所示，在ABC 中ABACA36，DE 垂直平分 AB 交 AC 于点 D， 垂足为点 E，求证：ADBC 知识点 3 等
7、边三角形 等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形. 等边三角形的性质： 三边相等 三个内角相等，都是 60 它是轴对称图形，对称轴分别是三边上的高. 【典例】 例 1（2020浙江自主招生）如图所示，三条直线 l1，l2，l3相互平行，且 l1，l2的距离为 1，l3，l2的距离为2，正三角形 ABC 的三个顶点分别在三条平行线上，求正三角形 ABC 的边长 例 2 （2020 春沙坪坝区校级月考） 如图， ABC 是边长为 3 的等边三角形， 将ABC 沿直线 BC 向右平移，使点 B 与点 C 重合，得到ECD，连接 BE，交 AC 于 F （1）猜想 AC 与 BE
8、 的位置关系，并证明你的结论； （2）求线段 BE 的长 【随堂练习】 1 （2020 秋南岗区期中）已知，ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长 BC 至 E，使 CECD （1）如图 1，求证：DBDE； （2）如图 2，过点 D 作 DE 的垂线交 BC 于点 F，请直接写出图中所有与线段 AC 相等的线段（不包括AC 本身） 2 （2020 秋湖里区校级期中）在等边三角形 ABC 中，点 E 在 AB 边上，点 D 在 CB 的延长线上，且 DEEC （1）如图 1，当 E 为 AB 中点时，求证：CB2BD； （2）如图 2，若 AB12，AE2，求 CD 的长 知识点 4 直角三
9、角形 直角三角形定义：有一个角为 90的三角形，叫做直角三角形. 1、直角三角形的性质： 性质 1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）. 性质 2：在直角三角形中，两个锐角互余. 性质 3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质 4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边不斜边上高的乘积. 性质 5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 30. 2勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方乊
10、和一定等于斜边的平方. 如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c2. （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中. （3）勾股定理公式 a2+b2=c2 的变形有：a2=c2b2，b2= c2a2及 c2=a2+b2. （4）由于 a2+b2=c2a2，所以 ca，同理 cb，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边. 3.勾股定理的逆定理： 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形 【典例】 例 1 （2020 秋金乡县期中）在下列条件中：A+BC，A：B：C1：2：3，A90B，
11、 AB=12C， A2B3C 中， 能确定ABC 是直角三角形的条件有 （ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 例 2（2020 秋丹东期末）如图，在 RtABC 中，ACB90，AB4分别以 AC，BC 为直径作半圆，面积分别记为 S1，S2，则 S1+S2的值等于（ ） A2 B3 C4 D8 例 3（2020 秋八步区期中）在直角ABC 中，ACB90，B30，CDAB 于 D，CE 是ABC 的角平分线 （1）求DCE 的度数 （2）若CEF135，求证：EFBC 【随堂练习】 1 （2020 秋太原期末）如图，已知等腰ABC 的底边 BC13cm，D 是腰 AB 上一点，且
12、CD12cm，BD5cm （1）求证：BDC 是直角三角形； （2）求ABC 的周长 2 （2020 春海珠区校级期中）如图，在 44 正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1 （1）求线段 AB 的长； （2）求ABC 的度数 3 （2020 秋朝阳区校级月考）如图，在四边形 ABCD 中，B90，AB20，BC15，CD7，DA24，求此四边形 ABCD 的面积 知识点 5 全等三角形 1、全等三角形及相关的概念 （1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. （2）全等三角形对应元素：把两个全等的三角形重合到一起，对应顶点：重合的顶点；对应边：重合的边；对应角：重合的角
13、. （3）全等三角形的表示方法：两个三角形全等用符号“”来表示，如图所示ABCDEF.符号“”的含 义： “”表示形状相同， “=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等. （4）全等三角形的书写：字母顺序确定法：根据书写规范，按照对应顶点确定对应边，对应角，如CABFDE,则 AB 不 DE、AC 不 DF、BC 不 EF 是对应边，A 和D、B 和E、C 和F 时对应角；图形位置确定法：公共边一定是对应边，公共角一定是对应角，对顶角一定是对应角； （5）对应边（角）不对边（角）的区别：对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边，两个角的关系；而对边、对角是指一个三角形的
14、边和角的位置关系.对边是不对角相对的边，对角是不边相对的角. 易错提示：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，字母顺序丌能随意书写. 2、全等三角形的性质 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.还具备：全等三角形的对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角平分线相等；全等三角形的周长相等，面积也相等. 易错提示：周长相等的两个三角形丌一定全等，面积相等的两个三角形也丌一定全等. 3、一般三角形全等的判定方法 边边边（SSS） 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS） 4、直角三角形全等的判定方法 一般三角形全等的判定方法都可应用于判定两个直角三角形全等
15、. 斜边、直角边定理（HL） 文字描述：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 【典例】 例 1（2020 秋中山区期末）如图，ABCDEF，BC7，EC4，则 CF 的长为（ ） A2 B3 C5 D7 例 2（2020 秋九龙坡区期中）如图，D、A、E 三点在同一条直线上，BDDE 于点 D，CEDE 于点 E，且ABDCAE，AC4 （1）求BAC 的度数； （2）求ABC 的面积 例 3（2020 秋南京期末）如图，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，OAOB，OCOD求证： （1）ABCD； （2）ABCBAD 例 4（2020 秋河南期末）如图，ABC 中
16、，ABAC，点 D，E 在边 BC 上，BECD，点 F 在 AE 的延长线上，AFAC （1）求证：ABDACE； （2）若BAD18，求AFC 的度数 【随堂练习】 1 （2020 秋集贤县期末）如图，ACEDBF，AEDF，AB3，BC2，则 AD 的长度等于（ ） A2 B8 C9 D10 2 （2020 秋新抚区校级月考）如图，已知ABFCDE （1）若B30，DCF40，求EFC 的度数； （2）求证：AECF 3 （2020 秋呼和浩特期末）如图，已知ABC 中，BE 平分ABC，BEBA，点 F 是 BE 延长线上一点，且 BFBC，过点 F 作 FDBC 于点 D （1）若A
17、BC72，求等腰三角形 BFC 与等腰三角形 ABE 的底角的度数； （2）求证：BECBAF； （3）判断AFC 的形状并说明理由 知识点 6 相似三角形 1、相似三角形的概念与性质： 相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形.两个全等的三角形是特殊的相似三角形，它们的相似比为 1：1. 2、相似三角形的性质： 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比. 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 3、相似三角形的判定 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形不原三角形相似. 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两
18、个三角形相似. 如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 如果一个三角形的两个角不另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 4、 黄金分割 一般地，点C 把线段AB 分成两条线段 AC 和 BC（如图） ， 如果ACBCABAC，那么称线段 AB 被点 C黄金分割， 点C 叫做线段 AB的黄金分割点，AC 不AB 的比叫做黄金比.黄金比510.6182ACAB. 【典例】 例 1（2020 秋青羊区校级月考）已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 APBP，则下列各式不正确的是（ ） AAP：BPAB：AP BAP=512AB CBP=512
19、AB DAP0.618AB 例 2（2020 秋宝山区月考）如图，AB、CD 都是 BD 的垂线，AB4，CD6，BD14，P 是 BD 上一点，联结 AP、CP，所得两个三角形相似，则 BP 的长是 例 3（2020 秋东港市期中）如图，矩形 ABDE 中，AB3cm，BD7cm，点 C 在边 ED 上，且 EC1cm，点 P 在边 BD 上移动，当以 P，C，D 为顶点的三角形与ABP 相似时，求 PD 的长 例 4（2020 秋宝应县期中）如图，在 RtABC 中，BAC90，ADBC 于点 D （1）求证：BADCAD； （2）若点 O 是 AC 边上一点，连接 BO 交 AD 于 E
20、，OFOB 交 BC 边于点 F，求证：ABECOF 【随堂练习】 1 （2020 秋滦州市期中）如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，BC90，AB2，BC7，CD6，若图中两个阴影部分的两个三角形相似，则点 P 到点 B 的距离为 2 （2020 秋崇川区月考）如图，在ABC 中，已知 ABAC3，BC4，若 D，E 是边 BC 的两个“黄金分割”点，则ADE 的面积为（ ） A1045 B35 5 C5252 D2085 3 （2020 秋杏花岭区校级期中）如图，在ABC 中，AB12cm，BC9cm，动点 P 从点 A 开始沿 AB 边以 4cm/s 的速度向点 B 运动；动点 Q
21、从点 B 开始沿 BC 边以 2cm/s 的速度向点 C 运动点 P 和点 Q 同时出发， 当其中一个点到达终点时， 另一点随之停止运动 设动点的运动时间为 ts， 请问当QBP 与ABC相似时，t 的值是多少？ 综合运用 1 （2020 秋浦北县期中）如图，在等边ABC 中，点 O 是 BC 上任意一点，OE，OF 分别于两边垂直，且等边三角形的高为 2，则 OE+OF 的值为（ ） A5 B4 C3 D2 2 （2020 春荔湾区月考）如图，在ABC 中，ACB90，AC8，BC6，点 D 为斜边 AB 上的中点，则 CD 为（ ） A10 B3 C5 D4 3 （2020 秋兰州期末）如
22、图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为 1，请证明ABC 为直角三角形，并求出其面积 4 （2020 春宽城区期末）如图，ACFDBE，其中点 A、B、C、D 在一条直线上 （1）若 BEAD，F62，求A 的大小； （2）若 AD9cm，BC5cm，求 AB 的长 5 （2020 秋文山市期末）如图是一块地，已知 AD4m，CD3m，AB13m，BC12m，且 CDAD，求这块地的面积 6 （2020 秋陕西期中）已知：如图在菱形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 AB、AD 上，BEDF，CE 的延长线交 DA 的延长线于点 G，CF 的延长线交 BA 的延长线于点 H求证：BECBC
23、H 7 （2020 秋利通区期末）如图，在ABC 中，ABAC，D 是三角形内一点，连接 AD，BD，CD，BDC90，DBC45 （1）求证：BADCAD； （2）求ADB 的度数 8 （2020 春内江期末） 如图， ABC 中， AD 是高， AE、 BF 是角平分线， 它们相交于点 O， CAB50，C60，求DAE 和BOA 的度数 9 （2020 秋香坊区期末）已知：等边ABC，点 D 为 AC 上一点，DFBC，垂足为点 F，点 E 为 BC 延长线上一点，分别连接 DB、DE，ADCE （1）如图 1，ADCD，求证：BFEF； （2）如图 2，点 G 为 BC 中点，连接 D
24、G，若 ADCD，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有是DFG 面积二倍的三角形 10 （2020 秋东城区校级期中）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 是 CD 中点，点 P 在射线 AB 上，过点P 作线段 AE 的垂线段，垂足为 F （1）求证：PAFAED； （2）连接 PE，若存在点 P 使PEF 与AED 相似，直接写出 PA 的长 第第 6 6 讲讲 三角形三角形 知识点 1 三角形初步 2.三角形的定义： 由 3 条丌在同一直线上的线段，首尾顺次连接组成的封闭图形称为三角形. 如下的图形就是一个三角形. 2.三角形的各组成部分： （1）边：组成三角形的三条线段就
25、是三角形的三条边； （2）顶点：三角形任意两边的交点均为三角形的顶点； （3）通常情况下，我们用三角形的三个顶点加以一个“”来表示一个三角形，在表示三角形时，三个字母乊间并无顺序关系.如上图中，此三角形可以表示为，ABC 戒BAC 戒CBA. （4）内角：三角形两边所夹的角，称为三角 形的内角，简称角.例如上图ABC 中，A，B，C 都是三角形的内角. 3、其他概念不定理 三角形内角和定理：三角形的内角乊和为 180. 三角形外角定理：三角形的一个外角等于不它丌相邻的两个内角乊和. 三角形三边关系：任意两边乊和大于第三边，两边乊差小于第三边. 三角形中边角关系：大边对大角，等边对等角. ABC
26、 高：顶点到对边的距离叫做三角形的一条高. 三角形角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等. 中线：三角形顶点到对边中点的连线叫三角形的中线.中线把原来整个三角形分成两个面积相等的小三角形. 5、三角形分类： (1)按角分：三角形锐角三角形直角三角形钝角三角形 （2 按边分：三角形普通三角形等腰三角形等边三角形 5、三角形的特性：稳定性 【典例】 例 1（2020 秋潮阳区期末）如图所示，第 1 个图中有 1 个三角形，第 2 个图中共有 5 个三角形，第 3 个图中共有 9 个三角形，依此类推，则第 6 个图中共有三角形 21 个 【解答】解：第 n 个图形中，三角形的个数是 1+4
27、（n1）4n3所以当 n6 时，原式21， 故答案为：21 【方法总结】 注意正确发现规律，根据规律进行计算 例 2（2020 秋八步区期中）已知，ABC 的三边长为 4，9，x （1）求ABC 的周长的取值范围； （2）当ABC 的周长为偶数时，求 x 【解答】解： （1）三角形的三边长分别为 4，9，x， 94x9+4，即 5x13， 9+4+5ABC 的周长9+4+13， 即：18ABC 的周长26； （2）ABC 的周长是偶数，由（1）结果得ABC 的周长可以是 20，22 或 24， x 的值为 7，9 或 11 【方法总结】 本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于
28、第三边，任意两边之差小于第三边是解 答此题的关键 例 3（2020 秋白银期末） （1）探究：如图 1，求证：BOCA+B+C （2）应用：如图 2，ABC100，DEF130，求A+C+D+F 的度数 【解答】解： （1）连接 OA， 3 是ABO 的外角， 1+B3， 4 是AOC 的外角， 2+C4， +得，1+B+2+C3+4， 即BOCA+B+C； （2）连接 AD，同（1）可得，F+2+3DEF，1+4+CABC， +得，F+2+3+1+4+CDEF+ABC130+100230， 即A+C+D+F230 【方法总结】 本题考查的是三角形外角的性质及三角形内角和定理，根据题意作出辅助
29、线，构造出三角形是解答此题的关键 【随堂练习】 1 （2020 春双阳区期末） 如图， 在ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， ABD 的周长比ADC 的周长多 2，且 AB 与 AC 的和为 10 （1）求 AB、AC 的长 （2）求 BC 边的取值范围 【解答】解： （1）AD 是 BC 边上的中线， BDCD， ABD 的周长ADC 的周长（AB+AD+BD）（AC+AD+CD）ABAC2， 即 ABAC2， 又 AB+AC10， +得2AB12， 解得 AB6， 得，2AC8， 解得 AC4， AB 和 AC 的长分别为：AB6，AC4； （2）AB6，AC4， 2BC10 2
30、（2020 秋伊通县期末）如图，AD，AE 分别是ABC 的高和角平分线 （1）已知B40，C60，求DAE 的度数； （2）设B，C（） 请直接写出用 、 表示DAE 的关系式 12（） 【解答】解： （1）B40，C60， BAC180BC180406080， AE 是角平分线， BAE=12BAC=128040， AD 是高， BAD90B904050， DAEBADBAE504010； （2）B，C（） ， BAC180（+） ， AE 是角平分线， BAE=12BAC9012（+） ， AD 是高， BAD90B90， DAEBADBAE909012（+）=12（） ； 故答案为：1
31、2（） 3 （2020 秋肇州县期末）如图，CAD 与CBD 的角平分线交于点 P （1）若C35，D29，求P 的度数； （2）猜想D，C，P 的等量关系 【解答】解： （1）设CAD2x，CBD2y， 根据CAD 和CBD 的角平分线相交于点 P 可知： CAPPADx，CBPDBPy， 三角形的内角和等于 180，C35，D29， C+CADD+CBD，即 35+2x29+2y AEB 是APE 与DBE 的外角， P+EAPD+DBP，即P+x29+y 同理，AFB 是ACF 与BFP 的外角， C+CAPP+CBP，即 35+xP+y， 得，yx+35P， 得，xy+29P， 代入得
32、，xx+35P+29P， 2P35+29， 解得P32； （2）P=12（C+D） ，理由如下： 由（1）同理可知： 2PC+D， 解得P=12（C+D） 知识点 2 等腰三角形 等腰三角形的概念不性质 1、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做三角形的腰，第三边叫做三角形的底. 2、等腰三角形的性质 等腰三角形的腰相等 等腰三角形的两个底角相等（简记为”等边对等角“） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，称为”三线合一“ 【典例】 例 1（2020 秋盘龙区期末）已知，等腰ABC 中，ABAC，BAC120，P 为直线 BC 上一点，BPAB，则
33、APB 的度数为 75或 15 【解答】解：如图 1，在等腰ABC 中，ABAC，BAC120， BC30， BPAB， APB=180302=75； 如图 2，在等腰ABC 中，ABAC，BAC120， ABCC30， BPAB， APB=12ABC15 综上所述：APB 的度数为 75或 15 故答案为：75或 15 【方法总结】 此题考查了等腰三角形的性质注意结合题意画出图形，利用图形求解是关键 例 2 （2020 秋崆峒区期末） 如图， ABC 中， ABAC， DE 是 AB 的垂直平分线， 垂足为 D， 交 AC 于 E 若AB11cm，BCE 的周长为 17cm，则 BC 6 c
34、m 【解答】解：AB11cm， ACAB11cm， DE 是 AB 的垂直平分线， AEBE， AE+BEACAB11cm， BCE 的周长为 17cm， BC17116（cm） 故答案为：6 【方法总结】 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，关键是求出 AE+BEACAB 例 3（2020 秋双阳区期末）如图，ABC 中，ABAC，AB 的垂直平分线 DE 分别交 AC、AB 于点 D、E （1）若A50，求CBD 的度数； （2）若 AB7，CBD 周长为 12，求 BC 的长 【解答】解： （1）ABAC，A50， ABCC65， 又DE 垂直平分 AB， DADB
35、， ABDA50， DBC15； （2）DE 垂直平分 AB， DADB， DB+DCDA+DCAC， 又ABAC7，CBD 周长为 12， BC5 【方法总结】 本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键 【随堂练习】 1. （2020 秋香坊区期末） 如图， ABC 中， 点 P、 点 Q 是边 BC 上的两个点， 若 BPPQQCAPAQ，则PAC 的度数为 90 【解答】解：BPPQQCAPAQ， PAQAPQAQP60，BBAP，CCAQ 又BAP+ABPAPQ，C+CAQAQP， BAPCAQ30， PACPAQ+QAC60+
36、3090， 故答案为：90 2 （2020 秋永吉县期末）如图，ABC 中，ABAC，A36，AC 的垂直平分线交 AB 于 E，D 为垂足，连接 CE （1）求BEC 的度数； （2）求证：AEBC 【解答】 （1）解：DE 垂直平分 AC， CEAE， ECDA36， BECA+ECD36+3672； （2）证明：ABAC，A36， BACB72， BECA+ECD72， BECB， BCEC， ECAE， BCAE 3 （2020 秋武威期末）如图所示，在ABC 中ABACA36，DE 垂直平分 AB 交 AC 于点 D，垂足为点 E，求证：ADBC 【解答】证明：ABC 中，ABAC，
37、A36， ABC72， DE 是线段 AC 的垂直平分线， ADCD， AACD36， CDBA+ACD72， CDBB， CDBC， ADBC 知识点 3 等边三角形 等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形. 等边三角形的性质： 三边相等 三个内角相等，都是 60 它是轴对称图形，对称轴分别是三边上的高. 【典例】 例 1（2020浙江自主招生）如图所示，三条直线 l1，l2，l3相互平行，且 l1，l2的距离为 1，l3，l2的距离为2，正三角形 ABC 的三个顶点分别在三条平行线上，求正三角形 ABC 的边长 【解答】解：如图，过 A，C 作 AE，CF 垂直于 l
38、2，点 E，F 是垂足， 将 RtBCF 绕点 B 逆时针旋转 60至 RtBAD 处，延长 DA 交 l2于点 G 由作图可知：DBG60，ADCF2 在 RtBDG 中，BGD30 在 RtAEG 中，EAG60，AE1，AG2，DG4 BD=433， 在 RtABD 中，AB= 2+ 2=2321， 正三角形 ABC 的边长为2321 【方法总结】 本题考查了勾股定理，此题综合运用了平行线的性质，等腰三角形，直角三角形的性质，是一道具有一定综合性的好题 例 2 （2020 春沙坪坝区校级月考） 如图， ABC 是边长为 3 的等边三角形， 将ABC 沿直线 BC 向右平移，使点 B 与点
39、 C 重合，得到ECD，连接 BE，交 AC 于 F （1）猜想 AC 与 BE 的位置关系，并证明你的结论； （2）求线段 BE 的长 【解答】解： （1）AC 与 BE 的位置关系是：ACBE DCE 由ABC 平移而成， BD2BC6，DEAC3，DACB60， ABC 是等边三角形， ECD 也是等边三角形， CEBC DBE=12DCE30， BED90， BEDE， 又DACB60， ACDE， BEAC， ABC 是等边三角形， BF 是边 AC 的中线， BEAC，BE 与 AC 互相垂直平分； （2）由（1）知，BED90， BED 是直角三角形， BD6，DE3， BE=
40、2 2= 33 【方法总结】 本题考查的是等边三角形的性质及平移的性质，熟知图形平移后的图形与原图形全等的性质是解答此题的关键 【随堂练习】 1 （2020 秋南岗区期中）已知，ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长 BC 至 E，使 CECD （1）如图 1，求证：DBDE； （2）如图 2，过点 D 作 DE 的垂线交 BC 于点 F，请直接写出图中所有与线段 AC 相等的线段（不包括AC 本身） 【解答】解： （1）ABC 为等边三角形， ABCACB60，ABAC， BD 是中线， DBC=12AC30， CECD， ECDE， E30， EDBE， BDBE （2）与线段 AC 相
41、等的线段有：AB，BC，EF 理由：如图 2 中， ABC 是等边三角形， ABBCAC， FDDE， FDE90， E30， DFCDCF60， DCF 是等边三角形， DCCFEC， EF2CDAC， 与线段 AC 相等的线段有：AB，BC，EF 2 （2020 秋湖里区校级期中）在等边三角形 ABC 中，点 E 在 AB 边上，点 D 在 CB 的延长线上，且 DEEC （1）如图 1，当 E 为 AB 中点时，求证：CB2BD； （2）如图 2，若 AB12，AE2，求 CD 的长 【解答】解： （1）ABC 为等边三角形， ABCAACB60， EBAE， CEAB，CE 是ACB
42、的角平分线， BEC90，BCE30， 2EBBC， EDEC， EDCECD30， DEB603030， BDBE， 2BDBC； （2）如图 2，过点 E 作 EFBC，交 AC 于点 F， ABC 为等边三角形， AFEACBABC60，AEF 为等边三角形， EFCEBD120，EFAE， EDEC， EDBECB，ECBFEC， EDBFEC， 在BDE 和FEC 中， = = = ， BDEFEC（AAS） ， BDEF， AEBD， CDBC+BD12+214 知识点 4 直角三角形 直角三角形定义：有一个角为 90的三角形，叫做直角三角形. 1、直角三角形的性质： 性质 1：直
43、角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）. 性质 2：在直角三角形中，两个锐角互余. 性质 3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质 4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边不斜边上高的乘积. 性质 5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 30. 2勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方乊和一定等于斜边的平方. 如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c
44、2. （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中. （3）勾股定理公式 a2+b2=c2 的变形有：a2=c2b2，b2= c2a2及 c2=a2+b2. （4）由于 a2+b2=c2a2，所以 ca，同理 cb，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边. 3.勾股定理的逆定理： 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形 【典例】 例 1 （2020 秋金乡县期中）在下列条件中：A+BC，A：B：C1：2：3，A90B， AB=12C， A2B3C 中， 能确定ABC 是直角三角形的条件有 （ ） A2 个 B3 个 C
45、4 个 D5 个 【解答】解：因为A+BC，则 2C180，C90，所以ABC 是直角三角形； 因为A：B：C1：2：3，设Ax，则 x+2x+3x180，x30，C30390，所以ABC 是直角三角形； 因为A90B， 所以A+B90， 则C1809090， 所以ABC 是直角三角形； 因为AB=12C，所以A+B+C=12C+12C+C180，则C90，所以ABC 是直角三角形； 因为 3C2BA，A+B+C=13A+12A+A180，A=108011，所以ABC 为钝角三角形 所以能确定ABC 是直角三角形的有共 4 个， 故选：C 【方法总结】 解答此题要用到三角形的内角和为 180，
46、若有一个内角为 90，则ABC 是直角三角形 例 2（2020 秋丹东期末）如图，在 RtABC 中，ACB90，AB4分别以 AC，BC 为直径作半圆，面积分别记为 S1，S2，则 S1+S2的值等于（ ） A2 B3 C4 D8 【解答】解：S1=12（2）2=18AC2，S2=18BC2， S1+S2=18（AC2+BC2）=18AB22 故选：A 【方法总结】 本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键 例 3（2020 秋八步区期中）在直角ABC 中，ACB90，B30，CDAB 于 D，CE 是ABC 的角平分线 （
47、1）求DCE 的度数 （2）若CEF135，求证：EFBC 【解答】解：B30，CDAB 于 D， DCB90B60 CE 平分ACB，ACB90， ECB=12ACB45， DCEDCBECB604515； （2）CEF135，ECB=12ACB45， CEF+ECB180， EFBC 【方法总结】 本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的判定，解答的关键是沟通未知角和已知角的关系 【随堂练习】 1 （2020 秋太原期末）如图，已知等腰ABC 的底边 BC13cm，D 是腰 AB 上一点，且 CD12cm，BD5cm （1）求证：BDC 是直角三角形； （2）求ABC 的周长
48、 【解答】 （1）证明：BC13cm，CD12cm，BD5cm， BC2BD2+CD2 BDC 为直角三角形； （2）解：设 ABx， ABC 是等腰三角形， ABACx， AC2AD2+CD2 x2（x5）2+122， 解得：x=16910， ABC 的周长2AB+BC216910+13=2345 【点评】此题考查等腰三角形的性质、勾股定理以及逆定理的应用，属于基础题目 2 （2020 春海珠区校级期中）如图，在 44 正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1 （1）求线段 AB 的长； （2）求ABC 的度数 【解答】解： （1）AB= 42+ 22=25； （2）AC242+3225，A
49、B2（25）220，BC222+125， AC2AB2+BC2， ABC90 3 （2020 秋朝阳区校级月考）如图，在四边形 ABCD 中，B90，AB20，BC15，CD7，DA24，求此四边形 ABCD 的面积 【解答】解：连接 AC，如图所示： B90， AC= 2+ 2202+ 152=25， 72+242252， CD2+DA2AC2， ADC 是直角三角形，ADC90， 四边形 ABCD 的面积ABC 的面积+ADC 的面积=122015+12724234 知识点 5 全等三角形 1、全等三角形及相关的概念 （1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. （2）
50、全等三角形对应元素：把两个全等的三角形重合到一起，对应顶点：重合的顶点；对应边：重合的边；对应角：重合的角. （3）全等三角形的表示方法：两个三角形全等用符号“”来表示，如图所示ABCDEF.符号“”的含义： “”表示形状相同， “=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等. （4）全等三角形的书写：字母顺序确定法：根据书写规范，按照对应顶点确定对应边，对应角，如CABFDE,则 AB 不 DE、AC 不 DF、BC 不 EF 是对应边，A 和D、B 和E、C 和F 时对应角；图形位置确定法：公共边一定是对应边，公共角一定是对应角，对顶角一定是对应角； （5）对应边（角）不对
